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培优提升八　动能定理的应用
(分值：100分)
选择题1～10题，每小题8分，共80分。
对点题组练
题组1　应用动能定理求变力做功
1.如图所示，质量是0.01 kg的子弹，以300 m/s的速度水平射入厚为5 cm的木板，射穿后的速度为100 m/s，子弹在射穿木板过程中所受的平均阻力大小为(　　)
4 000 N 8 000 N
10 000 N 16 000 N
2.(多选)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内(　　)
做匀加速直线运动
加速度逐渐减小
牵引力的功率P＝Fvm
牵引力做功W＝mv－mv
3.如图所示，一个小球质量为m，静止在光滑的轨道上。现以水平力击打小球，使小球能够通过半径为R的竖直光滑轨道的最高点C，重力加速度为g，则水平力对小球所做的功至少为(　　)
mgR 2mgR
2.5mgR 3mgR
题组2　动能定理在直线运动多过程中的应用
4.某同学将篮球从距地面高为h处由静止释放，与地面碰撞后上升的最大高度为。若篮球与地面碰撞无能量损失，空气阻力大小恒定，则空气阻力与重力大小之比为(　　)
1∶5 2∶5
3∶5 4∶5
5.如图所示，小球(可视为质点)以初速度v0从A点沿不光滑的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，则经过A点的速度大小为(重力加速度为g)(　　)
题组3　动能定理在曲线运动多过程中的应用
6.如图所示，质量为0.1 kg的小物块在粗糙水平桌面上以初速度v0滑行4 m后以3.0 m/s的速度飞离桌面，最终落在水平地面上，已知小物块与桌面间的动摩擦因数为0.5，桌面高0.45 m，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则(　　)
小物块的初速度是5 m/s
小物块的水平射程为1.2 m
小物块在桌面上克服摩擦力做8 J的功
小物块落地时的动能为0.9 J
7.如图所示，竖直平面内有一半径为R的固定圆弧轨道与水平轨道相切于B点。一质量为m的小球P(可视为质点)从A点由静止滑下，经过B点后沿水平轨道运动，到C点停下，B、C两点间的距离为R，小球P与圆弧轨道、水平轨道之间的动摩擦因数均为μ。若将小球P从A点正上方高度为R处由静止释放，从A点进入轨道，最终停在水平轨道上D点(图中未标出)，B、D两点间的距离为s，下列关系正确的是(　　)
s＞R s＝R
s＜R s＝2R
8.如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC水平，其长度d＝0.50 m，盆边缘的高度为h＝0.30 m。在A处放一个质量为m的小物块并让其由静止下滑。已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.10。小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停止的地点到B的距离为(　　)
0.50 m 0.25 m
0.10 m 0
综合提升练
9.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨迹的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，已知重力加速度为g，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是(　　)
mgR mgR
mgR mgR
10.如图(a)所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示。重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为(　　)
m＝0.7 kg，f＝0.5 N
m＝0.7 kg，f＝1.0 N
m＝0.8 kg，f＝0.5 N
m＝0.8 kg，f＝1.0 N
11.(10分)如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道内径略大于小球直径，管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方。小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从上端口飞出后落在C点，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍。(重力加速度为g)求：
(1)(5分)释放点距A点的竖直高度；
(2)(5分)落点C与A点的水平距离。
培优加强练
12.(10分)(2024·南充高中高一期末)如图所示，质量m＝0.1 kg的金属小球从距水平面高h＝2.0 m的光滑斜面上由静止开始释放，运动到A点时无能量损耗，水平面AB是长2.0 m的粗糙平面，与半径为R＝0.4 m的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中半圆形轨道在竖直平面内，D为轨道的最高点，小球恰能通过最高点D，g＝10 m/s2，求：
