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第4节　势　能
(分值：100分)
选择题1～6题，每小题6分；7～14题，每小题8分，共100分。
对点题组练
题组1　重力做功的特点
1.如图所示，质量关系为m1＞m2＞m3的三个小球分别沿三条不同的轨道1、2、3由离地高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、3是光滑的，轨道2是粗糙的，重力对小球做功分别为W1、W2、W3，则下列判断正确的是(　　)
W1＞W2＝W3 W1＝W3＞W2
W1＝W2＝W3 W1＞W2＞W3
2.如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达处的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(重力加速度为g)(　　)
mgh 0
题组2　重力势能
3.关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)
物体的重力势能的大小只跟它的质量有关
物体放在地面时，它的重力势能就为零
一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了
重力势能的变化量跟重力对物体做的功无关
4.甲、乙两个物体质量之比为1∶2，离地面高度之比为4∶1，选地面为零重力势能的位置，则甲与乙的重力势能之比是(　　)
1∶2 2∶1
1∶4 4∶1
5.(2024·四川高一成都七中校考期末)如图所示，质量分别为M、m的两个小球静置于高低不同的两个平台上，a、b、c分别为不同高度的零势能面，下列说法正确的是(　　)
若以c为零势能面，M的重力势能大
若以b为零势能面，M的重力势能大
若以a为零势能面，M的重力势能大
无论如何选择零势能面，总是M的重力势能大
6.关于重力做功和重力势能的变化，下列叙述正确的是(　　)
做竖直上抛运动的物体，在上升阶段，重力做负功，重力势能减少
做竖直下抛运动的物体，重力做负功，重力势能增加
做平抛运动的物体，重力势能在不断减少，但始终大于零
只要物体高度降低了，重力势能一定减少
题组3　弹性势能
7.(多选)关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)
弹簧的弹性势能与其被拉伸(或压缩)的长度有关
弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数有关
同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
弹性势能的大小与使弹簧发生形变的物体有关
8.如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端与一水平轻质弹簧连接，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态。当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是(弹簧始终在弹性限度内)(　　)
弹簧的弹性势能先减小后增大
弹簧的弹性势能先增大后减小
弹簧的弹性势能逐渐减小
弹簧的弹性势能逐渐增大
综合提升练
9.(2024·四川成都高一统考期末)下列关于功和能的说法错误的是(　　)
－10 J的功比5 J的功少
重力势能是地球与物体所组成的系统共有的
在弹性限度内，同一根弹簧被拉伸的长度越长，具有的弹性势能越大
物体从固定的不同斜面下滑相同高度的过程中，重力做的功与斜面粗糙程度无关
10.一个小球从离地面某高度处做自由落体运动，选地面为零势能面，其重力势能Ep随时间t的变化关系图像可能为(　　)
A B
C D
11.质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有的长度悬在桌边缘，如图所示，松手后链条滑离桌面，从开始到链条刚好滑离桌面过程中链条的重力所做的功为(重力加速度为g)(　　)
mgL mgL
mgL mgL
12.(2024·四川乐山高一统考开学考试)如图所示，小明在玩蹦床游戏。当他从接触床面到运动至最低点的过程中，下列说法中不正确的是(　　)
小明的重力势能一直减小
蹦床的弹性势能一直增大
小明在最低点时的动能为零
小明受到蹦床的弹力是由于自身发生形变产生的
13.如图所示，解放军战士正从悬停在离地10 m高处的直升机上沿绳竖直速降，质量为70 kg的战士握住绳子下降时对绳子的作用力为630 N，则由静止开始到下降到地面的过程中(g＝10 m/s2)(　　)
该解放军战士重力势能减少了700 J
绳子对该解放军战士做功6 300 J
该解放军战士动能增加了700 J
合力对该解放军战士做功6 300 J
培优加强练
14.如图所示，质量相等的两木块中间连有一竖直弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面。开始时木块A静止在弹簧上面。设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2的大小关系及弹性势能的变化量ΔEp，下列说法中正确的是(　　)
Ep1＝Ep2 Ep1>Ep2
ΔEp>0 ΔEp<0
第4节　势　能
1.D　[重力做功W＝mgh，h相等，由于m1＞m2＞m3，所以W1＞W2＞W3，故D正确。]
2.B　[法一　分段法
小球由A→B，重力做正功W1＝mgh
小球由B→C，重力做功为0
小球由C→D，重力做负功W2＝－mg·
故小球由A→D全过程中重力做功
WG＝W1＋W2＝mg＝mgh，B正确。
法二　全过程法
