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(共23张PPT)
第3章 圆锥曲线
3.2.1 双曲线的标准方程
高教社数学拓展模块一（修订版）（上册）
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C
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广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑，广州塔的两侧轮廓线是什么曲线？有什么特点？
可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．
那么，如何画出双曲线呢？
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我们通过一个实验来完成．
（1）取一条拉链，把它拉开分成两条，将其中一条剪短．把长的一条的端点固定在点F1 处，短的一条的端点固定在点F2处；
（2）将笔尖放在拉链锁扣M 处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖 就画出一条曲线(图中右边的曲线)；
（3）再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处．类似地，笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线)．
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一般地，把平面内与两个定点F1 、 F2 的距离之差的绝对值为常数(小于| F1F2 | )的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距．
拉链是不可伸缩的，笔尖(即点M )在移动过程中，与两个点F1 、 F2 的距离之差的绝对值始终保特不变．
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我们利用椭圆的对称性建立了平面直角坐标系，并推导了椭圆的标准方程．对于双曲线，如何建立适当的坐标系求它的方程呢？
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以经过双曲线两焦点F1 、 F2的直线为x轴，以线段F1 F2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
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设M(x，y)为双曲线上的任一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，则焦点F1 、 F2的坐标分别为(-c，0)、(c，0) ．
又设双曲线上的点M与焦点F1 、 F2的距离之差的绝对值为2a(a>0)，即|M F1 |-|M F2 |=2a，则有|M F1 |-|M F2 |=±2a.
于是有- =±2a ．
移项得 =±2a ，
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两边平方得= ± +4a
整理得 -a =，
两边再平方，整理得a4+c x = a x +a c + a y ，
由双曲线定义可知，2c>2a>0，即c>a>0，因此c -a >0．
令c -a = b 得 (b>0)，则上式可化为b x -a y = a b ．
两边同除以a b ，得 - =1 (a>0，b>0) ．
移项并整理得(c -a ) x -a y =a c -a ) ．
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方程 - =1 (a>0，b>0)称为双曲线的标准方程，此时双曲线的焦点．在x轴上，焦点坐标分别为(-c，0)、(c，0) ．
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如图，以过双曲线两焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系．类似地，可以求得双曲线的标准方程为
- =1 (a>0，b>0) ．
此时双曲线的焦点F1和F2的坐标分别为(0，-c)、(0，c)．
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例1.根据条件，求双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6；
（2）焦点为F1(0，-6)和F2(0，6)，双曲线上一点M的坐标为(2，-5) ．
解：（1）因为2c=14，2a=6，即c=7，a=3，所以b =a -c =40 ．
由于双曲线的焦点在x 轴上，故双曲线的标准方程为
- =1．
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例1.根据条件，求双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6；
（2）焦点为F1(0，-6)和F2(0，6)，双曲线上一点M的坐标为(2，-5) ．
解：（2）由双曲线的定义知，||MF1|-|MF2||=2a，即
2a=
化简得2a=4，即a=2．
又因为c=6，所以b = c -a =36-20=16.
由题设可知，双曲线的焦点在y轴上．因此，双曲线的标准方程为
- =1 ．
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例2.已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距．
（1） - =1 ；（2） x -y =-8．
解:（1）因为含x项的系数为正数，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a =32，b =4 ．于是有
c =a +b =32+4=36，
从而可得 c=6，2c=12 ．
所以，双曲线的交点坐标分别为(-6，0)、(6，0)，焦距为12 ．
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例2.已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距．
（1） - =1 ；（2） x -y =-8．
解:（2）将双曲线的方程化为标准方程，为
- =1
因为含y的项的系数为正数，所以双曲线的焦点在y轴上，并且a =8，b =8 ．于是有 c =a +b =16，
从而可得 c=4，2c=8 ．
所以，双曲线的交点坐标分别为(0，-4)、(0，4)，焦距为8 ．
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温馨提示
要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上．
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练习3.2.1；习题3.2-A组1,5题
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