(1)(3分)小球运动到A点时的速度大小；
(2)(3分)小球从D点飞出后落点E与B点的距离；
(3)(4分)小球从A点运动到B点的过程中摩擦阻力所做的功。
培优提升八　动能定理的应用
1.B　[在子弹射穿木块的过程中只有木板对子弹的阻力(设为f)对子弹做了功，对子弹分析，根据动能定理得－fl＝mv－mv，代入数据得f＝8 000 N，A、C、D错误，B正确。]
2.BC　[由于动车以恒定功率P在平直轨道上运动，则由P＝F牵v可知，动车的速度增大，牵引力减小，由牛顿第二定律有F牵－F＝ma，可知动车的加速度逐渐减小，A错误，B正确；当动车的加速度为零，即牵引力等于阻力时，动车的速度最大，即P＝Fvm，C正确；设动车在时间t内的位移为x，由动能定理得W－Fx＝mv－mv，则牵引力所做的功为W＝Fx＋mv－mv，D错误。]
3.C　[小球恰好通过竖直光滑轨道的最高点C时，在C点有mg＝m，对小球，设水平力做功为W，由动能定理得W－2mgR＝mv2，联立解得W＝2.5mgR，C正确。]
4.C　[篮球与地面碰撞无能量损失，全过程根据动能定理有mg－f＝0，所以＝，选项C正确，A、B、D错误。]
5.B　[小球由A点运动到B点的过程中，由动能定理可得－mgh－Wf＝0－mv①
小球由B点运动到A点的过程中，由动能定理可得mgh－Wf＝mv②
联立①②可得v1＝
故B正确。]
6.D　[小物块在粗糙水平桌面上滑行时，由动能定理得－μmgs＝mv2－mv，解得v0＝7 m/s，W克f＝μmgs＝2 J，A、C错误；小物块飞离桌面后做平抛运动，由h＝gt2，x＝vt得x＝0.9 m，B错误；由mgh＝Ek－mv2得，小物块落地时Ek＝0.9 J，D正确。]
7.C　[设圆弧轨道摩擦力对小球做的功为Wf，根据动能定理得mgR－Wf－μmgR＝0。若小球P从A点正上方高度为R处由静止释放，从A点进入轨道，最终停在水平轨道上D点，根据动能定理得mg·2R－Wf′－μmgs＝0。由于第二次经过圆弧轨道的速度较大，根据径向的合力提供向心力知，圆弧轨道对小球P的弹力较大，摩擦力较大，所以Wf′>Wf，可知s＜R，选项C正确。]
8.D　[小物块从A点出发到最后停下来，设在BC面上运动的总路程为s，整个过程由动能定理有mgh－μmgs＝0，所以小物块在BC面上运动的总路程为s＝＝ m＝3 m，而d＝0.5 m，刚好3个来回，所以最终停在B点，即距离B点为0，故D正确。]
9.C　[小球通过最低点时，设绳的张力为T，则T－mg＝m①
小球恰好通过最高点，绳子拉力为零，则有mg＝m②
小球从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得
－mg·2R－W克f＝mv－mv③
由①②③式解得W克f＝mgR，选项C正确。]
10.A　[0～10 m内物块上滑，由动能定理得
－mgsin 30°·s－fs＝Ek－Ek0
整理得Ek＝Ek0－(mgsin 30°＋f)s
结合0～10 m内的图像得，斜率的绝对值
|k|＝mgsin 30°＋f＝4 N
同理，对10～20 m内物块下滑过程有
斜率k′＝mgsin 30°－f＝3 N
联立解得f＝0.5 N，m＝0.7 kg，故A正确。]
11.(1)3R　(2)(2－1)R
解析　(1)设小球到达B点的速度大小为v1，因为到达B点时管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝
从最高点到B点的过程中，由动能定理得mg(h＋R)＝mv
联立解得h＝3R。
(2)设小球到达圆弧最高点的速度大小为v2，落点C与A点的水平距离为x
从B点到最高点的过程中，由动能定理得－2mgR＝mv－mv
由平抛运动的规律得R＝gt2
R＋x＝v2t
联立解得x＝(2－1)R。
12.(1)2 m/s　(2)0.8 m　(3)－1 J
解析　(1)小球下滑至A点的过程中，由动能定理得mgh＝mv
解得vA＝＝2 m/s
即小球运动到A点的速度为2 m/s。
(2)小球恰能通过最高点D，则在D点，满足mg＝m
解得vD＝＝2 m/s
小球从D点飞出后做平抛运动，竖直方向有2R＝gt2
水平位移为xBE＝vDt
联立解得xBE＝0.8 m
即小球从D点飞出后的落点E与B相距0.8 m。
(3)小球由B点运动到D点过程由动能定理可得
－mg·2R＝mv－mv
联立解得vB＝＝2 m/s
小球从A点运动到B点的过程中摩擦阻力所做的功为
Wf＝mv－mv＝－1 J。培优提升八　动能定理的应用
学习目标　1.进一步理解动能定理，会利用动能定理分析变力做功问题。2.会利用动能定理分析直线运动中的多过程问题。3.会利用动能定理分析曲线运动中的多过程问题。4.会利用动能定理分析有往返运动的多过程问题。
提升1　应用动能定理求变力做功
1.变力做的功
在某些问题中，由于力F的大小、方向变化，不能用W＝Fxcos α求出变力做的功，此时可用动能定理W＝ΔEk求功。
2.用动能定理求解变力做功的方法
(1)确定研究对象，分析物体的受力情况，确定做功过程中哪些力是恒力，哪些力是变力。如果是恒力，写出恒力做功的表达式；如果是变力，用相应功的符号表示出变力做的功。
(2)分析物体的运动过程，确定其初、末状态的动能。
(3)运用动能定理列式求解。
