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第6节　电势差与电场强度的关系
(分值:100分)
选择题1~11题,每小题7分,共77分。
基础对点练
题组一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.空气中的负离子对人的健康极为有益,人工产生负离子的最常见方法是电晕放电法。如图所示,在一排针状负极和环形正极之间加上直流高压电,电压达5 000 V左右,使空气发生电离,从而产生负氧离子(负氧离子为-1价离子),使空气清新化。针状负极与环形正极间距为5 mm,且视为匀强电场,电场强度为E,电场对负氧离子的作用力为F,则 (　　)
E=103 N/C,F=1.6×10-16 N
E=106 N/C,F=1.6×10-16 N
E=103 N/C,F=1.6×10-13 N
E=106 N/C,F=1.6×10-13 N
2.(多选)如图所示,匀强电场方向平行于xOy平面,在xOy平面内有一个半径为R=5 m的圆,圆上有一个电荷量为q=-1×10-8 C的试探电荷P,半径OP与x轴正方向的夹角为θ,P沿圆周移动时,其电势能Ep=2.5×10-5 cos θ J,则 (　　)
x轴位于零势面上
电场强度大小为500 V/m
电场强度方向沿x轴正方向
电场强度方向沿y轴正方向
3.带有等量异种电荷,相距10 cm的平行板A和B之间有一匀强电场,如图,电场强度E=2×104 V/m,方向向下。电场中C点距B板为3 cm,D点距A板为2 cm。下列说法正确的是 (　　)
UCD=1 000 V
让B板接地,则C点的电势φC=600 V
让A板接地,则D点的电势φD=400 V
将一个电子从C点移到D点静电力做的功,与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
4.(多选)如图所示,a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点,c为ab中点。a、b电势分别为φa=5 V,φb=3 V,下列叙述正确的是 (　　)
该电场在c点处的电势一定为4 V
a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
一正电荷从c点运动到b点,电势能一定减少
一正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c
5.(多选)如图所示为某一电场的电场线和等势面。已知φa=5 V,φc=3 V,ab=bc,b点电势为φb,b、d在同一等势面上。以|Wac|表示点电荷q由a点移到c点过程中静电力做功的大小,|Wdc|表示点电荷q由d点移到c点过程中静电力做功的大小,则 (　　)
φb>4 V φb<4 V
|Wac|=2|Wdc| |Wac|>2|Wdc|
题组二　等势面的疏密与电场强度大小的关系
6.如图所示,ABCD是匀强电场中平行于电场线的矩形的四个顶点,A、B、C三点电势分别为φA=
8 V,φB=2 V,φC=3 V,则D点的电势为 (　　)
7 V 6 V
10 V 9 V
7.若直流高压线掉到地上时,它就会向大地输入电流,并且以高压线与大地接触的那个位置为圆心,形成一簇如图所示的等差等势线同心圆,A、B、C、D是等势线上的四点,当人走在地面上时,如果形成跨步电压就会导致两脚有电势差而发生触电事故,如图所示,则 (　　)
电场强度的大小为EA>EB>ED>EC
电势的大小为φA>φB=φD>φC
AB间距离等于BC间距离的2倍
人从B沿着圆弧走到D会发生触电
题组三　用等分法求解匀强电场的电场强度
8.(多选)如图所示,在xOy坐标系中有一底角为60°的等腰梯形,空间有方向平行于坐标平面的匀强电场,其中原点O的电势为9 V,A点电势为4.5 V,B点电势为0,则由此可以判定 (　　)
电场的电场强度大小为150 V/m
电场的电场强度大小为100 V/m
电场的方向与x轴正方向成30°角向上
电场的方向沿x轴正方向
9.(多选)如图所示,A、B、C、D是匀强电场中的四个点,D是BC的中点,A、B、C构成一个直角三角形,AB长为1 m,电场线与三角形所在的平面平行,已知φA=5 V、φB=-5 V,φC=15 V,由此可以判断 (　　)
场强的方向由C指向B
场强的方向垂直AD连线斜向下
场强的大小为10 V/m
场强的大小为 V/m
综合提升练
10.图是某种静电推进装置的原理图,发射极与吸极接在高压电源两端,两极间产生强电场,虚线为等差等势面,在强电场作用下,一带电液滴从发射极加速飞向吸极,a、b是其路径上的两点,不计液滴重力,下列说法正确的是 (　　)
a点的电势比b点的低
a点的电场强度比b点的小
液滴在a点的加速度比在b点的小
液滴在a点的电势能比在b点的大
11.(2024·四川德阳高二期末)如图所示为电子束焊接机,图中带箭头的虚线代表电场线,B、C是电场中两点。K为阴极,A为阳极,两极之间的距离为d,在两极之间加上高压U,有一电子在K极由静止被加速。不考虑电子重力,元电荷为e,则下列说法正确的是 (　　)
