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2025届高三冲刺卷（一）
数学试题
1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2 .回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。问答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1 .已知集合 A = GSN | 力2 — 9%&o},b = {n | 6 GA）,则 AC|B =
A.{1,4,9,16} B.{0il,4,9} C.{1,4,9} D.{0,l,4}
2 .已知命题p：三1＞0,丁＞%,则命题p的否定为
A.m z＞0B.3之＜0,丁＞力 C. V力＞0,134％ D. 1r3＞力
—x1 +2。1 + 3a,%＜ - 1,
! 在R上单调递增，则实数a的取值范围是 J + Lz）-1
A.（ -8,一口 B.[ -1,0] C.[0,l] D.E-1,1]
4 .设3CR,则匕=一1”是“复数之=包+ 1） + （42一0为实数，，的
A.充分必要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
5 .已知双曲线。：靠一a=1（6＞0＞经过点"T,一引，则双曲线C.的离心率为
A 5 口 5 ^ y34 n 34
B-T C- R25
6 .一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转
面围成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴.某同学将一个直角三角形硬纸板
ABC绕斜边BC所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体.测量出AA为2,上、下旋转
面的面积比是2 ： 1,贝ij BC的长度是微信搜《高三答案公众号》获取全科
冲刺卷（一）数学试题第1页（共4页）
7 .已知直线》=ax+"aAO">。)过函数f (z)=I+ 白^图象的对称中心，则与人的最小
值为
A.6 B.7 C.8 D.9
8 .已知函数"z)=l2,-ll，若 g(z) = 2[/(z) 了十 3/(工)，则关于。的方程 g(z) = 7L/(N)12
的解集是
A.｛ -1 Jogs 3 — 1,2) B. 10 — 1, log2 3 — 1,2)
C. ｛0 - 1 > loga 3 3｝ D, ^0 ~ 3^
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 .下列函数，其图象平移后可得到函数、= e，的图象的有
A.y = e"i B.y -e 工—2 C.y = e^ D.y = *
乙
10 .生活中无处不用到数学知识.比如我们的教室，在设计时要求教室的窗户面积与地面面积之
比应不小于15%,但教室的窗户面积小于地面面积，且这个比值越大，通风效果和采光效果
越好.下列说法中，正确的是
A.若教室的窗户面积与地面面积之和为200 m2，则窗户面积至少应该为30 m
B.若窗户面积和地面面积都增加原来的10%,则教室的通风效果不变.
C.若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
D.若窗户面积第一次增加了 7〃%,第二次增加了九%,地面面积两次都增加了4？%,则教
室的通风效果变差
11 .数列｛%｝的前〃项和为S“，已知S”=62 - 2〃aGR),则下列结论正确的是
A.Q”)为等差数列 可能为常数列
C.若储力为递增数列，则归>° D.若｛S“｝为递增数列，则4>1
三、填空题：本题共3小题,每小题5分，共15分。
12 .若函数/Cz)的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，请写出一个有自
公切线的函数=.
13 .设非零向量*b,c满足o〃c,且|a|=2,b = ( -1，百),若向量a在b上的投影向量为一 Jb,
则向量b与C的夹角是.
p21 _ 1 O
14 .函数/z(z) = -+3_，不等式-2)+h(2A%)42对ViGR恒成立，则实数k
e u "i 1
的取值范围是.
冲刺卷(一)数学试题第2页(共4页)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 .（13分）如图，在矩形中，。是AAi的中点，连接BD交AB】于点O,将△ABD沿
直线BD折起，使A点到点C的位置，刚好点C在平面内的正投影是点。.过C作
线段CC1平行且等于BBi，连接AC,A】C】，BC】，C】D^AB=1,AAi=7^
（1）证明:ABi_LBC；
（2）求直线C】D与平面ABC所成角的正弦值.
16 .（15分）（1）在学习三角函数时，某校数学学习小组的同学们通过研究得到这样两个公式：
①sin（a+0） $市（。匚 ） = sin2a — sin年;②siq（a+S），sin（a— ） =85平一cos2a.请你在①
和②中任选一个进行证明.（如果选择两个分别进行证明，则按第一个证明过程给分）-
（2）在△ABC中，内角A,B，。所对的边分别为a ,b 6c ,、且（2占一c）Cos A =ato*C若△.ABC
的面积为有，底边BC上的高为1,求△ABC的周长.