全过程高度差为h1－h2＝h，故WG＝mgh，B正确。]
3.C　[物体重力势能的大小与物体的质量和高度都有关，故A错误；物体重力势能的大小与零势能面的选取有关，如果不选地面为零势能面，即使物体在地面上，物体的重力势能也不为零，故B错误；重力势能是标量，其负值表示所处位置低于零势面，一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，物体向上运动，重力做负功，重力势能增加，故C正确；重力势能的减少量等于重力对物体做的功，故D错误。]
4.B　[选地面为零重力势能的位置，则甲与乙的重力势能为Ep＝mgh，故其比值为＝×＝，故B正确。]
5.B　[若以c为零势能面，M、m的重力势能分别为EpM＝MghM，Epm＝mghm，hM>hm，但由于两个物体的质量关系未知，所以不能比较重力势能的大小关系，故A错误；若以b为零势能面，M的重力势能为零，m的重力势能为负值，所以M的重力势能大，故B正确；若以a为零势能面，M、m的重力势能分别为EpM＝－MghM′，Epm＝－mghm′，两个物体相对a所在水平面的高度满足hM′6.D　[做竖直上抛运动的物体，在上升阶段，重力做负功，重力势能增加，故A错误；做竖直下抛运动的物体，重力做正功，重力势能减少，故B错误；做平抛运动的物体，物体高度始终降低，重力势能在不断减少，但其值和所选的零势能面有关，不一定始终大于零，故C错误；只要物体高度降低了，重力势能一定减少，故D正确。]
7.ABC　[理解弹性势能时要明确研究对象是发生弹性形变的弹簧，而不是使之发生形变的物体，弹簧弹性势能的大小跟形变量有关，同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能也越大；弹簧的弹性势能还与劲度系数有关，当形变量相同时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故A、B、C正确，D错误。]
8.A　[由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去F后，物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大，故A正确。]
9.A　[功的正负只代表是动力功还是阻力功，不代表大小，则－10 J阻力功比5 J的动力功多，选项A错误；重力势能是地球与物体所组成的系统共有的，选项B正确；在弹性限度内，同一根弹簧被拉伸的长度越长，具有的弹性势能越大，选项C正确；物体从固定的不同斜面下滑相同高度的过程中，重力做的功与斜面粗糙程度无关，只与初末位置有关，选项D正确。]
10.A　[设小球初始高度为h0，则Ep＝mg(h0－gt2)，所以Ep－t图像应是开口向下的抛物线，故A正确。]
11.C　[设桌面为零势能面，开始时链条的重力势能为Ep1＝－mg·L＝－mgL，当链条刚脱离桌面时的重力势能Ep2＝－mg·L＝－mgL，根据重力做功与重力势能变化量的关系可得WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2＝mgL，故C正确。]
12.D　[从接触床面到运动至最低点的过程中，高度减小，小明的重力势能一直减小，A正确；弹簧的形变量一直在增大，所以蹦床的弹性势能一直增大，B正确；小明运动到最低点时不能再向下运动了，说明速度等于零，则小明此时的动能为零，C正确；小明受到蹦床的弹力是由于蹦床发生形变产生的，D错误。]
13.C　[解放军战士从h＝10 m高处下降到地面，其重力势能减少了ΔEp＝mgh＝70×10×10 J＝7 000 J，A错误；绳子对解放军战士的作用力向上，与运动方向相反，因此绳子对战士做负功，W绳＝－630×10 J＝－6 300 J，B错误；由动能定理可知mgh－Fh＝ΔEk，ΔEk＝70×10×10 J－630×10 J＝700 J，C正确；解放军战士下降时受到的合力F合＝mg－F＝70×10 N－630 N＝70 N，合力做功W合＝F合h＝70×10 J＝700 J，也可以由动能定理得合力做的功等于动能增加量，W合＝ΔEk＝700 J，D错误。]
14.A　[开始时弹簧形变量为x1，有kx1＝mg，设B刚要离开地面时弹簧形变量为x2，有kx2＝mg，结合题述条件可知x1＝x2，所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，A正确，B、C、D错误。第4节　势 能
学习目标　1.了解重力做功与运动路径无关的特点。2.理解重力势能的概念。
3.掌握重力做功和重力势能的变化关系。4.知道重力势能的相对性。5.定性了解弹性势能的相关因素。
知识点一　重力做功的特点
　如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：
(1)根据功的公式求出甲、乙两种情况下重力做的功；
(2)求出丙中重力做的功；
(3)重力做功有什么特点？
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1.重力做功的表达式
(1)WG＝mgΔh＝________
式中h1、h2分别代表始、末两个位置的高度，Δh为始、末位置的高度差。
(2)物体下降h时重力做正功，WG＝mgh；
物体上升h时重力做负功，WG＝－mgh。
2.重力做功的特点
(1)重力对物体所做的功与物体的运动路径________，仅由物体的________和初、末两个位置的________决定。
(2)重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关。
【思考】
重力做功与物体受到的其他力有关吗？与物体所处的运动状态有关吗？
