资源简介

(共36张PPT)
8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行

[学习目标]　
1.会判断空间两直线的位置关系.　
2.能用基本事实4与等角定理解决一些简单的相关问题.
文字语言 平行于同一条直线的两条直线________
图形语言

符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c ________
作用 证明两条直线平行
平行　
a∥c

微提醒:基本事实4表明了平行的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据,同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法.
　如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
[分析]　由中点联系到中位线的性质,然后用平行直线的传递性解题.
例1
[证明]　(1)因为在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG=AC,
所以EF∥HG,EF=HG,
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)如果AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形.
[分析]　由中点联系到中位线的性质,然后用平行直线的传递性解题.
[证明] (2)因为在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,所以EH∥BD,EH=BD.
因为EF=AC,AC=BD,所以EH=EF.
又因为EFGH是平行四边形,所以四边形EFGH是菱形.

证明两直线平行的常用方法
1.利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与第三边.
2.定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点.
3.利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
思维提升
1.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:四边形MNA1C1是梯形.
跟踪训练
证明:如图,连接AC,在△ACD中,
∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
∴MN∥AC,且MN=AC.
∵AA1=CC1,且AA1∥CC1,
∴四边形AA1C1C是平行四边形,
∴AC∥A1C1,且AC=A1C1.∴MN∥A1C1,
且MN=A1C1,
即MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
1．定理
相等或互补
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言

作用 判断或证明两个角相等或互补
2.推论
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
　如图所示,在正方体ABCD -A'B'C'D'中,已知E,E'分别是正方体ABCD -A'B'C'D'的棱AD,A'D'的中点.求证:∠BEC=∠B'E'C'.
[分析]　用等角定理证明空间中的两个角相等,只需证明角的两边所在直线对应平行,且角的两边方向相同即可.
例2
[证明]　 如图所示,连接EE'.
因为E,E'分别是AD,A'D'的中点,
所以AE∥A'E',且AE=A'E',
所以四边形AEE'A'是平行四边形,
所以AA'∥EE',且AA'=EE'.
又因为AA'∥BB',且AA'=BB',所以EE'∥BB',且EE'=BB',
所以四边形BEE'B'是平行四边形,
所以BE∥B'E'.
同理可证CE∥C'E'.
又∠BEC与∠B'E'C'的两边方向相同,
所以∠BEC=∠B'E'C'.

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.注意观察两角的方向是否相同,若都相同或都相反,则两角相等;若一条相同,一条相反,则两角互补.
思维提升
2.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:

(1)GB∥D1F;
跟踪训练
证明:(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,F,G分别是棱BB1,DD1的中点,
所以D1G=BF,且D1G∥BF,所以四边形D1GBF是平行四边形,所以GB∥D1F.
(2)∠BGC=∠FD1E.
证明: (2)因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是棱CC1,DD1的中点,
所以D1G=CE,D1G∥CE,所以四边形D1GCE是平行四边形,所以GC∥ED1,由(1)知:GB∥D1F,
由图形可知:∠BGC,∠FD1E均为锐角,所以∠BGC=∠FD1E.
　如图,四边形ABCD和四边形ABEF都是梯形,且BC∥AD,BE∥FA且BC=AD,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)求证:四边形BCHG是平行四边形.
[分析]　(1)结合三角形中位线性质可证得
GH∥BC且GH=BC,由此可得结论;
例3
[证明]　(1)∵G,H分别为FA,FD的中点,
∴GH∥AD,GH=AD,
又BC∥AD,BC=AD,
∴GH∥BC,GH=BC,
∴四边形BCHG是平行四边形.
(2)求证:C,D,F,E四点是否共面 为什么
[分析]　(2)由BE∥FG,BE=FG可证得四边形BEFG为平行四边形,结合(1)的结论可得CH∥EF,CH=EF,由此可知四边形CEFH为平行四边形,得到CE∥FD,由此可得四点共面.
[证明]　(2)∵BE∥FA,BE=FA,G为FA中点,
∴BE∥FG,BE=FG,
∴四边形BEFG为平行四边形,
∴EF∥BG,EF=BG,
由(1)知:CH∥BG,CH=BG,
∴CH∥EF,CH=EF,
∴四边形CEFH为平行四边形,
∴CE∥FH,
即CE∥FD,
∴C,D,E,F四点共面.


