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培优提升十　功能关系
(分值：100分)
选择题1～11题，13题，每小题7分，共84分。
对点题组练
题组1　摩擦生热与摩擦力做功
1.(多选)如图，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B的左端放一小物体A，现以水平力F拉A，使A从B的左端滑到右端，由于A、B间摩擦力的作用，B向右移动一段距离。在此过程中(　　)
F做功的大小等于A动能的增加量
F越大，系统中由摩擦产生的热量越多
摩擦力对A、B做功的代数和不为零
摩擦力对B所做的功的大小等于B动能的增加量
2.如图所示，绷紧的传送带在电动机的带动下始终保持v＝1.5 m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面平行。现将质量为m＝4 kg的某物块由静止在传送带上的右端释放，过一会儿物块能保持与传送带相对静止，设物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.5，g＝10 m/s2，对于物块从静止释放到相对静止这一过程(　　)
物块受到的摩擦力对它做的功为2.25 J
带动传送带的电动机增加的功率为15 W
由于摩擦产生的热量为4.5 J
带动传送带的电动机多做的功为0.9 J
题组2　功能关系的理解
3.一个物体在空中下落的过程中，重力对它做的功为2 000 J，物体克服空气阻力做的功为100 J，则在该过程中(　　)
物体的重力势能增加了2 000 J
合力做功2 100 J
物体的机械能减少了100 J
物体的动能增加了2 000 J
4.(多选)(2024·四川成都高一校考期中)物体在平行于斜面向上拉力F的作用下，沿固定斜面从A点运动到B点。该过程中拉力F做功20 J，克服重力做功10 J，克服摩擦阻力做功5 J，则下列说法正确的是(　　)
物体的机械能增加了5 J
物体的重力势能增加了10 J
物体的动能增加了15 J
物体的动能增加了5 J
5.(2024·四川成都高一统考期末)如图，某次战斗演习中，一士兵操控无人机从空中投掷一枚炸弹，并击中对方坦克。已知炸弹在飞行过程中，重力对它做的功为300 J，克服空气阻力做的功为60 J。则在该过程中(　　)
炸弹的重力势能增加了300 J
合力对炸弹做的功为360 J
炸弹的机械能减少了60 J
炸弹的动能增加了300 J
6.(多选)(2024·福建省福州期末)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是(　　)
B物体的机械能一直减少
B物体动能的增加量等于B物体重力势能的减少量
B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量
细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量
7.(多选)(2024·四川内江高一期末)如图所示，缆车在牵引索的牵引下沿固定的倾斜索道加速上行，所受阻力不能忽略。在缆车向上运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
缆车克服重力做的功等于缆车增加的重力势能
缆车增加的动能等于牵引力对缆车做的功和克服阻力做的功之和
缆车增加的机械能等于缆车受到的牵引力与阻力做的功之和
缆车所受牵引力做的功等于缆车克服阻力和克服重力做的功之和
题组3　功能关系与图像综合问题
8.(多选)(2024·四川高一统考期末)如图甲所示，将尾部装有弹簧的圆珠笔，竖直向下按压在水平桌面上，突然松手后弹簧笔将竖直向上弹起，其运动示意图如图乙所示，B点为最低点，A点为弹簧原长位置，则弹簧笔(包括弹簧)上升的过程中(　　)
动能先增大后减小
加速度先减小再增大后不变
机械能守恒
机械能不断增大
9.(多选)某物体在外力F的作用下竖直向上运动，其动能Ek随上升高度h的变化关系如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
0～h1的过程中，外力F保持不变
0～h1的过程中，外力F逐渐增大
h1～h2的过程中，物体的机械能守恒
h1～h2的过程中，合外力对物体做功为0
10.(多选)从高空坠落的物体，受到空气阻力的作用，其大小与速率v成正比。取地面为零势能面，用Ek表示坠物的动能、Ep表示其重力势能、E表示其机械能、t表示时间、x表示物体的位移，则下列图像大致正确的是(　　)
A B
C D
综合提升练
11.如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点，则小球从P到B的运动过程中(　　)
重力势能减少2mgR 机械能减少mgR
合外力做功mgR 克服摩擦力做功mgR
12.(16分)(2024·四川资阳期末)如图甲，倾角为37°的传送带顺时针匀速运行，在传送带上某位置轻放一质量为m＝1 kg的小木块，木块的速度v随时间t变化的图像如图乙所示。g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，试求：
