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培优提升九　机械能守恒定律的综合应用
(分值：100分)
选择题1～8题，每小题8分，共64分。
1.(多选)如图所示，物体A、B用足够长的细线通过轻质定滑轮连接悬于天花板。现将A、B同时由静止开始释放，A下降，B上升，忽略滑轮摩擦及一切阻力，则在A、B运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
物体A机械能减少
物体A机械能守恒
细线对物体B做负功
物体A和物体B组成的系统机械能守恒
2.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
M球的机械能守恒
M球的机械能增大
M球和N球组成的系统机械能守恒
细绳的拉力对N球做正功
3.如图，刚性轻杆可绕光滑水平轴O转动，O为轻杆的中心，质量分别为M和m的两个小球连接在轻杆两端，M>m。初始时轻杆锁定于水平状态，解除锁定后，轻杆逆时针转动。在轻杆转动90°的过程中(　　)
轻杆对M不做功，对m不做功，M、m和杆组成的系统机械能守恒
轻杆对M做正功，对m做负功，M、m和杆组成的系统机械能守恒
轻杆对M做负功，对m做正功，M、m和杆组成的系统机械能守恒
轻杆对M做正功，对m做正功，M、m和杆组成的系统机械能不守恒
4.(多选)(2024·山东青岛一中模拟)如图所示，滑块和小球的质量分别为M、m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l，开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止，现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
轻绳对小球不做功
滑块和小球组成的系统机械能守恒
绳子对滑块做的功等于滑块动能的增加量
小球重力势能的减少量等于小球动能的增加量
5.如图所示滑轮光滑轻质，阻力不计，M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1离地高度为H＝0.5 m。M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.15 m时的速度为(g＝10 m/s2)(　　)
4 m/s 　　　 3 m/s
2 m/s 　　　 1 m/s
6.如图所示，是一儿童游戏机的示意图。光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与AB管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P，将球投入AB管道内，缓慢下拉手柄使弹簧被压缩，释放手柄，弹珠被弹出，与游戏面板内的障碍物发生一系列碰撞后落入弹珠槽里。假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力和手柄质量，弹珠视为质点，重力加速度为g。某次缓慢下拉手柄，使弹珠距B点的距离为L，释放手柄，弹珠被弹出，到达C点速度为v，下列说法正确的是(　　)
从释放手柄开始到弹珠触碰障碍物之前过程中弹珠的机械能守恒
从释放手柄到弹珠离开弹簧的过程中，弹簧弹力一直做正功，弹珠动能一直增大
弹珠从离开弹簧到运动到最高点的过程中，其动能和重力势能之和一直变大
此过程中，弹簧的最大弹性势能为
mg(L＋R)sin θ＋mv2
7.(多选)如图所示，在固定的光滑水平杆上，质量为m的物体P用轻绳跨过光滑的滑轮O、O′连接质量为2m的物体Q，用手托住Q使整个系统静止，此时轻绳刚好拉直，且AO＝L，OB＝h，ABQ始终比P运动得快
在物体P从A滑到B的过程中，P的机械能增加，Q的机械能减少
P运动的最大速度为2
开始运动后，当P速度再次为零时，Q下降了2(L－h)距离
8.如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同。现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g，当细绳与竖直杆间的夹角为θ＝60°时，A下落的高度为h，此时物体B的速度为(　　)
9.(9分)如图，两小球A、B系在跨过定滑轮的细绳两端，小球A的质量mA＝3 kg，小球B的质量mB＝1 kg，最初用手将A、B球托住使系统处于静止状态，绳上恰没有张力，此时A球比B球高h＝1.2 m。现将A、B球同时释放，g取10 m/s2，求：
