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2025年北京中考数学模拟试题
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（　　）
A．28° B．30° C．32° D．34°
3．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．a+b＞0 D．a﹣b＞0
4．（2分）一元二次方程5x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．只有一个实数根
5．（2分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸出一个球，记下标号后放回，再随机摸出一球，则两次标号之和为4的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）国家卫健委网站消息：截至2024年5月27日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过33亿剂次，用科学记数法表示33亿是（　　）
A．3.3×108 B．33×108 C．3.3×109 D．3.3×1010
7．（2分）已知△ABC，由尺规作图痕迹可知△ABC≌△ABD，全等的理由为（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
10．（2分）因式分解：3am2﹣3a＝　 　．
11．（2分）是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零．用R1，R2表示R，则R＝　 　．
12．（2分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点C，且AC：CB＝2：3，则k的值为 　 　．
13．（2分）某校为了解七年级学生的视力情况，随机抽取了该校200名七年级学生进行调查，整理样本数据得到表格：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 39 41 33 40 47
根据抽样调查结果，估计该校800名七年级学生中，视力不低于4.8的有 　 　人．
14．（2分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC＝20°，则∠A＝　 　．
15．（2分）如图，过△ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG＝7，则S△AEI＝　 　．
16．（2分）如图是一个数学游戏活动，A，B，C，D分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（每次游戏都涉及A，B，C，D四种运算各一次）
（1）4经过A→B→C→D的顺序运算后，结果是 　 　；
（2）﹣2经过→D的顺序运算后，结果是﹣4，则被遮挡部分的运算顺序应是 　 　．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知2，求的值．
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
21．（6分）在浓度为15%的盐水中加入39千克水和1千克盐，浓度变为10%，这时，再加入多少千克盐，浓度变为20%？
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．
（1）求k和b的值；
（2）当x＞4时，对于x的每一个值，函数y＝mx+2（m≠0）的值大于y＝﹣kx+3的值，且小于y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．
（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．教师评委打分：86，90，90，91，91，91，91，92，96，92；
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）；
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 91 91 m
学生评委 90.8 n 93
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为　 　，n的值位于学生评委打分数据分组的第　 　组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余教师评委打分的平均数为　 　；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制），对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是　 　，表中k（k为整数）的值为　 　．
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 93 90 92 93 92
乙 91 92 92 92 92
丙 90 94 90 94 k
24．（6分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点F，交△ABC外接圆⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC延长线上点D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若CE＝6，DE＝8，求AF的长．
25．（5分）某地植物园从正门到侧门有一条小路，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时间开始休息，休息了0.6小时后仍按原速继续行走，乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正门，到达正门后休息0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的距离y（km）与出发时间x（h）之间的关系图象．根据图象信息解答下列问题：
（1）该植物园正门与侧门间的距离是 　 　km，乙休息前的速度为 　 　km/h，甲休息前的速度为 　 　km/h；
（2）当x＝　 　时，甲、乙第一次相遇；
（3）在甲乙第二次相遇前，当x＝　 　时，甲乙相距5km．
26．（6分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（﹣4＜t＜0）．
①连接PO交AC于点D，求的最大值；
②连接PC、BC，若∠PCA＝2∠OCB，求点P的坐标；
③点Q在x轴上，是否存在点P，使得△PCQ是等腰直角三角形．若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
27．（7分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE．
（1）如图1，当点C的对应点E恰好落在AB上时，若BC＝6，BD＝9，求AE的长；
（2）如图2，BD∥AC，若∠C＝110°，∠BAC＝40°，求∠ABE的度数．
28．（7分）如图1，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连结AD，AG，DG．
（1）求证：∠AGD＝∠ADC；
（2）如图2，延长AG，DC相交于点F，连结CG．