17 .（15分）已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为FN —1,0）,右焦点为Fz,其四个顶点的连
线围成的四边形面积为4展■.过椭圆C的左、右焦点作两条平行直线，与C在1轴上方的部
分分别交于点P,Q.
（1）当P为C的上顶点时,求直线PQ的斜率；
（2）求四边形PK/Q的面积的最大值.
冲刺卷（一）数学试题 第3页（共4页）
18.(17分)“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在2023年火爆“出
圈”后，"村超''热度不减.2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足
的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”.已知甲、乙
两足球队常规时间比赛是平局，需要进行点球比赛决定胜负.甲、乙两队每位球员在对方没
有守门员守球的情况下将足球踢进对方球门的概率均为4 ，甲、乙两队守门员扑出对方球员
点球的概率分别为现甲、乙两队进行点球大赛，每次由一方队员踢球，另一方守门员
2 4
进行守球，轮流进行，两队各有一名球员踢球结束为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方球队
比另一方球队多进‘2个球时，比赛结束.假定甲、乙球队互不影响，各轮结果也互不影响.记在
1轮对抗中，甲队踢进足球为事件A ,乙队踢进足球为事件B.
(1)求 P(A),P(B)；
(2)经过1轮对抗，甲队与乙队踢进足球数之差为X,求X的概率分布列及数学期望；
(3)求恰好在第3轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率.
19.(17分)请同学们阅读以下三段材料：
①若函数”])的导数为/(%),则尸生)的导数叫做的二阶导数,记作广(工).类似
地，二阶导数产(1)的导数叫做f (%)的三阶导数,记作尸3)(工)；三阶导数/ (力)的导数叫
做了包)的四阶导数，……，一般地，〃一i阶导数的导数叫做/(%)的九阶导数，即fM (x)-
(x)T，n>4.
②若 tzGNL定义九! =^X(/z-l)X(〃 — 2)X3X3X2Xl.
③若函数/Cz)在包含力。的某个开区间(“净)上具有n阶导数，那么对于V%6(a,力)，有
八、“ 、 尸殳。)， ， 、广(牝), 、一尸”5), _ 、3 I
g(x)=/(x'o ) -F———(x r- jco) " 一—(彳-4o) ----可 (%-*%()) +, , +
f ( T )
我们将g(1)称为函数FG)在点*=入处的n阶泰勒展开式.例如，
n!
y = cos x在点％ =0处的泰勒展开式为1—~~~F —+ *,* + (~l)n (q +…，
24! C2n)!
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求/a)=In(^ + l)在点x = 0处的3阶泰勒展开式；
(2)设f 1 (%) = cos x在点z = 0处的3阶泰勒展开式为gi(i),试比较fi(i)与gi(%)的
大小；
(3)已知常数a>l,证明：当力无限大时，总有1>/>10即1.
冲刺卷(一)数学试题 第4负(共4页)
@B
2025届高三冲刺卷(一)
数学参考答案及评分意见
1.B【解析】解不等式炉一9工&0,得 0<工<9,则4 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以 B = {0,1,4,9,16,25,36,
49,64,81},所以 A AB = =,1,4,9).故选 B.
2 .C【解析】命题p ： 3x>0,x3>x是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p的否定为Vz>0,/<].故
选C.
_ 2a2_ ],
3 .D【解析】因为f(z)=/ + l在[-1,+8)上单调递增，所以只需要( -2 ’ 解得一
—1 — 2a+3a<( — I)3 + 1
1.故选D.
4.C【解析】若复数7 = (± + 1) +包2 — 1万为实数，则炉一1 = 0,即工=±1.又{一 1}是的真子集，故"工=
一1”是“复数z = G + D + Cr2 — Di为实数”的充分不必要条件.故选C.
5.C【解析"双曲线C：圣一马= 1(90)经过点f/IT, 一当， 噌一黑=1.解得/ = 9,又 .2 = 25,.”=
25 b2 I 5 J 25 256z
34. , 双曲线C的离心率e =十=J^"== .故选C.