例1 如图所示，一质量为m的质点在半径为R的半球形容器中(容器固定)，由静止开始自边缘上的一点A滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为N。重力加速度为g，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其所做的功为(　　)
A.R(N－3mg) B.R(3mg－N)
C.R(N－mg) D.R(N－2mg)
训练1 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上固定在水平地面上的斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，重力加速度为g，则从A到C的过程中弹簧弹力做的功是(　　)
A.mgh－mv2 B.mv2－mgh
C.－mgh D.－(mgh＋mv2)
提升2　动能定理在直线运动多过程中的应用
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理。
(1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，最后联立求解。
(2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。
(3)当题目已知量和所求量不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便。
例2 在距沙坑表面高h＝7 m处，以v0＝10 m/s的初速度竖直向上抛出一个质量为0.5 kg的物体，物体落到沙坑并陷入沙坑d＝0.4 m深处停下。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)物体上升到最高点时离抛出点的高度H；
(2)物体在沙坑中受到的平均阻力f的大小。
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应用动能定理解题应注意的两点
(1)当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。
(2)研究初、末动能时，只需关注初、末状态，不必关心中间运动的细节。
训练2 如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设小滑块在转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块间的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。
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提升3　动能定理在曲线运动多过程中的应用
常见的曲线运动有平抛运动、圆周运动，利用动能定理分析平抛运动和圆周运动要注意以下两点：
(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法。如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量。
(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：
①若为轻绳约束，物体能通过最高点的临界条件是在最高点的速度v＝。
②若为轻杆约束，物体能通过最高点的临界条件是在最高点的速度v＝0。
例3 如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高。一质量m＝0.8 kg的小球(可视为质点)从平台边缘的A处以v0＝
3 m/s的水平速度射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g＝10 m/s2。
(1)求小球到达P点时的速度大小vP；
(2)求小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小以及对轨道的压力；
(3)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力，并求出弹力的大小。
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训练3 (2024·四川凉山高一统考期末)如图，有一个可视为质点的质量为m＝1 kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0＝2 m/s的初速度水平抛出，恰好从C点无碰撞的进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，圆弧轨道半径R＝0.4 m，C点和圆弧的圆心的连线OC与竖直方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)小物块在C点速度的大小；
(2)A、C两点的高度差；
(3)小物块到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力。
