资源简介

1.2　向量的基本关系
课标要求　1.理解相等向量及共线向量的概念. 2.掌握向量的夹角及其表示.
【引入】 向量包含两个要素:大小和方向,本节课从这两个要素来研究向量的基本关系.
一、相等向量
探究1 速度相等等价于方向相同、大小相等;两个力相等等价于方向相同、大小相等,还包括作用点相同,那么对于一般的向量相等应满足什么条件呢
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【知识梳理】
1.在数学中,相等向量是指它们的长度　　　　且方向　　　　.向量a与b相等,记作　　　　.
2.若两条有向线段方向相同、长度相等,则它们表示的向量是　　　　的.代表相等向量的有向线段与　　　　　　无关.
温馨提示　(1)一条有向线段在平移后,虽然位置不同,但表示的是相等向量.
(2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,只与大小和方向有关.
(3)相等向量具有传递性,即若a=b,b=c,则a=c.
例1 (1)在四边形ABCD中,|,则四边形ABCD一定是 (　　)
A.正方形 B.长方形
C.菱形 D.等腰梯形
(2)如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是 (　　)
A.
C.
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思维升华　判断向量相等用相等向量的定义.即方向与长度相同.
训练1 (1)在△ABC中,D,E分别为边AB,AC的中点,则如图所示的向量中,相等向量有 (　　)
A.一组 B.两组
C.三组 D.四组
(2)如图,在四边形ABCD中,若,则下列各组向量中相等的是 (　　)
A.
C.
二、共线向量
探究2 图(1)中的两个向量方向有什么关系 图(2)中的两个向量方向有什么关系
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【知识梳理】
1.共线向量(或平行向量)
(1)若两个非零向量a,b的方向　　　　　　,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作　　　　.
(2)两个向量共线或平行,是指表示这两个向量的有向线段所在的直线　　　　或　　　　.
(3)规定:零向量与任一向量　　　　,即对于任意的向量a,都有0∥a.
2.相反向量
若两个向量的长度　　　　、方向　　　　,则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量,其中一个向量为a,则它的相反向量记作　　　　.规定:零向量的相反向量仍是零向量.
温馨提示　(1)相等向量、相反向量是共线向量的特殊情形.
(2)共线向量不具有传递性.即a∥b,b∥ca∥c(因当b=0时不成立).
(3)如果两个向量所在的直线平行或重合,那么这两个向量是共线向量.
(4)由于向量与起点无关,因此向量是可以自由平行移动的.也就是说,任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫作共线向量.
例2 (链接教材P80例2)如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.分别写出图中所示与向量,共线的向量.
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思维升华　(1)共线(平行)向量只限定方向,不包括大小;相等向量和相反向量既包括大小,又包括方向.
(2)非零向量,所在直线分别为l1,l2,且 ∥ ,若l1,l2无公共点,则l1∥l2;若l1,l2有公共点,则l1,l2重合(A,B,C,D四点共线).
训练2 (1)(多选)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是 (　　)
A.|| B.共线
C.共线 D.
(2)“ ∥ ”是“A,B,C,D四点共线”的　　　　条件.
三、向量的夹角
探究3 如图,线段AB与CD交于点O,则能形成几个角,分别有哪些 若我们把∠AOC称为向量,所成的角,则向量所成的角是哪个角 ∠BOC是哪两个向量所成的角
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【知识梳理】
向量的夹角
(1)已知两个非零向量a和b,如图,作=a,=b,则θ=　　　　(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角.
(2)当θ=0°时,a与b　　　　;当θ=180°时,a与b　　　　　　;当θ=90°,a与b垂直,记作　　　　.
(3)由于任何方向都可以作为零向量的方向,规定　　　　可与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都有0⊥a.
温馨提示　(1)向量的夹角是指有公共起点的两个非零向量所成的角.
(2)零向量与任一非零向量既共线又垂直.
例3 (链接教材P81例3)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)分别写出,夹角的大小;
(2)分别指出,的夹角,并求出角的大小.
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思维升华　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出.
训练3 (1)在△ABC中,C=90°,BC=AB,则的夹角等于 (　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
(2)在△ABC中,向量的夹角为α,向量的夹角为β,向量的夹角为γ,则α+β+γ= (　　)
A.0° B.180°
C.270° D.360°
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【课堂达标】
1.(多选)如图所示,设O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是 (　　)
A.
C.
2.下列说法正确的为 (　　)
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的长度相等
C.若,则一定有直线AB∥CD
D.若向量,共线,则点A,B,C,D必在同一直线上
3.等边三角形ABC中,向量,的夹角的大小为　　　　　　;向量,的夹角的大小为　　　　.