①已知AG＝6，GF＝4，求AD的长；
②记DG与AB的交点为P，若AB＝10，CD＝8，当AG＝AP时，求的值．
参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C C C D B
1．解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意．
选：A．
2．解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∵∠AOF+∠EOF+∠EOB＝180°，
又∠AOF＝28°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOF﹣∠EOF＝180°﹣28°﹣90°＝62°，
∵OB平分∠DOE，
∴∠DOE＝2∠EOB＝2×62°＝124°，
∵∠COE+∠DOE＝180°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣124°＝56°，
∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣56°＝34°．
选：D．
3．解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，
A、a＜b，本选项错误；
B、|a|＞|b|，本选项正确；
C、a+b＜0，本选项错误；
D、ab＜0，本选项错误；
选：B．
4．解：∵5x2﹣3x﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×5×（﹣1）＝9+20＝29＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
选：C．
5．解：列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
共有16种等可能的结果，其中两次标号之和为4的结果有：（1，3），（2，2），（3，1），共3种，
∴两次标号之和为4的概率为．
选：C．
6．解：33亿＝33×108＝3.3×109．
选：C．
7．解：由作图痕迹可知，∠CAB＝∠DAB，∠ABC＝∠ABD，
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（ASA）．
∴全等的理由为ASA．
选：D．
8．解：向两方分别延长BD，连接OH，
由菱形的性质可得：∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，
由题意旋转的性质可得：
点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且OD＝OD′＝OB＝OB′，OA＝OA′＝OC＝OC′，
∴AD′＝C′D，∠D′AH＝∠DC′H＝30°，
∵∠D′HA＝∠DHC′，
∴△AD′H≌△C′DH，
∴D′H＝DH，C′H＝AH，同理可证D′E＝BE，BF＝B′F，B′G＝DG，
∵∠EA′B＝∠HC′D＝30°，A′B＝C′D，∠A′BE＝∠C′DH＝120°，
∴△A′BE≌△C′DH（ASA），
∴DH＝BE，
∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，
∴该八边形各边长都相等，
①正确；
根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，
∴④正确；
由图形可得：∠ED′H＝120°，
∵∠D′OD＝90°，∠OD′H＝∠ODH＝60°，
∴∠D′HD＝150°，
∴该八边形各内角不相等；
∴②错误，
根据OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，
∴△D′OH≌△DOH（SSS），
∴∠D'HO＝∠DHO＝75°，
∵∠ODH＝60°，
OD≠OH，
∴点O到该八边形各顶点的距离都相等错误，
∴③错误；
选：B．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．解：要使二次根式有意义，必须5x﹣1≥0，
解得：x，
所以x的取值范围是x．
答案为：x．
10．解：原式＝3a（m2﹣1）
＝3a（m+1）（m﹣1），
答案为：3a（m+1）（m﹣1）．
11．解：，
等式两边同时乘以RR1R2，可得：R1R2＝RR2+RR1，
整理得：（R2+R1）R＝R1R2，
解得：R．
经检验：R是原方程的解．
答案为：．
12．解：如图，连接OA、OB．
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点C，
∴S△AOM，S△BOM＝||，
∴S△AOM：S△BOM：||＝3：|k|，
∵S△AOM：S△BOM＝AM：MB＝2：3，
∴3：|k|＝2：3，
∴|k|＝4.5，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣4.5．
答案为：﹣4.5．
13．解：估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数为800480（人），
答案为：480．
14．解：∵OB＝OC，∠OBC＝20°，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∴∠BOC＝140°，
∵∠A与∠BOC都对，
∴∠A＝70°，
答案为：70°．
15．解：过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，如图：
∵四边形ABDE是正方形，
∴∠EMA＝∠AHB＝90°，∠EAM＝90°﹣∠BAH＝∠ABH，AB＝AE，
∴△AEM≌△BAH（AAS），
∴EM＝AH，
同理AH＝GN，
∴EM＝GN，
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
∴S△AEIS△AEG＝3.5．
答案为：3.5．
16．解：（1），﹣2﹣3＝﹣5，（﹣5）2＝25，25+（﹣2）＝23；
答案为：23；
（2）∵﹣2经过→D的顺序运算后，结果是﹣4，
∴﹣2经过的顺序运算后，结果为﹣4﹣（﹣2）＝﹣2；
∵，
∴被遮挡部分的运算顺序应是A→C→B；
答案为：A→C→B．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．解：原式＝2+1﹣21
＝2+11
＝2．
18．解：解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜2，
原不等式组的解集为：1≤x＜2．
19．解：∵2，
∴a＝2b，
∴
．
20．（1）证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∵DF＝BF，
∴EF是△ABD的中位线，
∴AD∥CE；
（2）解：∵EF是△ABD的中位线，
∴AD＝2EF＝2，
∵∠EFB＝90°，
∴∠CFB＝180°﹣∠EFB＝90°，
在Rt△EFB中，tan∠FEB＝3，
∴BF＝EF tan∠FEB＝3，
∵AD∥CE，AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF＝2，
在Rt△CFB中，BC．
21．解：设原来有15%的盐水x千克，
由题意，得（15% x+1）÷（x+39+1）＝10%，
解得：x＝60，
（60+39+1）（1﹣10% ）÷（1﹣20% ）﹣（60+39+1）
＝100×（1﹣0.1）÷（1﹣0.2）﹣100