(1)(3分)释放前，以B球所在位置的平面为重力势能的参考平面，A球的重力势能；
(2)(3分)释放瞬间A球的加速度大小；
(3)(3分)释放后，当A、B球到达同一高度时，A、B球的速度大小。
10.(9分)内壁及边缘均光滑的半球形容器的半径为R，质量分别为M和m(M>m)的两个小球(可看作质点)用不可伸长的细线相连。现将M由静止从容器边缘内侧释放，如图所示，试计算M滑到容器底时，M、N两小球的速率。
11.(8分)如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L且与斜面平行的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计球与水平地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，重力加速度为g，求：
(1)(4分)两球在光滑水平地面上运动时的速度大小；
(2)(4分)此过程中杆对A球所做的功。
培优加强练
12.(10分)如图所示，两个质量均为m的小环A、B用长为R的轻杆连接，两小环可以在半径为R、固定在竖直平面内的光滑圆环上滑动，开始时将A固定在圆环的最高点。求：
(1)(5分)轻杆对B的拉力大小；
(2)(5分)将A释放后，当A滑到最低点时，A小环的速度大小。
培优提升九　机械能守恒定律的综合应用
1.AD　[物体A下降的过程中，细线的拉力对A做负功，则A的机械能减少，选项A正确，B错误；因B物体上升，则细线对物体B做正功，选项C错误；物体A和物体B组成的系统，只有重力对系统做功，则系统的机械能守恒，选项D正确。]
2.CD　[细绳的拉力与M球运动方向夹角大于90°，对M球做负功，M球的机械能减小，A、B错误；M球和N球组成的系统只有动能和重力势能的相互转化，系统机械能守恒，C正确；细绳的拉力与N球运动方向夹角小于90°，细绳的拉力对N球做正功，D正确。]
3.C　[对质量为m的小球分析，小球重力做负功，但小球动能增大，根据动能定理可知，该过程中轻杆对小球一定做正功，m球机械能增加。对两个小球和轻杆组成的系统分析，系统仅受重力做功，故系统的机械能守恒。对质量为M的小球分析，根据系统机械能守恒，m的机械能增加，故M的机械能减少，根据功能关系可知轻杆对M做负功。综上所述，轻杆对M做负功，对m做正功，M、m和杆组成的系统机械能守恒。故C正确。]
4.BC　[滑块和小球组成的系统只有重力做功，机械能守恒，滑块机械能增大，小球机械能减少，由功能关系知，轻绳拉力对小球做负功，A错误，B正确；对滑块，只有绳子拉力做功，根据动能定理知，绳子对滑块所做的功等于滑块动能的增加量，C正确；滑块与小球组成的系统机械能守恒，小球重力势能的减少量等于小球与滑块的动能的增加量之和，D错误。]
5.D　[根据系统机械能守恒得M1gH－M2gH＝(M1＋M2)v2，解得v＝1 m/s，A、B、C错误，D正确。]
6.D　[从释放手柄开始到弹珠触碰障碍物之前的过程，弹簧对弹珠做正功，其机械能不守恒，故A错误；从释放手柄到弹珠离开弹簧的过程中，弹簧的弹力先大于重力沿斜面向下的分力，后小于重力沿斜面向下的分力，弹珠先加速后减速，所以其动能先增大后减小，故B错误；弹珠从离开弹簧到运动到最高点的过程中，机械能守恒，即动能和重力势能之和不变，故C错误；根据系统的机械能守恒得，弹簧的最大弹性势能等于弹珠在C点的机械能，为mg(L＋R)sin θ＋Mv2，故D正确。]
7.BC　[分解速度vP，有vPcos θ＝vQ(设∠OAB＝θ)，vP始终大于vQ，故A错误；P从A运动到B过程中，绳子拉力对P做正功，对Q做负功，P的机械能增加，Q的机械能减少，故B正确；物体P到达B点时，Q的速度为零，P从A点运动到B点过程，对P、Q系统有2MG(L－h)＝mv2，解得v＝2，故C正确；物体P经过B点后开始减速，由系统机械能守恒可知，当P速度再次为零时，Q物体回到原位置，故D错误。]
8.A　[设物体A下落高度h时，物体A的速度为vA，物体B的速度为vB，此时有vA＝＝2vB，物体A、B组成的系统机械能守恒，则有mgh＝mv＋mv，联立方程解得vB＝，故A正确。]
9.(1)36 J　(2)5 m/s2　(3) m/s　 m/s
解析　(1)释放前，以B球所在位置的平面为重力势能的参考平面，A球的重力势能为EpA＝mAgh＝36 J。
(2)释放瞬间，对A、B球分别由牛顿第二定律可得mAg－T＝mAa，T－mBg＝mBa，联立解得a＝5 m/s2。
(3)对A、B球组成的系统，由机械能守恒定律可得
mAgh＝g·＋v2，解得A、B球到达同一高度时，速度大小均为v＝ m/s。
10.　
