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专题提升二　电场线、等势面与电荷运动轨迹
问题 电场中的功能关系
第一章　静电场
1.会分析电场线、等势面与电荷运动轨迹相结合的问题。
2.会利用功能关系、能量守恒定律分析电场中的综合问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　电场中的功能关系
提升1　电场线、等势面与电荷运动轨迹的综合问题
提升1　电场线、等势面与电荷运动轨迹的综合问题
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(合外力指向轨迹凹侧)，从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
例1 (2024·山西太原高二期中)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　)
A.vM＜vN，aM＜aN B.vM＜vN，φM＜φN
C.φM＜φN，EpM＜EpN D.aM＜aN，EpM＜EpN
C
分析电场线(等势面)与粒子运动轨迹综合问题的一般思路：
(1)根据运动轨迹偏转方向，结合电场线或等势面(电场线总是与等势面垂直，已知等势面时要画出电场线)判断粒子的受力方向，然后进一步判断粒子所带电荷正负、电场强度方向。
(2)根据电场力方向与速度方向的关系判断动能、电势能的变化情况。　　
BC
训练1 (多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是(　　)
A.电子一定从A向B运动
B.若aA>aB，则Q靠近M端且为正电荷
C.无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpAD.B点电势可能高于A点电势
解析　电子仅在静电力作用下可能从A运动到B，也可能从B运动到A，A错误；若aA>aB，说明电子在A点受到的静电力大于在B点受到的静电力，所以A距离点电荷较近，B距离点电荷较远，又因为电子受到的静电力指向轨迹凹侧，因此Q靠近M端且为正电荷，B正确；无论Q是正电荷还是负电荷，若电子从A运动到B，一定是克服静电力做功，若电子从B运动到A，一定是静电力做正功，即一定有EpAD
例2 如图所示，某次雷雨天气，带电云层和建筑物上的避雷针之间形成电场，图中虚线为该电场的三条等差等势线，实线为某带电粒子从A运动到B的轨迹，A、B为运动轨迹上的两点。带电粒子的重力不计，避雷针带负电。则(　　)
A.带电粒子带负电
B.避雷针尖端附近电势较高
C.带电粒子在A点的加速度大于在B点的加速度
D.带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能
提升2　电场中的功能关系
1.只有静电力做功
只发生电势能和动能的相互转化，电势能与动能之和保持不变，功和能之间的关系为W电＝－ΔEp＝ΔEk。
2.只有静电力和重力做功
只发生电势能、重力势能和动能的相互转化，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变，功和能之间的关系为W电＋WG＝－(ΔEp电＋ΔEpG)＝ΔEk。
3.多个力做功
多种形式的能参与转化，要根据不同力做功和不同形式的能之间的转化的对应关系分析，总功等于动能的变化，即W总＝W电＋W其他＝ΔEk。
AD
例3 (多选)一带电小球在空中由A点运动到B点的过程中，只受重力和静电力作用。若重力做功为－3 J，静电力做功为1 J，则小球的(　　)
A.重力势能增加3 J B.电势能增加1 J
C.动能减少3 J D.机械能增加1 J
解析　重力对小球做负功，故重力势能增加了3 J，A正确；静电力对小球做正功，故电势能减少，故电势能减少了1 J，B错误；合力做的功等于动能的增量，由于合力做的总功为－2 J，故动能减少2 J，C错误；除重力和弹簧弹力以外的其他力做的总功等于机械能的增量，故机械能增加1 J，D正确。
随堂对点自测
2
A
1.(电场线与电荷运动轨迹问题)如图所示是两个等量点电荷的电场线分布，虚线是某带电粒子在电场中仅受电场力作用的运动轨迹，图中A、B是轨迹上的两点，则下列说法正确的是(　　)
A.该粒子在A处的电势能比B处的电势能大
B.该粒子在A处的加速度比在B处的加速度要大
C.题中等量点电荷左边为正电荷，右边为负电荷
D.该粒子在A处的动能比在B处的动能大
解析　根据等量点电荷电场线的方向可知，该等量点电荷均
为正电荷，选项C错误；电场线的疏密可以反映电场强度的
大小，电场线越密，电场强度越大，由图可知，A处电场线
疏，则该带电体在A处的加速度比在B处的加速度要小，选
项B错误；根据等量正点电荷电势的特点及电场线的方向可以判断，A处电势比B处电势低，再由运动轨迹判断电场力指向凹侧，即带电体受到吸引力，为负电荷，所以带电体在A处电势能比B处大，选项A正确；带电粒子在电场中仅受电场力作用，在A处电势能要大，根据能量守恒定律可知该粒子在A处的动能比B处的动能小，选项D错误。
AB