＝90÷0.8﹣100
＝112.5﹣100
＝12.5（千克），
答：再加入12.5千克盐，浓度变为20%．
22．解：（1）∵直线y＝﹣kx+3点（2，1），
∴﹣2k+3＝1，
解得k＝1，
将点（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1，
解得b＝﹣1．
（2）当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣1，y＝x﹣1＝3，
∵当x＞4时，对于x的每一个值，函数y＝mx+2（m≠0）的值大于y＝﹣kx+3的值，且小于y＝kx+b的值，
∴﹣1≤4m+2≤3，
∴m．
∴m的取值范围是m且m≠0．
23．解：（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，众数m＝91．
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
答案为：91；4；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余教师评委打分的平均数为：
（90+90+91+91+91+91+92+92）＝91，
答案为：91；
（2）甲选手的平均数为（93+90+92+93+92）＝92，
乙选手的平均数为（91+92+92+92+92）＝91.8，
∵92＞91.8，
∴甲选手在乙选手的前面，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，
∵5名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92，
乙选手的方差S2乙[4×（92﹣91.8）2+（91﹣91.8）2]＝0.16，5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，k，
∴乙选手的方差小于丙选手的方差，
∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，
∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k＞91+92+92+92+92，
∴92≥k＞91，
∵k为整数，
∴k（k为整数）的值为92，
答案为：甲，92．
24．（1）证明：连接OE，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴，
∴OE⊥AC．
∵DE为⊙O的切线，
∴OE⊥DE．
∴AC∥DE；
（2）解：由（1）知：，
∴AE＝EC＝6，∠EAC＝∠ECA，
∵AC∥DE，
∴∠DEC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠DEC．
∵AC∥DE，
∴∠D＝∠ACB．
∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠D，
∴△EAF∽△DEC，
∴，
∴，
∴AF．
25．解：（1）由图象可知：植物园正门与侧门间的距离是12km；乙休息前的速度为：12（km/h），甲休息前的速度为：5（km/h）；
答案为：12，12，5；
（2）由题意可知：
12x＝﹣5x+12，
得x，
答：甲、乙第一次相遇的时间是h；
（3）当第一次相遇前相距5km时，
（5+12）x＝12﹣5，
解得x，
当第一次相遇后相距5km时，
12x+5x＝5+12，
解得x＝1，
当第二次相遇前相距5km时，
由图象可知：1.2小时时，甲、乙两人相距：5×1.2＝6（km）；
此时甲在休息，乙的速度为12km/h，设再经过y小时相距5km，
∴12y+5＝6，
解得：y，
∴1.2，
∴在乙休息前，甲乙相距5km的时间是h或1h或h．
26．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，
∴设所求抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
把点C（0，2）代入，解得．
∴所求抛物线的解析式为．
即，
答案为：；
（2）①经过A（﹣4，0）、C（0，2）两点的直线AC的解析式为，
如图1，过点P作PE∥y轴，交AC于点E，
∵∠PDE＝∠ODC，∠EPD＝∠COD
∴△PDE∽△ODC，
∴，
设点P的坐标为，
则点E的坐标为（t，）．
∴，
∴，
∵，且﹣4＜t＜0，
∴当t＝﹣2时，取得最大值，最大值为1；
②在Rt△AOC中，，
在Rt△COB中，，
∴∠CAO＝∠BCO；
如图2，过点C作CF∥x轴，交PE于点F．
∴∠FCA＝∠CAO，
∵，
∴△COB∽△AOC，
∴∠OCB＝∠OAC，
∴∠FCA＝∠CAO＝∠OCB，
∵∠PCA＝2∠OCB，
∴∠PCF＝∠ECF＝∠CAO，
∴点F是PE的中点，
∴，
∴
解得t1＝﹣2，t2＝0（舍去），
∴当∠PCA＝2∠OCB时，点P的坐标为（﹣2，3）；
③分三种情况讨论：
（Ⅰ）如图3，当∠PCQ＝90°，CP＝CQ时，过点P作PM⊥y轴于点M，
∵∠PCM+∠QCO＝90°，∠PCM+∠CPM＝90°，
∴∠QCO＝∠CPM，
在△PMC和△COQ中，
∵，
∴△PMC≌△COQ（AAS），
∴PM＝CO＝2，
∴点P的横坐标为﹣2；
（Ⅱ）如图4，当∠CPQ＝90°，PQ＝PC时，
过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，同理可证：△PMC≌△PNQ
∴PM＝PN，
∴，
解得 ， （舍去）．
∴点P的横坐标为；
（Ⅲ）如图5，当∠PQC＝90°，QP＝QC时，过点P作PN⊥x轴于点N，
同理可证：△PNQ≌△QOC，
∴PN＝QO，NQ＝CO＝2，
∴PN+CO＝NQ+QO＝NO，
∴．
解得 ， （舍去）；
∴点P的横坐标为；
综上所述，△PCQ是等腰直角三角形时，点P的横坐标为：﹣2或或；
27．解：（1）∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB＝BD＝9，BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝9﹣6＝3；
（2）∵∠C＝110°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∵BD∥AC，
∴∠DBC+∠C＝180°，
∴∠DBC＝70°，
∴∠ABE＝70°﹣30°×2＝10°．
28．（1）证明：∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠AGD＝∠ADC；
（2）解：∵∠AGD＝∠ADC，∠DAG＝∠FAD，
∴△DAG∽△FAD，
∴，
∴AD2＝AG×AF＝6×（6+4）＝60，
∴AD＝2；
②连接OD．BD，BC，如图：
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴DE＝CECD＝4．
∵OA＝OB＝OD＝5，
∴OE＝3．
∴BE＝OB＝OE＝2，
∴BC2，
∵AP＝AG，
∴∠AGP＝∠APG＝∠DBA＝∠DPB，
∴DP＝DB，
∵AB⊥CD，
∴PE＝BE＝2，DC平分∠BDP，
∴AG＝AP＝AB﹣PE﹣BE＝10﹣2﹣2＝6，，
∴CG＝BC＝2，
∵四边形ADCG是圆的内接四边形，
∴∠CGF＝∠ADC，∠GCF＝∠DAG，
由（1）可知∠AGD＝∠ADC，
∴∠CGF＝∠AGD，
∴△CGF∽△AGD，
∴．
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