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例1 在建筑工地上，塔吊先将重1 000 N的建筑材料竖直向上吊起10 m，再沿水平方向移动20 m，如图所示，重力加速度g取10 m/s2。则在此过程中，重力做的功为(　　)
A.1×104 J B.－1×104 J
C.3×104 J D.－3×104 J
听课笔记___________________________________________________________
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训练1 (多选)在空中某点，将三个质量相等的小球以相同的速率v水平抛出、竖直上抛、竖直下抛，则从抛出点到落地点，下列说法中正确的是(　　)
A.重力做功相同
B.重力的平均功率相同
C.竖直下抛小球的重力的平均功率最大
D.落地时重力的瞬时功率相同
知识点二　重力势能
如图所示，幼儿园小朋友们正在玩滑梯：
(1)小朋友从最高点滑落到地面的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？
(2)小朋友从地面爬上滑梯最高点的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？
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1.重力势能
(1)定义：物体由于位于高处而具有的能量叫作重力势能。
(2)表达式：Ep＝________。
(3)单位：与功的单位相同，在国际单位制中是焦耳(J)。1 kg·m·s－2·m＝1 N·m＝1 J。
(4)重力势能Ep＝mgh中h应为物体重心距________平面的高度。参考平面的位置，重力势能为0，故又叫________。
2.重力势能的变化与重力做功的关系
当物体从高h1处运动到高h2处时，有WG＝mgh1－mgh2＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp，即WG＝－ΔEp：
(1)当物体由高处运动到低处时，WG＞0，Ep1＞Ep2，表明重力做正功时，重力势能________，重力势能减少的数量等于重力所做的功。
(2)当物体由低处运动到高处时，WG＜0，Ep1＜Ep2，表明物体克服重力做功(重力做负功)时，重力势能________，重力势能增加的数量等于物体克服重力所做的功。
(3)重力做功和重力势能的变化是绝对的，与路径无关，与零势能面的选取无关。
【思考】
(1)某物体在A点重力势能EpA＝3 J，在B点重力势能EpB＝－5 J，EpA是否大于EpB
(2)为什么说重力势能具有相对性？重力势能的变化与零势能面的选取有关吗？
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例2 (2024·广西百色高一校考期中)如图所示，静止的小球沿三条不同的轨道由同一位置运动到水平桌面上，P点到桌面的高度为h，桌面距地面高为H，小球质量为m，则以下说法正确的是(　　)
A.小球沿竖直轨道运动到桌面上的过程，重力做功最少
B.小球沿不同的轨道由同一位置运动到水平桌面，重力做功一样多
C.小球的重力势能的减少量为mg(H＋h)
D.以桌面为参考平面，在出发点P小球的重力势能为mgH
听课笔记___________________________________________________________
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例3 (2024·绵阳中学高一期中)如图所示，一只可爱的毛毛虫外出觅食缓慢经过一边长为L的等边三角形山丘。已知其身长为3L，总质量为m，重力加速度为g，如图其头部刚到达最高点，假设毛毛虫能一直贴着山丘前行，则从其头部刚到山顶到头部刚到山丘底端的过程中毛毛虫的重力势能变化量为(　　)
A.mgL B.mgL
C.mgL D.mgL
听课笔记__________________________________________________________
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绳子、链条类物体的重力势能
(1)当绳子、链条呈直线状(或水平或竖直或倾斜)放置时，Ep＝mgh中的h表示长度一半位置处的重心相对零势能面的高度。
(2)当绳子、链条不以直线状(如折线状)放置时，应当分段表示重力势能再求和。
知识点三　弹性势能
图甲中的撑竿、图乙中的弓是否具有能量？这种能量与什么性质有关？
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1.弹性势能
(1)定义：物体由于发生________形变而具有的能量叫作弹性势能。
(2)弹性势能是标量，国际单位是焦耳(J)。
2.弹性势能的变化与弹力做功的关系
(1)弹力做正功时，弹性势能减小。
(2)弹力做负功时，弹性势能增大。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。
3.势能是系统所共有的
(1)重力势能是________与受重力作用的物体组成的________所共有的。
(2)弹性势能是________与受弹力作用的物体组成的________所共有的。
【思考】
(1)如图所示，物体在O点时，弹簧处于原长，将物体由O拉至A点，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(2)根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧形变量x关系的F－x图像，如图所示，根据图线与横轴所围的图形的面积推导弹簧弹力所做的功，此时弹簧弹性势能多大？
