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2025年北京中考数学模拟试题
一.选择题(共8小题,满分16分,每小题2分)
1.(2分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.(2分)如图,直线AB和CD相交于点O,OB平分∠DOE,OE⊥OF,若∠AOF=28°,则∠COF的度数为( )
A.28° B.30° C.32° D.34°
3.(2分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是( )
A.a>b B.|a|>|b| C.a+b>0 D.a﹣b>0
4.(2分)一元二次方程5x2﹣3x﹣1=0的根的情况是( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.只有一个实数根
5.(2分)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸出一个球,记下标号后放回,再随机摸出一球,则两次标号之和为4的概率为( )
A. B. C. D.
6.(2分)国家卫健委网站消息:截至2024年5月27日,31个省(自治区,直辖市)和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过33亿剂次,用科学记数法表示33亿是( )
A.3.3×108 B.33×108 C.3.3×109 D.3.3×1010
7.(2分)已知△ABC,由尺规作图痕迹可知△ABC≌△ABD,全等的理由为( )
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
8.(2分)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′,两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论:①该八边形各边长都相等;②该八边形各内角都相等;③点O到该八边形各顶点的距离都相等;④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④
二.填空题(共8小题,满分16分,每小题2分)
9.(2分)若二次根式有意义,则x的取值范围是 .
10.(2分)因式分解:3am2﹣3a= .
11.(2分)是物理学中的一个公式,其中各个字母都不为零.用R1,R2表示R,则R= .
12.(2分)如图,点A在反比例函数的图象上,点B在反比例函数的图象上,AB⊥x轴于点C,且AC:CB=2:3,则k的值为 .
13.(2分)某校为了解七年级学生的视力情况,随机抽取了该校200名七年级学生进行调查,整理样本数据得到表格:
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 39 41 33 40 47
根据抽样调查结果,估计该校800名七年级学生中,视力不低于4.8的有 人.
14.(2分)如图,点A、B、C在⊙O上,∠OBC=20°,则∠A= .
15.(2分)如图,过△ABC的边AB,AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高.延长HA交EG于点I.若S△AEG=7,则S△AEI= .
16.(2分)如图是一个数学游戏活动,A,B,C,D分别代表一种运算,运算结果随着运算顺序的变化而变化.(每次游戏都涉及A,B,C,D四种运算各一次)
(1)4经过A→B→C→D的顺序运算后,结果是 ;
(2)﹣2经过→D的顺序运算后,结果是﹣4,则被遮挡部分的运算顺序应是 .
三.解答题(共12小题,满分68分)
17.(5分)计算:.
18.(5分)解不等式组:.
19.(5分)已知2,求的值.
20.(6分)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.
(1)求证:AD∥CE;
(2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长.
21.(6分)在浓度为15%的盐水中加入39千克水和1千克盐,浓度变为10%,这时,再加入多少千克盐,浓度变为20%?
22.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知函数y=kx+b(k≠0)与y=﹣kx+3的图象交于点(2,1).
(1)求k和b的值;
(2)当x>4时,对于x的每一个值,函数y=mx+2(m≠0)的值大于y=﹣kx+3的值,且小于y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.
23.(5分)某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制),对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息:
a.教师评委打分:86,90,90,91,91,91,91,92,96,92;
b.学生评委打分的频数分布直方图如下(数据分6组:第1组82≤x<85,第2组85≤x<88,第3组88≤x<91,第4组91≤x<94,第5组94≤x<97,第6组97≤x≤100);
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下:
平均数 中位数 众数
教师评委 91 91 m
学生评委 90.8 n 93
根据以上信息,回答下列问题:
①m的值为 ,n的值位于学生评委打分数据分组的第 组;
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分,其余教师评委打分的平均数为 ;
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制),对每位选手,计算5名专业评委给其打分的平均数和方差,平均数较大的选手排序靠前,若平均数相同,则方差较小的选手排序靠前,5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下:
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中,则这三位选手中排序最靠前的是 ,表中k(k为整数)的值为 .
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 93 90 92 93 92
乙 91 92 92 92 92
丙 90 94 90 94 k
24.(6分)如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,交AC于点F,交△ABC外接圆⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交BC延长线上点D.
(1)求证:AC∥DE;
(2)若CE=6,DE=8,求AF的长.
25.(5分)某地植物园从正门到侧门有一条小路,甲徒步从正门出发匀速走向侧门,出发一段时间开始休息,休息了0.6小时后仍按原速继续行走,乙与甲同时出发,骑自行车从侧门匀速前往正门,到达正门后休息0.2小时,然后按原路原速匀速返回侧门.图中折线分别表示甲、乙到侧门的距离y(km)与出发时间x(h)之间的关系图象.根据图象信息解答下列问题:
(1)该植物园正门与侧门间的距离是 km,乙休息前的速度为 km/h,甲休息前的速度为 km/h;
(2)当x= 时,甲、乙第一次相遇;
(3)在甲乙第二次相遇前,当x= 时,甲乙相距5km.