(1)(4分)木块与传送带间的动摩擦因数μ；
(2)(6分)0～2.0 s时间内，传送带对木块做的功；
(3)(6分)传送木块过程中摩擦产生的热量Q。
培优加强练
13.(多选)(2023·全国乙卷，21)如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时(　　)
木板的动能一定等于fl 木板的动能一定小于fl
物块的动能一定大于mv－fl 物块的动能一定小于mv－fl
培优提升十　功能关系
1.CD　[根据能量守恒定律可知，F做功一部分变成物体A的动能，一部分变成木板B的动能，一部分摩擦生成了热，A错误；产生的热量等于摩擦力与相对位移的乘积，A、B间滑动摩擦力恒定，相对位移为板长恒定，因此产生的热量为定值，与力的大小F无关，B错误；A、B间的摩擦力为作用力和反作用力，等大反向，但A、B两物体在摩擦力的作用下通过的位移不同，摩擦力对A、B做功大小不同，因此代数和不为零，C正确；只有摩擦力对B做功，根据动能定理，摩擦力对B所做的功等于B动能的增加量，D正确。]
2.C　[物块运动过程中，只有摩擦力对它做功，根据动能定理得，摩擦力对物块做的功为Wf＝mv2－0＝4.5 J，故A错误；带动传送带的电动机增加的功率为P＝fv＝μmgv＝30 W，故B错误；物块在传送带上留下的划痕长度即为两者位移差，根据牛顿第二定律得μmg＝ma，at＝v，x带＝vt，x物＝at2，Δx＝x带－x物，联立解得Δx＝0.225 m，所以因摩擦产生的热量为Q＝μmgΔx＝4.5 J，故C正确；物块放上传送带后，物块做初速度为零的匀加速运动，传送带做速度为v的匀速运动，当达到共速时，传送带的位移等于物块位移的2倍，因摩擦力对物块做功为4.5 J，则水平传送带克服摩擦力做的功为9 J，即带动传送带的电动机多做的功为9 J，故D错误。]
3.C　[由功能关系可知，重力做的功等于重力势能的减少量，故物体的重力势能减少了2 000 J，故A错误；重力做正功，空气阻力做负功，则合力做功为2 000 J－100 J＝1 900 J，由动能定理得物体的动能增加了1 900 J，故B、D错误；由动能关系可知，机械能的减少量等于除重力之外的其他力做功，故机械能减少了100 J，故C正确。]
4.BD　[拉力、摩擦力做功的总和等于机械能的变化量，则有W拉－Wf＝20 J－5 J＝15 J，机械能增加了15 J，故A错误；物体克服重力做功为10 J，所以重力势能增加了10 J，故B正确；根据动能定理可知，动能增加了Ek＝W拉－Wf－WG＝20 J－10 J－5 J＝5 J，故D正确，C错误。]
5.C　[投弹过程中，重力对炸弹做正功，炸弹的重力势能减少了300 J，故A错误；根据题意可知，投弹过程中，重力做正功，阻力做负功，而合力所做的功等于各个力所做功的代数和，由此可得合力所做的功为W合＝WG＋(－W克)＝240 J，而根据动能定理，合外力所做的功等于动能的变化量，可知，炸弹的动能增加了240 J，故B、D错误；若只有重力做功，则机械能守恒，除重力以外的力若做正功，机械能增加，若做负功，机械能减少，投弹过程中，除了重力做功外，还有阻力做负功，因此可知炸弹的机械能的减少量为ΔE＝W克＝60 J，故C正确。]
6.AD　[根据题意可知，从开始运动到B获得最大速度的过程中，绳子拉力一直对B物体做负功，则B物体的机械能一直减少，故A正确；根据题意可知，A物体、B物体和弹簧组成的系统机械能守恒，则B物体重力势能的减少量等于A、B物体动能的增加量和弹簧弹性势能增加量之和，B物体机械能的减少量等于A物体动能增加量和弹簧弹性势能增加量之和，故B、C错误；根据功能关系除重力和弹簧弹力以外的力即细线的拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量，故D正确。]
7.AC　[缆车克服重力做的功等于缆车增加的重力势能，A正确；缆车增加的动能等于牵引力对缆车做的功和阻力做的功、重力做的功之和，B错误；除重力外的其他力所做的功等于机械能的变化量，故缆车增加的机械能等于缆车受到的牵引力与阻力做的功之和，C正确；由于缆车加速上行，缆车所受牵引力做的功大于缆车克服阻力和克服重力做的功之和，D错误。]
8.ABC　[弹簧笔上升过程中，开始弹簧弹力大于笔的重力，笔加速向上，然后弹簧笔向上减速，故整个过程中弹簧笔的动能先增大后减小，故A正确；整个上升过程，开始弹力大于重力，则加速度向上，逐渐减小，在到达重力与弹力相等位置时加速度减为0；然后加速度向下，逐渐增大，当到达A点后弹簧恢复原长，加速度为g，大小不变，故B正确；在忽略空气阻力的情况下，弹簧笔(包括弹簧)上升的过程中，只有重力和弹簧弹力做功，故系统整体机械能守恒，故C正确，D错误。]
9.AD　[物体上升过程根据动能定理有Fh－mgh＝Ek，整理得Ek＝(F－mg)h，由Ek－h图像可知，0～h1的过程中图线斜率不变，因此外力F保持不变，选项A正确，B错误；h1～h2的过程中，随着高度增加，动能不变，则合外力对物体做功为0，即重力做功与F做功相等，机械能不守恒，选项C错误，D正确。]