解析　将M和m看作一个整体，整体在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，当M滑到容器底时，M下降的高度为R，由几何关系知m升高的高度h＝R
设M滑到容器底时的速率为v，沿绳方向速度相同得m速率满足vm＝vcos 45°
根据机械能守恒定律有MgR－mgh＝Mv2＋mv
解得v＝
m的速率vm＝。
11.(1)均为　(2)－mgLsin θ
解析　(1)由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒。两球在光滑水平地面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有
mg(2h＋Lsin θ)＝×2mv2
解得v＝。
(2)由动能定理可知mg(h＋Lsin θ)＋WA＝mv2
解得WA＝－mgLsin θ。
12.(1)mg　(2)
解析　(1)由题意可知，轻杆对B的拉力T和圆环对B的支持力N与竖直方向的夹角均为，根据平衡条件，水平方向有Nsin ＝Tsin
竖直方向有Ncos ＋Tcos ＝mg
解得T＝mg。
(2)从释放到A滑到最低点的过程中，如图所示
A、B和轻杆组成的系统机械能守恒，有mg·2R＋mgR＝mv＋mv，vA＝vB
解得vA＝。培优提升九　机械能守恒定律的综合应用
学习目标　1.会分析连接体问题的机械能守恒问题。2.会分析涉及弹簧的机械能守恒问题。
提升1　多物体组成的系统机械能守恒问题
1.多物体机械能守恒问题的分析方法
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用转化式ΔEk＝－ΔEp或转移式ΔEA＝－ΔEB、
E减＝E增。
2.常见情景(如图所示)。
角度1　轻绳连接的物体系统
例1 (2024·河北保定高一期末)A、B两个小球由细绳跨过轻质定滑轮相连接，B球的质量是A球质量的2倍，用手托住B球，A球跟地面接触，使细绳刚好拉直，此时B球离地面高度为h。重力加速度为g，不计空气阻力和其他摩擦阻力，A、B均可看成质点。
(1)突然松手，求B球刚落地时A球的速度大小；
(2)设B球落地后不再弹起，A球始终未与滑轮接触，求A球上升到最高点时离地面的高度。
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训练1 如图所示，质量分别为m和2m的两个小物体可视为质点，用轻质细线连接，跨过光滑圆柱体，轻的着地，重的恰好与圆心一样高，若无初速度地释放物体2m，则物体m上升的最大高度为(　　)
A.R B.R
C.R D.2R
角度2　轻杆连接的物体系统
例2 如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下。(重力加速度为g)求：
(1)当杆转到竖直位置时，A、B两球的速度大小；
(2)杆从水平转到竖直过程中对A球做的功；
(3)杆从水平转到竖直过程中对B球做的功。
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训练2 如图所示，长度为2L的轻杆两端固定有质量为2m的小球a和质量为m的小球b，杆可绕固定的转动轴O在竖直平面内转动，两小球到转动轴O的距离均为L，且两小球均可视为质点。杆位于竖直位置时使小球a受到轻微扰动后，a、b在竖直平面内运动，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦，则小球a运动到最低点时对杆的拉力大小为(　　)
A.3mg B.mg
C.6mg D.mg
提升2　含弹簧连接体的机械能守恒问题
1.题型特点
(1)只有弹力做功，物体的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变。
(2)只有重力与弹力做功，物体的动能、重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变。
2.两点提醒
(1)对于同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩，当形变量相同时，弹簧弹性势能相同。
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
例3 如图所示，一个倾角θ＝30°的光滑斜面顶端有定滑轮，质量为m的A物体置于地面并与劲度系数为k的竖直轻弹簧相连，一条轻绳跨过滑轮，一端与斜面上质量为m的B物体相连(绳与斜面平行)，另一端与弹簧上端连接。开始时用手托着B，绳子恰伸直弹簧处于原长状态，现将B由静止释放，B下滑过程中A恰好能离开地面但不继续上升，重力加速度为g，求：
(1)B下滑到最低点时的加速度；