26.(6分)如图,抛物线与x轴交于A(﹣4,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,2).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P是直线AC上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t(﹣4<t<0).
①连接PO交AC于点D,求的最大值;
②连接PC、BC,若∠PCA=2∠OCB,求点P的坐标;
③点Q在x轴上,是否存在点P,使得△PCQ是等腰直角三角形.若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
27.(7分)如图,将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE.
(1)如图1,当点C的对应点E恰好落在AB上时,若BC=6,BD=9,求AE的长;
(2)如图2,BD∥AC,若∠C=110°,∠BAC=40°,求∠ABE的度数.
28.(7分)如图1,已知AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是上一点,连结AD,AG,DG.
(1)求证:∠AGD=∠ADC;
(2)如图2,延长AG,DC相交于点F,连结CG.
①已知AG=6,GF=4,求AD的长;
②记DG与AB的交点为P,若AB=10,CD=8,当AG=AP时,求的值.
参考答案
一.选择题(共8小题)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C C C D B
1.解:A、既是轴对称图形又是中心对称图形,本选项符合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,本选项不符合题意;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,本选项不符合题意;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,本选项不符合题意.
选:A.
2.解:∵OE⊥OF,
∴∠EOF=90°,
∵∠AOF+∠EOF+∠EOB=180°,
又∠AOF=28°,
∴∠EOB=180°﹣∠AOF﹣∠EOF=180°﹣28°﹣90°=62°,
∵OB平分∠DOE,
∴∠DOE=2∠EOB=2×62°=124°,
∵∠COE+∠DOE=180°,
∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣124°=56°,
∴∠COF=∠EOF﹣∠COE=90°﹣56°=34°.
选:D.
3.解:由数轴可得:a<0<b,|a|>|b|,
A、a<b,本选项错误;
B、|a|>|b|,本选项正确;
C、a+b<0,本选项错误;
D、ab<0,本选项错误;
选:B.
4.解:∵5x2﹣3x﹣1=0,
∴Δ=(﹣3)2﹣4×5×(﹣1)=9+20=29>0,
∴该方程有两个不相等的实数根,
选:C.
5.解:列表如下:
1 2 3 4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
共有16种等可能的结果,其中两次标号之和为4的结果有:(1,3),(2,2),(3,1),共3种,
∴两次标号之和为4的概率为.
选:C.
6.解:33亿=33×108=3.3×109.
选:C.
7.解:由作图痕迹可知,∠CAB=∠DAB,∠ABC=∠ABD,
在△ABC和△ABD中,
,
∴△ABC≌△ABD(ASA).
∴全等的理由为ASA.
选:D.
8.解:向两方分别延长BD,连接OH,
由菱形的性质可得:∠BAO=∠DAO=30°,∠AOD=∠AOB=90°,
由题意旋转的性质可得:
点A′,D′,B′,C′一定在对角线AC,BD上,且OD=OD′=OB=OB′,OA=OA′=OC=OC′,
∴AD′=C′D,∠D′AH=∠DC′H=30°,
∵∠D′HA=∠DHC′,
∴△AD′H≌△C′DH,
∴D′H=DH,C′H=AH,同理可证D′E=BE,BF=B′F,B′G=DG,
∵∠EA′B=∠HC′D=30°,A′B=C′D,∠A′BE=∠C′DH=120°,
∴△A′BE≌△C′DH(ASA),
∴DH=BE,
∴DH=BE=D′H=D′E=BF=FB′=B′G=DG,
∴该八边形各边长都相等,
①正确;
根据角的平分线的性质定理,得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等,
∴④正确;
由图形可得:∠ED′H=120°,
∵∠D′OD=90°,∠OD′H=∠ODH=60°,
∴∠D′HD=150°,
∴该八边形各内角不相等;
∴②错误,
根据OD=OD′,D′H=DH,OH=OH,
∴△D′OH≌△DOH(SSS),
∴∠D'HO=∠DHO=75°,
∵∠ODH=60°,
OD≠OH,
∴点O到该八边形各顶点的距离都相等错误,
∴③错误;
选:B.
二.填空题(共8小题,满分16分,每小题2分)
9.解:要使二次根式有意义,必须5x﹣1≥0,
解得:x,
所以x的取值范围是x.
答案为:x.
10.解:原式=3a(m2﹣1)
=3a(m+1)(m﹣1),
答案为:3a(m+1)(m﹣1).
11.解:,
等式两边同时乘以RR1R2,可得:R1R2=RR2+RR1,
整理得:(R2+R1)R=R1R2,
解得:R.
经检验:R是原方程的解.
答案为:.
12.解:如图,连接OA、OB.