10.AB　[由于物体受到空气阻力的作用，其大小与速率v成正比，可得f＝kv，根据牛顿第二定律有mg－kv＝ma，可知，物体下落时，速度逐渐增大，则加速度逐渐减小，故A正确；物体下落时，重力做功等于重力势能的减小量，设物体原来具有的重力势能为mgh，则Ep＝mgh－mgx，可知，随着x增大，物体的重力势能在均匀的减小，故B正确；根据动能定理有Ek＝ma·x，由于下落过程中，加速度逐渐变小，则Ek－x图像的斜率逐渐变小，故C错误；下落过程中，物体受到阻力作用，机械能不守恒，故D错误。]
11.D　[从P到B的过程中，小球下降的高度为R，则重力势能减少了mgR，A错误；小球到达B点时恰好对轨道没有压力，则有mg＝m，设摩擦力对小球做的功为Wf，从P到B的过程，由动能定理可得mgR＋Wf＝mv，联立以上两式解得Wf＝－mgR，即克服摩擦力做功mgR，机械能减少mgR，故B错误，D正确；根据动能定理知W合＝mv＝mgR，故C错误。]
12.(1)0.875　(2)9.5 J　(3)3.5 J
解析　(1)由图像知，0～1 s内木块做匀加速度直线运动，加速度为a＝＝1 m/s2
由牛顿第二定律得μmgcos 37°－mgsin 37°＝ma
解得μ＝0.875。
(2)由图像知，0～1 s内木块与传送带有相对运动，摩擦力为
f1＝μmgcos 37°＝7 N
1～2 s内，木块与传送带相对静止，则摩擦力为
f2＝mgsin 37°＝6 N
则0～2.0 s时间内，传送带对木块做的功为
W＝f1x1＋f2x2
由图像可得x1＝0.5 m，x2＝1 m
解得W＝9.5 J。
(3)由题意可知，0～1 s过程中，木块与传送带之间有相对运动，产生热量为Q＝f1Δx
其中Δx＝x带－x1＝0.5 m
解得Q＝3.5 J。
13.BD　[物块和木板的运动示意图和v－t图像如下
根据动能定理可知
对m：－fx1＝mv－mv①
对M：fx2＝Mv②
根据v－t图像与横轴围成的面积S表示物体运动的位移可知x2＝S△COF，x1＝SABFO
根据位移关系可知l＝x1－x2＝SABCO＞x2＝S△COF
因此fl＞fx2＝Mv，即木板的动能一定小于fl，
A错误，B正确；
将①②两式相加得－fl＝mv＋Mv－mv
变形得物块离开木板时的动能mv＝mv－fl－Mv＜mv－fl，C错误，D正确。]培优提升十　功能关系
学习目标　1.理解力学中几种常见的功能关系。2.能熟练应用各功能关系分析问题。
提升1　功能关系的理解
1.功能关系
功是能量转化的量度。做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生转化。利用这种关系可以定量研究能量及其转化的问题。
2.功与能的区别
比较内容 功 能
概念 力在位移上的积累，是引起能量变化的原因 物体的一种状态，是物体具有的做功本领的量度
功能关系 不同形式的能量之间的转化是通过做功来实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化的过程，且做了多少功，就有多少能量发生转化，因此，功是能量转化的量度，但功和能的本质不同
3.几种常见的功能关系
功 能的变化 表达式
重力做功 正功 重力势能减少 重力势能变化 WG＝－ΔEp ＝Ep1－Ep2
负功 重力势能增加
弹力做功 正功 弹性势能减少 弹性势能变化 W弹＝－ΔEp ＝Ep1－Ep2
负功 弹性势能增加
合力做功 正功 动能增加 动能变化 W合＝ΔEk ＝Ek2－Ek1
负功 动能减少
除重力(或系统内弹力)外其他力做功 正功 机械能增加 机械能 变化 W其他＝ΔE ＝E2－E1
负功 机械能减少
例1 (2024·重庆鲁能巴蜀中学高一月考)一质量为m的苹果从树上由静止开始竖直下落，下落的加速度为g，下落过程中所受阻力恒定。在苹果下落h的过程中，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.苹果的重力势能减少了mgh
B.苹果的动能增加了mgh
C.苹果的机械能减少了mgh
D.苹果克服阻力所做的功为mgh
听课笔记__________________________________________________________
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训练1 如图，一轻弹簧原长为L，一端固定在光滑细杆的O点，另一端连接一质量为m的小球，小球和弹簧穿在细杆上，杆上有A、B两点，OA＝L，OB＝L。当细杆与水平面成30°角时，小球由A点无初速度释放，到达B点时速度为零。现让细杆绕O点转到竖直位置，小球再由A点无初速度释放，重力加速度为g，则小球运动到B点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.小球重力势能减少 B.弹簧的弹性势能增加
C.小球动能增加 D.小球机械能减少
提升2　摩擦生热与摩擦力做功关系
