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专题提升一 静电场中的力、电综合问题
(分值:100分)
选择题1~10题,每小题8分,共80分。
基础对点练
题组一　共线的三个点电荷在静电力作用下平衡
1.如图所示,两个点电荷的电荷量分别为q1=4×10-9 C和q2=-9×10-9 C,分别固定于光滑绝缘水平面上相距20 cm的a、b两点,有一个点电荷c(不计重力)放在a、b所在直线上且静止不动,则该点电荷所处的位置是 (　　)
在a点左侧40 cm处
在a点右侧8 cm处
在b点右侧20 cm处
无法确定
2.如图所示,三个点电荷q1、q2、q3固定在同一直线上,q2与q3之间的距离是q1与q2之间距离的2倍,每个点电荷所受静电力的合力均为零,由此可以判定,三个点电荷的电荷量绝对值之比|q1|∶|q2|∶|q3|为 (　　)
9∶4∶9 9∶4∶16
9∶4∶4 9∶4∶36
题组二　电场强度的求解方法
3.如图所示,某同学通过摩擦起电使塑料圆盘均匀带负电后水平放置,O点为圆盘中心。一质量为m、电荷量为q(q>0)的轻质带负电塑料小球,轻放在O点正上方的A点处时恰好静止。已知A点到O点的距离为d,重力加速度为g,静电力常量为k,则关于A点对称的B点的电场强度大小为 (　　)
+ +
- -
4.下列选项中的各圆环大小相同,所带电荷量已在图中标出,且电荷均匀分布,各圆环间彼此绝缘。坐标原点O处电场强度最大的是 (　　)
A B
C D
题组三　带电粒子的运动轨迹问题分析方法
5.某电场的电场线分布如图所示,一带电粒子仅在静电力作用下沿图中虚线所示路径运动,先后通过M点和N点。以下说法正确的是 (　　)
M、N点的场强EM>EN
粒子在M、N点的加速度aM>aN
粒子在M、N点的速度vM>vN
粒子带正电
6.(多选)如图所示,带箭头的线表示某一电场中的电场线的分布情况。一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示。若不考虑其他力,则下列判断中正确的是 (　　)
若粒子是从A运动到B,则粒子带正电;若粒子是从B运动到A,则粒子带负电
不论粒子是从A运动到B,还是从B运动到A,粒子必带负电
若粒子是从B运动到A,则其加速度减小
若粒子是从B运动到A,则其速度减小
题组四　静电场中的力、电综合问题
7.(多选)如图所示,可视为点电荷的小球A、B分别带负电和正电,B球固定,其正下方的A球静止在绝缘斜面上,则A球受力个数可能为 (　　)
可能受到2个力作用
可能受到3个力作用
可能受到4个力作用
可能受到5个力作用
8.(多选)(2024·福建福州高二校联考期末)如图所示,一带电荷量为q的小球A固定于左侧绝缘支架上,右侧有一倾角为37°的绝缘光滑斜面,质量为m的带电小球B静止于斜面上,恰与A球处于同一高度。已知AB间距离为d,静电力常量为k,重力加速度为g(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8),则 (　　)
A、B带同种电荷
B受到的库仑力方向沿斜面向上
B所带电荷量大小为
B受到斜面的支持力大小为mg
综合提升练
9.如图所示,质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点,带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l,O点与小球B的间距为l,当小球A平衡时,悬线与竖直方向夹角θ=30°。带电小球A、B均可视为点电荷,静电力常量为k,重力加速度为g。则 (　　)
A、B间库仑力大小F=
A、B间库仑力大小F=
细线拉力大小T=
细线拉力大小T=mg
10.如图所示,两个带电小球A、B穿在同一根光滑绝缘细绳上,细绳两端固定在天花板的O点,当整个系统保持平衡时,两小球连线恰好水平,且两小球与悬点O恰好构成一个正三角形,则下列判断正确的是 (　　)
两小球质量可能不等
两小球带的电荷量一定相同
细绳张力与两小球之间库仑力之比为2∶3
细绳张力与两小球之间库仑力之比为2∶1
11.(10分)如图所示,一带负电、电荷量为q=5×10-3 C、质量为m=0.1 kg的小物块处于一倾角为θ=37°的光滑绝缘斜面上,当整个装置处于一水平向左的匀强电场中时,小物块恰处于静止状态(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)。
(1)(4分)求电场强度大小;
(2)(6分)若从某时刻开始,电场强度减小为原来的一半,求小物块下滑距离L=1.5 m时的速度大小。
培优加强练
12.(10分)如图所示,带电小球A和B放在倾角为30°的光滑绝缘斜面上,质量均为m,所带电荷量分别为+q和-q,沿斜面向上的恒力F作用于A球,可使A、B保持间距r不变沿斜面向上加速运动,已知重力加速度为g,静电力常量为k,求:
(1)(5分)加速度a的大小;
(2)(5分)F的大小。
专题提升一　静电场中的力、电综合问题
1.A　[根据平衡条件，该点电荷应在a点的左侧，设所处位置距a点的距离为x、所带电荷量为q，则k＝k，解得x＝40 cm，故选项A正确。]
2.D　[同一直线上的三个点电荷均处于平衡状态时，每个点电荷所受静电力的合力均为零，所以对q1有k＝k，对q2有k＝k，联立解得|q1|∶|q2|∶|q3|＝∶1∶，根据题意可知l2＝2l1，所以|q1|∶|q2|∶|q3|＝9∶4∶36，选项D正确。]