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例4 宋代诗人苏轼的名句“会挽雕弓如满月，西北望，射天狼”中蕴含了一些物理知识。如图所示，在人将弓拉开的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.人对弓的拉力做正功，弓的弹性势能变大
B.人对弓的拉力做正功，弓的弹性势能变小
C.人对弓的拉力做负功，弓的弹性势能变大
D.人对弓的拉力做负功，弓的弹性势能变小
听课笔记___________________________________________________________
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训练2 (2024·山西太原市高一期末)关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)
A.当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C.长度相同的弹簧具有相同的弹性势能
D.在弹簧被拉伸的长度相同时，劲度系数k越大的弹簧，它的弹性势能越大
随堂对点自测
1.(重力做功特点)某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中质量为m的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B.从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C.从A到B重力做功mg(H＋h)
D.从A到B重力做功mgH
2.(重力势能的理解)如图，桌面距地面的高度为H1，质量为m的小球距地面的高度为H2，重力加速度为g，则(　　)
A.小球的重力势能为mgH2
B.小球的重力势能为mg(H2－H1)
C.若取桌面处为零势能面，则小球的重力势能为mg(H2－H1)
D.若取地面处为零势能面，则小球的重力势能为mgH1
3.(重力做功与重力势能的变化)“负重爬楼”是消防队员的日常训练项目之一。某次“10层负重登顶”比赛中，质量为70 kg的消防员背约30 kg的重物，在50 s内由地面到达10层楼顶，关于这个过程，下列说法正确的是(重力加速度g＝
10 m/s2)(　　)
A.楼梯对消防员的支持力做正功
B.消防员对重物做功约为3 000 J
C.消防员增加的重力势能约为7 000 J
D.消防员克服自身重力做功的平均功率约为420 W
4.(弹性势能的理解)如图所示，一根轻质弹簧左端固定，现使滑块沿光滑水平桌面滑向弹簧，在滑块接触到弹簧直到速度减为零的过程中，弹簧的(　　)
A.弹力越来越大，弹性势能越来越大
B.弹力越来越小，弹性势能越来越小
C.弹力先变小后变大，弹性势能越来越小
D.弹力先变大后变小，弹性势能越来越大
第4节　势　能
知识点一
导学　提示　(1)甲中WG＝mgh＝mgh1－mgh2，乙中WG′＝mglcos θ＝mgh＝mgh1－mgh2。
(2)把整个路径AB分成许多很短的间隔AA1、A1A2……，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看作一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2……，则物体通过每小段斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2……
物体通过整个路径时重力做的功
WG＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋…)＝mgh
＝mgh1－mgh2。
(3)物体运动时，重力对物体做的功只跟物体的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
知识梳理
1.(1)mgh1－mgh2　2.(1)无关　质量　高度差
[思考]
提示　都无关。重力做功只与重力和物体高度的变化有关。
例1 B　[此过程中建筑材料在竖直方向上的位移为10 m，重力做负功，故重力做功为WG＝－Gh＝－1×104 J，B正确。]
训练1 AC　[三种情况下竖直方向上的位移相同，重力做功相等，故A正确；竖直下抛的小球落地所用时间最短，而重力做功相等，所以竖直下抛的小球的重力的平均功率最大，故B错误，C正确；三种情况下，小球落地时的速度大小相同，但速度方向与竖直方向夹角不同，所以重力的瞬时功率不相同，故D错误。]
知识点二
导学　提示　(1)小朋友沿滑梯滑下的过程中重力做正功，重力势能减少。
(2)小朋友从地面爬上滑梯最高点的过程中重力做负功，重力势能增加。
知识梳理
1.(2)mgh　(4)参考　零势能面　2.(1)减少　(2)增加
[思考]
提示　(1)是，重力势能的正负表示比零势能大或小。
(2)重力势能Ep＝mgh，高度h具有相对性，选择的零势能面不同，h不同，所以说重力势能具有相对性。重力势能的变化与重力做功有关，重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关，所以重力势能的变化与零势能面的选取无关。
例2 B　[小球沿不同轨道由同一位置滑到水平桌面，下降的竖直高度都相同，所以重力做功一样多，故A错误，B正确；重力势能的变化量与零势能面的选取无关，重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，所以小球重力势能的减少量为mgh，故C错误；以桌面为参考平面，在出发点P小球的重力势能为mgh，故D错误。]
