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2024-2025学年安徽省皖北县中联盟高二下学期3月联考
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
3.下列求导的运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知单调递减的等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
5.已知点是抛物线上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，，，点满足，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点，分别在堤坝斜面与地面上，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，， ，二面角的大小为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线，则下列结论正确的是( )
A. 当时，曲线表示椭圆
B. 当时，曲线表示双曲线
C. 曲线可能表示两条直线
D. 曲线不可能表示抛物线
10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象在的切线的斜率为
B. 函数在上单调递减
C. 是函数的极小值点
D. 是函数的极大值
11.将个数排成行列的一个数阵，如：




该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列其中已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的图象在处的切线方程是 ．
13.已知数列的前项和为，若，，则 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支和左支分别交于点，，若的面积为，且的面积是面积的倍，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知与只有一条公切线，且公切点为，点是上异于点的一点，过点作的另一条切线，切点为．
求的值及直线的方程
若是等腰直角三角形，求直线的方程．
16.本小题分
已知数列满足，．
求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性
若，求证：对，且，都有．
18.本小题分
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴与轴，且经过点，
求的标准方程
若是的右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点求四边形面积的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用其中，，，表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成其中，，，，且，类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面．
若点，，，求平面的方程
求证：是平面的一个法向量
已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
1.
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4.
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6.
7.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：可化为，圆心，半径，
可化为，圆心，半径．
因为与只有一条公切线，
所以两圆内切，，即，
解得．
两圆相减，得公切线的方程为，即．
由题意，得，
若是等腰直角三角形，
所以，故，
由可知直线的斜率，所以直线的斜率．
设直线的方程为，
所以点到直线的距离，解得或，
所以直线的方程为或．
16.解：证明：因为，，
所以，，
所以
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
解：因为，
所以
其中
令，
，
两式相减，得．
所以，
所以．

17.解：的定义域为．
所以，
当时，令，得或，
令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，令，得或，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
证明：不妨设，要证对，，都有，
只需证，即需证，
构造函数，则需证函数在上为增函数，
因为，
所以函数在上为增函数成立，
所以当时，对，且，都有．
18.解：设的方程为，
将点，代入，
得解得
所以的标准方程为．
当直线的斜率为，直线的斜率不存在时，，，
当直线的斜率不存在，直线的斜率为时，，，
所以四边形的面积．
当直线，的斜率存在且不为时，
设直线的方程为，，，
联立，得，
由题意得，，．
所以
，
同理，
四边形的面积
，
令，
则，
所以当，即时，，所以．
综上所述，四边形面积的取值范围．
19.解：，，设是平面的一个法向量，
则令，得，，所以．
设点是平面内任意一点，由，得，
所以平面的方程为．
证明：记平面的方程为，在平面上任取一条直线，直线上任取两点，，
则有，因为，，
所以．
所以，即垂直于平面上任意一条直线，所以是平面的一个法向量．
解：，设为平面的一个法向量，
则令，得，，所以．
因为平面的方程为，所以由知平面的一个法向量为，
设直线的一个方向向量为，则
令，得，，所以．
因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直，
所以，解得，所以
所以平面与平面夹角的余弦值为．
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