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例4 如图所示，ABCD为一竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m，BC长1 m，AB和CD轨道光滑，曲、直轨道平滑连接。一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度沿轨道开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点时速度为0。g取10 m/s2，求：
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数；
(2)物体最后停止的位置(距B点多少米)。
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1.在有摩擦力做功的往复运动过程中，要注意滑动摩擦力做功的特点，滑动摩擦力做功与路径有关，摩擦力做功大小为Wf＝fs(s为路程)。
2.由于动能定理解题的优越性，求多过程往复运动问题中的路程时，一般应用动能定理。
随堂对点自测
1.(应用动能定理求变力做功)如图所示，板长为L，板的B端静止放有质量为m的小物体，物体与板的动摩擦因数为μ。开始时板水平，在缓慢转过一个不太大的角度α的过程中，小物体保持与板相对静止，重力加速度为g，则在这个过程中(　　)
A.摩擦力对小物体做功为μmgLcos α(1－cos α)
B.摩擦力对小物体做功为mgLsin α(1－cos α)
C.弹力对小物体做功为mgLcos αsin α
D.板对小物体做功为mgLsin α
2.(应用动能定理求变力做功)一个质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，OQ与OP的夹角为θ，如图所示，重力加速度为g，则拉力F所做的功为(　　)
A.mglcos θ B.mgl(1－cos θ)
C.Flcos θ D.Flsin θ
3.(动能定理在直线运动多过程中的应用)如图所示，用平行于斜面的推力F，使质量为m的物体(可视为质点)从倾角为θ的光滑固定斜面的底端，由静止向顶端做匀加速运动。当物体运动到斜面中点时，撤去推力，物体刚好能到达顶端，重力加速度为g，则推力F为(　　)
A.2mgsin θ B.mg(1－sin θ)
C.2mgcos θ D.2mg(1＋sin θ)
4.(动能定理在曲线运动多过程中的应用)如图所示，质量m＝30 kg的小孩(可视为质点)做杂技表演，不可伸长的轻绳一端固定于水平安全网上方高H＝10 m的O点，小孩抓住绳子上的P点从与O点等高的位置由静止开始向下摆动，运动到绳子竖直时松手离开绳子做平抛运动，落到安全网上。已知P点到O点的距离L＝5 m，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计。求：
(1)绳子摆动到竖直位置时，小孩受到绳子拉力的大小；
(2)松手后小孩的落地点与松手时小孩所在位置间的水平距离。
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培优提升八　动能定理的应用
提升1
例1 A　[在B点有N－mg＝m，则EkB＝mv2＝(N－mg)R。质点由A滑到B的过程中，由动能定理得mgR＋Wf＝EkB，解得Wf＝R(N－3mg)，故A正确。]
训练1 A　[由A到C的过程，由动能定理得－mgh＋W＝0－mv2，解得弹簧弹力做的功W＝mgh－mv2，故A正确。]
提升2
例2 (1)5 m　(2)155 N
解析　(1)物体从抛出到最高点的过程中，由动能定理得
－mgH＝0－mv
代入数据得H＝5 m。
(2)法一　全过程分析。物体在沙坑中受到的平均阻力为f，陷入沙坑的深度为d，从抛出点到最低点的全过程中，由动能定理有
mg(h＋d)－fd＝0－mv
代入数据解得f＝155 N。
法二　分阶段分析。设物体刚到达沙坑表面时速度大小为v
第一阶段有：mgh＝mv2－mv
第二阶段有：mgd－fd＝0－mv2
联立解得f＝155 N。
训练2
解析　滑块从A点滑到C点，只有重力和摩擦力做功，设滑块质量为m，动摩擦因数为μ，斜面倾角为α，斜面底边长为s1，水平部分长为s2，由动能定理得
mgh－μmgcos α·－μmgs2＝0，s1＋s2＝s
由以上两式得μ＝。
提升3
例3 (1)5 m/s　(2) m/s　54.4 N，方向竖直向下　(3)外壁　6.4 N
解析　(1)平抛运动的水平速度不变，始终为v0，小球恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，说明速度与水平方向夹角为53°，将P点速度分解，如图所示，
vP＝＝ m/s＝5 m/s。
(2)从抛出到圆弧轨道最低点，根据动能定理有
mg·2R＝mv－mv
解得v1＝ m/s
在最低点根据牛顿第二定律和向心力公式有N－mg＝m
解得N＝54.4 N
根据牛顿第三定律有F压＝N＝54.4 N，方向竖直向下。
(3)平台与轨道的最高点等高，根据动能定理可知vQ＝v0＝3 m/s
设小球受到向下的弹力F1，根据牛顿第二定律有F1＋mg＝
解得F1＝6.4 N>0
根据牛顿第三定律知，小球对轨道外壁有弹力，大小为6.4 N。
训练3 (1)4 m/s　(2)0.6 m　(3)60 N
解析　(1)小物块从C点无碰撞的进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，因此小滑块在C点速度的方向与弧面相切，即与OC垂直，根据几何关系可知速度方向与水平方向的夹角为60°，故
