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4.1 第3课时　三角形的高线、中线和角平分线
【素养目标】
1.熟记三角形的中线、角平分线和高线的定义,并能在具体的三角形中画出它们.
2.知道三角形的三条中线的交点为重心,理解重心的意义.
3.能应用三角形的中线、角平分线和高线的性质解决简单的数学问题.
【重点】
熟记三角形的中线、角平分线和高线的定义.
【自主预习】
1.回忆线段中点的定义:
　　　　
2.回忆角平分线的定义:
　　　　
3.如图,画出△ABC中BC边上的中线和高线.
【参考答案】
1.把一条线段分成两条相等的线段的点.
2.一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线.
3.解:如图,△ABC中BC边上的中线和高线分别为AE,AD.
1.如图,C是线段AB的中点,且AD∶AC=1∶3,若AB=24,则线段BD的长是 (　　)
A.8 B.21 C.20 D.12
2.如图,O为直线AB上一点,过点O向直线AB上方引三条射线OC,OD,OE,且OC平分∠AOD,∠BOE=3∠DOE,∠COE=70°,则∠BOE的度数为 (　　)
A.30° B.45° C.50° D.60°
3.如图,AD是△ABC的中线,则下列结论正确的是 (　　)
A.AB=AC
B.BD=CD
C.BD=AD
D.AC=AD
【参考答案】
1.C　2.D　3.B　
【合作探究】
三角形的高线、中线、角平分线的概念
阅读课本第90页的内容,回答下列问题.
1.明晰概念:
(1)　　　　叫作三角形的高线.
(2)在三角形中,连接一个顶点与它对边　　　　,叫作这个三角形的中线.
(3)在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,　　　　叫作三角形的角平分线.
2.思考:三角形的角平分线与角平分线有什么区别
　　　　
【参考答案】
1.(1)从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
(2)中点的线段
(3)这个角的顶点与交点之间的线段
2.三角形的角平分线是线段,角平分线是射线.
　　一个三角形有　　　　条高线,　　　　条中线,　　　　条角平分线,它们都是　　　　.
【参考答案】
　3　3　3　线段
1.三角形的角平分线、中线、高线中 (　　)
A.每一条都是线段
B.角平分线是射线,其余是线段
C.高线是直线,其余是线段
D.高线是直线,角平分线是射线,中线是线段
2.三角形一边上的中线把原三角形分成两个 (　　)
A.形状相同的三角形
B.面积相等的三角形
C.直角三角形
D.周长相等的三角形
【参考答案】
1.A　2.B
三角形的重心
阅读课本第91页“操作·交流”的内容,回答下列问题.
1.动手操作:分别画出下列三角形的三条中线,观察它们有什么特征
2.你能用折纸的方法折出一个三角形纸片的三条中线吗 试一试.
　　　　
【参考答案】
1.解:
2.略.
　　三角形的三条中线　　　　,这点称为三角形的　　　　.
【参考答案】
　交于一点　重心
如图,AD为△ABC的中线,E为AD的中点,若△ABD的面积为12,则阴影部分的面积为 (　　)
A.20 B.24 C.30 D.12
【参考答案】
D
三角形的高线与角平分线的性质
阅读课本第91页“思考·交流”的内容,回答下列问题.
1.动手操作:分别画出下列三角形的三条角平分线观察它们有什么特征
2.你能用折纸的方法折出一个三角形纸片的三条角平分线吗 试一试.
　　　　
3.动手操作:分别画出下列三角形的三条高线观察它们有什么特征
4.钝角三角形的三条高线所在的直线会交于同一个点吗
　　　　
【参考答案】
1.解:　
2.略.
3.解:
4.会.
　　1.三角形的三条角平分线　　　　.
2.三角形的三条高所在的直线　　　　.
【参考答案】
　1.交于一点　2.交于一点
三角形的①中线、角平分线、高都是线段;②三条高必交于一点;③三条角平分线必交于一点;④三条高必在三角形内.其中正确的是 (　　)
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
【参考答案】
B
三角形角平分线的应用
例1　
如图,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线,若∠BAC=76°,则∠EAD的度数是 (　　)
A.19° B.20° C.18° D.28°
变式训练
如图,BE,CF是△ABC的角平分线,∠A=50°,BE,CF相交于点D,则∠BDC的度数是 (　　)
A.115° B.110° C.100° D.90°
【参考答案】
例1　A
变式训练　A
三角形中线的应用
例2　如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=12 cm2,则阴影部分的面积为　　　　cm2.
变式训练
如图,D是△ABC中AB边上靠近A点的四等分点,即AB=4AD,连接CD,F是AC上一点,连接BF与CD交于点E,E恰好是CD的中点,若S△ABC=8,则△BEC的面积是(　　)
A.4 B.1 C.2 D.3
【参考答案】
例2　3
变式训练　D
三角形高线的应用
例3　如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=70°,∠C=30°.
(1)求∠BAE的度数.
(2)求∠DAE的度数.
(3)探究:小明认为如果将条件∠B=70°,∠C=30°改成∠B-∠C=40°,也能得出∠DAE的度数.若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.
【参考答案】
例3　解:(1)因为∠B+∠C+∠BAC=180°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°.
因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE=∠BAC=40°.
(2)因为AD⊥BC,
所以∠ADE=90°.
而∠ADE=∠B+∠BAD,
所以∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°.
(3)能.
因为∠B+∠C+∠BAC=180°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C.
因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-(∠B+∠C).
因为AD⊥BC,
所以∠ADE=90°.
而∠ADE=∠B+∠BAD,
所以∠BAD=90°-∠B,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-(∠B+∠C)-(90°-∠B)=(∠B-∠C).
因为∠B-∠C=40°,
所以∠DAE=×40°=20°.

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