根据两平行直线确定一个平面,可以证明共面问题,其实质是证明直线平行.
思维提升
3.如图,在三棱柱ABC -A1B1C1中,G,H分别是A1B1,A1C1的中点.求证:B,C,H,G四点共面.
跟踪训练
证明:由G,H分别是A1B1,A1C1的中点可知,
GH是△A1B1C1中边B1C1的中位线,所以GH∥B1C1;
在三棱柱ABC -A1B1C1中,BC∥B1C1,
由平行性质的传递性可得BC∥GH;
所以B,C,H,G四点共面.
〈课堂达标〉
1.已知直线a,b,c,d,a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的位置关系是(　　)
A.平行　　　　　　　　 B.相交
C.异面 D.不确定
A
因为a∥b,b∥c,所以a∥c,又c∥d,所以a∥d.
2.如图所示,在长方体木块AC1中,E,F分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
B
EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
3.如图所示,在三棱锥S -MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是(　　)

A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
A
在△MPN中,∵H,G分别为MP,MN的中点,
∴GH∥PN,同理EF∥PN,
∴GH∥EF.
4.如图,在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,底面是梯形,AB∥CD,则所有与∠A1AB相等的角是　　　　　　　　　　　　　　　.
∠D1DC,∠D1C1C,∠A1B1B
因为在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,AA1∥DD1,
AB∥CD,所以∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1,D1DCC1为平行四边形,
所以∠A1AB与∠A1B1B,∠D1C1C也相等.
结束(共33张PPT)
8.5　空间直线、平面的平行
8．5.2　直线与平面平行

[学习目标]　
1.掌握直线与平面平行的判定定理,并能初步应用定理解决问题.　
2.掌握直线与平面平行的性质定理,明确由线面平行可推出线线平行.
外　
内　
平行
微提醒：
1．定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可．
2．实质是线线平行 线面平行．
　如图,在斜三棱柱ABC -A1B1C1中,D,E分别是AB,B1C的中点.
求证:DE∥平面ACC1A1.
[分析]　利用直线与平面平行的判定定理,只需要在平面内找到与已知直线平行的直线.
例1
[证明]　法一:如图①,连接BC1,AC1,
因为ABC书馆-A1B1C1是斜三棱柱,所以四边形BCC1B1为平行四边形,
由平行四边形性质得E也是BC1的中点.
因为D是AB的中点,
所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1,AC1 平面ACC1A1,
所以DE∥平面ACC1A1.
法二:如图②,连接A1C,AC1交于点O,连接OE,
则O是A1C的中点.又E是B1C的中点,
所以OE∥A1B1,OE=A1B1,又AD∥A1B1,AD=A1B1,
所以OE∥AD,且OE=AD,所以四边形ADEO是平行四边形,所以AO∥DE,
因为AO 平面ACC1A1,DE 平面ACC1A1,所以DE∥平面ACC1A1.
1.用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下:

2.在平面内找一条直线与已知直线平行时,常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.
思维提升
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.
跟踪训练
证明:法一:如图①,作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,
则EF 平面AA1B1B,且,.
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,B1C=BD,∴B1M=NB,
∴.又AD=BC,
∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF,
∴四边形MEFN为平行四边形,∴MN∥EF.
∵MN 平面AA1B1B,EF 平面AA1B1B,
∴MN∥平面AA1B1B.
法二:如图②,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,则B1P 平面AA1B1B.
∵△NDC∽△NBP,
∴.
又CM=DN,B1C=BD,
∴,∴MN∥B1P.
∵MN 平面AA1B1B,B1P 平面AA1B1B,
∴MN∥平面AA1B1B.
平行
微提醒:
1.定理中的三个条件“a∥α,α∩β=b,a β ”缺一不可.
2.实质是线面平行 线线平行.
　 如图所示,在四面体ABCD中,用平行于棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形.