A、K之间的电场强度均为
B点电势大于C点电势
B点电场强度大于C点电场强度
电子由K到A的电势能减少了eU
12.(11分)如图所示,在水平方向的匀强电场中,一电场线上有相距6 cm的A、B两点,且UAB=150 V,求:
(1)(5分)电场强度的大小和方向;
(2)(6分)电场中A、C两点相距14 cm,A、C两点连线与电场线方向成37°角,则C点与A点的电势差UCA为多少(已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
培优加强练
13.(12分)(2024·四川攀枝花高二统考期末)如图所示,三角形ABC所在平面有一与该平面平行的匀强电场。将电荷量q=-1.0×10-8 C的检验电荷从A点移动到B点时电场力做功为零,从B点移动到C点时电场力做功W=2×10-7J,再从C点移动到AC边的中点D。已知∠A=∠C=30°,AB边长d=2 cm,以A点为电势零点,求:
(1)(4分)A、C两点的电势差UAC;
(2)(4分)匀强电场的大小E;
(3)(4分)移动到D点时检验电荷的电势能Ep。
第6节　电势差与电场强度的关系
1.D　[针状负极与环形正极间的电场为匀强电场，所以E＝＝ V/m＝106 N/C，负氧离子受力F＝qE＝1.6×10－19×106 N＝1.6×10－13 N，选项D正确。]
2.BC　[由电势能Ep＝2.5×10－5cos θ，可得θ＝90°时Ep＝0，θ＝270°时Ep＝0，说明y轴位于零势能面上，场强方向平行于x轴，故A错误；当θ＝0°，Ep＝2.5×10－5 J，由Ep＝qφ，得该点的电势φ＝＝ V＝－2 500 V，同理可得当θ＝180°时该点电势为2 500 V，根据顺着电场线方向电势降低，可知电场强度的方向沿x轴正方向，则场强为E＝＝＝V/m＝500 V/m，故D错误，B、C正确。]
3.B　[由题意知CD之间的距离为0.05 m，则由电势差的计算公式有UCD＝－EdCD＝－1 000 V，A错误；让B板接地，B板电势为零，则C点电势φC＝UCB＝EdCB＝600 V，B正确；让A板接地，A板电势为零，则A板下方电势皆为负，同理可知D点电势φD＝－EdAD＝－400 V，C错误；电场力做功只与始末位置有关，将一个电子从C点移到D点，与将电子先从C点移到P点再移到D点，两次运动始末位置是一样的，则静电力做的功数值相同，D错误。]
4.CD　[该电场不一定是匀强电场，无法比较a、b两点的电场强度大小，c点的电势也不一定为4 V，但电场方向由a→b，正电荷在c点所受电场力方向一定由a指向c，正电荷由c运动到b的过程中，电场力做正功，电势能一定减少，故C、D正确，A、B错误。]
5.BD　[由电场线疏密程度可知ab段上各点电场强度大于bc段上各点电场强度，由U＝Ed可定性判断出Uab>Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb<＝4 V，故A错误，B正确；又因为Uac＝Uab＋Ubc，所以Uac>2Ubc，b、d在同一等势面上，φb＝φd，故Uac>2Udc，由静电力做功W＝qU，得|Wac|>2|Wdc|，故C错误，D正确。]
6.D　[根据匀强电场中电势差特点可知UAB＝UDC，所以φD＝φA－φB＋φC＝9 V，故D正确。]
7.B　[电场强度看等差等势线的疏密，故EA＞EB＝ED＞EC，故A错误；根据题意，圆心处的电势最高，向外越来越低，故φA＞φB＝φD＞φC，故B正确；AB的平均场强大于BC的平均场强，由图可知AB的电势差等于BC电势差的二倍，根据E＝可以定性判断出AB间距离小于BC间距离的2倍，故C错误；B和D在同一条等势线上，人从B沿着圆弧走到D不会发生触电，故D错误。]
8.AC　[因原点O的电势为9 V，B点电势为0，可知OB连线中点(设为D)的电势为φD＝＝4.5 V，因A点电势为4.5 V，可知AD为等势面，则由几何关系可知，场强方向沿OB方向，与x轴正方向成30°角向上，大小为E＝＝ V/cm＝150 V/m，故A、C正确。]
9.BD　[由题意φA＝5 V，φB＝－5 V，φC＝15 V，则BC连线的中点D的电势为φD＝＝ V＝5 V，则φD＝φA，AD为一条等势线，根据电场线与等势线垂直，且由高电势指向低电势，可知场强的方向垂直于AD连线斜向下，故A错误，B正确；场强的大小为E＝＝ V/m＝ V/m，C错误，D正确。]
10.D　[高压电源左为正极，则所产生的强电场的场强向右，根据沿着电场线方向电势逐渐降低，可知φa>φb，故A错误；等差等势面的疏密反映场强的大小，由图可知a处的等势面较密，则Ea＞Eb，故B错误；液滴的重力不计，根据牛顿第二定律可知，液滴的加速度为a＝，因Ea＞Eb，可得aa＞ab，故C错误；液滴在电场力作用下向右加速，则电场力做正功，动能增大，电势能减少，即Epa＞Epb，故D正确。]