例3 B　[选山丘底端为零势能面，初状态的重力势能为Ep1＝mg·sin 60°＝mgL，毛毛虫头部越过山顶刚到达山丘底端时的重力势能为Ep2＝mg·sin 60°＝mgL，其重力势能的变化量为ΔEp＝Ep2－Ep1＝mgL，故B正确。]
知识点三
导学　提示　弯曲的撑竿、张开的弓都具有能量，这种能量与弹性形变有关。
知识梳理
1.(1)弹性　3.(1)地球　系统　(2)弹力装置　系统
[思考]
提示　(1)弹力做负功，弹性势能增加。
(2)根据图线与横轴所围的图形的面积推导弹簧弹力所做的功W＝＝kx2，所以Ep＝kx2。
例4 A　[由于人的拉力与弓的形变方向相同，故人对弓做正功；在拉开过程中由于弓的形变量增大，故弹性势能增大，故A正确。]
训练2 D　[当弹簧变长时，它的弹性势能不一定增大，在弹簧处于压缩状态恢复原长的过程中，弹簧变长，弹簧的弹性势能减小，故A错误；若处于压缩状态时，弹簧变短时，弹簧的弹性势能增大，故B错误；由Ep＝kx2可知劲度系数一定的弹簧，形变量相同时，具有相同的弹性势能，故C错误；在弹簧被拉伸的长度相同时，k越大的弹簧，弹性势能越大，故D正确。]
随堂对点自测
1.D　[重力做功与物体的运动路径无关，只与物体初、末位置的高度差有关。从A到B的高度差是H，故从A到B重力做的功是mgH，选项D正确。]
2.C　[描述一个物体的重力势能需要先规定零势能面，物体的重力势能是重力与它到零势能面的竖直高度的乘积，故A、B错误；若取桌面处为零势能面，小球到零势能面的高度为H2－H1，则小球的重力势能为mg(H2－H1)，故C正确；若取地面处为零势能面，则小球的重力势能为mgH2，故D错误。]
3.D　[整个过程中，支持力的作用点没有发生位移，楼梯对消防员的支持力不做功，故A错误；重物重力势能增加ΔEp＝mg·Δh＝30×10×30 J＝9 000 J，则消防员对重物做功约为9 000 J，故B错误；消防员的重力势能增加量ΔEp1＝m1g·Δh＝70×10×30 J＝21 000 J，故C错误；消防员克服自身重力做功等于重力势能增加量，约为21 000 J，则消防员克服自身重力做功的平均功率约为P＝＝ W＝420 W，故D正确。]
4.A　[滑块接触到弹簧直到速度减为零的过程中，弹簧形变量越来越大，根据F＝kx知弹力越来越大，弹簧弹力一直做负功，弹簧的弹性势能越来越大，故A正确。](共50张PPT)
第4节　势 能
第四章 机械能及其守恒定律
1.了解重力做功与运动路径无关的特点。2.理解重力势能的概念。3.掌握重力做功和重力势能的变化关系。4.知道重力势能的相对性。5.定性了解弹性势能的相关因素。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　重力势能
知识点一　重力做功的特点
知识点三　弹性势能
知识点一　重力做功的特点
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：
(1)根据功的公式求出甲、乙两种情况下重力做的功；
(2)求出丙中重力做的功；
(3)重力做功有什么特点？
提示　(1)甲中WG＝mgh＝mgh1－mgh2，乙中WG′＝mglcos θ＝mgh＝mgh1－mgh2。
(2)把整个路径AB分成许多很短的间隔AA1、A1A2……，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看作一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2……，则物体通过每小段斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2……
物体通过整个路径时重力做的功
WG＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋…)＝mgh＝mgh1－mgh2。
(3)物体运动时，重力对物体做的功只跟物体的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
1.重力做功的表达式
(1)WG＝mgΔh＝________________
式中h1、h2分别代表始、末两个位置的高度，Δh为始、末位置的高度差。
(2)物体下降h时重力做正功，WG＝mgh；
物体上升h时重力做负功，WG＝－mgh。
mgh1－mgh2
2.重力做功的特点
(1)重力对物体所做的功与物体的运动路径______，仅由物体的______和初、末两个位置的________决定。
(2)重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关。
无关
质量
高度差
【思考】
重力做功与物体受到的其他力有关吗？与物体所处的运动状态有关吗？
提示　都无关。重力做功只与重力和物体高度的变化有关。
B
例1 在建筑工地上，塔吊先将重1 000 N的建筑材料竖直向上吊起10 m，再沿水平方向移动20 m，如图所示，重力加速度g取10 m/s2。则在此过程中，重力做的功为(　　)
A.1×104 J B.－1×104 J
C.3×104 J D.－3×104 J
解析　此过程中建筑材料在竖直方向上的位移为10 m，重力做负功，故重力做功为WG＝－Gh＝－1×104 J，B正确。
AC
训练1 (多选)在空中某点，将三个质量相等的小球以相同的速率v水平抛出、竖直上抛、竖直下抛，则从抛出点到落地点，下列说法中正确的是(　　)
A.重力做功相同
B.重力的平均功率相同
C.竖直下抛小球的重力的平均功率最大
D.落地时重力的瞬时功率相同