cos 60°＝
解得vC＝2v0＝4 m/s。
(2)小物块从A点到C点，根据动能定理可得
mghAC＝mv－mv
解得hAC＝0.6 m。
(3)小物块从A点到D点，根据动能定理可得
mghAC＋mgR(1－cos 60°)＝mv－mv
设在D点时轨道对小物块的支持力为F，则
F－mg＝
联合解得F＝60 N
根据牛顿第三定律可得小物块到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力为N＝F＝60 N。
例4 (1)0.5　(2)距B点0.4 m
解析　(1)由A到D，由动能定理得
－mg(h－H)－μmgsBC＝0－mv
解得μ＝0.5。
(2)分析整个过程，由动能定理得mgH－μmgs＝0－mv
解得s＝21.6 m
所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6 m，故最后停止的位置与B点的距离为2 m－1.6 m＝0.4 m。
随堂对点自测
1.D　[摩擦力对小物体做功为零，A、B错误；根据动能定理得W弹－mgLsin α＝0，解得W弹＝mgLsin α，C错误；根据动能定理得W板－mgLsin α＝0，解得W板＝mgLsin α，D正确。]
2.B　[小球缓慢移动，始终处于平衡状态，由平衡条件可知，F＝mgtan θ，随着θ的增大，F也在增大，是变化的力，不能直接用功的公式求它所做的功。由动能定理得－mgl(1－cos θ)＋WF＝0，所以WF＝mgl(1－cos θ)，B正确，A、C、D错误。]
3.A　[设斜面的长度为2L，对全过程，由动能定理可得FL－mg·2Lsin θ＝0，解得F＝2mgsin θ，故A正确。]
4.(1)900 N　(2)10 m
解析　(1)从开始到绳子摆动到竖直位置的过程中，由动能定理得mgL＝mv2
在最低点对小孩受力分析得T－mg＝m
解得绳子摆动到竖直位置时，小孩受到绳子拉力的大小为
T＝3mg＝900 N。
(2)由题意知，松手后小孩做平抛运动，则竖直方向满足
H－L＝gt2
水平方向满足x＝vt
解得松手后小孩的落地点与松手时小孩所在位置间的水平距离为x＝10 m。(共47张PPT)
培优提升八　动能定理的应用
第四章 机械能及其守恒定律
1.进一步理解动能定理，会利用动能定理分析变力做功问题。2.会利用动能定理分析直线运动中的多过程问题。3.会利用动能定理分析曲线运动中的多过程问题。4.会利用动能定理分析有往返运动的多过程问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　动能定理在直线运动多过程中的应用
提升1　应用动能定理求变力做功
提升3　动能定理在曲线运动多过程中的应用
提升1　应用动能定理求变力做功
1.变力做的功
在某些问题中，由于力F的大小、方向变化，不能用W＝Fxcos α求出变力做的功，此时可用动能定理W＝ΔEk求功。
2.用动能定理求解变力做功的方法
(1)确定研究对象，分析物体的受力情况，确定做功过程中哪些力是恒力，哪些力是变力。如果是恒力，写出恒力做功的表达式；如果是变力，用相应功的符号表示出变力做的功。
(2)分析物体的运动过程，确定其初、末状态的动能。
(3)运用动能定理列式求解。
A
例1 如图所示，一质量为m的质点在半径为R的半球形容器中(容器固定)，由静止开始自边缘上的一点A滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为N。重力加速度为g，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其所做的功为(　　)
A
训练1 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上固定在水平地面上的斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，重力加速度为g，则从A到C的过程中弹簧弹力做的功是(　　)
提升2　动能定理在直线运动多过程中的应用
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理。
(1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，最后联立求解。
(2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。
(3)当题目已知量和所求量不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便。
例2 在距沙坑表面高h＝7 m处，以v0＝10 m/s的初速度竖直向上抛出一个质量为0.5 kg的物体，物体落到沙坑并陷入沙坑d＝0.4 m深处停下。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)物体上升到最高点时离抛出点的高度H；
(2)物体在沙坑中受到的平均阻力f的大小。
应用动能定理解题应注意的两点
(1)当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。