11.D　[A、K之间是非匀强电场，公式U＝Ed不适用，因此A、K之间的电场强度不等于，A错误；B、C所在等势面为一条条和电场线垂直的圆弧，如图所示，根据沿电场线方向电势降低，可知B点电势小于C点电势，B错误；电场线的疏密程度表示电场强度大小，从图中可知B点所在位置的电场线较疏，C点所在位置的电场线较密，故B点的电场强度小于C点的电场强度，C错误；电子由K到A，受到的电场力方向和电场方向相反，即由K指向A，电场力方向和运动方向一致，所以电场力做正功，电势能减小，根据功能关系可得|ΔEp|＝W电＝eU，D正确。]
12.(1)2.5×103 V/m　方向水平向右　(2)－280 V
解析　(1)电场强度的大小E＝＝ V/m＝2.5×103 V/m，因UAB＝φA－φB>0，则φA>φB，根据沿电场线方向电势逐渐降低可知，场强方向水平向右。
(2)C点与A点的电势差
UCA＝－EdCAcos 37°＝－280 V。
13.(1)－20 V　(2) V/m　(3)－1.0×10－7 J
解析　(1)B、C两点的电势差UBC＝＝－20 V
检验电荷从A点移动到B点时电场力做功为零，则A、B两点等电势，A、C两点的电势差
UAC＝UBC＝－20 V。
(2)A、B两点等电势，A、B两点在同一等势线上，电场强度方向垂直于等势线，根据几何关系，C到AB所在直线的垂直距离d′＝ cm
匀强电场的大小E＝＝ V/m。
(3)A、D两点的电势差UAD＝＝－10 V
所以D点电势φD＝10 V
移动到D点时检验电荷的电势能
Ep＝qφD＝－1.0×10－7 J。第6节　电势差与电场强度的关系
学习目标　1.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系，掌握表达两者关系的公式。2.进一步理解电势差、电场强度，能运用电势差与电场强度的关系分析求解有关问题。
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
如图所示的一个匀强电场，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间的距离为d。现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功；
(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系；
(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系。
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1.意义：在匀强电场中，两点间的电势差等于场强与这两点间沿电场线方向的距离的乘积。
2.电场强度的另一种表述：场强的大小在数值上等于沿________方向________上的电势差。
3.电场强度的另一个单位：由E＝可导出场强的另一个单位，即________，符号为 ________。1 V/m＝1 N/C。
4.关系式E＝的理解
(1)表明了电场强度与电势差的关系：电场强度是电势对空间位置的变化率。
(2)公式E＝或UAB＝Ed只能适用于匀强电场，不能适用非匀强电场，但在非匀强电场中，电场强度较强的地方，沿电场线相同的距离上的电势差必然较大，电势变化更快，所以根据这个公式可以比较非匀强电场中电势差的大小。
[特别提醒]　UAB＝Ed在匀强电场中可用于定量计算，在非匀强电场中可用于定性判断。
思考
1.如图，沿哪个方向电势降落最快？电势降落最快的方向与电场强度方向具有怎样的关系？
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2.如图所示，以点电荷＋Q为圆心(球心)画同心圆(同心球面)，半径之比为1∶2∶3，A、B两点间的电势差与B、C两点间的电势差是否相等？
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角度1　E＝或UAB＝Ed在匀强电场中的应用
例1 如图为某匀强电场的等势面分布图，每两个相邻等势面相距2 cm，则该电场的电场强度E的大小和方向分别为(　　)
A.E＝1 V/m，水平向左 B.E＝1 V/m，水平向右
C.E＝100 V/m，水平向左 D.E＝100 V/m，水平向右
训练1 如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m 的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)
A.UOP＝－10sin θ V B.UOP＝10sin θ V
C.UOP＝－10cos θ V D.UOP＝10cos θ V
电势差的三种求解方法
(1)应用定义式UAB＝φA－φB来求解。
(2)应用关系式UAB＝来求解。
(3)应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。　　
角度2　应用UAB＝Ed或E＝定性分析非匀强电场问题