3.A　[设圆盘在A点产生的电场强度大小为EA，由小球处于平衡状态可得qEA＝mg，解得EA＝，电场强度方向向下。根据对称性，圆盘在B点产生的电场强度大小为E1＝EA＝，方向向上。带电小球在B点产生的电场强度大小为E2＝k＝，方向向上。由场强叠加可得，B点的电场强度大小为＋，A正确。]
4.B　[设圆环带电荷量为q，圆环半径为r，在坐标原点O的电场强度大小E，根据电场强度的合成满足平行四边形定则，可知选项A和C中坐标原点O的电场强度大小为E，选项B中坐标原点O的电场强度大小为E1＝E，选项D中坐标原点O的电场强度为0，故选项B符合题意。]
5.D　[电场线的疏密程度表示电场强度的大小，可知EM6.BC　[根据做曲线运动的物体所受合外力指向轨迹内侧可知粒子所受静电力与电场线的方向相反，所以不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电，故A错误，B正确；电场线密的地方电场强度大，所以粒子在B点受到的静电力大，在B点时的加速度较大，若粒子是从B运动到A，则其加速度减小，故C正确；从B到A过程中静电力与速度方向成锐角，静电力做正功，动能增大，速度增大，故D错误。]
7.AC　[首先小球A受重力和B球的引力，若重力和引力恰好大小相等，则A球可能平衡，所以A球可能受到2个力的作用；若向上的引力小于A球的重力，则A球会受到斜面的支持力，若要A球处于平衡状态，其必须还要受一沿斜面向上的摩擦力，所以A球有可能受4个力的作用。故A、C正确，B、D错误。]
8.AC　[带电小球B静止于斜面上，受竖直向下的重力，垂直于斜面向上的弹力，根据平衡条件，知B受到的库仑力方向沿水平向右，可知B受到库仑斥力的作用，说明两小球带同种电荷，故A正确，B错误；对B小球根据平衡条件有库仑力为k＝mgtan 37°，解得q′＝，B受到斜面的支持力大小为N＝＝mg，故C正确，D错误。]
9.B　[带电小球A受力如图所示，由几何关系知OC＝l，即C点为OB中点，根据对称性知AB＝l。由库仑定律知A、B间库仑力大小F＝，细线拉力T＝F＝，选项A、C错误；根据平衡条件得Fcos 30°＝mg，得F＝，细线拉力T＝，选项B正确，D错误。]
10.C　[设细绳中的张力为T，A、B球受到的细绳张力的合力为F＝2Tcos 30°＝T，根据平衡条件得Tcos 60°＝mg，由于细绳中张力相同，所以两小球的质量相等，A错误；两小球之间的库仑力为相互作用力，大小相等，但不能说明二者的电荷量关系，B错误；由几何关系得FAB＝Fcos 30°＝T，解得＝，C正确，D错误。]
11.(1)150 N/C　(2)3 m/s
解析　(1)小物
块受力如图所示，
由受力平衡得
qE－Nsin θ＝0①
mg－Ncos θ＝0②
由①②式得E＝
代入数据得E＝150 N/C。
(2)由牛顿第二定律得
mgsin θ－cos θ＝ma③
v2＝2aL④
由③④式得v＝
代入数据得v＝3 m/s。
12.(1)－g　(2)
解析　(1)根据库仑定律，两球相互吸引的库仑力为F库＝
隔离B球，由牛顿第二定律有
F库－mgsin 30°＝ma
联立解得加速度为
a＝－g。
(2)把A球和B球看成整体，由牛顿第二定律有
F－2mgsin 30°＝2ma
解得F＝。专题提升一　静电场中的力、电综合问题
学习目标　1.学会分析带电体共线情况下受力情况的方法。2.掌握几种不同求电场强度的方法。3.掌握解决电场中带电粒子运动轨迹问题的方法。4.掌握解决静电场中的力、电综合问题的方法。
提升1　共线的三个点电荷在静电力作用下平衡
1.平衡条件：每个点电荷受到的两个静电力必须大小相等，方向相反。
2.三个自由点电荷平衡的规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
3.只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个电荷列式即可。
例1 (2024·四川成都高二期中)如图所示，光滑绝缘水平面的同一直线上有三个点电荷都处于静止状态，其中点电荷甲、乙的电荷量及电性分别为＋q和－4q，相距L。有关第三个点电荷的电性及电荷量、位置，下列说法正确的是(　　)
A.－q，位于甲的左端距甲0.5L处
B.＋q，位于乙的右端距乙L处
C.任意电性及电荷量，只要位于甲、乙之间且距甲处
D.－4q，位于甲的左端距甲L处
在三个共线点电荷的平衡问题中，若两个点电荷固定，仅让第三个电荷平衡，则只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。　　
训练1 如图所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：(不计重力)
(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？
(2)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
提升2　非匀强电场中电场强度的求解方法
1.等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场(一部分)，如图甲、乙所示。
2.对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
例如：如图所示，均匀带电的圆环在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向。