2.(等势面与电荷运动轨迹问题)(多选)如图所示，虚线a、b、c表示在O处某一点电荷的电场中的三个等势面，设两相邻等势面间的间距相等。一电子射入电场后的运动轨迹如图中实线所示，其中1、2、3、4表示电子的运动轨迹与等势面的一些交点。由此可以判定(　　)
A.电子在1、2、3、4位置处所具有的电势能与
动能的总和一定相等
B.O处的点电荷一定带负电
C.a、b、c三个等势面的电势关系是φa＞φb＞φc
D.电子从位置1到2和从位置3到4的过程中电场力做功的关系是|W12|＝2W34
解析　电子在运动的整个过程中只受静电力，故只有静
电力做功，静电力做的功等于电势能的减少量，又等于
动能的增加量，故电势能和动能之和不变，故A正确；
因为曲线运动中物体受的合力指向轨迹内侧，故从电
子的运动轨迹可以看出，电子受到斥力，故O处的场源电荷是负电荷，故B正确；沿着电场线方向电势降低，故结合负点电荷的电场线分布规律可知φa＜φb＜φc，故C错误；因为负点电荷的电场不是匀强电场，越靠近场源电荷处电场线越密，故|U12|＞2|U34|，由|W|＝|qU|知从位置1到位置2静电力做的功大于从位置3到位置4静电力做功的两倍，故D错误。
CD
3.(电场中的功能关系)(多选)一个电荷只在静电力作用下从电场中的A点移到B点时，静电力做了5×10－6 J的功，那么(　　)
A.电荷在B点将具有5×10－6 J的电势能
B.电荷在B点将具有5×10－6 J的动能
C.电荷的电势能减少了5×10－6 J
D.电荷的动能增加了5×10－6 J
解析　电荷只在静电力作用下从电场中的A点移到B点时，静电力做正功，电荷电势能减少，静电力做了多少正功，电荷电势能就减少多少，由动能定理可知动能增加量ΔEk＝W电＝5×10－6 J，C、D正确；因电荷在A点的动能和电势能不知道，所以不能确定电荷在B点的动能和电势能，A、B错误。
课后巩固训练
3
A
题组一　电场线、等势面与电荷运动轨迹的综合问题
1.(2023·全国甲卷，18)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是(　　)
基础对点练
解析　带电粒子在电场中做曲线运动，粒子所受静电力指向轨迹的凹侧，如图所示，故A正确。
B
2.一带电粒子沿图中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则(　　)
A.粒子一定带正电
B.粒子的运动是匀变速运动
C.粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D.粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
解析　由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据粒子运动轨迹可知该粒子所受静电力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子做匀变速曲线运动，静电力做正功，粒子的动能增大，电势能减小，故B正确。
AC
3.(多选)如图所示，平行线代表电场线，但未标明方向，一个带正电、电荷量为10－6 C的微粒在电场中仅受静电力作用，当它从A点运动到B点时动能减少了10－5 J，则以下判断正确的是(　　)
A.微粒的运动轨迹如图中的虚线1所示
B.微粒的运动轨迹如图中的虚线2所示
C.B点电势高于A点电势
D.B点电势低于A点电势
解析　由题知，带正电的微粒仅受静电力的作用，从A点运动到B点时动能减少了10－5 J，说明静电力做负功，则知静电力方向水平向左，根据曲线运动的合力指向轨迹的内侧，可知微粒的运动轨迹如题图中虚线1所示，故A正确，B错误；由于微粒带正电，所受静电力水平向左，则电场强度方向水平向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则B点电势高于A点电势，故C正确，D错误。
D
4.两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等差等势面如图中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是(　　)
A.a、b、c、d、e各点中c点电势最高
B.b点和d点的电场强度相同
C.粒子在a点的电势能大于在c点的电势能
D.粒子从a点运动到e点的过程中动能先减小后增大
解析　从粒子运动轨迹看出，轨迹向上弯曲，可知带负电粒子受到了向上的静电力的作用，可知电场强度方向大致向下，沿电场线方向电势逐渐降低，则a、b、c、d、e各点中c点电势最低，故A错误；根据两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面的特点可得，b点和d点的电场强度大小相同，方向不同，故B错误；根据电势能Ep＝qφ可知，负电荷在电势高的地方电势能低，故粒子在a点的电势能小于在c点的电势能，故C错误；粒子从a点运动到e点的过程中电势能先增大后减小，所以动能先减小再增大，故D正确。
D
题组二　电场中的功能关系