例2 如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为M的长木板以一定的初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速度地轻放到长木板右端，小铁块与长木板间的动摩擦因数为μ，当小铁块在长木板上相对长木板滑动L时与长木板保持相对静止，此过程长木板对地的位移为l，重力加速度为g，求这个过程中：
(1)小铁块增加的动能；
(2)长木板减少的动能；
(3)系统机械能的减少量；
(4)系统产生的热量。
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1.系统内一对静摩擦力对物体做功时，由于相对位移为零，则没有内能产生，只有物体间机械能的转移。
2.作用于系统的滑动摩擦力和物体间相对滑动的路程的乘积，在数值上等于滑动过程产生的内能。即Q＝fs相对，其中f必须是滑动摩擦力，s相对是两个接触面的相对滑动距离(或相对路程)。
训练2 如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以图示速度v匀速运动。物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体运动一段距离后能保持与传送带相对静止。对于物体从静止释放到相对传送带静止这一过程，下列说法正确的是(　　)
A.电动机多做的功为mv2
B.摩擦力对物体做的功为mv2
C.传送带克服摩擦力做的功为mv2
D.物体与传送带因摩擦产生的热量为mv2
提升3　功能关系与图像综合问题
例3 如图，一物体沿固定的粗糙程度相同的斜面从静止开始向下滑，以地面为零势能参考平面，则下滑过程中物体的动能Ek和机械能E随位移x大小变化的关系图像可能正确的是(　　)
听课笔记__________________________________________________________
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训练3 (多选)一物块从高h＝3.0 m、长l＝5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能Ep和动能Ek随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示。关于物块从斜面顶端下滑到底端的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.重力做功为30 J B.克服摩擦阻力做功为10 J
C.合力做功为20 J D.物块的机械能不守恒
随堂对点自测
1.(摩擦生热的计算)足够长的传送带以速率v匀速转动，一质量为m的小物块A由静止轻放于传送带上，若小物块与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图所示，当小物块与传送带相对静止时，产生的内能为(　　)
A.mv2 B.2mv2
C.mv2 D.mv2
2.(功能关系的理解)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”。如图所示是某小区宣传窗中的一则漫画。不计空气阻力，若画中被抛下的物体在下落过程中重力做功30 J，下列说法正确的是(　　)
A.物体重力势能保持不变 B.物体重力势能增加了30 J
C.物体机械能减少了30 J D.物体动能增加了30 J
3.(功能关系的图像问题)(2024·四川省广元市期末)将一物体以初动能E0竖直向上抛出，选抛出时的位置为零势能点，若物体所受到的空气阻力与其速率成正比，则物体的机械能E随其位移h变化的关系图像可能是(　　)
培优提升十　功能关系
提升1
例1 C　[苹果重力势能的减少量等于重力做的功，WG＝mgh，故A错误；苹果动能的增加量等于合力做的功，即W合＝Fh＝mah＝mgh，故B错误；由牛顿第二定律得mg－f＝mg，解得f＝mg，苹果机械能的减少量等于克服阻力做的功，Wf＝fh＝mgh，故C正确，D错误。]
训练1 D　[当细杆与水平面成30°角时，小球从A到B，根据动能定理有mgLsin 30°＋W弹＝0－0，故弹簧弹力做功W弹＝－mgL。细杆绕O点转到竖直位置，A、B的高度差为，重力做功mgL，小球重力势能减少，A错误；弹簧形变量相同，所以弹力做功仍为W弹＝－mgL，弹性势能增加mgL，合力做功mg·L＋W弹＝mgL，小球的动能增加mgL，B、C错误；根据能量守恒定律可知弹簧增加的弹性势能是小球减少的机械能转化而来，所以小球机械能减少，D正确。]
提升2
例2 (1)μmg(l－L)　(2) μmgl　(3)μmgL　(4)μmgL
解析　画出这一过程长木板与小铁块位移示意图，如图所示。
(1)以小铁块为研究对象，根据动能定理得μmg(l－L)＝ΔEk，即小铁块动能的增加量等于滑动摩擦力对小铁块做的功。
(2)摩擦力对长木板做负功，根据功能关系得ΔEkM＝－μmgl，即长木板减少的动能等于长木板克服摩擦力做的功μmgl。
(3)在重力势能不变的情况下，系统机械能的减少量等于系统动能的减少量，则有ΔE＝ΔEk＋ΔEkM＝－μmgL，即系统机械能减少了μmgL。