(2)若将B物体换成质量为4m的C物体，使C物体由上述初始位置静止释放，当A物体刚好要离开地面时，C物体的速度为多大？
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训练3 质量m＝5 kg的小球系于弹簧的一端，套在光滑竖直圆环上，弹簧的另一端固定在环上的A点，环半径R＝0.5 m，弹簧原长L0＝R＝0.5 m。当球从图中位置C滑至最低点B时，测得vB＝3 m/s，重力加速度g＝10 m/s2，求在B点时弹簧的弹性势能Ep的大小。
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随堂对点自测
1.(轻绳连接的物体系统)如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连，已知M＝3m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降，重力加速度为g。若砝码底部与地面的距离为h，砝码刚接触地面时木块仍没离开桌面，此时木块的速率为(　　)
A. B.
C. D.
2.(轻杆连接的物体系统)如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB>mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中(　　)
A.B球的动能增大，机械能增大
B.A球的重力势能和动能都减小
C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D.A球和B球的总机械能守恒
3.(含弹簧的物体系统)竖直放置的轻弹簧下端固定在地面上，上端与轻质平板相连，平板与地面间的距离为H1，如图所示。现将一质量为m的物块轻轻放在平板中心，让它从静止开始往下运动，直至物块速度为零，此时平板与地面的距离为H2，重力加速度为g，则此时弹簧的弹性势能Ep为(　　)
A.mg H1 B.mgH2
C.mg(H1－H2) D.mg(H1＋H2)
培优提升九　机械能守恒定律的综合应用
提升1
例1 (1)　(2)h
解析　(1)设A球质量为m，依题意知，A、B两个小球组成的系统机械能守恒，选择地面作为零势能面，则有2mgh＝(2m＋m)v2＋mgh，求得B球刚落地时A球的速度大小v＝。
(2)B球落地后，A球上升的过程中，机械能守恒，有mgh＋mv2＝mgh′，A球上升到最高点时离地面的高度为h′＝h。
训练1 B　[以m和2m组成的系统为研究对象，在2m落地前瞬间，由动能定理可得－mgR＋2mgR＝(m＋2m)v2－0，以m为研究对象，在2m落地后m上升过程中，由动能定理可得－mgh＝0－mv2，则m上升的最大高度H＝R＋h，解得H＝，故B正确。]
例2 (1)　　(2)－mgL　(3)mgL
解析　(1)取B的最低点为零重力势能参考平面，根据机械能守恒定律可得2mgL＝mv＋mv＋mgL
又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
联立两式解得vA＝，vB＝。
(2)根据动能定理，对A有WA＋mg＝mv
即WA＝－mgL。
(3)对B有WB＋mgL＝mv，即WB＝mgL。
训练2 B　[当a到达最低点时，据机械能守恒定律可得2mg·2L－mg·2L＝(2m＋m)v2，对球a在最低点据牛顿第二定律可得F－2mg＝2m，解得F＝mg，故B正确。]
提升2
例3 (1)g　方向沿斜面向上　(2)
解析　(1)当A物体刚要离开地面时，A与地面间作用力为0，对A物体由平衡条件得F－mg＝0，设B物体的加速度大小为a，对B物体，由牛顿第二定律得F－mgsin θ＝ma，解得a＝g，B物体加速度的方向沿斜面向上。
(2)原来弹簧处于原长状态，当A物体刚要离开地面时，A物体处于平衡状态，设C物体沿斜面下滑x，则弹簧伸长即为x，对A物体有kx－mg＝0，解得x＝，A物体刚要离开地面时，弹簧的弹性势能增加ΔE，对B物体下滑的过程，由机械能守恒定律有ΔE＝mgxsin θ，对C物体下滑的过程，由能量守恒定律有ΔE＋×4mv2＝4mgxsin θ，解得v＝。
训练3 15 J
解析　小球在C点时，由几何关系可知，弹簧处于原长状态，弹簧中无弹力，无弹性势能；在小球从C运动到B的过程中，对小球受力分析知，对小球做功的只有重力和弹簧弹力，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得
mg(R＋Rcos 60°)＝mv＋Ep
代入数据可得Ep＝15 J。
随堂对点自测
1.A　[以木块和砝码组成的系统为研究对象，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有Mgh＝(M＋m)v2，M＝3m，解得v＝，故A正确，B、C、D错误。]