(2)研究初、末动能时，只需关注初、末状态，不必关心中间运动的细节。
训练2 如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设小滑块在转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块间的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。
提升3　动能定理在曲线运动多过程中的应用
例3 如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高。一质量m＝0.8 kg的小球(可视为质点)从平台边缘的A处以v0＝3 m/s的水平速度射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g＝10 m/s2。
(1)求小球到达P点时的速度大小vP；
(2)求小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小以及对轨道的压力；
(3)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力，并求出弹力的大小。
解析　(1)平抛运动的水平速度不变，始终为v0，小球恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，说明速度与水平方向夹角为53°，将P点速度分解，如图所示，
训练3 (2024·四川凉山高一统考期末)如图，有一个可视为质点的质量为m＝1 kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0＝2 m/s的初速度水平抛出，恰好从C点无碰撞的进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，圆弧轨道半径R＝0.4 m，C点和圆弧的圆心的连线OC与竖直方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)小物块在C点速度的大小；
(2)A、C两点的高度差；
(3)小物块到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力。
答案　(1)4 m/s　(2)0.6 m　(3)60 N
例4 如图所示，ABCD为一竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m，BC长1 m，AB和CD轨道光滑，曲、直轨道平滑连接。一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度沿轨道开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点时速度为0。g取10 m/s2，求：
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数；
(2)物体最后停止的位置(距B点多少米)。
1.在有摩擦力做功的往复运动过程中，要注意滑动摩擦力做功的特点，滑动摩擦力做功与路径有关，摩擦力做功大小为Wf＝fs(s为路程)。
2.由于动能定理解题的优越性，求多过程往复运动问题中的路程时，一般应用动能定理。
随堂对点自测
2
D
1.(应用动能定理求变力做功)如图所示，板长为L，板的B端静止放有质量为m的小物体，物体与板的动摩擦因数为μ。开始时板水平，在缓慢转过一个不太大的角度α的过程中，小物体保持与板相对静止，重力加速度为g，则在这个过程中(　　)
A.摩擦力对小物体做功为μmgLcos α(1－cos α)
B.摩擦力对小物体做功为mgLsin α(1－cos α)
C.弹力对小物体做功为mgLcos αsin α
D.板对小物体做功为mgLsin α
解析　摩擦力对小物体做功为零，A、B错误；根据动能定理得W弹－mgLsin α＝0，解得W弹＝mgLsin α，C错误；根据动能定理得W板－mgLsin α＝0，解得W板＝mgLsin α，D正确。
B
2.(应用动能定理求变力做功)一个质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，OQ与OP的夹角为θ，如图所示，重力加速度为g，则拉力F所做的功为(　　)
A.mglcos θ B.mgl(1－cos θ)
C.Flcos θ D.Flsin θ
解析　小球缓慢移动，始终处于平衡状态，由平衡条件可知，F＝mgtan θ，随着θ的增大，F也在增大，是变化的力，不能直接用功的公式求它所做的功。由动能定理得－mgl(1－cos θ)＋WF＝0，所以WF＝mgl(1－cos θ)，B正确，A、C、D错误。
A
3.(动能定理在直线运动多过程中的应用)如图所示，用平行于斜面的推力F，使质量为m的物体(可视为质点)从倾角为θ的光滑固定斜面的底端，由静止向顶端做匀加速运动。当物体运动到斜面中点时，撤去推力，物体刚好能到达顶端，重力加速度为g，则推力F为(　　)
A.2mgsin θ B.mg(1－sin θ) C.2mgcos θ D.2mg(1＋sin θ)
解析　设斜面的长度为2L，对全过程，由动能定理可得FL－mg·2Lsin θ＝0，解得F＝2mgsin θ，故A正确。