(4)小铁块与长木板间相对滑动的位移为L，根据能量守恒定律，有Q＝μmgL，即滑动摩擦力对系统做的总功等于系统因摩擦而产生的热量，也等于系统减少的机械能。
训练2 D　[电动机多做的功转化成了物体的动能和内能，物体从静止释放到相对传送带静止过程中获得的动能为mv2，所以电动机多做的功一定大于mv2，所以A错误；物体从静止释放到相对传送带静止过程中只有摩擦力对物体做功，由动能定理可知，摩擦力对物体做的功等于物体动能的变化量，即为mv2，所以B错误；物体做匀加速直线运动的末速度为v，故此过程中物体的平均速度为，传送带的速度为v，则此过程传送带的位移为物体位移的2倍，因为摩擦力对物体做功为mv2，故传送带克服摩擦力做的功为mv2，故C错误；传送带克服摩擦力做的功为mv2，物体获得的动能为mv2，根据能量守恒定律知，物体与传送带因摩擦产生的热量为mv2，故D正确。]
提升3
例3 D　[物体下滑过程中根据动能定理mgxsin θ－μmgxcos θ＝mv2，则动能和物体的位移成正比，A、B错误；由功能关系得－μmgxcos θ＝E－mgh，h为初始位置距地面高度，则E＝mgh－μmgxcos θ，E－x图像是向下倾斜的直线，C错误，D正确。]
训练3 AD　[物块从斜面顶端下滑到底端的过程中，由图可知重力势能减少30 J，则重力做功30 J，故A正确；由图知，物块从斜面顶端下滑到底端的过程中，动能增加10 J，则根据动能定理有WG＋Wf＝ΔEk，代入数据解得摩擦阻力做功Wf＝－20 J，则克服摩擦阻力做功为20 J，故B错误；动能增加10 J，根据动能定理可知合力做功为10 J，故C错误；运动过程中有阻力做负功，物块的机械能不守恒，故D正确。]
随堂对点自测
1.D　[物块A轻放于传送带上后立刻做匀加速直线运动，加速度a＝＝μg，匀加速过程前进的距离x1＝＝，该时间内传送带前进的距离x2＝vt＝v·＝，所以物块相对传送带滑动的距离Δx＝x2－x1＝，故产生的内能Q＝μmg·Δx＝μmg·＝mv2，故D正确。]
2.D　[重力做正功，重力势能减小，重力做功30 J，物体重力势能减小了30 J，故A、B错误；只有重力做功，物体的机械能不变，故C错误；重力为物体所受的合力，根据动能定理知，重力做功30 J，物体动能增加了30 J，故D正确。]
3.C　[由功能关系知，机械能的变化对应着除重力和弹簧弹力之外的其他力做功，则该物体机械能的变化对应着空气阻力做功，所以物体的机械能E随其位移h变化的关系图像的斜率为阻力，由题意得，空气阻力与其速率成正比，即f＝kv，因为上升阶段物体速度减小，所以可知阻力减小，所以上升阶段的图像斜率在减小，且阻力做负功，则机械能在减少。同理可知，下降阶段，物体速度增大，则阻力增大，即图像斜率增大，且阻力同样做负功，机械能也减少。上升过程位移增大，下降过程位移减小，最终位移为零。故C正确。](共48张PPT)
培优提升十　功能关系
第四章 机械能及其守恒定律
1.理解力学中几种常见的功能关系。2.能熟练应用各功能关系分析问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　摩擦生热与摩擦力做功关系
提升1　功能关系的理解
提升3　功能关系与图像综合问题
提升1　功能关系的理解
1.功能关系
功是能量转化的量度。做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生转化。利用这种关系可以定量研究能量及其转化的问题。
2.功与能的区别
比较内容 功 能
概念 力在位移上的积累，是引起能量变化的原因 物体的一种状态，是物体具有的做功本领的量度
功能关系 不同形式的能量之间的转化是通过做功来实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化的过程，且做了多少功，就有多少能量发生转化，因此，功是能量转化的量度，但功和能的本质不同
3.几种常见的功能关系
功 能的变化 表达式
重力做功 正功 重力势能减少 重力势能变化 WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
负功 重力势能增加
弹力做功 正功 弹性势能减少 弹性势能变化 W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
负功 弹性势能增加
合力做功 正功 动能增加 动能变化 W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1
负功 动能减少
除重力(或系统内弹力)外其他力做功 正功 机械能增加 机械能 变化 W其他＝ΔE＝E2－E1
负功 机械能减少
C
D
提升2　摩擦生热与摩擦力做功关系
例2 如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为M的长木板以一定的初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速度地轻放到长木板右端，小铁块与长木板间的动摩擦因数为μ，当小铁块在长木板上相对长木板滑动L时与长木板保持相对静止，此过程长木板对地的位移为l，重力加速度为g，求这个过程中：