例2 (教科版必修第三册P35讨论交流改编)如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝20 V，φb＝50 V，则a、b连线的中点c的电势φc应为(　　)
A.φc＝35 V B.φc>35 V
C.φc<35 V D.无法判断φc的高低
训练2 (多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
知识点二　等势面的疏密与电场强度大小的关系
如图所示两相邻的同心圆之间的电势差相等，通过图示，电势在哪些地方降落得快，在哪些地方降落得慢？
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1.等差等势面：相邻的两个等势面间____________相等。
2.等差等势面中等势面疏密与电场强度大小的关系：等势面越________的地方，电场线越密，电场强度越________。
思考
1.为什么等差等势面的疏密可以反映电场强度的大小？
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2.有一种等势面叫等距等势面，匀强电场和单一点电荷的电场中，等距等势面有何特点？
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例3 如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，M、N、Q是同一竖直电场线上、以点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是(　　)
A.O点电势与Q点电势相等
B.将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C.MO间的电势差等于ON间的电势差
D.在Q点放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
知识点三　用等分法求解匀强电场的电场强度
1.由于匀强电场中沿任意一条直线电势降落都是均匀的，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势的方法，叫作等分法。
2.在匀强电场中，由U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示。
例4 如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　)
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
1.确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势线垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势线指向电势低的等势线。
2.等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场。　　
训练3 (多选)如图所示，匀强电场中的A、B、C、D点构成一位于纸面内的平行四边形，电场强度的方向与纸面平行。已知A、B两点的电势分别为φA＝12 V、φB＝6 V，则C、D两点的电势可能分别为(　　)
A.9 V、18 V B.9 V、15 V
C.0 V、6 V D.6 V、0 V
随堂对点自测
1.(E＝的应用)如果空气中的电场很强，使得气体分子中带正、负电荷的微粒所受的相反的静电力很大，以至于分子破碎，于是空气中出现了可以自由移动的电荷，那么空气变成了导体。这种现象叫作空气的“击穿”。已知高铁上方的高压电接触网与大地之间的电压为27.5 kV，阴雨天时当雨伞伞尖周围的电场强度达到2.5×104 V/m时空气就有可能被击穿。因此乘客阴雨天打伞站在站台上时，伞尖与高压电接触网的安全距离至少为(　　)
A.1.1 m B.1.6 m
C.2.1 m D.2.7 m
2.(UAB＝Ed的应用)如图所示，匀强电场的电场强度为E，M与N两点间的距离为d，MN与电场线的夹角为α，则M、N两点间的电势差为(　　)
A.Ed B.Edsin α
C.Edcos α D.Edtan α
3.(E＝或UAB＝Ed的定性分析)如图所示的同心圆是电场中的一簇等差等势线，一个电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是(　　)
A.电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越小
B.电子沿AC方向运动时具有的电势能越来越大
C.电势差UAB＝UBC
D.电势φA<φB<φC
4.(等分法的应用)(2024·四川自贡高二期中)如图所示的平面内有A、B、C、D、E五点，其中AC平行于DE，B点为AC的中点，AB＝DE，平面内存在匀强电场，电场方向与该平面平行，A点的电势φA＝10 V，C点的电势φC＝4 V，E点的电势φE＝13 V，电子的电荷量为e。下列说法正确的是(　　)