[分析]　利用线面平行的性质得到线线平行.
例2
[证明]　因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,
且AB 平面ABC,所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理AB∥PQ,
所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
利用线面平行的性质定理解题的步骤
思维提升
2.一正四面体木块如图所示,点P是棱VA的中点,

(1)过点P将木块锯开,使截面平行于棱VB和AC,在木块的表面应该怎样画线
跟踪训练
解:(1)取VC的中点D,BC的中点E,AB的中点F,
分别连接PD,PF,EF,DE,
则PD,PF,EF,DE即为在木块表面应画的线.
(2)在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系
解:(2)在平面ABC中的画线EF与棱AC平行,证明如下:
因为PF∥DE,所以P,D,E,F四点共面,且AC∥平面PDEF,
因为平面ABC∩平面PDEF=EF,
所以AC∥EF.
　四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.
[分析]　由已知,GH是平面PAHG与平面BDM的交线,由线面平行的性质定理,要证AP∥GH,只需证明AP∥平面BDM.
例3
[证明]　如图,连接AC交BD于点O,连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴AP∥OM.
又∵OM 平面BDM,AP 平面BDM,∴AP∥平面BDM.
∵平面PAHG∩平面BDM=GH,AP 平面PAHG,∴AP∥GH.
在证明线线平行时,有时先利用线面平行的判定定理证明线面平行,然后在利用性质定理证明线线平行.
思维提升
3.如图所示,在直三棱柱ABC -A1B1C1中,点D,E分别为棱A1C1,B1C1的中点,点F是线段BB1上的点(不包括两个端点).设平面DEF与平面ABC相交于直线m,求证:m∥A1B1.
跟踪训练
证明:因为点D,E分别为棱A1C1,B1C1的中点,则DE∥A1B1,
在三棱柱ABC -A1B1C1中,四边形AA1B1B为平行四边形,
所以,A1B1∥AB,则DE∥AB,
因为DE 平面ABC,AB 平面ABC,所以,DE∥平面ABC,
因为DE 平面DEF,平面DEF∩平面ABC=m,所以,m∥DE,
故m∥A1B1.
〈课堂达标〉
1.下列命题正确的是(　　)
A.如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行
B.过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行
C.如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行
D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线,则该直线与平面平行
B
不在平面内的直线还可以与平面相交,故A错误;一条直线与平面平行,那么这条直线与平面内的直线平行或异面,故C错误;直线也可能在平面内,故D错误.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(　　)

A.MN∥PD　　　　　　　　 B.MN∥PA
C.MN∥AD D.以上均有可能
B
MN∥平面PAD,平面PAD∩平面PAC=PA且MN 平面PAC,故MN∥PA.
3.如图所示,在正方体ABCD -A'B'C'D'中,E,F分别为四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　)

A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行.
4.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是　　　　　　　　　.
平行或异面
由AB∥CD,AB 平面α,CD 平面α,得CD∥α,所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.
感谢聆听(共35张PPT)
8.5　空间直线、平面的平行
8.5.3　平面与平面平行

[学习目标]　
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.　
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.
相交
平行
　如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,AD,C1D1的中点.求证:平面D1EF∥平面BDG.

[分析]　根据线线平行求证线面平行,进而可证面面平行.
例1
[解]　∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD.
又EF 平面BDG,BD 平面BDG,∴EF∥平面BDG.
∵D1G∥DC,D1G=DC,且EB∥DC,EB=DC,
∴D1G∥EB,D1G=EB,故四边形D1GBE为平行四边形,进而D1E∥GB.
又D1E 平面BDG,GB 平面BDG,∴D1E∥平面BDG,EF∩D1E=E,EF,D1E 平面D1EF,
故平面D1EF∥平面BDG.
1.证明面面平行的方法:
(1)定义法;
(2)面面平行的判定定理;
(3)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.
2.根据面面平行的判定定理,要证明面面平行需证明线面平行,要证明线面平行,需证明线线平行,因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题.
思维提升
1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.
跟踪训练
证明:∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
∴MQ∥AD,NQ∥BP.
又∵BP 平面PBC,NQ 平面PBC,
∴NQ∥平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC∥AD,
∴MQ∥BC.
又∵BC 平面PBC,MQ 平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.
又∵MQ∩NQ=Q,
∴平面MNQ∥平面PBC.
平行
　如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接PM,N是PM与DE的交点,连接CM,NF,求证:NF∥CM.
例2
[证明]　因为D,E分别是PA,PB的中点,
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC,AB 平面ABC,
所以DE∥平面ABC,
同理DF∥平面ABC,且DE∩DF=D,DE,DF 平面DEF,
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF,
平面PCM∩平面ABC=CM,
所以NF∥CM.
利用平面与平面平行的性质定理
判断两直线平行的基本步骤
思维提升
2.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,过点B,E,D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证:四边形BFD1E为平行四边形;
跟踪训练
(1)证明:在正方体ABCD -A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,
且平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE,平面BFD1E∩平面DCC1D1=FD1,
由面面平行的性质定理知BE∥FD1,同理BF∥D1E,
所以四边形BFD1E为平行四边形.
(2)试确定点F的位置.
(2)解:由(1)知,四边形BFD1E为平行四边形,所以FB=ED1,因为CB=A1D1,∠BCF=∠D1A1E=90°,所以△BCF≌△D1A1E,
所以CF=EA1,因为E是AA1的中点,
所以F是CC1的中点.
　如图,在三棱柱ABC -A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.

