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第3章 圆锥曲线
3.3.1 抛物线的标准方程
高教社数学拓展模块一（修订版）（上册）
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C
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平南三桥位于广西壮族自治区，是2020 年建成的世界上最大的跨径拱桥，多项技术填补了世界拱桥空白，成为“中国桥梁”建造的新名片．观察下图，桥拱的轮廓线是什么图形？有什么特点？
可以看出，拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线，人们称之为抛物线．
那么，如何画出抛物线呢？
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（2）取一条拉链，把它的一端固定在三角板的顶点C处，另一 端固定在画板上的点F处；
（3）将笔尖(点 M)放在拉链锁扣处保持锁扣与C端的拉链部分始终在 CA 上，让三角板靠紧直尺并沿直尺边缘滑动，笔尖随之移动，就画出了一段曲线；
（4）当直角三角板的边 AC 经过点下时，向下翻转三角板．保持锁扣与C端的拉链部分始终在 CA 上，让三角板靠紧直尺继续沿直尺边缘滑动，笔尖又画出一段曲线．
（1）将一把直尺固定在画板上，再取一个直角三角板，紧靠直尺 的一边 l 放置：
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一般地，把平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线．
显然，笔尖(即点M )始终保持到定点 F 的距离与到直尺边 l 的距离相等(|MF|=|MC|) ．
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我们从椭圆和双曲线的定义出发，通过建立合适的平面直角坐标系，分别求出了椭圆和双曲线的方程．那么，如何从抛物线的定义出发，建立恰当的平面直角坐标系来求出抛物线的方程呢？
+ =1 (a>b>0)
- =1 (a>0，b>0)
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取过焦点 F且垂直于准线l 的直线为x轴；记x轴与准线l 的交点为 E，以线段 EF的垂直平分线为y轴，如图所示．设焦点到准线的距离为 p(p>0)，即|EF|=p，则焦点F的坐标为 准线 l 的方程为x=- ．
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设M(x，y)为抛物线上的任意一点，点M到l的距离为|MN|，则有 |MF|=|MN| ．
于是，可得 = ．
方程y =2px(p>0)称为抛物线的标准方程．
将上式两边平方得
= ．
展开并整理得 y =2px(p>0)．
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类似地，通过建立不同的平面直角坐标系，可以得到抛物线其他三种形式的标准方程：y =-2px， x =2py， x =-2py．它们的焦点坐标、准线方程及图形归纳见表：
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例1.根据条件，求抛物线的标准方程．
（1）焦点为F(0，-3)；
（2）准线方程为x=1；
（3）焦点在y轴的正半轴上，并且p=3．
解 （1）由于焦点在y轴的负半轴上，故抛物线有形如x =-2py的标准方程．因为=-3，所以p=6，从而抛物线的标准方程为x =-12y；
（2）由准线方程为x=1可知，焦点在x轴的负半轴上，故抛物线有形如y =-2px的标准方程. 因为 =1，所以p=2，从而抛物线的标准方程为y =-4x；
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例1.根据条件，求抛物线的标准方程．
（1）焦点为F(0，-3)；
（2）准线方程为x=1；
（3）焦点在y轴的正半轴上，并且p=3．
（3）由于焦点在y轴的正半轴上，故抛物线有形如x =2py的标准方程．因为p=3，所以抛物线的标准方程为x =6y．
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例2. 求下列抛物线的交点坐标和准线方程．
（1）y =8x；（2）x +4y=0．
解 （1）由抛物线标准方程可知，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，并且2p=8，因此p=4， =2．于是抛物线的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x=-2；
（2）将抛物线的方程化为标准方程，为x2=-4y． 容易看出，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，并且-2p=-4，因此p=2， =1．于是抛物线的焦点坐标为(0，-1)，准线方程为y=1 ．
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判断抛物线的焦点在哪个坐标轴上是解决有关抛物线问题的关键，为此可将抛物线方程化为标准方程，观察标准方程中的一次项，如果一次项含变量x，并且系数为正(或为负)，则焦点在x轴的正半轴(或负半轴)上；如果一次项含变量，并且系数为正(或为负)，则焦点在y轴的正半轴(或负半轴)上．
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1.根据条件，求抛物线的标准方程．
（1）焦点为F(0，2)； （2）焦点是为F(-2，0) ；
（3）准线方程为y=1；（4）准线方程为x= ．
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1.根据条件，求抛物线的标准方程．
（1）焦点为F(0，2)； （2）焦点是为F(-2，0) ；
（3）准线方程为y=1； （4）准线方程为x= ．、
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练习3.3.1；习题3.3-1,3题
再见

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