6 .A【解析】设AA'与BC的交点为O,OB=x,OC=y,则04 = 1,48 =，^41,4。= 个百.由/1^4^是直
角，得 AB2+AC2=BC2,即工2 + 1+/ + 1 =(2+ )2,得工》=1.①
又由上、下旋转面的面积比是2 ： 1,得AB = 2AC,即在干1 = 2/7不I，所以工2 = 4/ + 3.②
①②两式联立，整理得/一312 — 4 = 0,解得Z=2(舍负值)，可得则BC=n+jt = "| .故选A.
7 .D【解析】函数f(z)=z +工=工- 1 其图象的对称中心为点(1,1),代入直线方程得a +
6 = 1.则岑女=。+!=仕+冬(°+6) = 1 + 4 + 2 +生》5 + 2 户 "=5 + 4 = 9,当且仅当即
ab a b \a b ) a b 7ab a b
a=〈,6 = 1 时，等号成立,所以空2的最小值为9.故选d.
3 3 ab
8.B【解析】由题意，作出函数/(z)的大致图象，如图.
令 m =/(工)，则方程 g(x) = 7[/(x)]2 可变换为 27n 3—7m2+3m=0,即 7 (2加一l)(m—3)=0,解得 m=0 或
3或工
当帆=0 时,/(z)=|2* —1| =0,解得工=0.
当 m= J时,/(工)=|2"一11 =4，解得 z = —1 或 x = log23 —1.
4 Li
当 m=3 时,/G)= I 2工-11 =3,解得工=2.
冲刺卷(一)数学答案 第1页(共7页)
综上所述，关于Z的方程g（x） = 7"Cz）］2的解集是｛0, - l,log23 —1,2｝.故选B.
9.ABD【解析】对于A,函数y = 的图象向右平移1个单位长度可得到函数y = e*的图象，故A正确；
对于B,函数；y = e'—2的图象向上平移2个单位长度可得到函数y = e*的图象，故B正确；
对于C,函数）=e"的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数y = e，的图象，故C错误；
对于D,函数？=9=工=1一心，其图象向左平移In 2个单位长度可得到函数y = e，的图象，故D正确.故
z e
选 ABD.
10.BC【解析】对于A,设窗户面积为a m。则地面面积为（200 — a）m2.
依题意有卜0°一。1 °’解得*&aV100,所以窗户面积至少为蜉n ,故A错误.
a <200—a ,
对于B,记窗户面积为a,地面面积为6,则窗户增加的面积为10% a,地面增加的面积为10% 6.由题可知，
增加面积前窗户面积与地面面积的比为参，增加面积后窗户面积与地面面积的比为雷爵签=粉篝患=
今，所以教室的通风效果不变，故B正确.
b
对于C,记窗户面积为a,地面面积为6,同时增加的面积为C.由题可知，0VaV6,c>0,增加面积前窗户面积与
地面面积的比为:，增加面积后窗户面积与地面面积的比为二;因为年一：="上君三驾=
b b-rc b十c b bkb 十c）
鬻W>°，所以生〉 ，所以同时增加相同的窗户面积和地面面积，教室的通风效果变好了，故C正确；
63 十 c） 。十c b
对于D,记窗户面积为a,地面面积为6,则增加面积后，窗户的面积为（l+m%）（l+〃 ％） a,地面的面积为
（1 +与？%1* 6.由题可知，增加面积前窗户面积与地面面积的比为 ，增加面积后窗户面积与地面面积的比
为-7---- t— 72----- 因为 —7-----T— 71—=一厂二L— q-------------- ，又因为机>0,〃>0,
（1 +听 %）.6 0 +吟 %） 1 + ”叫 +（〃％+m％）
帆+〃、/ o/Y、 0/ 0/（1+帆 %） （1+〃 %） 1 + （〃 %+观 %）+zn %〃 % M
一^―）夜石，所以、一％ ）机％〃％,所以一7---- T— 77 = 一尸—— 会--------------<1,所以
2 1 2 J （1 + %） 江（岁 %） +（〃％+帆％）
与座婴2喈当且仅当m=n时，要处普瞪士里=^ ，通风效果不变，所以无法判断教
（1+ %）.6 b （1 + %） 6匕
室的通风效果是否变差了，故D错误.故选BC.