5.如图所示，a、b、c三条虚线为电场中的等势面，等势面b的电势为0，且相邻两个等势面间的电势差相等，一个带正电的粒子在A时的动能为10 J，在静电力作用下从A运动到B，在B时速度为0，当这个粒子的动能为7.5 J时，其电势能为(　　)
A.12.5 J B.2.5 J
C.0 D.－2.5 J
解析　粒子在运动过程中只有静电力做功，动能和电势能之和保持不变，在A点时动能为10 J，B点时动能为0，由对称性易知，运动至等势面b时动能为5 J，因此动能和电势能之和为5 J。当动能为7.5 J时，电势能为－2.5 J，故选项D正确。
BD
BC
7.(多选)静电透镜是由带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像的装置，它广泛应用于电子器件(如阴极射线示波管)和电子显微镜中。如图所示为某静电透镜示意图，图中虚线为等差等势面。实线为电场线，一电子束从左侧射入该区域后，沿POR轨迹运动，下列说法正确的是(　　)
A.O点的电场强度小于P点的电场强度
B.各点电势高低为φP＜φO＜φR
C.该电子束从P点到R点的过程中动能一直增大
D.该电子束从P点到R点的过程中电势能一直增大
解析　等势线越密集的地方，电场强度越大，由题图知，则O点的电场强度大于P点的电场强度，故A错误；根据电场线性质，沿电场线方向电势降低，则有φP＜φO＜φR，故B正确；电子束从P点到R点过程中，电场力一直做正功，因此该电子束从P点到R点过程中电势能一直减小，动能一直增大，故C正确，D错误。
AB
8.(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是(　　)
A.金属块带正电荷
B.金属块的机械能减少12 J
C.金属块克服电场力做功8 J
D.金属块的电势能减少4 J
解析　在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，ΔEk＝12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，Wf＝－8 J，重力做功24 J，WG＝24 J，根据动能定理得W总＝WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得W电＝－4 J，所以金属块克服电场力做功4 J，金属块的电势能增加4 J，由于金属块下滑，电场力做负功，所以电场力应该水平向右，所以金属块带正电荷，故A正确，C、D错误；在金属块滑下的过程中重力做功24 J，重力势能减小24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故B正确。
BCD
综合提升练
9.(多选)负点电荷Q固定在正方形的一个顶点上，带电粒子P仅在该电荷的静电力作用下运动时，恰好能经过正方形的另外三个顶点a、b、c，如图所示，则(　 　)
A.粒子P带负电
B.a、b、c三点的电势高低关系是φa＝φc＜φb
C.粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小
D.粒子P在a、b、c三点时的加速度大小之比是2∶1∶2
AC
10.(多选)如图所示，倾角为37°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有平行斜面向上的匀强电场。一质量为m＝1 kg的带正电小物块(视为质点)自斜面底端以v0＝6 m/s的初速度沿斜面向上运动，加速度大小为3 m/s2，方向沿斜面向下，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则在小物块沿斜面向上滑行到最大距离的过程中，小物块的(　　)
A.重力势能增加36 J 　 B.电势能增加42 J
C.机械能增加18 J 　 D.机械能减少24 J
CD
11.(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，不计空气阻力，则小球从M运动到N的过程(　　)
培优加强练
12.如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势均已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，重力加速度为g，求：
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
(2)小球受到的合外力的大小；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移xm(电场足够大)。
解析　(1)作电场线如图甲所示。专题提升二　电场线、等势面与电荷运动轨迹问题　电场中的功能关系
(分值:100分)
选择题1~11题,每小题8分,共88分。
基础对点练
题组一　电场线、等势面与电荷运动轨迹的综合问题
1.(2023·全国甲卷,18)在一些电子显示设备中,让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场,可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线,如果用虚线表示电子可能的运动轨迹,其中正确的是 (　　)
