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2025年上海市四校（复兴中学、奉贤中学、金山中学、松江二中）高考数学联考试卷（3月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知等比数列的前项和为，若，则( )
A. 为严格减数列 B. 为严格增数列
C. 有最小项 D. 有最大项
3.在棱长为的正方体中，，是线段含端点上的一动点，则：
；平面；三棱锥的体积是定值；
上述命题中正确的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
4.已知，为非空实数集，为平面直角坐标系中的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有对于下列两个命题：若，则；若，则其中判断正确的是( )
A. 都正确 B. 都错误 C. 正确错误 D. 错误正确
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，集合，则 ______．
6.已知复数，则 ______．
7.设，，若，则的最大值为______．
8.记等差数列的前项和为，若，则______．
9.的二项展开式中项的系数为______．
10.现有如下个数据：，，，，，，，，，，则这批数据的第百分位数为______．
11.设，已知，若，则的取值范围为______．
12.已知为等腰三角形，且，则 ______．
13.袋中有个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率 ______．
14.已知边长为的菱形中，，、是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是______．
15.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为：，则 ______秒
16.已知空间单位向量，，，，，则的最大值是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，．
求证：平面；
若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知，，且函数的最小正周期为．
求的值；
设，若函数与在上有相同的最大值，求的取值范围．
19.本小题分
某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值同一组数据用该组区间的中点值代替，且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
复赛规则如下：复赛题目由，两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；，两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．
已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由．
附：若，则，，．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线：的距离之比为，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
已知点，，，为曲线的左、右顶点若直线，与曲线的右支分别交于点，．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)求的最大值．
21.本小题分
设定义域为的函数，对于，定义
若，求；
若，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；
若对任意，，其中，均是上的恒正函数证明：对任意成立”的充要条件是“任取，均有且”．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.解：证明：因为，，，
所以四边形为直角梯形，
取中点，连接，则，易知四边形为正方形，
则，，
所以，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面．
由可知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量，
则，则，即，
令，，故．
由可知平面，
所以是平面的一个法向量，记作，
记平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18.解：由题意
，
由题意，可得；
由，可得，
当时，函数取得最大值，即，
而函数与存在相同的最大值，
故当时，函数在内取得最大值，
因此可得，
当时，可得，则有，解得；
当时，可得，则有，解得．
当时，，此时，，
当时，，此时，．
综上所述，的取值范围为．
19.解：由频率分布直方图可知，
样本中的名学生预赛成绩的平均值为，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以小明有资格参加复赛；
若学生甲先答类问题，设他的得分为随机变量，则的可能取值有，，，
，，，
所以随机变量的分布列为：


则，
若学生甲先答类问题，设该同学的得分为随机变量，则的可能取值有、、，
，，，
所以随机变量的分布列为：


则，
所以，
因此学生甲应先回答类问题．
20.解：设，
由题意知，
化简得曲线的方程为：；
由题意，，，，
可设直线方程为，其中，
由，
因为在右支上，
所以，
设直线方程为，，
由，
因为在右支上，
所以，
综上，实数的取值范围是；
由可得：，
又，，
所以，
令，，
则
，
当且仅当，时等号成立，
即的最大值是．
21.解：当时，
则有，
将化简得，
解得，
故．
存在，，理由如下：
因为，
代入定义得：，
即，
令，
求导得．
当，即时，存在，，
所以当、时，，
列表如下：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由此是函数的极大值点，时，，
故当且仅当时，是一段闭区间，
解得，又因为，
所以；
特别地，当时，
，
，故仍是一段闭区间，
故．
当时，，
令．
解得，
同理，是函数的极小值点，且取得最小值，
同样时，，
所以当且仅当时，是一段闭区间，
由此得；
综上所述，存在满足条件的，且．
证明：对任意，，
其中、均是上的恒正函数．
必要性：
因为对任意成立，
所以，
即与成对出现在集合中，故．
当时，，
从而，
所以且
充分性：
不妨设，
取满足，
则，即，
而，，
所以，
则，即，与矛盾．
同理可证时也矛盾．
所以对任意，都有．
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