3.填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
4.微元法
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的电场强度，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。
注意：在解决实际问题中，有时是几个方法的综合应用。
例2 如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b间、b和c间、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的电场强度为零，则d点处的电场强度大小为(静电力常量为k)(　　)
A.k B.k
C.k D.k
例3 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知N点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则M点的电场强度大小为(　　)
A.－E B.
C.－E D.＋E
提升3　带电粒子的运动轨迹问题分析方法
1.合力方向与速度方向
合力指向轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向。
2.分析方法
(1)由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向。
(2)由静电力和电场线的方向可判断电荷的正负。
(3)由电场线的疏密程度可确定电场力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断电荷加速度的大小。
(4)根据力和速度的夹角可以判断速度变大还是变小，从而确定不同位置的速度大小。
例4 (多选)图中实线是一簇未标明方向的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可做出正确判断的是(　　)
A.带电粒子所带电荷的符号
B.电场强度的方向
C.带电粒子在a、b两点的受力方向
D.带电粒子在a、b两点的加速度何处较大
训练2 如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，仅在静电力作用下的运动轨迹如图中虚线所示。则(　　)
A.a一定带正电，b一定带负电
B.a的速度将减小，b的速度将增大
C.a的加速度将减小，b的加速度将增大
D.两个粒子的动能，一个增大一个减小
提升4　静电场中的力、电综合问题
解决力、电综合问题的一般思路
(1)―→
(2)
(3)―→
例5 如图所示，长为l＝1 m 的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的电场强度E＝3.0×103 N/C，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)小球所受静电力F的大小；
(2)小球的质量m。
　
　
　
　
　
　
　
　
训练3 如图所示，有一水平向左的匀强电场，场强为E＝1.25×104 N/C，一根长L＝1.5 m、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6 C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6 C，质量m＝1.0×10－2 kg。将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)小球B开始运动时的加速度大小；
(2)小球B的速度最大时，与M端的距离r。
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
随堂对点自测
1.(共线的三个自由电荷的平衡)如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(均可视为点电荷)，三小球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下保持静止状态。若a、b之间的距离小于b、c之间的距离。则下列说法正确的是(　　)
A.a对c的静电力一定是引力
B.a对b的静电力可能是斥力
C.三个小球所带电荷量的大小关系是Qc>Qa>Qb
D.三个小球所带电荷量的大小关系是Qa>Qb>Qc
2.(电场线与带电粒子运动轨迹的综合)某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则(　　)
A.粒子一定带负电
B.粒子一定是从a点运动到b点
C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D.粒子在电场中c点的速度一定大于在a点的速度
3.(电场强度的求解方法)如图所示，用粗细均匀的绝缘线制成直径为L的圆环，OE为圆环的半径，圆环上均匀分布着正电荷，现在圆环上E处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OE连线向下移动L的距离到F点处，设圆环的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电荷量为Q的正点电荷，则该点电荷受到的电场力大小为(　　)