∵点A在反比例函数的图象上,点B在反比例函数的图象上,AB⊥x轴于点C,
∴S△AOM,S△BOM=||,
∴S△AOM:S△BOM:||=3:|k|,
∵S△AOM:S△BOM=AM:MB=2:3,
∴3:|k|=2:3,
∴|k|=4.5,
∵反比例函数的图象在第四象限,
∴k<0,
∴k=﹣4.5.
答案为:﹣4.5.
13.解:估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数为800480(人),
答案为:480.
14.解:∵OB=OC,∠OBC=20°,
∴∠OBC=∠OCB=20°,
∴∠BOC=140°,
∵∠A与∠BOC都对,
∴∠A=70°,
答案为:70°.
15.解:过E作EM⊥HI于M,GN⊥HI的延长线于N,如图:
∵四边形ABDE是正方形,
∴∠EMA=∠AHB=90°,∠EAM=90°﹣∠BAH=∠ABH,AB=AE,
∴△AEM≌△BAH(AAS),
∴EM=AH,
同理AH=GN,
∴EM=GN,
在△EMI和△GNI中,
,
∴△EMI≌△GNI(AAS),
∴EI=GI,
∴I是EG的中点.
∴S△AEIS△AEG=3.5.
答案为:3.5.
16.解:(1),﹣2﹣3=﹣5,(﹣5)2=25,25+(﹣2)=23;
答案为:23;
(2)∵﹣2经过→D的顺序运算后,结果是﹣4,
∴﹣2经过的顺序运算后,结果为﹣4﹣(﹣2)=﹣2;
∵,
∴被遮挡部分的运算顺序应是A→C→B;
答案为:A→C→B.
三.解答题(共12小题,满分68分)
17.解:原式=2+1﹣21
=2+11
=2.
18.解:解不等式①,得x≥1,
解不等式②,得x<2,
原不等式组的解集为:1≤x<2.
19.解:∵2,
∴a=2b,
∴
.
20.(1)证明:∵E是AB的中点,
∴AE=EB,
∵DF=BF,
∴EF是△ABD的中位线,
∴AD∥CE;
(2)解:∵EF是△ABD的中位线,
∴AD=2EF=2,
∵∠EFB=90°,
∴∠CFB=180°﹣∠EFB=90°,
在Rt△EFB中,tan∠FEB=3,
∴BF=EF tan∠FEB=3,
∵AD∥CE,AF∥CD,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∴AD=CF=2,
在Rt△CFB中,BC.
21.解:设原来有15%的盐水x千克,
由题意,得(15% x+1)÷(x+39+1)=10%,
解得:x=60,
(60+39+1)(1﹣10% )÷(1﹣20% )﹣(60+39+1)
=100×(1﹣0.1)÷(1﹣0.2)﹣100
=90÷0.8﹣100
=112.5﹣100
=12.5(千克),
答:再加入12.5千克盐,浓度变为20%.
22.解:(1)∵直线y=﹣kx+3点(2,1),
∴﹣2k+3=1,
解得k=1,
将点(2,1)代入y=x+b得:2+b=1,
解得b=﹣1.
(2)当x=4时,y=﹣x+3=﹣1,y=x﹣1=3,
∵当x>4时,对于x的每一个值,函数y=mx+2(m≠0)的值大于y=﹣kx+3的值,且小于y=kx+b的值,
∴﹣1≤4m+2≤3,
∴m.
∴m的取值范围是m且m≠0.
23.解:(1)①由题意得,教师评委打分中91出现的次数最多,众数m=91.
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数,n的值位于学生评委打分数据分组的第4组;
答案为:91;4;
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分,其余教师评委打分的平均数为:
(90+90+91+91+91+91+92+92)=91,
答案为:91;
(2)甲选手的平均数为(93+90+92+93+92)=92,
乙选手的平均数为(91+92+92+92+92)=91.8,
∵92>91.8,
∴甲选手在乙选手的前面,
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中,
∴这三位选手中排序最靠前的是甲,
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中,
∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数,
∵5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92,
乙选手的方差S2乙[4×(92﹣91.8)2+(91﹣91.8)2]=0.16,5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k,
∴乙选手的方差小于丙选手的方差,
∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数,小于或等于甲选手的平均数,
∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k>91+92+92+92+92,
∴92≥k>91,
∵k为整数,
∴k(k为整数)的值为92,
答案为:甲,92.
24.(1)证明:连接OE,如图,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴,
∴OE⊥AC.
∵DE为⊙O的切线,
∴OE⊥DE.
∴AC∥DE;
(2)解:由(1)知:,
∴AE=EC=6,∠EAC=∠ECA,
∵AC∥DE,
∴∠DEC=∠ECA,
∴∠EAC=∠DEC.
∵AC∥DE,
∴∠D=∠ACB.