解析　三种情况下竖直方向上的位移相同，重力做功相等，故A正确；竖直下抛的小球落地所用时间最短，而重力做功相等，所以竖直下抛的小球的重力的平均功率最大，故B错误，C正确；三种情况下，小球落地时的速度大小相同，但速度方向与竖直方向夹角不同，所以重力的瞬时功率不相同，故D错误。
知识点二　重力势能
如图所示，幼儿园小朋友们正在玩滑梯：
(1)小朋友从最高点滑落到地面的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？
(2)小朋友从地面爬上滑梯最高点的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？
提示　(1)小朋友沿滑梯滑下的过程中重力做正功，重力势能减少。
(2)小朋友从地面爬上滑梯最高点的过程中重力做负功，重力势能增加。
1.重力势能
(1)定义：物体由于位于高处而具有的能量叫作重力势能。
(2)表达式：Ep＝________。
(3)单位：与功的单位相同，在国际单位制中是焦耳(J)。1 kg·m·s－2·m＝1 N·m＝1 J。
(4)重力势能Ep＝mgh中h应为物体重心距______平面的高度。参考平面的位置，重力势能为0，故又叫__________。
mgh
参考
零势能面
2.重力势能的变化与重力做功的关系
当物体从高h1处运动到高h2处时，有WG＝mgh1－mgh2＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp，即WG＝－ΔEp：
(1)当物体由高处运动到低处时，WG＞0，Ep1＞Ep2，表明重力做正功时，重力势能______，重力势能减少的数量等于重力所做的功。
(2)当物体由低处运动到高处时，WG＜0，Ep1＜Ep2，表明物体克服重力做功(重力做负功)时，重力势能______，重力势能增加的数量等于物体克服重力所做的功。
(3)重力做功和重力势能的变化是绝对的，与路径无关，与零势能面的选取无关。
减少
增加
【思考】
(1)某物体在A点重力势能EpA＝3 J，在B点重力势能EpB＝－5 J，EpA是否大于EpB
(2)为什么说重力势能具有相对性？重力势能的变化与零势能面的选取有关吗？
提示　(1)是，重力势能的正负表示比零势能大或小。
(2)重力势能Ep＝mgh，高度h具有相对性，选择的零势能面不同，h不同，所以说重力势能具有相对性。重力势能的变化与重力做功有关，重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关，所以重力势能的变化与零势能面的选取无关。
B
例2 (2024·广西百色高一校考期中)如图所示，静止的小球沿三条不同的轨道由同一位置运动到水平桌面上，P点到桌面的高度为h，桌面距地面高为H，小球质量为m，则以下说法正确的是(　　)
A.小球沿竖直轨道运动到桌面上的过程，重力做功最少
B.小球沿不同的轨道由同一位置运动到水平桌面，重力做功一样多
C.小球的重力势能的减少量为mg(H＋h)
D.以桌面为参考平面，在出发点P小球的重力势能为mgH
解析　小球沿不同轨道由同一位置滑到水平桌面，下降的竖直高度都相同，所以重力做功一样多，故A错误，B正确；重力势能的变化量与零势能面的选取无关，重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，所以小球重力势能的减少量为mgh，故C错误；以桌面为参考平面，在出发点P小球的重力势能为mgh，故D错误。
B
绳子、链条类物体的重力势能
(1)当绳子、链条呈直线状(或水平或竖直或倾斜)放置时，Ep＝mgh中的h表示长度一半位置处的重心相对零势能面的高度。
(2)当绳子、链条不以直线状(如折线状)放置时，应当分段表示重力势能再求和。
知识点三　弹性势能
图甲中的撑竿、图乙中的弓是否具有能量？这种能量与什么性质有关？
提示　弯曲的撑竿、张开的弓都具有能量，这种能量与弹性形变有关。
1.弹性势能
(1)定义：物体由于发生______形变而具有的能量叫作弹性势能。
(2)弹性势能是标量，国际单位是焦耳(J)。
2.弹性势能的变化与弹力做功的关系
(1)弹力做正功时，弹性势能减小。
(2)弹力做负功时，弹性势能增大。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。
弹性
3.势能是系统所共有的
(1)重力势能是______与受重力作用的物体组成的______所共有的。
(2)弹性势能是__________与受弹力作用的物体组成的______所共有的。
地球
系统
弹力装置
系统
【思考】
(1)如图所示，物体在O点时，弹簧处于原长，将物体由O拉至A点，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(2)根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧形变量x关系的F－x图像，如图所示，根据图线与横轴所围的图形的面积推导弹簧弹力所做的功，此时弹簧弹性势能多大？
A
例4 宋代诗人苏轼的名句“会挽雕弓如满月，西北望，射天狼”中蕴含了一些物理知识。如图所示，在人将弓拉开的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.人对弓的拉力做正功，弓的弹性势能变大
B.人对弓的拉力做正功，弓的弹性势能变小
C.人对弓的拉力做负功，弓的弹性势能变大
D.人对弓的拉力做负功，弓的弹性势能变小
解析　由于人的拉力与弓的形变方向相同，故人对弓做正功；在拉开过程中由于弓的形变量增大，故弹性势能增大，故A正确。
D
训练2 (2024·山西太原市高一期末)关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)