A. B.
C. D.
4.(静电场中的力、电综合问题)如图所示，有一弯管ab，其中心线是半径为r的一段圆弧，弧的圆心处有一个点电荷Q，有一束带负电的粒子流从a端的中点射入，恰能沿中心线通过弯管的粒子应为(　　)
A.质量和速度之比相同的粒子
B.电荷量和质量之比相同的粒子
C.电荷量和动能之比相同的粒子
D.电荷量和速度之比相同的粒子
专题提升一　静电场中的力、电综合问题
提升1
例1 D　[三个电荷在光滑水平面上要平衡，必须三个电荷在同一条直线上，满足“两同夹异，两大夹小，近小远大”，所以第三个电荷必须为负电荷且在甲的左侧，设其电荷量为q′，所在位置与甲的距离为r，则乙所在位置与第三个电荷的距离为L＋r，要能处于平衡状态，有k＝k，解得r＝L，再对甲分析，由平衡条件有k＝k，可得q′＝4q，综上可得，第三个电荷的电荷量为－4q，位于甲的左端距甲L处，故D正确。]
训练1 见解析
解析　 (1)由平衡条件，对C进行受力分析，C应在AB的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，则
＝
解得r＝。
(2)若将C放在A、B电荷两边，A、B对C的力都向右(或都向左)，C都不能平衡；若将C放在A、B之间，C为正电荷，则A、B都不能平衡，所以C为负电荷。
设放置的点电荷的电荷量大小为Q，与A相距r1，
分别对A、B受力分析，根据平衡条件，对电荷A有
＝
对电荷B有＝
联立可得r1＝，Q＝q
即应在AB连线上且在A、B之间，与点电荷A相距处放置一个电荷量大小为q的负电荷。
提升2
例2 C　[设Q在b点产生的电场强度大小为E，由对称性可知Q在d点产生的电场强度大小也为E，方向相反，水平向右，由于b点的电场强度为零，得E＝k，所以q、Q在d点产生的电场强度为E′＝k＋E＝k＋k＝k，故C正确，A、B、D错误。]
例3 A　[若将带电荷量为2q的球面放在O处，均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则完整球壳在M、N点所产生的电场为E1＝k＝，由题知半球面外，N点的电场强度大小为E，则M点的电场强度为E′＝－E，故A正确。]
提升3
例4 CD　[由粒子的轨迹可知，粒子所受静电力指向曲线凹侧，在a、b两点的静电力都沿着电场线指向左侧，粒子的电性和电场强度的方向都未知，无法判断，A、B错误，C正确；电场线的疏密表示电场的强弱，a点电场强度大，加速度大，D正确。]
训练2 C　[带电粒子做曲线运动，所受静电力的方向指向轨迹曲线的内侧，由于电场线的方向未知，所以粒子带电性质不确定，故A错误；从题图轨迹变化来看，带电粒子速度与静电力方向的夹角都小于90°，所以静电力都做正功，动能都增大，速度都增大，故B、D错误；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，所以a所受静电力减小，加速度减小，b所受静电力增大，加速度增大，故C正确。]
提升4
例5 (1)3.0×10－3 N　(2)4.0×10－4 kg
解析　(1)小球所受静电力F的大小为
F＝qE＝1.0×10－6×3.0×103 N
＝3.0×10－3 N。
(2)小球受力情况如图所示，
根据几何关系可得
mgtan θ＝qE
解得m＝4.0×10－4 kg。
训练3 (1)3.2 m/s2　(2)0.9 m
解析　(1)如图所示，开始运动时小球B受重力、小球A对它的库仑力、匀强电场对它的静电力和杆的弹力，沿杆方向运动，
由牛顿第二定律得
mgsin θ－－qEcos θ＝ma
代入数据得a＝3.2 m/s2。
(2)小球B速度最大时所受合力为零，
即mgsin θ－－qEcos θ＝0
代入数据解得r＝0.9 m。
随堂对点自测
1.C　[根据库仑力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹异”，所以a、c一定带同种电荷，即a、c两电荷间一定为斥力，a、c和b的电性相反，即a对b的静电力一定是引力，A、B错误；根据库仑定律及平衡条件分别对b和c分析，或利用“两大夹小”和“近小远大”确定各自电荷量的大小关系，得Qc>Qa>Qb，C正确，D错误。]
2.C　[做曲线运动的物体，所受合力指向运动轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A错误；粒子不一定是从a点沿轨迹运动到b点，也可能是从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，粒子在c点处所受静电力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；若粒子从c点运动到a点或b点，静电力与速度方向成锐角，所以粒子做加速运动，若粒子从a点或b点运动到c点，静电力与速度方向成钝角，所以粒子做减速运动，故粒子在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误。]
3.C　[线框上的电荷在O点产生的场强等效为q电荷在O点产生的电场强度E1＝＝，方向竖直向下，在F点电荷量为q的电荷在O点的电场强度为E2＝＝，方向竖直向上，此时O点的场强为E＝E1－E2＝－＝，方向竖直向上，则带电荷量为Q的正点电荷受到的电场力大小为F＝QE＝，故C正确，A、B、D错误。]