2.D　[A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增大，B错误；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，D正确；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；因为A球的机械能增大，则B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，故A、C错误。]
3.C　[选物块和弹簧组成的系统为研究对象，从物块开始运动到速度为零的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，弹性势能增加量应等于重力势能的减少量，即Ep＝mg(H1－H2)，C正确。](共43张PPT)
培优提升九　机械能守恒定律的综合应用
第四章 机械能及其守恒定律
1.会分析连接体问题的机械能守恒问题。2.会分析涉及弹簧的机械能守恒问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　含弹簧连接体的机械能守恒问题
提升1　多物体组成的系统机械能守恒问题
提升1　多物体组成的系统机械能守恒问题
1.多物体机械能守恒问题的分析方法
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用转化式ΔEk＝－ΔEp或转移式ΔEA＝－ΔEB、E减＝E增。
2.常见情景(如图所示)。
角度1　轻绳连接的物体系统
例1 (2024·河北保定高一期末)A、B两个小球由细绳跨过轻质定滑轮相连接，B球的质量是A球质量的2倍，用手托住B球，A球跟地面接触，使细绳刚好拉直，此时B球离地面高度为h。重力加速度为g，不计空气阻力和其他摩擦阻力，A、B均可看成质点。
(1)突然松手，求B球刚落地时A球的速度大小；
(2)设B球落地后不再弹起，A球始终未与滑轮接触，求A球上升到最高点时离地面的高度。
B
训练1 如图所示，质量分别为m和2m的两个小物体可视为质点，用轻质细线连接，跨过光滑圆柱体，轻的着地，重的恰好与圆心一样高，若无初速度地释放物体2m，则物体m上升的最大高度为(　　)
角度2　轻杆连接的物体系统
例2 如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下。(重力加速度为g)求：
(1)当杆转到竖直位置时，A、B两球的速度大小；
(2)杆从水平转到竖直过程中对A球做的功；
(3)杆从水平转到竖直过程中对B球做的功。
B
训练2 如图所示，长度为2L的轻杆两端固定有质量为2m的小球a和质量为m的小球b，杆可绕固定的转动轴O在竖直平面内转动，两小球到转动轴O的距离均为L，且两小球均可视为质点。杆位于竖直位置时使小球a受到轻微扰动后，a、b在竖直平面内运动，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦，则小球a运动到最低点时对杆的拉力大小为(　　)
提升2　含弹簧连接体的机械能守恒问题
1.题型特点
(1)只有弹力做功，物体的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变。
(2)只有重力与弹力做功，物体的动能、重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变。
2.两点提醒
(1)对于同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩，当形变量相同时，弹簧弹性势能相同。
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
例3 如图所示，一个倾角θ＝30°的光滑斜面顶端有定滑轮，质量为m的A物体置于地面并与劲度系数为k的竖直轻弹簧相连，一条轻绳跨过滑轮，一端与斜面上质量为m的B物体相连(绳与斜面平行)，另一端与弹簧上端连接。开始时用手托着B，绳子恰伸直弹簧处于原长状态，现将B由静止释放，B下滑过程中A恰好能离开地面但不继续上升，重力加速度为g，求：
(1)B下滑到最低点时的加速度；
(2)若将B物体换成质量为4m的C物体，使C物体由上述初始位置静止释放，当A物体刚好要离开地面时，C物体的速度为多大？
训练3 质量m＝5 kg的小球系于弹簧的一端，套在光滑竖直圆环上，弹簧的另一端固定在环上的A点，环半径R＝0.5 m，弹簧原长L0＝R＝0.5 m。当球从图中位置C滑至最低点B时，测得vB＝3 m/s，重力加速度g＝10 m/s2，求在B点时弹簧的弹性势能Ep的大小。
答案　15 J