A.当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C.长度相同的弹簧具有相同的弹性势能
D.在弹簧被拉伸的长度相同时，劲度系数k越大的弹簧，它的弹性势能越大
随堂对点自测
2
D
1.(重力做功特点)某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中质量为m的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B.从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C.从A到B重力做功mg(H＋h)
D.从A到B重力做功mgH
解析　重力做功与物体的运动路径无关，只与物体初、末位置的高度差有关。从A到B的高度差是H，故从A到B重力做的功是mgH，选项D正确。
C
2.(重力势能的理解)如图，桌面距地面的高度为H1，质量为m的小球距地面的高度为H2，重力加速度为g，则(　　)
A.小球的重力势能为mgH2
B.小球的重力势能为mg(H2－H1)
C.若取桌面处为零势能面，则小球的重力势能为mg(H2－H1)
D.若取地面处为零势能面，则小球的重力势能为mgH1
解析　描述一个物体的重力势能需要先规定零势能面，物体的重力势能是重力与它到零势能面的竖直高度的乘积，故A、B错误；若取桌面处为零势能面，小球到零势能面的高度为H2－H1，则小球的重力势能为mg(H2－H1)，故C正确；若取地面处为零势能面，则小球的重力势能为mgH2，故D错误。
D
3.(重力做功与重力势能的变化)“负重爬楼”是消防队员的日常训练项目之一。某次“10层负重登顶”比赛中，质量为70 kg的消防员背约30 kg的重物，在50 s内由地面到达10层楼顶，关于这个过程，下列说法正确的是(重力加速度g＝ 10 m/s2)(　　)
A.楼梯对消防员的支持力做正功
B.消防员对重物做功约为3 000 J
C.消防员增加的重力势能约为7 000 J
D.消防员克服自身重力做功的平均功率约为420 W
A
4.(弹性势能的理解)如图所示，一根轻质弹簧左端固定，现使滑块沿光滑水平桌面滑向弹簧，在滑块接触到弹簧直到速度减为零的过程中，弹簧的(　　)
A.弹力越来越大，弹性势能越来越大
B.弹力越来越小，弹性势能越来越小
C.弹力先变小后变大，弹性势能越来越小
D.弹力先变大后变小，弹性势能越来越大
解析　滑块接触到弹簧直到速度减为零的过程中，弹簧形变量越来越大，根据F＝kx知弹力越来越大，弹簧弹力一直做负功，弹簧的弹性势能越来越大，故A正确。
课后巩固训练
3
D
题组1　重力做功的特点
1.如图所示，质量关系为m1＞m2＞m3的三个小球分别沿三条不同的轨道1、2、3由离地高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、3是光滑的，轨道2是粗糙的，重力对小球做功分别为W1、W2、W3，则下列判断正确的是(　　)
A.W1＞W2＝W3 B.W1＝W3＞W2
C.W1＝W2＝W3 D.W1＞W2＞W3
解析　重力做功W＝mgh，h相等，由于m1＞m2＞m3，所以W1＞W2＞W3，故D正确。
对点题组练
B
解析　法一　分段法
小球由A→B，重力做正功W1＝mgh
小球由B→C，重力做功为0
C
题组2　重力势能
3.关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)
A.物体的重力势能的大小只跟它的质量有关
B.物体放在地面时，它的重力势能就为零
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了
D.重力势能的变化量跟重力对物体做的功无关
解析　物体重力势能的大小与物体的质量和高度都有关，故A错误；物体重力势能的大小与零势能面的选取有关，如果不选地面为零势能面，即使物体在地面上，物体的重力势能也不为零，故B错误；重力势能是标量，其负值表示所处位置低于零势面，一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，物体向上运动，重力做负功，重力势能增加，故C正确；重力势能的减少量等于重力对物体做的功，故D错误。
B
4.甲、乙两个物体质量之比为1∶2，离地面高度之比为4∶1，选地面为零重力势能的位置，则甲与乙的重力势能之比是(　　)
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1
B
5.(2024·四川高一成都七中校考期末)如图所示，质量分别为M、m的两个小球静置于高低不同的两个平台上，a、b、c分别为不同高度的零势能面，下列说法正确的是(　　)
A.若以c为零势能面，M的重力势能大
B.若以b为零势能面，M的重力势能大
C.若以a为零势能面，M的重力势能大
D.无论如何选择零势能面，总是M的重力势能大
解析　若以c为零势能面，M、m的重力势能分别为EpM＝MghM，Epm＝mghm，hM>hm，但由于两个物体的质量关系未知，所以不能比较重力势能的大小关系，故A错误；若以b为零势能面，M的重力势能为零，m的重力势能为负值，所以M的重力势能大，故B正确；若以a为零势能面，M、m的重力势能分别为EpM＝－MghM′，Epm＝－mghm′，两个物体相对a所在水平面的高度满足hM′D
6.关于重力做功和重力势能的变化，下列叙述正确的是(　　)
A.做竖直上抛运动的物体，在上升阶段，重力做负功，重力势能减少
B.做竖直下抛运动的物体，重力做负功，重力势能增加
C.做平抛运动的物体，重力势能在不断减少，但始终大于零
D.只要物体高度降低了，重力势能一定减少