A.φD＝10 V
B.φB＝6 V
C.电子在D点的电势能EpD＝－7 eV
D.将电子从B点移到D点电场力做的功为－3 eV
第6节　电势差与电场强度的关系
知识点一
导学　提示　(1)WAB＝Fd＝qEd　WAB＝qUAB
(2)两次做功大小相等　UAB＝Ed
(3)UAC＝Ed
知识梳理
2.场强　单位距离　3.伏每米　V/m
[思考]
1.提示　沿A→C方向电势降落最快；电场强度的方向就是电势降落最快的方向。
2.提示　不相等。沿着QABC方向，电场强度越来越弱。假设正检验电荷q从A移动到B，再由B移动到C。这里的静电力是变力，其做功WAB＞WBC，而W＝qU适用于任何电场，所以qUAB＞qUBC，故UAB＞UBC；或根据U＝Ed可知，UAB>UBC。
例1 C　[电场线与等势面垂直，且从高电势指向低电势，电场强度的方向水平向左，E＝＝ V/m＝100 V/m，C正确。]
训练1 A　[在匀强电场中，UOP＝－E·Rsin θ＝－10sin θ V，故A正确。]
例2 B　[由图看出，ac段电场线比bc段电场线密，所以ac段场强较大，根据公式U＝Ed可知，c、a间电势差Uca大于b、c间电势差Ubc，即φc－φa>φb－φc，得到φc>＝35 V，B正确。]
训练2 AD　[根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确；将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析可知UMN知识点二
导学　提示　在离场源电荷较近的地方(也就是电场强度强的地方)电势降落得快，在离场源电荷较远的地方(也就是电场强度弱的地方)电势降落得慢。该图形象地说明电场强度的大小反映电势随空间位置变化的快慢。
知识梳理
1.电势差　2.密　大
[思考]
1.提示　当电势差U一定时，等差等势面间距d越小时，由E＝可知电场强度E越大；同理，d越大，E越小。
2.提示　匀强电场中，电场线等间距、等势面也等间距。点电荷的电场线，由球心向外逐渐变稀，而等势面等间距疏密程度相同，不可再根据等势面的疏密判断电场强度大小，而应以电场线疏密为准。
例3 B　[过O点和Q点作电场的等势面，如图。由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，电场力对电荷做正功，电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均场强大于ON间的平均场强，由U＝Ed可推得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误；在Q点放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D错误。]
知识点三
例4 A　[在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上。O点到BC的距离d＝sin α，而sin α＝＝，所以d＝＝1.5×10－2 m。匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确。]
训练3 BC　[已知ABCD为平行四边形，AB与CD平行且相等，又因为匀强电场的电场强度的方向与纸面平行，所以UAB＝UDC，由此可判定选项B、C正确。]
随堂对点自测
1.A　[根据U＝Ed可得安全距离至少为dmin＝＝ m＝1.1 m，A正确。]
2.C　[由题意知，M、N两点间的距离为d，MN连线与电场方向的夹角为α，则这两点沿电场的方向的距离d′＝dcos α，M、N两点间的电势差U＝Ed′＝Edcos α，故C正确。]
3.B　[由等势线分布和电子速度变化可知该电场类似于负点电荷的电场，电势φA>φB>φC，电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越大，选项A、D错误；电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，选项B正确；根据U＝Ed，由于电场为非匀强电场，平均电场强度EAB4.A　[在匀强电场中任意一条不垂直于电场线的直线上电势都随位置均匀变化，所以φB＝＝7 V，故B错误；根据几何关系可知BEDC构成一平行四边形，所以φB－φE＝φC－φD，解得φD＝10 V，故A正确；电子在D点的电势能为EpD＝－eφD＝－10 eV，故C错误；将电子从B点移到D点电场力做的功为W＝－e(φB－φD)＝3 eV，故D错误。](共60张PPT)
第6节　电势差与电场强度的关系
第一章　静电场
1.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系，掌握表达两者关系的公式。
2.进一步理解电势差、电场强度，能运用电势差与电场强度的关系分析求解有关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　等势面的疏密与电场强度大小的关系