4.有下列说法:①若a≠b,则a一定不与b共线;②若a=b,b=c,则a=c;③共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法有　　　　　(填序号).
1.2　向量的基本关系
探究1　提示　长度相等且方向相同.
知识梳理
1.相等　相同　a=b
2.相等　起点位置
例1　(1)C　(2)D　[(1)因为,
所以BA∥CD,BA=CD,
所以四边形ABCD是平行四边形.
又||,所以AB=AD,
所以四边形ABCD是菱形.
(2)根据相等向量的定义,
分析可得A,B不成立;C中,方向相反,故不成立;
D中,方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故成立.]
训练1　(1)A　(2)D　[(1)在△ABC中,D,E分别为边AB,AC的中点,在如题图所示的向量中,相等向量是,有一组.故选A.
(2)∵,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AC,BD互相平分,∴.]
探究2　提示　相同　相反
知识梳理
1.(1)相同或相反　a∥b　(2)重合　平行　
(3)共线
2.相等　相反　-a
例2　解　与共线的向量为:,,;与共线的向量为:,,.
训练2　(1)ABD　(2)必要不充分　[(1)由题意可知AB=EF,
∴||,A正确;
∵AB∥FH,∴共线,B正确;
∵方向相同,CD=FG,
∴,D正确;
∵∠DEH不一定等于∠BDC,故BD与EH不一定平行,所以C错误.
故选ABD.
(2)“”得不出“A,B,C,D四点共线”,而“A,B,C,D四点共线”能得出“”,
因此“”是“A,B,C,D四点共线”的必要不充分条件.]
探究3　提示　形成4个角,有∠AOC,∠AOD,∠BOD,∠BOC;∠AOD是向量所成的角;∠BOC是向量所成的角.
知识梳理
(1)∠AOB　(2)同向　反向　a⊥b　(3)零向量
例3　解　(1)∵方向相反,
∴的夹角为180°.
又AC⊥BE,∴的夹角为90°.
(2)∵,,
∴的夹角等于∠COD=60°.
∵,∴的夹角等于∠AFE=120°.
训练3　(1)C　(2)D　[(1)如图,作向量,则∠BAD等于的夹角.
在△ABC中,因为∠ACB=90°,BC=AB,
所以∠ABC=60°,所以∠BAD=120°.
(2)α,β,γ为△ABC的三个外角,所以α+β+γ=360°.
课堂达标
1.ABC　[∵方向相同,长度相等,
∴A正确;
∵A,O,C三点在一条直线上,
∴,B正确;
∵AB∥CD,∴共线,C正确;
∵方向不同,
∴二者不相等,D错误.]
2.B　[A错,共线的两个单位向量的方向可能相反;B对;C错,直线AB与CD可能重合;D错,AB与CD可能平行,则A,B,C,D四点不共线.]
3.　[因为,的起点相同,所以,的夹角即为角A,大小是平移,使平移后的向量与有相同起点,易知.]
4.②　[对于①,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;
对于②,若a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同,若b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故②正确;
对于③,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故③不正确.](共51张PPT)
1.2　向量的基本关系
第二章　平面向量及其应用　§1　从位移、速度、力到向量
课标要求
1.理解相等向量及共线向量的概念. 2.掌握向量的夹角及其表示.
向量包含两个要素：大小和方向，本节课从这两个要素来研究向量的基本关系.
引入
课时精练
一、相等向量
二、共线向量
三、向量的夹角
课堂达标
内容索引
相等向量
一
探究1速度相等等价于方向相同、大小相等；两个力相等等价于方向相同、大小相等，还包括作用点相同，那么对于一般的向量相等应满足什么条件呢？
提示　长度相等且方向相同.
1.在数学中，相等向量是指它们的长度______且方向______.向量a与b相等，记作________.
2.若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量是______的.代表相等向量的有向线段与__________无关.
知识梳理
a＝b
相等
相同
相等
起点位置
温馨提示
(1)一条有向线段在平移后，虽然位置不同，但表示的是相等向量.
(2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，只与大小和方向有关.
(3)相等向量具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c.
例1
√
所以BA∥CD，BA＝CD，
所以四边形ABCD是平行四边形.
所以AB＝AD，
所以四边形ABCD是菱形.
√
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是
根据相等向量的定义，
判断向量相等用相等向量的定义.即方向与长度相同.
思维升华
(1)在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有
训练1
√
在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，在如题图所示的向量中，相等向量是和，有一组.故选A.
