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(共25张PPT)
第3章 圆锥曲线
3.1.1 椭圆的标准方程
高教社数学拓展模块一（修订版）（上册）
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中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一，它位于人民大会堂的西侧．观察上图，国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？
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可以看出，图中的轮廓线是一条优美的封闭曲线，人们称之为椭圆．那么，如何画出一个椭圆呢？
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我们可以通过一个实验来完成．
（1）准备一个画板、一条定长的细绳、两枚图钉和一支笔；
（2）将绳子的两端固定在画板上的F1 和F2两点，并使绳长大于F1到F2的距离；
（3）用笔尖将细绳拉紧，保持笔杆与画板垂直，笔尖在画板上慢慢移动，就画出一个椭圆，如视频所示．
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一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于| F1F2|)的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距．
显然，笔尖（即点M）移动时，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点F1 和F2的距离之和始终等于绳长（常数）．
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1970年4月24日，我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红一号”顺利升空,开创了中国航天史的新纪元，使我国成为全球第五个独立研制并发射人造地球卫星的国家．如图所示,它的预定运行轨道是以半径约为6371km的地球的中心F1为一个焦点的椭圆，近地点A 距离地球441km，远地点B距离地球2368km．那么，如何求出这颗卫星预定运行轨道的椭圆方程呢？
我们知道，通过建立合适的平面直角坐标系，可以求出直线和圆的方程．那么，是否可以建立恰当的平面直角坐标系来求出椭圆的方程呢？
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设椭圆焦距为2c(c>0),则焦点F1 、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0) ．
容易看出，椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形．
因此，以经过椭圆两焦点F1 、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
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又设椭圆上的点M与焦点的距离之和为2a (a>0)，即|MF1|+|MF2|=2a．设点M的坐标为 (x,y)，则有
+ =2a ．
整理并移项得=2a- ，
两边平方得=4a -+ ，
整理得a -=，
两边再平方，整理得a4+c x = a x +a c + a y ，
移项并整理得 (a -c ) x +a y = a (a -c ) ．
由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a -c >0．
令a -c = b 得 (b>0)，则上式可化为并整理得 b x +a y = a b ．
两边同除以a b ，得 + =1 (a>b>0) ．
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方程 + =1 (a>b>0)称为椭圆的标准方程，此时椭圆的焦点F1和F2在x轴上，焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0)．
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类似地，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可以求得椭圆的标准方程为
+ =1 (a>b>0) ．
此时椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)和(0,c).
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焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ________________________
__________________________
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
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（2）由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|=2a，于是有
2a= ．
即a= ．
又因为c=2，所以b =a -c =10-4=6． 由题意可知，椭圆的焦点在y轴上．因此，椭圆的标准方程为 + =1 ．
例1.根据条件,求椭圆的标准方程．
（1）焦点在x轴上，焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10；
（2）焦点为F1(0,-2)和F2(0,2) ，椭圆上一点M的坐标为．
解： （1）由于2c=6，2a=10，故c=3，a=5，从而b =a -c =16.
因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为 + =1 ．
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例2.求“情境与问题”中“东方红一号”卫星预定运行轨道的标准方程．
解:如图所示，建立直角坐标系,设椭圆方程为 + =1，
F1(-c, 0)，A (-a, 0)， B (a, 0)，则有
如图所示，建立直角坐标系，设椭圆方程为 + =1，
F1(-c, 0)，A (-a, 0)， B (a, 0)，则有
解得则b≈7715.6 ．
故卫星预定运行轨道的方程为
+ =1 ．
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例3 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距．
（1） + =1 ；（2）4x +3y =12 ．
于是有 c =a -b =2．
从而 c= ，2c= 2
因此，椭圆的焦点为F1 (, 0)、F2(-, 0)，焦距2
解:（1）因为6>4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a =6，b =4．
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例3 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距．
（1） + =1 ；（2）4x +3y =12 ．
解:（2）将椭圆的方程化成标准方程为 + =1．
于是有
c =a -b =4-3=1．
从而 c=1，2c= 2
因此，椭圆的焦点为F1 (0,-1)、F2(0,1)
因为4>3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a =4，b =3．
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要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上．
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例4. 若椭圆 + =1上一点P到焦点F1的距离等于6,求|PF1|，求P到另一个焦点F2的距离|PF2|．
解:由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a(a>0)，其中|PF1|=6 ．
又由椭圆的标准方程知，a =100，a=10．于是有
6+|PF2|=2a=20，
即 |PF2|=14．
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1.根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).
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1.根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).
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3.已知椭圆的方程,求其焦点坐标和焦距.
（1） （2）
解: （1）因为6>4,所以椭圆的焦点在x轴上,并且a =6,b =4.
于是有
从而c=2c= .
因此椭圆的焦点为，焦距为
（2）将椭圆的方程化成标准方程
因为4>3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且
于是有，
从而椭圆的焦点为，焦距为2.
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练习3.1.1；习题3.1-A组1,5题
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