A B
C D
2.一带电粒子沿图中曲线穿过一匀强电场中的等势面,且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd,若不计粒子所受重力,则 (　　)
粒子一定带正电
粒子的运动是匀变速运动
粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
3.(多选)如图所示,平行线代表电场线,但未标明方向,一个带正电、电荷量为10-6 C的微粒在电场中仅受静电力作用,当它从A点运动到B点时动能减少了10-5 J,则以下判断正确的是 (　　)
微粒的运动轨迹如图中的虚线1所示
微粒的运动轨迹如图中的虚线2所示
B点电势高于A点电势
B点电势低于A点电势
4.两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等差等势面如图中虚线所示,一带负电的粒子以某一速度从图中a点进入电场,其运动轨迹为图中实线所示,若粒子只受静电力作用,则下列关于带电粒子的判断正确的是 (　　)
a、b、c、d、e各点中c点电势最高
b点和d点的电场强度相同
粒子在a点的电势能大于在c点的电势能
粒子从a点运动到e点的过程中动能先减小后增大
题组二　电场中的功能关系
5.如图所示,a、b、c三条虚线为电场中的等势面,等势面b的电势为0,且相邻两个等势面间的电势差相等,一个带正电的粒子在A时的动能为10 J,在静电力作用下从A运动到B,在B时速度为0,当这个粒子的动能为7.5 J时,其电势能为 (　　)
12.5 J 2.5 J
0 -2.5 J
6.(多选)质量为m的带电小球在匀强电场中以初速度v0水平抛出,小球的加速度方向竖直向下,其大小为g。重力加速度为g,则在小球竖直分位移为H的过程中,以下结论中正确的是 (　　)
小球的电势能增加了
小球的动能增加了
小球的重力势能减少了
小球的机械能减少了
7.(多选)静电透镜是由带电导体所产生的静电场来使电子束聚焦和成像的装置,它广泛应用于电子器件(如阴极射线示波管)和电子显微镜中。如图所示为某静电透镜示意图,图中虚线为等差等势面。实线为电场线,一电子束从左侧射入该区域后,沿POR轨迹运动,下列说法正确的是 (　　)
O点的电场强度小于P点的电场强度
各点电势高低为φP<φO<φR
该电子束从P点到R点的过程中动能一直增大
该电子束从P点到R点的过程中电势能一直增大
8.(多选)如图所示,在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面,斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J,金属块克服摩擦力做功8 J,重力做功24 J,则以下判断正确的是 (　　)
金属块带正电荷
金属块的机械能减少12 J
金属块克服电场力做功8 J
金属块的电势能减少4 J
综合提升练
9.(多选)负点电荷Q固定在正方形的一个顶点上,带电粒子P仅在该电荷的静电力作用下运动时,恰好能经过正方形的另外三个顶点a、b、c,如图所示,则 (　　)
粒子P带负电
a、b、c三点的电势高低关系是φa=φc<φb
粒子P由a到b电势能增加,由b到c电势能减小
粒子P在a、b、c三点时的加速度大小之比是2∶1∶2
10.(多选)如图所示,倾角为37°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上,斜面上方有平行斜面向上的匀强电场。一质量为m=1 kg的带正电小物块(视为质点)自斜面底端以v0=6 m/s的初速度沿斜面向上运动,加速度大小为3 m/s2,方向沿斜面向下,小物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5,g取10 m/s2,则在小物块沿斜面向上滑行到最大距离的过程中,小物块的 (　　)
重力势能增加36 J 　电势能增加42 J
机械能增加18 J 　机械能减少24 J
11.(多选)如图所示,在水平向右的匀强电场中,质量为m的带电小球以初速度v从M点竖直向上运动,通过N点时,速度大小为2v,方向与电场方向相反,不计空气阻力,则小球从M运动到N的过程 (　　)
动能增加mv2 机械能增加mv2
重力势能增加mv2 电势能减少2mv2
培优加强练
12.(12分)如图所示的匀强电场,等势面是一簇互相平行的竖直平面,间隔均为d,各等势面电势均已在图中标出,现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场,要使小球做直线运动,重力加速度为g,求:
(1)(4分)小球应带何种电荷及其电荷量;
(2)(4分)小球受到的合外力的大小;
(3)(4分)在入射方向上小球运动的最大位移xm(电场足够大)。
专题提升二　电场线、等势面与电荷运动
轨迹问题　电场中的功能关系
1.A　[带电粒子在电场中做曲线运动，粒子所受静电力指向轨迹的凹侧，如图所示，故A正确。]