A.一组 B.两组
C.三组 D.四组
√
∴四边形ABCD是平行四边形，
共线向量
二
探究3图(1)中的两个向量方向有什么关系？
图(2)中的两个向量方向有什么关系？
提示　相同　相反
知识梳理
1.共线向量(或平行向量)
(1)若两个非零向量a，b的方向____________，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作________.
(2)两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向线段所在的直线______或______.
(3)规定：零向量与任一向量______，即对于任意的向量a，都有0∥a.
2.相反向量
若两个向量的长度______、方向______，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量，其中一个向量为a，则它的相反向量记作______.规定：零向量的相反向量仍是零向量.
相同或相反
a∥b
重合
平行
共线
相等
相反
－a
温馨提示
(1)相等向量、相反向量是共线向量的特殊情形.
(2)共线向量不具有传递性.即a∥b，b∥c a∥c(因当b＝0时不成立).
(3)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量.
(4)由于向量与起点无关，因此向量是可以自由平行移动的.也就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫作共线向量.
例2
思维升华
(1)共线(平行)向量只限定方向，不包括大小；相等向量和相反向量既包括大小，又包括方向.
(1)(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是
训练2
√
由题意可知AB＝EF，
√
√
∵∠DEH不一定等于∠BDC，故BD与EH不一定平行，所以C错误.
故选ABD.
必要不充分
向量的夹角
三
知识梳理
向量的夹角
∠AOB
(2)当θ＝0°时，a与b______；当θ＝180°时，a与b______；当θ＝90°，a与b垂直，记作________.
(3)由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定________可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a.
同向
反向
a⊥b
零向量
温馨提示
(1)向量的夹角是指有公共起点的两个非零向量所成的角.
(2)零向量与任一非零向量既共线又垂直.
例3
(链接教材P81例3)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
思维升华
求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
训练3
A.30° B.60° C.120° D.150°
√
所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.
A.0° B.180° C.270° D.360°
√
α，β，γ为△ABC的三个外角，所以α＋β＋γ＝360°.
【课堂达标】
1.(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是
√
√
√
√
A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B对；C错，直线AB与CD可能重合；D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.
4.有下列说法：①若a≠b，则a一定不与b共线；②若a＝b，b＝c，则a＝c；
③共线向量是在一条直线上的向量.其中，正确的说法有________(填序号).
对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
对于②，若a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同，若b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故②正确；
对于③，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故③不正确.
②
【课时精练】
√
1.若a为任一非零向量，b是模为1的向量，下列各式；
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝1，其中正确的是
A.①④ B.③④
C.①②③ D.②③
对于①，|a|与|b|大小不确定，故①错误；对于②，a与b可能共线也可能不共线，②错误；③④正确.
√
√
√
4.若向量a与b不相等，则a与b一定
A.不共线
B.长度不相等
C.不可能都是单位向量
D.不可能都是零向量
因为所有的零向量都是相等的向量，故选D.
√
5.下列说法正确的是
A.两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量
B.若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点
C.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.若|a|＝|b|，则a＝b
有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确；
两个相等的非零向量可能在同一直线上，故B不正确；
若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故C正确；
若|a|＝|b|，则只有长度相等，方向不一定相同，故D错误.
6.下列四个命题：
①零向量与任意向量平行且垂直；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若a∥b，则|a|＝|b|；
④若a＝0，则－a＝0.
其中命题正确的是________(填序号).
①④
①零向量的方向任意，故①正确；
②若|a|＝|b|，则a与b方向不定，②错误；
③若a∥b，则|a|与|b|大小不定，③错误；
④正确.
120°
如图，∠DAB＝60°，
6
8.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
∴E，D，C三点共线，
所以四边形ABCD是平行四边形，
10.如图，矩形ACDF中，AC＝2CD，B，E分别是AC，DF的中点，写出：
由题意知
√
11.(多选)下列说法正确的是
√
向量不能比较大小，故B错误；
由向量共线的表示知C正确；
12.(多选)(链接教材P81练习2)下列叙述中正确的是
A.相等向量的起点必定相同
B.非零向量a，b，若a∥b，则a与b的方向相同或相反
C.物理学中的作用力和反作用力是一对共线向量
D.若a与b都是单位向量，则a＝b
√
√
13.如图，半圆的直径AB＝6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3.
由题意知，在△DBE中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，∴△DBE是直角三角形，且∠DEB＝90°.