(1)小铁块增加的动能；
(2)长木板减少的动能；
(3)系统机械能的减少量；
(4)系统产生的热量。
解析　画出这一过程长木板与小铁块位移示意图，如图所示。
(1)以小铁块为研究对象，根据动能定理得μmg(l－L)＝ΔEk，
即小铁块动能的增加量等于滑动摩擦力对小铁块做的功。
(2)摩擦力对长木板做负功，根据功能关系得ΔEkM＝－μmgl，
即长木板减少的动能等于长木板克服摩擦力做的功μmgl。
(3)在重力势能不变的情况下，系统机械能的减少量等于系统动能的减少量，则有ΔE＝ΔEk＋ΔEkM＝－μmgL，即系统机械能减少了μmgL。
(4)小铁块与长木板间相对滑动的位移为L，根据能量守恒定律，有Q＝μmgL，即滑动摩擦力对系统做的总功等于系统因摩擦而产生的热量，也等于系统减少的机械能。
答案　(1)μmg(l－L)　(2) μmgl　　(3)μmgL (4)μmgL
1.系统内一对静摩擦力对物体做功时，由于相对位移为零，则没有内能产生，只有物体间机械能的转移。
2.作用于系统的滑动摩擦力和物体间相对滑动的路程的乘积，在数值上等于滑动过程产生的内能。即Q＝fs相对，其中f必须是滑动摩擦力，s相对是两个接触面的相对滑动距离(或相对路程)。
D
训练2 如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以图示速度v匀速运动。物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体运动一段距离后能保持与传送带相对静止。对于物体从静止释放到相对传送带静止这一过程，下列说法正确的是(　　)
提升3　功能关系与图像综合问题
D
例3 如图，一物体沿固定的粗糙程度相同的斜面从静止开始向下滑，以地面为零势能参考平面，则下滑过程中物体的动能Ek和机械能E随位移x大小变化的关系图像可能正确的是(　　)
AD
训练3 (多选)一物块从高h＝3.0 m、长l＝5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能Ep和动能Ek随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示。关于物块从斜面顶端下滑到底端的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.重力做功为30 J B.克服摩擦阻力做功为10 J
C.合力做功为20 J D.物块的机械能不守恒
解析　物块从斜面顶端下滑到底端的过程中，由图可知重力势能减少30 J，则重力做功30 J，故A正确；由图知，物块从斜面顶端下滑到底端的过程中，动能增加10 J，则根据动能定理有WG＋Wf＝ΔEk，代入数据解得摩擦阻力做功Wf＝－20 J，则克服摩擦阻力做功为20 J，故B错误；动能增加10 J，根据动能定理可知合力做功为10 J，故C错误；运动过程中有阻力做负功，物块的机械能不守恒，故D正确。
随堂对点自测
2
D
1.(摩擦生热的计算)足够长的传送带以速率v匀速转动，一质量为m的小物块A由静止轻放于传送带上，若小物块与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图所示，当小物块与传送带相对静止时，产生的内能为(　　)
D
2.(功能关系的理解)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”。如图所示是某小区宣传窗中的一则漫画。不计空气阻力，若画中被抛下的物体在下落过程中重力做功30 J，下列说法正确的是(　　)
A.物体重力势能保持不变 B.物体重力势能增加了30 J
C.物体机械能减少了30 J D.物体动能增加了30 J
解析　重力做正功，重力势能减小，重力做功30 J，物体重力势能减小了30 J，故A、B错误；只有重力做功，物体的机械能不变，故C错误；重力为物体所受的合力，根据动能定理知，重力做功30 J，物体动能增加了30 J，故D正确。
C
3.(功能关系的图像问题)(2024·四川省广元市期末)将一物体以初动能E0竖直向上抛出，选抛出时的位置为零势能点，若物体所受到的空气阻力与其速率成正比，则物体的机械能E随其位移h变化的关系图像可能是(　　)
解析　由功能关系知，机械能的变化对应着除重力和弹簧弹力之外的其他力做功，则该物体机械能的变化对应着空气阻力做功，所以物体的机械能E随其位移h变化的关系图像的斜率为阻力，由题意得，空气阻力与其速率成正比，即f＝kv，因为上升阶段物体速度减小，所以可知阻力减小，所以上升阶段的图像斜率在减小，且阻力做负功，则机械能在减少。同理可知，下降阶段，物体速度增大，则阻力增大，即图像斜率增大，且阻力同样做负功，机械能也减少。上升过程位移增大，下降过程位移减小，最终位移为零。故C正确。
课后巩固训练
3
CD
题组1　摩擦生热与摩擦力做功
1.(多选)如图，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B的左端放一小物体A，现以水平力F拉A，使A从B的左端滑到右端，由于A、B间摩擦力的作用，B向右移动一段距离。在此过程中(　　)