解析　做竖直上抛运动的物体，在上升阶段，重力做负功，重力势能增加，故A错误；做竖直下抛运动的物体，重力做正功，重力势能减少，故B错误；做平抛运动的物体，物体高度始终降低，重力势能在不断减少，但其值和所选的零势能面有关，不一定始终大于零，故C错误；只要物体高度降低了，重力势能一定减少，故D正确。
ABC
题组3　弹性势能
7.(多选)关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　 )
A.弹簧的弹性势能与其被拉伸(或压缩)的长度有关
B.弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数有关
C.同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
D.弹性势能的大小与使弹簧发生形变的物体有关
解析　理解弹性势能时要明确研究对象是发生弹性形变的弹簧，而不是使之发生形变的物体，弹簧弹性势能的大小跟形变量有关，同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能也越大；弹簧的弹性势能还与劲度系数有关，当形变量相同时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故A、B、C正确，D错误。
A
8.如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端与一水平轻质弹簧连接，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态。当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是(弹簧始终在弹性限度内)(　　)
A.弹簧的弹性势能先减小后增大
B.弹簧的弹性势能先增大后减小
C.弹簧的弹性势能逐渐减小
D.弹簧的弹性势能逐渐增大
解析　由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去F后，物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大，故A正确。
A
9.(2024·四川成都高一统考期末)下列关于功和能的说法错误的是(　　)
A.－10 J的功比5 J的功少
B.重力势能是地球与物体所组成的系统共有的
C.在弹性限度内，同一根弹簧被拉伸的长度越长，具有的弹性势能越大
D.物体从固定的不同斜面下滑相同高度的过程中，重力做的功与斜面粗糙程度无关
解析　功的正负只代表是动力功还是阻力功，不代表大小，则－10 J阻力功比5 J的动力功多，选项A错误；重力势能是地球与物体所组成的系统共有的，选项B正确；在弹性限度内，同一根弹簧被拉伸的长度越长，具有的弹性势能越大，选项C正确；物体从固定的不同斜面下滑相同高度的过程中，重力做的功与斜面粗糙程度无关，只与初末位置有关，选项D正确。
综合提升练
A
10.一个小球从离地面某高度处做自由落体运动，选地面为零势能面，其重力势能Ep随时间t的变化关系图像可能为(　　)
C
D
12.(2024·四川乐山高一统考开学考试)如图所示，小明在玩蹦床游戏。当他从接触床面到运动至最低点的过程中，下列说法中不正确的是(　　)
A.小明的重力势能一直减小
B.蹦床的弹性势能一直增大
C.小明在最低点时的动能为零
D.小明受到蹦床的弹力是由于自身发生形变产生的
解析　从接触床面到运动至最低点的过程中，高度减小，小明的重力势能一直减小，A正确；弹簧的形变量一直在增大，所以蹦床的弹性势能一直增大，B正确；小明运动到最低点时不能再向下运动了，说明速度等于零，则小明此时的动能为零，C正确；小明受到蹦床的弹力是由于蹦床发生形变产生的，D错误。
C
13.如图所示，解放军战士正从悬停在离地10 m高处的直升机上沿绳竖直速降，质量为70 kg的战士握住绳子下降时对绳子的作用力为630 N，则由静止开始到下降到地面的过程中(g＝10 m/s2)(　　)
A.该解放军战士重力势能减少了700 J
B.绳子对该解放军战士做功6 300 J
C.该解放军战士动能增加了700 J
D.合力对该解放军战士做功6 300 J
解析　解放军战士从h＝10 m高处下降到地面，其重力势能减少了ΔEp＝mgh＝70×10×10 J＝7 000 J，A错误；绳子对解放军战士的作用力向上，与运动方向相反，因此绳子对战士做负功，W绳＝－630×10 J＝－6 300 J，B错误；由动能定理可知mgh－Fh＝ΔEk，ΔEk＝70×10×10 J－630×10 J＝700 J，C正确；解放军战士下降时受到的合力F合＝mg－F＝70×10 N－630 N＝70 N，合力做功W合＝F合h＝70×10 J＝700 J，也可以由动能定理得合力做的功等于动能增加量，W合＝ΔEk＝700 J，D错误。
A
培优加强练
14.如图所示，质量相等的两木块中间连有一竖直弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面。开始时木块A静止在弹簧上面。设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2的大小关系及弹性势能的变化量ΔEp，下列说法中正确的是(　　)
A.Ep1＝Ep2 B.Ep1>Ep2 C.ΔEp>0 D.ΔEp<0
解析　开始时弹簧形变量为x1，有kx1＝mg，设B刚要离开地面时弹簧形变量为x2，有kx2＝mg，结合题述条件可知x1＝x2，所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，A正确，B、C、D错误。

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