4.C　[粒子做圆周运动的向心力由库仑力提供，可知k＝m，解得r＝。因r、k、Q相同，故的值相同，而动能Ek＝mv2，所以粒子的电荷量和动能之比相同，故C正确。](共60张PPT)
专题提升一　静电场中的力、电综合问题
第一章　静电场
1.学会分析带电体共线情况下受力情况的方法。
2.掌握几种不同求电场强度的方法。
3.掌握解决电场中带电粒子运动轨迹问题的方法。
4.掌握解决静电场中的力、电综合问题的方法。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　非匀强电场中电场强度的求解方法
提升1　共线的三个点电荷在静电力作用下平衡
提升3　带电粒子的运动轨迹问题分析方法
提升4　静电场中的力、电综合问题
提升1　共线的三个点电荷在静电力作用下平衡
1.平衡条件：每个点电荷受到的两个静电力必须大小相等，方向相反。
2.三个自由点电荷平衡的规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
3.只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个电荷列式即可。
D
例1 (2024·四川成都高二期中)如图所示，光滑绝缘水平面的同一直线上有三个点电荷都处于静止状态，其中点电荷甲、乙的电荷量及电性分别为＋q和－4q，相距L。有关第三个点电荷的电性及电荷量、位置，下列说法正确的是(　　)
在三个共线点电荷的平衡问题中，若两个点电荷固定，仅让第三个电荷平衡，则只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。　　
训练1 如图所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：(不计重力)
(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？
(2)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，
才可以使三个点电荷都处于平衡状态？
答案　见解析
解析　 (1)由平衡条件，对C进行受力分析，C应在AB的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，则
(2)若将C放在A、B电荷两边，A、B对C的力都向右(或都向左)，C都不能平衡；若将C放在A、B之间，C为正电荷，则A、B都不能平衡，所以C为负电荷。
设放置的点电荷的电荷量大小为Q，与A相距r1，
提升2　非匀强电场中电场强度的求解方法
1.等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场(一部分)，如图甲、乙所示。
3.填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
4.微元法
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的电场强度，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度。
注意：在解决实际问题中，有时是几个方法的综合应用。
C
例2 如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b间、b和c间、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的电场强度为零，则d点处的电场强度大小为(静电力常量为k)(　　)
A
例3 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知N点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则M点的电场强度大小为(　　)
提升3　带电粒子的运动轨迹问题分析方法
1.合力方向与速度方向
合力指向轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向。
2.分析方法
(1)由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向。
(2)由静电力和电场线的方向可判断电荷的正负。
(3)由电场线的疏密程度可确定电场力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断电荷加速度的大小。
(4)根据力和速度的夹角可以判断速度变大还是变小，从而确定不同位置的速度大小。
例4 (多选)图中实线是一簇未标明方向的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可做出正确判断的是(　　)
A.带电粒子所带电荷的符号
B.电场强度的方向
C.带电粒子在a、b两点的受力方向
D.带电粒子在a、b两点的加速度何处较大
CD
解析　由粒子的轨迹可知，粒子所受静电力指向曲线凹侧，在a、b两点的静电力都沿着电场线指向左侧，粒子的电性和电场强度的方向都未知，无法判断，A、B错误，C正确；电场线的疏密表示电场的强弱，a点电场强度大，加速度大，D正确。
训练2 如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，仅在静电力作用下的运动轨迹如图中虚线所示。则(　　)
A.a一定带正电，b一定带负电