A.F做功的大小等于A动能的增加量
B.F越大，系统中由摩擦产生的热量越多
C.摩擦力对A、B做功的代数和不为零
D.摩擦力对B所做的功的大小等于B动能的增加量
对点题组练
解析　根据能量守恒定律可知，F做功一部分变成物体A的动能，一部分变成木板B的动能，一部分摩擦生成了热，A错误；产生的热量等于摩擦力与相对位移的乘积，A、B间滑动摩擦力恒定，相对位移为板长恒定，因此产生的热量为定值，与力的大小F无关，B错误；A、B间的摩擦力为作用力和反作用力，等大反向，但A、B两物体在摩擦力的作用下通过的位移不同，摩擦力对A、B做功大小不同，因此代数和不为零，C正确；只有摩擦力对B做功，根据动能定理，摩擦力对B所做的功等于B动能的增加量，D正确。
C
2.如图所示，绷紧的传送带在电动机的带动下始终保持v＝1.5 m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面平行。现将质量为m＝4 kg的某物块由静止在传送带上的右端释放，过一会儿物块能保持与传送带相对静止，设物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.5，g＝10 m/s2，对于物块从静止释放到相对静止这一过程(　　)
A.物块受到的摩擦力对它做的功为2.25 J
B.带动传送带的电动机增加的功率为15 W
C.由于摩擦产生的热量为4.5 J
D.带动传送带的电动机多做的功为0.9 J
C
题组2　功能关系的理解
3.一个物体在空中下落的过程中，重力对它做的功为2 000 J，物体克服空气阻力做的功为100 J，则在该过程中(　　)
A.物体的重力势能增加了2 000 J B.合力做功2 100 J
C.物体的机械能减少了100 J D.物体的动能增加了2 000 J
解析　由功能关系可知，重力做的功等于重力势能的减少量，故物体的重力势能减少了2 000 J，故A错误；重力做正功，空气阻力做负功，则合力做功为2 000 J－100 J＝1 900 J，由动能定理得物体的动能增加了1 900 J，故B、D错误；由动能关系可知，机械能的减少量等于除重力之外的其他力做功，故机械能减少了100 J，故C正确。
BD
4.(多选)(2024·四川成都高一校考期中)物体在平行于斜面向上拉力F的作用下，沿固定斜面从A点运动到B点。该过程中拉力F做功20 J，克服重力做功10 J，克服摩擦阻力做功5 J，则下列说法正确的是(　　)
A.物体的机械能增加了5 J B.物体的重力势能增加了10 J
C.物体的动能增加了15 J D.物体的动能增加了5 J
解析　拉力、摩擦力做功的总和等于机械能的变化量，则有W拉－Wf＝20 J－5 J＝15 J，机械能增加了15 J，故A错误；物体克服重力做功为10 J，所以重力势能增加了10 J，故B正确；根据动能定理可知，动能增加了Ek＝W拉－Wf－WG＝20 J－10 J－5 J＝5 J，故D正确，C错误。
C
5.(2024·四川成都高一统考期末)如图，某次战斗演习中，一士兵操控无人机从空中投掷一枚炸弹，并击中对方坦克。已知炸弹在飞行过程中，重力对它做的功为300 J，克服空气阻力做的功为60 J。则在该过程中(　　)
A.炸弹的重力势能增加了300 J
B.合力对炸弹做的功为360 J
C.炸弹的机械能减少了60 J
D.炸弹的动能增加了300 J
解析　投弹过程中，重力对炸弹做正功，炸弹的重力势能
减少了300 J，故A错误；根据题意可知，投弹过程中，重
力做正功，阻力做负功，而合力所做的功等于各个力所做
功的代数和，由此可得合力所做的功为W合＝WG＋(－W克)＝240 J，而根据动能定理，合外力所做的功等于动能的变化量，可知，炸弹的动能增加了240 J，故B、D错误；若只有重力做功，则机械能守恒，除重力以外的力若做正功，机械能增加，若做负功，机械能减少，投弹过程中，除了重力做功外，还有阻力做负功，因此可知炸弹的机械能的减少量为ΔE＝W克＝60 J，故C正确。
AD
6.(多选)(2024·福建省福州期末)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是(　　)
A.B物体的机械能一直减少
B.B物体动能的增加量等于B物体重力势能的减少量
C.B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量
D.细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量
解析　根据题意可知，从开始运动到B获得最大速度的过程中，绳子拉力一直对B物体做负功，则B物体的机械能一直减少，故A正确；根据题意可知，A物体、B物体和弹簧组成的系统机械能守恒，则B物体重力势能的减少量等于A、B物体动能的增加量和弹簧弹性势能增加量之和，B物体机械能的减少量等于A物体动能增加量和弹簧弹性势能增加量之和，故B、C错误；根据功能关系除重力和弹簧弹力以外的力即细线的拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量，故D正确。