11.ABC【解析】因为S.=而2-2〃，所以当"=1时,a】=Si=A — 2；
当时R.MSn—S -i =kn2—2n — \_k （m — I）2 — 2（〃-1）1 = 24〃 一（4+2）.
显然当” =1时，上式也成立，所以aa=2kn-Ck+2）.
当"22时，因为%一0“7=2如一（4+2） — ［2笈（〃-1）一凌+2）］ = 23所以｛%｝是以2k为公差的等差数列.
当々=0时，｛%｝为常数列；若｛6｝为递增数列，则公差26>0,即6>0,故选项A,B,C正确.
'k>0,
2
若｛S”｝为递增数列，由函数性质可知 _2 3解得员>y,D错误.故选ABC.
一匹〈万，
冲刺卷（一）数学答案 第2页（共7页）
12.sinz（答案不唯一）【解析】设，（工）=5卜］,由正弦曲线可知，曲线》=/（工）在不同两点
B（竽，1）处的切线方程均为y = l,故直线y = l是其一条自公切线.
135或学 【解析】由6 = （ — 1，用，得|b|=2.因为向量a在b上的投影向量为辞b,由题意得一=一去所以
a b = - 2.设向量 a 与 b 的夹角为。，因为 |a|=2,所以 Q b=|a| |b|cosd = 4cos。= - 2,所以 cos 6 = - 日*,
即a与b的夹角是筌.因为a〃c,所以b与c的夹角是假或空.
o J J
_ _ e2^ _1 9 2
14 .[—2,0]【解析】因为 h (x) = —；-1- . =eT —e~x + ,x?R>
e 乙 I i 乙 i
2 2 2 2 2 工
所以九（/）+&（-］）=罚+/-6-工+广干+ 6一工一1=二百+罚=2.
令"1）=从工）一1,贝”"%）+，（一］）=0,得"2）为奇函数.
又 //(x) = f^pjY4-(ejr — e-x)，= ex +e-z 2" In 4 In 4
(2工 + 1)2 2工+白+ 2
乙
e,+±22,当且仅当e*=±，即力=0时等号成立，
e e
―粤—《竽=野，当且仅当2'=1，即1 = 0时等号成立，
2，+/+ 2
所以,（工）>0,得fG）在R上为增函数.
A（^2-2）+A（2^X2^/（^2-2）+/（2^X0^/（^x2-2X/（-2^）,
所以kx2 +2kx — 2^Q在R上恒成立.
显然归=0时满足；
/<0,
当6#0,需满足 解得一244V0.
［△ = 4公+8440,
综上/G［ —2,0］故答案为［-2,01.
15 .（1）证明：由题意 tan/ABD = 0^=冬，tan/AB】B = ^=乌，
/\Li L Hi51 L
又 0乙 乙
:.NAB 】B + NBAB i = ZABD + ZBAB 1=，,
A ZAOB = y, A AB! ±BD. .................................................................... 3 分
又 ；COJ_平面ABBiA】，ABiU平面ABB】Ai" AB】JLCO. ...................................... 4分
BDriCO=O,BD,COU平面 CBD,： AB】J_平面 CBD. ........................................ 5 分
又TBCU平面CBD, AB-BC................................................................. 6分
⑵解：由⑴可知,OD,OBi ,OC两两垂直.以O为坐标原点,分别以ODQB1，OC所在直线为",y，z轴，建立
冲刺卷（一）数学答案第3页（共7页）
如图所示的空间直角坐标系O—卬Z,则A fo,-y,O g，o,o),C
B
3 , 3 ,0J 9分
设平面ABC的一个法向量为n = （z,y,z）,
令 1 = 1,则、=展,2= 畲，所以n = （l,畲，一笈）. ............................................ n 分
_ |DC, - n\ _3755
设直线GD与平面ABC所成角为a,则sina ~ |DC7| |n|- 55
所以直线C】D与平面ABC所成角的正弦值为........................................... 13分
00
16 .(1)证明：若选①，证明如下：
sin(a+ ) sin(a —f) = (sin a cos )9+cos asin / )(sin a cos f-cos asin / )
= sin2acos2p-coszasin2/
= sin2a(l - sin2 )9) — (1 - sin2a)sinzj9
= sin2(z -sin2s. .............................................................................. 6 分
若选②，证明如下：
sin(a+3) sin(a -S)= (sin a cos g+cos asin j3) (sin a cos -cos asin R)
= sin2acosz/5- cos2asin2^9
=(1 - cos2a)cos2^-cos2a(l_ cos2j9)
=cos2/ -cos2a. .............................................................................. 6 分
(2)解：由(26 — c)cos A=acos C及正弦定理，
得(2sin B — sin Ocos A =sin Acos C
所以 2sin Bcos A =sin Acos C + sin Ceos A，即 2sin Bcos A =sin(A +C) = sin B.