2.B　[由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据粒子运动轨迹可知该粒子所受静电力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子做匀变速曲线运动，静电力做正功，粒子的动能增大，电势能减小，故B正确。]
3.AC　[由题知，带正电的微粒仅受静电力的作用，从A点运动到B点时动能减少了10－5 J，说明静电力做负功，则知静电力方向水平向左，根据曲线运动的合力指向轨迹的内侧，可知微粒的运动轨迹如题图中虚线1所示，故A正确，B错误；由于微粒带正电，所受静电力水平向左，则电场强度方向水平向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则B点电势高于A点电势，故C正确，D错误。]
4.D　[从粒子运动轨迹看出，轨迹向上弯曲，可知带负电粒子受到了向上的静电力的作用，可知电场强度方向大致向下，沿电场线方向电势逐渐降低，则a、b、c、d、e各点中c点电势最低，故A错误；根据两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面的特点可得，b点和d点的电场强度大小相同，方向不同，故B错误；根据电势能Ep＝qφ可知，负电荷在电势高的地方电势能低，故粒子在a点的电势能小于在c点的电势能，故C错误；粒子从a点运动到e点的过程中电势能先增大后减小，所以动能先减小再增大，故D正确。]
5.D　[粒子在运动过程中只有静电力做功，动能和电势能之和保持不变，在A点时动能为10 J，B点时动能为0，由对称性易知，运动至等势面b时动能为5 J，因此动能和电势能之和为5 J。当动能为7.5 J时，电势能为－2.5 J，故选项D正确。]
6.BD　[分析小球的受力情况，根据牛顿第二定律可知，mg－qE＝ma，解得静电力qE＝mg，方向竖直向上，在小球竖直分位移为H的过程中，静电力做功为－mgH，根据功能关系可知，小球的电势能增加mgH，机械能减少了mgH，A错误，D正确；重力做功为mgH，重力势能减少了mgH，C错误；根据动能定理可知，合外力做功，动能增加了，B正确。]
7.BC　[等势线越密集的地方，电场强度越大，由题图知，则O点的电场强度大于P点的电场强度，故A错误；根据电场线性质，沿电场线方向电势降低，则有φP＜φO＜φR，故B正确；电子束从P点到R点过程中，电场力一直做正功，因此该电子束从P点到R点过程中电势能一直减小，动能一直增大，故C正确，D错误。]
8.AB　[在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，ΔEk＝12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，Wf＝－8 J，重力做功24 J，WG＝24 J，根据动能定理得W总＝WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得W电＝－4 J，所以金属块克服电场力做功4 J，金属块的电势能增加4 J，由于金属块下滑，电场力做负功，所以电场力应该水平向右，所以金属块带正电荷，故A正确，C、D错误；在金属块滑下的过程中重力做功24 J，重力势能减小24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故B正确。]
9.BCD　[由运动轨迹可知，粒子P受引力作用，粒子带正电，故A错误；a、c两点与负点电荷Q的距离相等，b点距离负点电荷Q较远，距离负电荷越远，电势越高，故B正确；正电荷在电势越高(低)的位置，电势能越大(小)，结合A、B选项，粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小，故C正确；由几何关系，a、b、c三点到负点电荷Q的距离关系为ra＝rc＝rb，又根据F＝k＝ma，得aa∶ab∶ac＝2∶1∶2，故D正确。]
10.AC　[物块沿斜面向上运动，对其受力分析，根据牛顿第二定律得mgsin θ＋μmgcos θ－qE＝ma，解得qE＝7 N，物块沿斜面运动的位移为s＝＝6 m，重力势能增加了ΔEp＝mgh＝mgssin θ＝36 J，A正确；电场力做正功，电势能减小，ΔEp′＝－qEs＝－42 J，B错误；机械能的变化量为ΔE＝E2－E1＝mgh－mv2＝
18 J，C正确，D错误。]
11.CD　[小球从M运动到N的过程中，动能增加了ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，故A错误；到达N点时竖直方向速度为0，由匀变速直线运动规律得，小球上升的高度为h＝，由动能定理得W电－mgh＝ΔEk，解得W电＝2mv2，机械能的增加量为ΔE＝W电＝2mv2，电势能减少了2mv2，故B错误，D正确；小球的重力势能增加了ΔEk＝mgh＝mv2，故C正确。]
12.(1)正电荷　　(2)mg　(3)
解析　(1)作电场线如图甲所示。