4.(动能定理在曲线运动多过程中的应用)如图所示，质量m＝30 kg的小孩(可视为质点)做杂技表演，不可伸长的轻绳一端固定于水平安全网上方高H＝10 m的O点，小孩抓住绳子上的P点从与O点等高的位置由静止开始向下摆动，运动到绳子竖直时松手离开绳子做平抛运动，落到安全网上。已知P点到O点的距离L＝5 m，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计。求：
(1)绳子摆动到竖直位置时，小孩受到绳子拉力的大小；
(2)松手后小孩的落地点与松手时小孩所在位置间的水平距离。
答案　(1)900 N　(2)10 m
课后巩固训练
3
B
题组1　应用动能定理求变力做功
1.如图所示，质量是0.01 kg的子弹，以300 m/s的速度水平射入厚为5 cm的木板，射穿后的速度为100 m/s，子弹在射穿木板过程中所受的平均阻力大小为(　　)
A.4 000 N B.8 000 N
C.10 000 N D.16 000 N
对点题组练
BC
2.(多选)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内(　　)
C
3.如图所示，一个小球质量为m，静止在光滑的轨道上。现以水平力击打小球，使小球能够通过半径为R的竖直光滑轨道的最高点C，重力加速度为g，则水平力对小球所做的功至少为(　　)
A.mgR B.2mgR C.2.5mgR D.3mgR
C
B
5.如图所示，小球(可视为质点)以初速度v0从A点沿不光滑的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，则经过A点的速度大小为(重力加速度为g)(　　)
D
题组3　动能定理在曲线运动多过程中的应用
6.如图所示，质量为0.1 kg的小物块在粗糙水平桌面上以初速度v0滑行4 m后以3.0 m/s的速度飞离桌面，最终落在水平地面上，已知小物块与桌面间的动摩擦因数为0.5，桌面高0.45 m，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则(　　)
A.小物块的初速度是5 m/s
B.小物块的水平射程为1.2 m
C.小物块在桌面上克服摩擦力做8 J的功
D.小物块落地时的动能为0.9 J
C
解析　设圆弧轨道摩擦力对小球做的功为Wf，根据动能定理得mgR－Wf－μmgR＝0。若小球P从A点正上方高度为R处由静止释放，从A点进入轨道，最终停在水平轨道上D点，根据动能定理得mg·2R－Wf′－μmgs＝0。由于第二次经过圆弧轨道
D
8.如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC水平，其长度d＝0.50 m，盆边缘的高度为h＝0.30 m。在A处放一个质量为m的小物块并让其由静止下滑。已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.10。小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停止的地点到B的距离为(　　)
A.0.50 m B.0.25 m C.0.10 m D.0
C
9.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨迹的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，已知重力加速度为g，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是(　　)
综合提升练
A
10.如图(a)所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示。重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为(　　)
A.m＝0.7 kg，f＝0.5 N
B.m＝0.7 kg，f＝1.0 N
C.m＝0.8 kg，f＝0.5 N
D.m＝0.8 kg，f＝1.0 N
解析　0～10 m内物块上滑，由动能定理得
－mgsin 30°·s－fs＝Ek－Ek0
整理得Ek＝Ek0－(mgsin 30°＋f)s
结合0～10 m内的图像得，斜率的绝对值
|k|＝mgsin 30°＋f＝4 N
同理，对10～20 m内物块下滑过程有
斜率k′＝mgsin 30°－f＝3 N
联立解得f＝0.5 N，m＝0.7 kg，故A正确。
(1)释放点距A点的竖直高度；
(2)落点C与A点的水平距离。
12.(2024·南充高中高一期末)如图所示，质量m＝0.1 kg的金属小球从距水平面高h＝2.0 m的光滑斜面上由静止开始释放，运动到A点时无能量损耗，水平面AB是长2.0 m的粗糙平面，与半径为R＝0.4 m的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中半圆形轨道在竖直平面内，D为轨道的最高点，小球恰能通过最高点D，g＝10 m/s2，求：
(1)小球运动到A点时的速度大小；
(2)小球从D点飞出后落点E与B点的距离；
(3)小球从A点运动到B点的过程中摩擦阻力所做的功。
培优加强练

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