解析　小球在C点时，由几何关系可知，弹簧处于原长状态，弹簧中无弹力，无弹性势能；在小球从C运动到B的过程中，对小球受力分析知，对小球做功的只有重力和弹簧弹力，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得
随堂对点自测
2
A
1.(轻绳连接的物体系统)如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连，已知M＝3m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降，重力加速度为g。若砝码底部与地面的距离为h，砝码刚接触地面时木块仍没离开桌面，此时木块的速率为(　　)
D
2.(轻杆连接的物体系统)如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB>mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中(　　)
A.B球的动能增大，机械能增大
B.A球的重力势能和动能都减小
C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的 减 少量
D.A球和B球的总机械能守恒
解析　A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增大，B错误；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，D正确；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；因为A球的机械能增大，则B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，故A、C错误。
C
3.(含弹簧的物体系统)竖直放置的轻弹簧下端固定在地面上，上端与轻质平板相连，平板与地面间的距离为H1，如图所示。现将一质量为m的物块轻轻放在平板中心，让它从静止开始往下运动，直至物块速度为零，此时平板与地面的距离为H2，重力加速度为g，则此时弹簧的弹性势能Ep为(　　)
A.mg H1 B.mgH2
C.mg(H1－H2) D.mg(H1＋H2)
解析　选物块和弹簧组成的系统为研究对象，从物块开始运动到速度为零的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，弹性势能增加量应等于重力势能的减少量，即Ep＝mg(H1－H2)，C正确。
课后巩固训练
3
AD
1.(多选)如图所示，物体A、B用足够长的细线通过轻质定滑轮连接悬于天花板。现将A、B同时由静止开始释放，A下降，B上升，忽略滑轮摩擦及一切阻力，则在A、B运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.物体A机械能减少
B.物体A机械能守恒
C.细线对物体B做负功
D.物体A和物体B组成的系统机械能守恒
解析　物体A下降的过程中，细线的拉力对A做负功，则A的机械能减少，选项A正确，B错误；因B物体上升，则细线对物体B做正功，选项C错误；物体A和物体B组成的系统，只有重力对系统做功，则系统的机械能守恒，选项D正确。
CD
2.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法中正确的是(　　)
A.M球的机械能守恒
B.M球的机械能增大
C.M球和N球组成的系统机械能守恒
D.细绳的拉力对N球做正功
解析　细绳的拉力与M球运动方向夹角大于90°，对M球做负功，M球的机械能减小，A、B错误；M球和N球组成的系统只有动能和重力势能的相互转化，系统机械能守恒，C正确；细绳的拉力与N球运动方向夹角小于90°，细绳的拉力对N球做正功，D正确。
C
3.如图，刚性轻杆可绕光滑水平轴O转动，O为轻杆的中心，质量分别为M和m的两个小球连接在轻杆两端，M>m。初始时轻杆锁定于水平状态，解除锁定后，轻杆逆时针转动。在轻杆转动90°的过程中(　　)
A.轻杆对M不做功，对m不做功，M、m和杆组成的系统机械能守恒
B.轻杆对M做正功，对m做负功，M、m和杆组成的系统机械能守恒
C.轻杆对M做负功，对m做正功，M、m和杆组成的系统机械能守恒
D.轻杆对M做正功，对m做正功，M、m和杆组成的系统机械能不守恒
解析　对质量为m的小球分析，小球重力做负功，但小球动能增大，根据动能定理可知，该过程中轻杆对小球一定做正功，m球机械能增加。对两个小球和轻杆组成的系统分析，系统仅受重力做功，故系统的机械能守恒。对质量为M的小球分析，根据系统机械能守恒，m的机械能增加，故M的机械能减少，根据功能关系可知轻杆对M做负功。综上所述，轻杆对M做负功，对m做正功，M、m和杆组成的系统机械能守恒。故C正确。
BC