由题意知，只有小球受到方向向左的静电力，静电力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图乙所示。所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速直线运动。由图乙知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝
所以q＝＝。
(2)由图乙知F合＝＝mg。
(3)由动能定理得－F合xm＝0－mv，
所以xm＝＝。专题提升二　电场线、等势面与电荷运动轨迹问题
电场中的功能关系学习目标　1.会分析电场线、等势面与电荷运动轨迹相结合的问题。2.会利用功能关系、能量守恒定律分析电场中的综合问题。
提升1　电场线、等势面与电荷运动轨迹的综合问题
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(合外力指向轨迹凹侧)，从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
例1 (2024·山西太原高二期中)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　)
A.vM＜vN，aM＜aN B.vM＜vN，φM＜φN
C.φM＜φN，EpM＜EpN D.aM＜aN，EpM＜EpN
分析电场线(等势面)与粒子运动轨迹综合问题的一般思路：
(1)根据运动轨迹偏转方向，结合电场线或等势面(电场线总是与等势面垂直，已知等势面时要画出电场线)判断粒子的受力方向，然后进一步判断粒子所带电荷正负、电场强度方向。
(2)根据电场力方向与速度方向的关系判断动能、电势能的变化情况。　　
训练1 (多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是(　　)
A.电子一定从A向B运动
B.若aA>aB，则Q靠近M端且为正电荷
C.无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpAD.B点电势可能高于A点电势
例2 如图所示，某次雷雨天气，带电云层和建筑物上的避雷针之间形成电场，图中虚线为该电场的三条等差等势线，实线为某带电粒子从A运动到B的轨迹，A、B为运动轨迹上的两点。带电粒子的重力不计，避雷针带负电。则(　　)
A.带电粒子带负电
B.避雷针尖端附近电势较高
C.带电粒子在A点的加速度大于在B点的加速度
D.带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能
提升2　电场中的功能关系
1.只有静电力做功
只发生电势能和动能的相互转化，电势能与动能之和保持不变，功和能之间的关系为W电＝－ΔEp＝ΔEk。
2.只有静电力和重力做功
只发生电势能、重力势能和动能的相互转化，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变，功和能之间的关系为W电＋WG＝－(ΔEp电＋ΔEpG)＝ΔEk。
3.多个力做功
多种形式的能参与转化，要根据不同力做功和不同形式的能之间的转化的对应关系分析，总功等于动能的变化，即W总＝W电＋W其他＝ΔEk。
例3 (多选)一带电小球在空中由A点运动到B点的过程中，只受重力和静电力作用。若重力做功为－3 J，静电力做功为1 J，则小球的(　　)
A.重力势能增加3 J B.电势能增加1 J
C.动能减少3 J D.机械能增加1 J
处理电场中功能关系的四点注意
(1)应用动能定理解决问题需研究包含重力、静电力等所有合外力做的功，即总功。
(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能与其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决问题需明确静电力做功与电势能改变之间的关系，即WAB＝－ΔEp。
(4)有静电力做功的过程，机械能不守恒。　　
训练2 如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点。现有一质量为m、电荷量为－q套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑。已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2。求：
(1)小球滑到C点时的速度大小；
(2)若以C点为零电势点，试确定A点的电势。
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
随堂对点自测
1.(电场线与电荷运动轨迹问题)如图所示是两个等量点电荷的电场线分布，虚线是某带电粒子在电场中仅受电场力作用的运动轨迹，图中A、B是轨迹上的两点，则下列说法正确的是(　　)
A.该粒子在A处的电势能比B处的电势能大
B.该粒子在A处的加速度比在B处的加速度要大
C.题中等量点电荷左边为正电荷，右边为负电荷
D.该粒子在A处的动能比在B处的动能大