(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;
例3
[证明]　(1)∵E,F分别为B1C1,A1B1的中点,∴EF∥A1C1.
∵A1C1 平面A1C1G,EF 平面A1C1G,∴EF∥平面A1C1G.
又F,G分别为A1B1,AB的中点,∴A1F=BG.
又A1F∥BG,∴四边形A1GBF为平行四边形,则BF∥A1G.
∵A1G 平面A1C1G,BF 平面A1C1G,∴BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF=F,EF,BF 平面BEF,∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.
[证明]　(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,
平面A1C1G与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线,交BC于点H,
则A1C1∥GH,得GH∥AC,
∵G为AB的中点,∴H为BC的中点.
三种平行关系的相互转化
线线平行、线面平行、面面平行可以进行相互转化,相互间的转化关系如图:
思维提升
3.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点,求证:

(1)MN∥平面CC1D1D;
跟踪训练
证明:(1)连接AC,CD1(图略),
因为ABCD是正方形,N是BD的中点,
所以N是AC的中点,
又因为M是AD1的中点,
所以MN∥CD1,
因为MN 平面CC1D1D,CD1 平面CC1D1D,
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
证明:(2)连接BC1,C1D(图略),
因为B1BCC1是正方形,P是B1C的中点,
所以P是BC1的中点,
又因为N是BD的中点,
所以PN∥C1D,
因为PN 平面CC1D1D,C1D 平面CC1D1D,
所以PN∥平面CC1D1D,
由(1)得MN∥平面CC1D1D,且MN∩PN=N,MN,PN 平面MNP,
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
4.如图,在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N为CC1的中点.

(1)求证:BD1∥平面MAC;
证明:(1)连接BD,交AC于O,连接MO,
∵在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,ABCD为平行四
边形,∴O为BD中点,
∵M为DD1的中点,∴MO∥BD1.
∵MO 平面MAC,BD1 平面MAC,∴BD1∥平面MAC.
(2)求证:平面NBD1∥平面MAC.
证明: (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,CC1∥DD1,CC1=DD1,
∵M为DD1的中点,N为CC1的中点,∴CN∥MD1,CN=MD1,
∴NCMD1为平行四边形,从而MC∥D1N,
∵MC 平面MAC,D1N 平面MAC,∴D1N∥平面MAC,
由(1)可知:BD1∥平面MAC,
∵D1N 平面NBD1,BD1 平面NBD1,且BD1∩D1N=D1,
∴平面NBD1∥平面MAC.
〈课堂达标〉
1.已知直线m,n,平面α,β,若α∥β,m α,n β,则直线m与n的关系是(　　)
A.平行　　　　　　　　　 B.异面
C.相交 D.平行或异面
D
∵α∥β,∴α与β无公共点,又m α,n β,∴m与n无公共点,∴m与n平行或异面.
2.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则AC∥BD的充要条件是(　　)
A.AB∥CD B.AD∥CB
C.AB与CD相交 D.A,B,C,D四点共面
D
充分性:A,B,C,D四点共面,由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.
3.平面α内两条直线m,n都平行于平面β,则α与β的关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.重合 D.不确定
D
若直线m与直线n为相交直线,根据平面与平面平行的判定定理可得α∥β,
若m∥n,如图:可能α∥β,也可能α与β相交.
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