4.(多选)(2024·山东青岛一中模拟)如图所示，滑块和小球的质量分别为M、m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l，开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止，现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.轻绳对小球不做功
B.滑块和小球组成的系统机械能守恒
C.绳子对滑块做的功等于滑块动能的增加量
D.小球重力势能的减少量等于小球动能的增加量
解析　滑块和小球组成的系统只有重力做功，机械能守恒，滑块机械能增大，小球机械能减少，由功能关系知，轻绳拉力对小球做负功，A错误，B正确；对滑块，只有绳子拉力做功，根据动能定理知，绳子对滑块所做的功等于滑块动能的增加量，C正确；滑块与小球组成的系统机械能守恒，小球重力势能的减少量等于小球与滑块的动能的增加量之和，D错误。
D
5.如图所示滑轮光滑轻质，阻力不计，M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1离地高度为H＝0.5 m。M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.15 m时的速度为(g＝10 m/s2)(　　)
A.4 m/s 　　　 B.3 m/s
C.2 m/s 　　　 D.1 m/s
D
6.如图所示，是一儿童游戏机的示意图。光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与AB管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P，将球投入AB管道内，缓慢下拉手柄使弹簧被压缩，
释放手柄，弹珠被弹出，与游戏面板内的障碍物发生一系列碰撞后落入弹珠槽里。假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力和手柄质量，弹珠视为质点，重力加速度为g。某次缓慢下拉手柄，使弹珠距B点的距离为L，释放手柄，弹珠被弹出，到达C点速度为v，下列说法正确的是(　　)
解析　从释放手柄开始到弹珠触碰障碍物之前的过程，弹簧对弹珠做正功，其机械能不守恒，故A错误；从释放手柄到弹珠离开弹簧的过程中，弹簧的弹力先大于重力沿斜面向下的分力，后小于重力沿斜面向下的分力，弹珠先加速后减速，所以其动能先增大后减小，
BC
7.(多选)如图所示，在固定的光滑水平杆上，质量为m的物体P用轻绳跨过光滑的滑轮O、O′连接质量为2m的物体Q，用手托住Q使整个系统静止，此时轻绳刚好拉直，且AO＝L，OB＝h，ABA
8.如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同。现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g，当细绳与竖直杆间的夹角为θ＝60°时，A下落的高度为h，此时物体B的速度为(　　)
9.如图，两小球A、B系在跨过定滑轮的细绳两端，小球A的质量mA＝3 kg，小球B的质量mB＝1 kg，最初用手将A、B球托住使系统处于静止状态，绳上恰没有张力，此时A球比B球高h＝1.2 m。现将A、B球同时释放，g取10 m/s2，求：
解析　(1)释放前，以B球所在位置的平面为重力势能的参考平面，A球的重力势能为EpA＝mAgh＝36 J。
(2)释放瞬间，对A、B球分别由牛顿第二定律可得mAg－T＝mAa，T－mBg＝mBa，联立解得a＝5 m/s2。
10.内壁及边缘均光滑的半球形容器的半径为R，质量分别为M和m(M>m)的两个小球(可看作质点)用不可伸长的细线相连。现将M由静止从容器边缘内侧释放，如图所示，试计算M滑到容器底时，M、N两小球的速率。
11.如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L且与斜面平行的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计球与水平地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，重力加速度为g，求：
(1)两球在光滑水平地面上运动时的速度大小；
(2)此过程中杆对A球所做的功。
12.如图所示，两个质量均为m的小环A、B用长为R的轻杆连接，两小环可以在半径为R、固定在竖直平面内的光滑圆环上滑动，开始时将A固定在圆环的最高点。求：
(1)轻杆对B的拉力大小；
(2)将A释放后，当A滑到最低点时，A小环的速度大小。
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(2)从释放到A滑到最低点的过程中，如图所示

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