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
知识点三　用等分法求解匀强电场的电场强度
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
如图所示的一个匀强电场，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间的距离为d。现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功；
(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系；
(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系。
提示　(1)WAB＝Fd＝qEd　WAB＝qUAB
(2)两次做功大小相等　UAB＝Ed
(3)UAC＝Ed
1.意义：在匀强电场中，两点间的电势差等于场强与这两点间沿电场线方向的距离的乘积。
2.电场强度的另一种表述：场强的大小在数值上等于沿______方向__________上的电势差。
场强
单位距离
伏每米
V/m
【思考】
1.如图，沿哪个方向电势降落最快？电势降落最快的方向与电场强度方向具有怎样的关系？
提示　沿A→C方向电势降落最快；电场强度的方向就是电势降落最快的方向。
2.如图所示，以点电荷＋Q为圆心(球心)画同心圆(同心球面)，半径之比为1∶2∶3，A、B两点间的电势差与B、C两点间的电势差是否相等？
提示　不相等。沿着QABC方向，电场强度越来越弱。假设正检验电荷q从A移动到B，再由B移动到C。这里的静电力是变力，其做功WAB＞WBC，而W＝qU适用于任何电场，所以qUAB＞qUBC，故UAB＞UBC；或根据U＝Ed可知，UAB>UBC。
C
A
训练1 如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m 的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)
A.UOP＝－10sin θ V B.UOP＝10sin θ V
C.UOP＝－10cos θ V D.UOP＝10cos θ V
解析　在匀强电场中，UOP＝－E·Rsin θ＝－10sin θ V，故A正确。
B
例2 (教科版必修第三册P35讨论交流改编)如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为φa＝20 V，φb＝50 V，则a、b连线的中点c的电势φc应为(　　)
A.φc＝35 V B.φc>35 V
C.φc<35 V D.无法判断φc的高低
训练2 (多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是(　　)
A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
解析　根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确；将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析可知UMNAD
知识点二　等势面的疏密与电场强度大小的关系
如图所示两相邻的同心圆之间的电势差相等，通过图示，电势在哪些地方降落得快，在哪些地方降落得慢？
提示　在离场源电荷较近的地方(也就是电场强度强的地方)电势降落得快，在离场源电荷较远的地方(也就是电场强度弱的地方)电势降落得慢。该图形象地说明电场强度的大小反映电势随空间位置变化的快慢。
1.等差等势面：相邻的两个等势面间________相等。
2.等差等势面中等势面疏密与电场强度大小的关系：等势面越____的地方，电场线越密，电场强度越____。
电势差
密
大
【思考】
1.为什么等差等势面的疏密可以反映电场强度的大小？
2.有一种等势面叫等距等势面，匀强电场和单一点电荷的电场中，等距等势面有何特点？
提示　匀强电场中，电场线等间距、等势面也等间距。点电荷的电场线，由球心向外逐渐变稀，而等势面等间距疏密程度相同，不可再根据等势面的疏密判断电场强度大小，而应以电场线疏密为准。
B
例3 如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，M、N、Q是同一竖直电场线上、以点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是(　　)
A.O点电势与Q点电势相等
B.将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C.MO间的电势差等于ON间的电势差
D.在Q点放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