B.a的速度将减小，b的速度将增大
C.a的加速度将减小，b的加速度将增大
D.两个粒子的动能，一个增大一个减小
C
解析　 带电粒子做曲线运动，所受静电力的方向指向轨迹曲线的内侧，由于电场线的方向未知，所以粒子带电性质不确定，故A错误；从题图轨迹变化来看，带电粒子速度与静电力方向的夹角都小于90°，所以静电力都做正功，动能都增大，速度都增大，故B、D错误；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，所以a所受静电力减小，加速度减小，b所受静电力增大，加速度增大，故C正确。
提升4　静电场中的力、电综合问题
例5 如图所示，长为l＝1 m 的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的电场强度E＝3.0×103 N/C，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)小球所受静电力F的大小；
(2)小球的质量m。
解析　(1)小球所受静电力F的大小为
F＝qE＝1.0×10－6×3.0×103 N＝3.0×10－3 N。
(2)小球受力情况如图所示，
根据几何关系可得mgtan θ＝qE
解得m＝4.0×10－4 kg。
答案　(1)3.0×10－3 N　(2)4.0×10－4 kg
训练3 如图所示，有一水平向左的匀强电场，场强为E＝1.25×104 N/C，一根长L＝1.5 m、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6 C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6 C，质量m＝1.0×10－2 kg。将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝
10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)小球B开始运动时的加速度大小；
(2)小球B的速度最大时，与M端的距离r。
答案　(1)3.2 m/s2　(2)0.9 m
解析　(1)如图所示，开始运动时小球B受重力、小球A对它的库仑力、匀强电场对它的静电力和杆的弹力，沿杆方向运动，
随堂对点自测
2
C
1.(共线的三个自由电荷的平衡)如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(均可视为点电荷)，三小球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下保持静止状态。若a、b之间的距离小于b、c之间的距离。则下列说法正确的是(　　)
A.a对c的静电力一定是引力
B.a对b的静电力可能是斥力
C.三个小球所带电荷量的大小关系是Qc>Qa>Qb
D.三个小球所带电荷量的大小关系是Qa>Qb>Qc
解析　根据库仑力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹异”，所以a、c一定带同种电荷，即a、c两电荷间一定为斥力，a、c和b的电性相反，即a对b的静电力一定是引力，A、B错误；根据库仑定律及平衡条件分别对b和c分析，或利用“两大夹小”和“近小远大”确定各自电荷量的大小关系，得Qc>Qa>Qb，C正确，D错误。
C
2.(电场线与带电粒子运动轨迹的综合)某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则(　　)
A.粒子一定带负电
B.粒子一定是从a点运动到b点
C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D.粒子在电场中c点的速度一定大于在a点的速度
解析　做曲线运动的物体，所受合力指向运动轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A错误；粒子不一定是从a点沿轨迹运动到b点，也可能是从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，粒子在c点处所受静电力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；若粒子从c点运动到a点或b点，静电力与速度方向成锐角，所以粒子做加速运动，若粒子从a点或b点运动到c点，静电力与速度方向成钝角，所以粒子做减速运动，故粒子在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误。
C
3.(电场强度的求解方法)如图所示，用粗细均匀的绝缘线制成直径为L的圆环，OE为圆环的半径，圆环上均匀分布着正电荷，现在圆环上E处取下足够短的带电荷量为q的一小段，将其沿OE连线向下移动L的距离到F点处，设圆环的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，若此时在O点放一个带电荷量为Q的正点电荷，则该点电荷受到的电场力大小为(　　)
C
4.(静电场中的力、电综合问题)如图所示，有一弯管ab，其中心线是半径为r的一段圆弧，弧的圆心处有一个点电荷Q，有一束带负电的粒子流从a端的中点射入，恰能沿中心线通过弯管的粒子应为(　　)
A.质量和速度之比相同的粒子
B.电荷量和质量之比相同的粒子
C.电荷量和动能之比相同的粒子