2.(等势面与电荷运动轨迹问题)(多选)如图所示，虚线a、b、c表示在O处某一点电荷的电场中的三个等势面，设两相邻等势面间的间距相等。一电子射入电场后的运动轨迹如图中实线所示，其中1、2、3、4表示电子的运动轨迹与等势面的一些交点。由此可以判定(　　)
A.电子在1、2、3、4位置处所具有的电势能与动能的总和一定相等
B.O处的点电荷一定带负电
C.a、b、c三个等势面的电势关系是φa＞φb＞φc
D.电子从位置1到2和从位置3到4的过程中电场力做功的关系是|W12|＝2W34
3.(电场中的功能关系)(多选)一个电荷只在静电力作用下从电场中的A点移到B点时，静电力做了5×10－6 J的功，那么(　　)
A.电荷在B点将具有5×10－6 J的电势能
B.电荷在B点将具有5×10－6 J的动能
C.电荷的电势能减少了5×10－6 J
D.电荷的动能增加了5×10－6 J
专题提升二　电场线、等势面与电荷运动轨迹问题　 电场中的功能关系
提升1
例1 D　[由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，则EpM＜EpN，由能量守恒定律可知，EkM>EkN，故vM>vN；N点附近电场线比M点密，故场强EM训练1 BC　[电子仅在静电力作用下可能从A运动到B，也可能从B运动到A，A错误；若aA>aB，说明电子在A点受到的静电力大于在B点受到的静电力，所以A距离点电荷较近，B距离点电荷较远，又因为电子受到的静电力指向轨迹凹侧，因此Q靠近M端且为正电荷，B正确；无论Q是正电荷还是负电荷，若电子从A运动到B，一定是克服静电力做功，若电子从B运动到A，一定是静电力做正功，即一定有EpA例2 D　[根据带电粒子的运动轨迹可知，带电粒子受到指向曲线弯曲内侧的作用力，即带电粒子与带负电的避雷针之间为相互吸引力，带电粒子带正电，A错误；避雷针带负电，带电云层和建筑物上的避雷针之间形成的电场中，电场线指向避雷针，沿着电场线的方向电势降低，由此可知，避雷针尖端附近电势较低，B错误；等差等势线越密集的位置，电场强度越强，由此可知，B点的电场强度大小大于A点的，由牛顿第二定律a＝，知带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度，C错误；避雷针尖端附近电势较低，即φA＞φB，根据电势能与电势的关系Ep＝qφ，又因为粒子带正电，则带电粒子在A点的电势能大于在B点的电势能，D正确。]
提升2
例3 AD　[重力对小球做负功，故重力势能增加了3 J，A正确；静电力对小球做正功，故电势能减少，故电势能减少了1 J，B错误；合力做的功等于动能的增量，由于合力做的总功为－2 J，故动能减少2 J，C错误；除重力和弹簧弹力以外的其他力做的总功等于机械能的增量，故机械能增加1 J，D正确。]
训练2 (1)　(2)－
解析　(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动过程中电场力做的功为零。
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·＝mv－mv
解得vC＝。
(2)小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝mv，又根据电场力做功与电势能的关系得
W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)
又因为φC＝0，可得φA＝－。
随堂对点自测
1.A　[根据等量点电荷电场线的方向可知，该等量点电荷均为正电荷，选项C错误；电场线的疏密可以反映电场强度的大小，电场线越密，电场强度越大，由图可知，A处电场线疏，则该带电体在A处的加速度比在B处的加速度要小，选项B错误；根据等量正点电荷电势的特点及电场线的方向可以判断，A处电势比B处电势低，再由运动轨迹判断电场力指向凹侧，即带电体受到吸引力，为负电荷，所以带电体在A处电势能比B处大，选项A正确；带电粒子在电场中仅受电场力作用，在A处电势能要大，根据能量守恒定律可知该粒子在A处的动能比B处的动能小，选项D错误。]
2.AB　[电子在运动的整个过程中只受静电力，故只有静电力做功，静电力做的功等于电势能的减少量，又等于动能的增加量，故电势能和动能之和不变，故A正确；因为曲线运动中物体受的合力指向轨迹内侧，故从电子的运动轨迹可以看出，电子受到斥力，故O处的场源电荷是负电荷，故B正确；沿着电场线方向电势降低，故结合负点电荷的电场线分布规律可知φa＜φb＜φc，故C错误；因为负点电荷的电场不是匀强电场，越靠近场源电荷处电场线越密，故|U12|＞2|U34|，由|W|＝|qU|知从位置1到位置2静电力做的功大于从位置3到位置4静电力做功的两倍，故D错误。]
3.CD　[电荷只在静电力作用下从电场中的A点移到B点时，静电力做正功，电荷电势能减少，静电力做了多少正功，电荷电势能就减少多少，由动能定理可知动能增加量ΔEk＝W电＝5×10－6 J，C、D正确；因电荷在A点的动能和电势能不知道，所以不能确定电荷在B点的动能和电势能，A、B错误。]

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