解析　过O点和Q点作电场的等势面，如图。由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，电场力对电荷做正功，电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均场强大于ON间的平均场强，由U＝Ed可推得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误；在Q点放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D错误。
知识点三　用等分法求解匀强电场的电场强度
A
训练3 (多选)如图所示，匀强电场中的A、B、C、D点构成一位于纸面内的平行四边形，电场强度的方向与纸面平行。已知A、B两点的电势分别为φA＝12 V、φB＝6 V，则C、D两点的电势可能分别为(　　)
A.9 V、18 V B.9 V、15 V
C.0 V、6 V D.6 V、0 V
BC
解析　已知ABCD为平行四边形，AB与CD平行且相等，又因为匀强电场的电场强度的方向与纸面平行，所以UAB＝UDC，由此可判定选项B、C正确。
随堂对点自测
2
A
C
2.(UAB＝Ed的应用)如图所示，匀强电场的电场强度为E，
M与N两点间的距离为d，MN与电场线的夹角为α，
则M、N两点间的电势差为(　　)
A.Ed B.Edsin α
C.Edcos α D.Edtan α
解析　由题意知，M、N两点间的距离为d，MN连线与电场方向的夹角为α，则这两点沿电场的方向的距离d′＝dcos α，M、N两点间的电势差U＝Ed′＝Edcos α，故C正确。
B
A.电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越小
B.电子沿AC方向运动时具有的电势能越来越大
C.电势差UAB＝UBC
D.电势φA<φB<φC
解析　由等势线分布和电子速度变化可知该电场类似于负点电荷的电场，电势φA>φB>φC，电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越大，选项A、D错误；电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，选项B正确；根据U＝Ed，由于电场为非匀强电场，平均电场强度EABA
4.(等分法的应用)(2024·四川自贡高二期中)如图所示的平面内有A、B、C、D、E五点，其中AC平行于DE，B点为AC的中点，AB＝DE，平面内存在匀强电场，电场方向与该平面平行，A点的电势φA＝10 V，C点的电势φC＝4 V，E点的电势φE＝13 V，电子的电荷量为e。下列说法正确的是(　　)
A.φD＝10 V
B.φB＝6 V
C.电子在D点的电势能EpD＝－7 eV
D.将电子从B点移到D点电场力做的功为－3 eV
课后巩固训练
3
题组一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.空气中的负离子对人的健康极为有益，人工产生负离子的最常见方法是电晕放电法。如图所示，在一排针状负极和环形正极之间加上直流高压电，电压达5 000 V左右，使空气发生电离，从而产生负氧离子(负氧离子为－1价离子)，使空气清新化。针状负极与环形正极间距为5 mm，且视为匀强电场，电场强度为E，电场对负氧离子的作用力为F，则(　　)
基础对点练
A.E＝103 N/C，F＝1.6×10－16 N
B.E＝106 N/C，F＝1.6×10－16 N
C.E＝103 N/C，F＝1.6×10－13 N
D.E＝106 N/C，F＝1.6×10－13 N
答案 D
BC
2.(多选)如图所示，匀强电场方向平行于xOy平面，在xOy平面内有一个半径为R＝5 m的圆，圆上有一个电荷量为q＝－1×10－8 C的试探电荷P，半径OP与x轴正方向的夹角为θ，P沿圆周移动时，其电势能Ep＝2.5×10－5 cos θ J，则(　　)
A.x轴位于零势面上
B.电场强度大小为500 V/m
C.电场强度方向沿x轴正方向
D.电场强度方向沿y轴正方向
B
3.带有等量异种电荷，相距10 cm的平行板A和B之间有一匀强电场，如图，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm。下列说法正确的是(　　)
A.UCD＝1 000 V
B.让B板接地，则C点的电势φC＝600 V
C.让A板接地，则D点的电势φD＝400 V
D.将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
解析　由题意知CD之间的距离为0.05 m，则由电势差的计算公式有UCD＝－EdCD＝－1 000 V，A错误；让B板接地，B板电势为零，则C点电势φC＝UCB＝EdCB＝600 V，B正确；让A板接地，A板电势为零，则A板下方电势皆为负，同理可知D点电势φD＝－EdAD＝－400 V，C错误；电场力做功只与始末位置有关，将一个电子从C点移到D点，与将电子先从C点移到P点再移到D点，两次运动始末位置是一样的，则静电力做的功数值相同，D错误。