因为在△ABC中，sin BWO,所以cos A =3. ................................................... 9分
又因为OVAVn,所以A=q. ............................................................... 10分
o
冲剌卷（一）数学答案 第4页（共7页）
因为AABC的面积为痣，所以 xaXl=^■，解得。=2痣.
由-^bcsin A =痣，得 6c = 4. ................................................................... 12 分
由余弦定理，得/=从+。2 — 2bccos A ,即 12=b2 +c2 -bc >
所以（6+c）2=36c + 12,即（6+c>=24,所以 6+c = 2的. ........................................14 分
所以AABC的周长为a+6+c = 2同+2痣..................................................... 15分
, 1
2X —X2aX6=4V3 ,
2 修 2=4,
17.解：（1）由题意得 解得 2分
=1, 〃=3,
a2=b2 +c2 9
2 2
所以椭圆C的方程为尹*1,椭圆c的上顶点坐标为（。沟，即P（0,V3）. 3分
因为直线PF,的斜率为4,入（1，0），所以直线QF2的方程为丁=有（工一1）.
Z2 y 2 8
将其代入^~ + = 1,整理得5/—82=0,解得4 = 0或# =卷,
4 J 0
因点Q在1轴上方，所以Q偿，挈）
5分
3 底 _ /T
-c 吏 反
所以直线PQ的斜率为一-----= ~. 6分
o 4
V2
⑵由⑴及题意知，椭圆C：t + 3" = 1,小（-1,0）,艮（1,0）.如图，设过点玛，F2的两条平行线分别交椭圆C
/ O
于点P,R和Q,S,由对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形PKF Q的面积是平行四边形
PRSQ面积的一半. ............................................................................7分
显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线PR的方程为
2 y2
代入Cr+^ = 1,整理得（3/+4）》2 — 6在厂9 = 0,显然人＞0,
设 P（11 ,》1）,R（J：2， 2），则，
9
yxyz~ 3m2+4,
于是 I PR I =yH-m2 5/3]+ 2）2-4“？2 =，1+苏 + 千寸）...... 10 分
y \3m +4） 3m 十4 3m 十4
2
又点f2到直线1一机》+1=0的距离a=x^：,
yi+m2
冲刺卷（一）数学答案第5页（共7页）
lirci . 1、, 12(m2 + 1) 、, 2 12 ^1+m2 一八八
所以四边形 PF】FzQ 的面积 S = fZ |PR I d = wZ X—~~ T+T~4a~ 义 //] +7二n2 =~o3~mm ~4 ............ 12 分3m 十
令_____ ，则 E>l,且m2=尸_],所以 s= 12/ =_L1 9/L ^=_1^2 ,.................... 13 分
3(E —1)十4 3E 十 1 - 1
3 H~
I
因为函数y = 3，+；在[l,+8)上单调递增，所以当z = i时,y = 3z+；取得最小值4,此时S取得最大值3.