D.电荷量和速度之比相同的粒子
课后巩固训练
3
A
题组一　共线的三个点电荷在静电力作用下平衡
1.如图所示，两个点电荷的电荷量分别为q1＝4×10－9 C和q2＝－9×10－9 C，分别固定于光滑绝缘水平面上相距20 cm的a、b两点，有一个点电荷c(不计重力)放在a、b所在直线上且静止不动，则该点电荷所处的位置是(　　)
基础对点练
A.在a点左侧40 cm处
B.在a点右侧8 cm处
C.在b点右侧20 cm处
D.无法确定
D
2.如图所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在同一直线上，q2与q3之间的距离是q1与q2之间距离的2倍，每个点电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个点电荷的电荷量绝对值之比|q1|∶|q2|∶|q3|为(　　)
A.9∶4∶9 B.9∶4∶16 C.9∶4∶4 D.9∶4∶36
A
题组二　电场强度的求解方法
3.如图所示，某同学通过摩擦起电使塑料圆盘均匀带负电后水平放置，O点为圆盘中心。一质量为m、电荷量为q(q>0)的轻质带负电塑料小球，轻放在O点正上方的A点处时恰好静止。已知A点到O点的距离为d，重力加速度为g，静电力常量为k，则关于A点对称的B点的电场强度大小为(　　)
B
D
题组三　带电粒子的运动轨迹问题分析方法
5.某电场的电场线分布如图所示，一带电粒子仅在静电力作用下沿图中虚线所示路径运动，先后通过M点和N点。以下说法正确的是(　　)
A.M、N点的场强EM>EN
B.粒子在M、N点的加速度aM>aN
C.粒子在M、N点的速度vM>vN
D.粒子带正电
BC
6.(多选)如图所示，带箭头的线表示某一电场中的电场线的分布情况。一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示。若不考虑其他力，则下列判断中正确的是(　　)
A.若粒子是从A运动到B，则粒子带正电；若粒子是
从B运动到A，则粒子带负电
B.不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子
必带负电
C.若粒子是从B运动到A，则其加速度减小
D.若粒子是从B运动到A，则其速度减小
解析　根据做曲线运动的物体所受合外力指向轨迹内侧可知粒子所受静电力与电场线的方向相反，所以不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电，故A错误，B正确；电场线密的地方电场强度大，所以粒子在B点受到的静电力大，在B点时的加速度较大，若粒子是从B运动到A，则其加速度减小，故C正确；从B到A过程中静电力与速度方向成锐角，静电力做正功，动能增大，速度增大，故D错误。
AC
题组四　静电场中的力、电综合问题
7.(多选)如图所示，可视为点电荷的小球A、B分别带负电和正电，B球固定，其正下方的A球静止在绝缘斜面上，则A球受力个数可能为 (　　)
A.可能受到2个力作用
B.可能受到3个力作用
C.可能受到4个力作用
D.可能受到5个力作用
解析　首先小球A受重力和B球的引力，若重力和引力恰好大小相等，则A球可能平衡，所以A球可能受到2个力的作用；若向上的引力小于A球的重力，则A球会受到斜面的支持力，若要A球处于平衡状态，其必须还要受一沿斜面向上的摩擦力，所以A球有可能受4个力的作用。故A、C正确，B、D错误。
AC
8.(多选)(2024·福建福州高二校联考期末)如图所示，一带电荷量为q的小球A固定于左侧绝缘支架上，右侧有一倾角为37°的绝缘光滑斜面，质量为m的带电小球B静止于斜面上，恰与A球处于同一高度。已知AB间距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则(　　)
B
综合提升练
C
10.如图所示，两个带电小球A、B穿在同一根光滑绝缘细绳上，细绳两端固定在天花板的O点，当整个系统保持平衡时，两小球连线恰好水平，且两小球与悬点O恰好构成一个正三角形，则下列判断正确的是(　　)
A.两小球质量可能不等
B.两小球带的电荷量一定相同
C.细绳张力与两小球之间库仑力之比为2∶3
D.细绳张力与两小球之间库仑力之比为2∶1
11.如图所示，一带负电、电荷量为q＝5×10－3 C、质量为m＝0.1 kg的小物块处于一倾角为θ＝37°的光滑绝缘斜面上，当整个装置处于一水平向左的匀强电场中时，小物块恰处于静止状态(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)求电场强度大小；
(2)若从某时刻开始，电场强度减小为原来的一半，
求小物块下滑距离L＝1.5 m时的速度大小。
答案　(1)150 N/C　(2)3 m/s
解析　(1)小物块受力如图所示，
由受力平衡得
qE－Nsin θ＝0①
mg－Ncos θ＝0②
培优加强练
12.如图所示，带电小球A和B放在倾角为30°的光滑绝缘斜面上，质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上加速运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求：
(1)加速度a的大小；
(2)F的大小。

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