CD
4.(多选)如图所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab中点。a、b电势分别为φa＝5 V，φb＝3 V，下列叙述正确的是(　　)
A.该电场在c点处的电势一定为4 V
B.a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
C.一正电荷从c点运动到b点，电势能一定减少
D.一正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c
解析　该电场不一定是匀强电场，无法比较a、b两点的电场强度大小，c点的电势也不一定为4 V，但电场方向由a→b，正电荷在c点所受电场力方向一定由a指向c，正电荷由c运动到b的过程中，电场力做正功，电势能一定减少，故C、D正确，A、B错误。
BD
5.(多选)如图所示为某一电场的电场线和等势面。已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，b点电势为φb，b、d在同一等势面上。以|Wac|表示点电荷q由a点移到c点过程中静电力做功的大小，|Wdc|表示点电荷q由d点移到c点过程中静电力做功的大小，则(　　)
A.φb>4 V B.φb<4 V
C.|Wac|＝2|Wdc| D.|Wac|>2|Wdc|
D
题组二　等势面的疏密与电场强度大小的关系
6.如图所示，ABCD是匀强电场中平行于电场线的矩形的四个顶点，A、B、C三点电势分别为φA＝8 V，φB＝2 V，φC＝3 V，则D点的电势为(　　)
A.7 V B.6 V
C.10 V D.9 V
解析　根据匀强电场中电势差特点可知UAB＝UDC，所以φD＝φA－φB＋φC＝9 V,故D正确。
B
7.若直流高压线掉到地上时，它就会向大地输入电流，并且以高压线与大地接触的那个位置为圆心，形成一簇如图所示的等差等势线同心圆，A、B、C、D是等势线上的四点，当人走在地面上时，如果形成跨步电压就会导致两脚有电势差而发生触电事故，如图所示，则(　　)
A.电场强度的大小为EA＞EB＞ED＞EC
B.电势的大小为φA＞φB＝φD＞φC
C.AB间距离等于BC间距离的2倍
D.人从B沿着圆弧走到D会发生触电
AC
题组三　用等分法求解匀强电场的电场强度
8.(多选)如图所示，在xOy坐标系中有一底角为60°的等腰梯形，空间有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中原点O的电势为9 V，A点电势为4.5 V，B点电势为0，则由此可以判定(　　)
BD
9.(多选)如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1 m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V、φB＝－5 V，φC＝15 V，由此可以判断(　　)
D
综合提升练
10.图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等差等势面，在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点，不计液滴重力，下列说法正确的是(　　)
A.a点的电势比b点的低
B.a点的电场强度比b点的小
C.液滴在a点的加速度比在b点的小
D.液滴在a点的电势能比在b点的大
D
11.(2024·四川德阳高二期末)如图所示为电子束焊接机，图中带箭头的虚线代表电场线，B、C是电场中两点。K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速。不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是(　　)
12.如图所示，在水平方向的匀强电场中，一电场线上有相距
6 cm的A、B两点，且UAB＝150 V，求：
(1)电场强度的大小和方向；
(2)电场中A、C两点相距14 cm，A、C两点连线与电场线方向成37°角，则C点与A点的电势差UCA为多少(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案　(1)2.5×103 V/m　方向水平向右 (2)－280 V
培优加强练
13.(2024·四川攀枝花高二统考期末)如图所示，三角形ABC所在平面有一与该平面平行的匀强电场。将电荷量q＝－1.0×10－8 C的检验电荷从A点移动到B点时电场力做功为零，从B点移动到C点时电场力做功W＝2×10－7J，再从C点移动到AC边的中点D。已知∠A＝∠C＝30°，AB边长d＝2 cm，以A点为电势零点，求：
(1)A、C两点的电势差UAC；
(2)匀强电场的大小E；
(3)移动到D点时检验电荷的电势能Ep。

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