........................................................................................15分
2 3 1
18 .解：(1)尸(人)=5*彳=彳，................................................................. 2分
f(b)=T2 x71=17-......................................................................... 4 分
(2)由题可知，X的可能取值为一1,0,1,......................................................... 5分
_ ill __ _ 1112
因为？(* = -1)=2(48)=丁乂牙="，尸(乂 = 0) = (48+48) = (43) + (48)=木乂K + 木乂牙=
Zob Z o Z o
1 _ 1 2 1
y,P(X = l)=P(AB)=yXy = j, ......................................................... 8 分
所以X的分布列为
X -1 0 1
一~ 1 1 1 — .............................................................. 9 分
Jr 6— —2 3—
所以e(x)=—4+o+4=”. ............................................................. 10分
0 6 0
(3)若甲、乙两队进球数之比为2 : 0,则第3轮为1 ： 0,前2轮为1 ： 0,
其概率P7图3XQX"0=金...................................................13分
若甲、乙两队进球数之比为3 ： 1,则第3轮为1 ： 0,前2轮为2 ： 1,
其概率 PzUxJxaxgJxcx xA^.............................................. 16 分
3 2 1 1综上，恰好在第 轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率？=「1+22 =嘉+点=小..................17分
19 .(1)解： "(%) = ln(z + D,z>-l,
112
/'(2)=^^,\(1)=_(2+])2，尸”(])=(1 + 1)3, ........................................ 3 分
.,"'(0) = 1/(0) = - 1,/■⑶(0) = 2,
. /Gc)在点z = 0处的3阶泰勒展开式为
g(x) = ln l + ^r(x-0) + -yp(x—0)2 + ^r(x-0)3=x—57a：2 +J：3. ............................ 5 分
1J 乙！ J! L o
(2)解:依题意，得如包)=1-3工2. ........................................................... 6分
令 hG)= f、(x)—g[ (x) = cos 1―1 + 2,贝!) Az(x) = - sin x+x.
VA，z(x) = l — cos z'0,，无'(了)在 R 上单调递增. .............................................. 8 分
冲刺卷(一)数学答案 第6页(共7页)
又 〃（0）=0, 在（-8,0）上,〃（N）<0,五（工）单调递减；在（0,十8）上,〃殳）>0,五（工）单调递增，
人（0） = 0,即 cos ——xz
故 /l（N）2gl（N）（在7=0 时取等号）. ......................................................... 10 分
（3）证明：已知常数4>1,不妨令卫>1,则不等式㈡工In a>aln <—<=^ ---<0.
x a x a
.............................................................................................. 11分
令g（— =@三一犯巴,x>l,求导得g'G） = l — z,
x a x
当 IV工Ve 时,g' >0;当 z>e 时,g'GXO,
. 函数gCz）在（l,e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减.
当 a2e 时，VzG（a,+8）,g（z）Vg（a）=0,
当IVaVe时，由g（a）=0,得a是函数gG）的一个零点，
_ . . 1 Ina、 一 山.4 , rj. In z In a “一 In a ）
又g（e） =------- >0,而x趋近于正无穷大时，--------- 趋近于------ <0,
e a x a a
因此存在大于e的正数I。，使得g（z0）=0,当I>］。时,g（x）VgGco）=O.
综上可知，对于a>l,存在正数小，使得当工〉工。时，见三一”V0恒成立，
x a
;对于a>l,存在正数工o,使得Vz>N。,一>工。恒成立. ........................................ 13分
已知常数a>l,不妨令1>1,1。&工= >0,
不等式 >logai㈡aln a V0. ..................................................... 14 分
令m&）= 竽一454,则函数帆“）在（0通）上单调递增，在1,+8）上单调递减，
二6。）1Mx = m（e）=~^—aln a.
e
令 H（a）=aln a ,a>l,求导得 H'（a） = l + ln a>0,
函数H（a）在（l,+8）上单调递增，值域为（0,+8）,
存在a°>l,使得U（a°） = L,当a>a。，即a In ［时，V z G （e,+8）加Q ） VO恒成立.
e e
当IVaVa。，即0<々111。<工时，函数7 （。有两个零点，】“2（1<，】<6<，2），
e
对于v c e（力，+8）,7n a）vo恒成立.
因此对于a>l,存在正数tz，使得当t>tz时，竽一aln a<0恒成立，
对于a>l,存在正数心，使得,xa>logax恒成立..................................... 16分
取 M = max{x0 ,a。），对于任意 x>M,ax>xa>logax 成立，
即当］足够大时，总有1>za>logq. ......................................................... 17分
冲剌卷（一）数学答案 第7页（共7页）

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