又∵点C为半圆上一点，AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠DEB＝∠ACB，
(2)∵AC∥DE，
A.3，11 B.3，23 C.7，12 D.7，24
√课时精练19　向量的基本关系
(分值:100分)
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.若a为任一非零向量,b是模为1的向量,下列各式:
①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=1,其中正确的是 (　　)
①④ ③④
①②③ ②③
2.如图所示,梯形ABCD为等腰梯形,则两腰上的向量的关系是 (　　)
|
3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,则向量的夹角为 (　　)
4.若向量a与b不相等,则a与b一定 (　　)
不共线
长度不相等
不可能都是单位向量
不可能都是零向量
5.下列说法正确的是 (　　)
两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量
若任意两个非零向量相等,则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点
若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
若|a|=|b|,则a=b
6.下列四个命题:
①零向量与任意向量平行且垂直;
②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
③若a∥b,则|a|=|b|;
④若a=0,则-a=0.
其中命题正确的是　　　　(填序号).
7.已知在 ABCD中,∠DAB=60°,则的夹角大小为　　　　.
8.如图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)与向量相等的向量有　　　　;
(2)若||=3,则||=　　　　.
9.(13分)如图所示,在四边形ABCD中,,点N,M分别是AD,BC上的点,且.求证:.
10.(13分)如图,矩形ACDF中,AC=2CD,B,E分别是AC,DF的中点,写出:
(1)与相等的向量;
(2)与的相反向量相等的向量;
(3)与共线的向量;
(4)与夹角为45°的向量.
二、综合运用
11.(多选)下列说法正确的是 (　　)
∥ 所在的直线
若向量,|,且同向,则
向量, ∥的意义是相同的
若,则
12.(多选)(链接教材P81练习2)下列叙述中正确的是 (　　)
相等向量的起点必定相同
非零向量a,b,若a∥b,则a与b的方向相同或相反
物理学中的作用力和反作用力是一对共线向量
若a与b都是单位向量,则a=b
13.(17分)如图,半圆的直径AB=6,C是半圆上的一点,D,E分别是AB,BC上的点,且AD=1,BE=4,DE=3.
(1)求证: ∥;
(2)求||;
(3)求向量的夹角的余弦值.
三、创新拓展
14.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,在以A,B,C,D,E,F,O七点中的任意一点为起点,与起点不同的另一点为终点的所有向量中,设与向量相等的向量的个数为m,与向量的模相等的向量的个数为n,则m,n的值分别为 (　　)
3,11 3,23
7,12 7,24
课时精练19　向量的基本关系
1.B　[对于①,|a|与|b|大小不确定,故①错误;对于②,a与b可能共线也可能不共线,②错误;③④正确.]
2.B　[||表示等腰梯形两腰的长度,故相等.]
3.B　[∵AB=AC,∠BAC=,
∴∠ABC=∠ACB=,
则向量.故选B.]
4.D　[因为所有的零向量都是相等的向量,故选D.]
5.C　[有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反,故A不正确;
两个相等的非零向量可能在同一直线上,故B不正确;
若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量,否则不妨设a为零向量,则a与b共线,这与a与b不共线矛盾,故C正确;
若|a|=|b|,则只有长度相等,方向不一定相同,故D错误.]
6.①④　[①零向量的方向任意,故①正确;
②若|a|=|b|,则a与b方向不定,②错误;
③若a∥b,则|a|与|b|大小不定,③错误;
④正确.]
7.120°　[如图,∠DAB=60°,
则的夹角为∠ABC=120°.]
8.(1),　(2)6　[(1)在平行四边形ABCD和平行四边形ABDE中,
∵,,
∴,∴与向量,.
(2)由(1)知,,
∴E,D,C三点共线,
||=6.]
9.证明　因为,
所以||且AB∥DC,
所以四边形ABCD是平行四边形,
所以||且DA∥CB.
又的方向相同,所以.
同理可证,四边形CNAM是平行四边形,所以.
因为||,||,
所以||,
又的方向相同,所以.
10.解　由题意知
(1)与,.
(2)与,,.
(3)与,,,,.
(4)与,,,.
11.CD　[所在直线,故A错误;
向量不能比较大小,故B错误;
由向量共线的表示知C正确;
,,的相反向量,,
所以,故D正确.]
12.BC　[相等向量的起点可以相同,也可以不同,如平行四边形ABCD中,,但两向量不共起点,故A错误;B,C正确;两单位向量长度一定相等,但方向可能不同,故D错误.]
13.(1)证明　由题意知,在△DBE中,BD=5,DE=3,BE=4,∴△DBE是直角三角形,且∠DEB=90°.又∵点C为半圆上一点,AB为直径,
∴∠ACB=90°,即∠DEB=∠ACB,
∴AC∥DE,
(2)解　∵AC∥DE,
∴,即,
∴AC=,即|.
(3)解　向量的夹角∠EDB,
而cos∠EDB=.
14.B　[与向量,,,
所以m=3;与向量,,,,,,,,,,,所以n=23.]

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