∵∠ACB=∠AEB,
∴∠AEB=∠D,
∴△EAF∽△DEC,
∴,
∴,
∴AF.
25.解:(1)由图象可知:植物园正门与侧门间的距离是12km;乙休息前的速度为:12(km/h),甲休息前的速度为:5(km/h);
答案为:12,12,5;
(2)由题意可知:
12x=﹣5x+12,
得x,
答:甲、乙第一次相遇的时间是h;
(3)当第一次相遇前相距5km时,
(5+12)x=12﹣5,
解得x,
当第一次相遇后相距5km时,
12x+5x=5+12,
解得x=1,
当第二次相遇前相距5km时,
由图象可知:1.2小时时,甲、乙两人相距:5×1.2=6(km);
此时甲在休息,乙的速度为12km/h,设再经过y小时相距5km,
∴12y+5=6,
解得:y,
∴1.2,
∴在乙休息前,甲乙相距5km的时间是h或1h或h.
26.解:(1)∵抛物线与x轴交于A(﹣4,0)、B(1,0)两点,
∴设所求抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣1),
把点C(0,2)代入,解得.
∴所求抛物线的解析式为.
即,
答案为:;
(2)①经过A(﹣4,0)、C(0,2)两点的直线AC的解析式为,
如图1,过点P作PE∥y轴,交AC于点E,
∵∠PDE=∠ODC,∠EPD=∠COD
∴△PDE∽△ODC,
∴,
设点P的坐标为,
则点E的坐标为(t,).
∴,
∴,
∵,且﹣4<t<0,
∴当t=﹣2时,取得最大值,最大值为1;
②在Rt△AOC中,,
在Rt△COB中,,
∴∠CAO=∠BCO;
如图2,过点C作CF∥x轴,交PE于点F.
∴∠FCA=∠CAO,
∵,
∴△COB∽△AOC,
∴∠OCB=∠OAC,
∴∠FCA=∠CAO=∠OCB,
∵∠PCA=2∠OCB,
∴∠PCF=∠ECF=∠CAO,
∴点F是PE的中点,
∴,
∴
解得t1=﹣2,t2=0(舍去),
∴当∠PCA=2∠OCB时,点P的坐标为(﹣2,3);
③分三种情况讨论:
(Ⅰ)如图3,当∠PCQ=90°,CP=CQ时,过点P作PM⊥y轴于点M,
∵∠PCM+∠QCO=90°,∠PCM+∠CPM=90°,
∴∠QCO=∠CPM,
在△PMC和△COQ中,
∵,
∴△PMC≌△COQ(AAS),
∴PM=CO=2,
∴点P的横坐标为﹣2;
(Ⅱ)如图4,当∠CPQ=90°,PQ=PC时,
过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥x轴于点N,同理可证:△PMC≌△PNQ
∴PM=PN,
∴,
解得 , (舍去).
∴点P的横坐标为;
(Ⅲ)如图5,当∠PQC=90°,QP=QC时,过点P作PN⊥x轴于点N,
同理可证:△PNQ≌△QOC,
∴PN=QO,NQ=CO=2,
∴PN+CO=NQ+QO=NO,
∴.
解得 , (舍去);
∴点P的横坐标为;
综上所述,△PCQ是等腰直角三角形时,点P的横坐标为:﹣2或或;
27.解:(1)∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE,
∴AB=BD=9,BE=BC=6,
∴AE=AB﹣BE=9﹣6=3;
(2)∵∠C=110°,∠BAC=40°,
∴∠ABC=180°﹣110°﹣40°=30°,
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE,
∴∠DBE=∠ABC=30°,
∵BD∥AC,
∴∠DBC+∠C=180°,
∴∠DBC=70°,
∴∠ABE=70°﹣30°×2=10°.
28.(1)证明:∵AB是⊙O直径,AB⊥CD,
∴,
∴∠AGD=∠ADC;
(2)解:∵∠AGD=∠ADC,∠DAG=∠FAD,
∴△DAG∽△FAD,
∴,
∴AD2=AG×AF=6×(6+4)=60,
∴AD=2;
②连接OD.BD,BC,如图:
∵AB是⊙O直径,AB⊥CD,
∴DE=CECD=4.
∵OA=OB=OD=5,
∴OE=3.
∴BE=OB=OE=2,
∴BC2,
∵AP=AG,
∴∠AGP=∠APG=∠DBA=∠DPB,
∴DP=DB,
∵AB⊥CD,
∴PE=BE=2,DC平分∠BDP,
∴AG=AP=AB﹣PE﹣BE=10﹣2﹣2=6,,
∴CG=BC=2,
∵四边形ADCG是圆的内接四边形,
∴∠CGF=∠ADC,∠GCF=∠DAG,
由(1)可知∠AGD=∠ADC,
∴∠CGF=∠AGD,
∴△CGF∽△AGD,
∴.
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