AC
7.(多选)(2024·四川内江高一期末)如图所示，缆车在牵引索的牵引下沿固定的倾斜索道加速上行，所受阻力不能忽略。在缆车向上运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.缆车克服重力做的功等于缆车增加的重力势能
B.缆车增加的动能等于牵引力对缆车做的功和克服阻力做的功之和
C.缆车增加的机械能等于缆车受到的牵引力与阻力做的功之和
D.缆车所受牵引力做的功等于缆车克服阻力和克服重力做的功之和
解析　缆车克服重力做的功等于缆车增加的重力势能，A正确；缆车增加的动能等于牵引力对缆车做的功和阻力做的功、重力做的功之和，B错误；除重力外的其他力所做的功等于机械能的变化量，故缆车增加的机械能等于缆车受到的牵引力与阻力做的功之和，C正确；由于缆车加速上行，缆车所受牵引力做的功大于缆车克服阻力和克服重力做的功之和，D错误。
ABC
题组3　功能关系与图像综合问题
8.(多选)(2024·四川高一统考期末)如图甲所示，将尾部装有弹簧的圆珠笔，竖直向下按压在水平桌面上，突然松手后弹簧笔将竖直向上弹起，其运动示意图如图乙所示，B点为最低点，A点为弹簧原长位置，则弹簧笔(包括弹簧)上升的过程中(　　 )
A.动能先增大后减小 B.加速度先减小再增大后不变
C.机械能守恒 D.机械能不断增大
解析　弹簧笔上升过程中，开始弹簧弹力大于笔的重力，笔加速向上，然后弹簧笔向上减速，故整个过程中弹簧笔的动能先增大后减小，故A正确；整个上升过程，开始弹力大于重力，则加速度向上，逐渐减小，在到达重力与弹力相等位置时加速度减为0；然后加速度向下，逐渐增大，当到达A点后弹簧恢复原长，加速度为g，大小不变，故B正确；在忽略空气阻力的情况下，弹簧笔(包括弹簧)上升的过程中，只有重力和弹簧弹力做功，故系统整体机械能守恒，故C正确，D错误。
AD
9.(多选)某物体在外力F的作用下竖直向上运动，其动能Ek随上升高度h的变化关系如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.0～h1的过程中，外力F保持不变
B.0～h1的过程中，外力F逐渐增大
C.h1～h2的过程中，物体的机械能守恒
D.h1～h2的过程中，合外力对物体做功为0
解析　物体上升过程根据动能定理有Fh－mgh＝Ek，整理得Ek＝(F－mg)h，由Ek－h图像可知，0～h1的过程中图线斜率不变，因此外力F保持不变，选项A正确，B错误；h1～h2的过程中，随着高度增加，动能不变，则合外力对物体做功为0，即重力做功与F做功相等，机械能不守恒，选项C错误，D正确。
AB
10.(多选)从高空坠落的物体，受到空气阻力的作用，其大小与速率v成正比。取地面为零势能面，用Ek表示坠物的动能、Ep表示其重力势能、E表示其机械能、t表示时间、x表示物体的位移，则下列图像大致正确的是(　　)
解析　由于物体受到空气阻力的作用，其大小与速率v成正比，可得f＝kv，根据牛顿第二定律有mg－kv＝ma，可知，物体下落时，速度逐渐增大，则加速度逐渐减小，故A正确；物体下落时，重力做功等于重力势能的减小量，设物体原来具有的重力势能为mgh，则Ep＝mgh－mgx，可知，随着x增大，物体的重力势能在均匀的减小，故B正确；根据动能定理有Ek＝ma·x，由于下落过程中，加速度逐渐变小，则Ek－x图像的斜率逐渐变小，故C错误；下落过程中，物体受到阻力作用，机械能不守恒，故D错误。
D
综合提升练
11.如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点，则小球从P到B的运动过程中(　　)
12.(2024·四川资阳期末)如图甲，倾角为37°的传送带顺时针匀速运行，在传送带上某位置轻放一质量为m＝1 kg的小木块，木块的速度v随时间t变化的图像如图乙所示。g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，试求：
(1)木块与传送带间的动摩擦因数μ；
(2)0～2.0 s时间内，传送带对木块做的功；
(3)传送木块过程中摩擦产生的热量Q。
答案　(1)0.875　(2)9.5 J　(3)3.5 J
(2)由图像知，0～1 s内木块与传送带有相对运动，摩擦力为
f1＝μmgcos 37°＝7 N
1～2 s内，木块与传送带相对静止，则摩擦力为
f2＝mgsin 37°＝6 N
则0～2.0 s时间内，传送带对木块做的功为
W＝f1x1＋f2x2
由图像可得x1＝0.5 m，x2＝1 m
解得W＝9.5 J。
(3)由题意可知，0～1 s过程中，木块与传送带之间有相对运动，产生热量为
Q＝f1Δx
其中Δx＝x带－x1＝0.5 m
解得Q＝3.5 J。
BD
培优加强练
13.(多选)(2023·全国乙卷，21)如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时(　　)
解析　物块和木板的运动示意图和v－t图像如下

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