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章末复习提升
一、同角三角函数基本关系式的应用
同角三角函数基本关系式的应用主要有以下几个方面:
(1)已知某角的一个三角函数值,求其余的三角函数值;
(2)化简三角函数式;
(3)证明三角恒等式.
在应用两个基本关系式时,应注意的几点:
(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
(3)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用
(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
(4)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
例1 是否存在α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=,cos(-α)=-cos(π+β)同时成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
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训练1 已知=5,则cos2α+sin 2α的值是 (　　)
A.
C.-3 D.3
二、三角函数求值问题
三角函数求值主要有三种类型,即:
(1)“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.
(2)“给值求值”,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.
(3)“给值求角”,本质上还是“给值求值”.在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.
例2 已知tan,且<α<π,求的值.
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训练2 已知0(1)求sin x-cos x的值;
(2)求的值.
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三、三角函数的化简与证明
由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构,所以在三角函数的化简与证明中,应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式,首先从角入手,找出待化简(证明)的式子的特点,然后选择适当的公式“化异为同”,实现三角函数的化简与证明.
化简三角函数式的原则:
1.能求出值的应求出值;
2.使三角函数的种数尽量少;
3.使项数尽量少;
4.尽量使分母不含三角函数;
5.尽量使被开方数不含三角函数;
6.次数尽量低.
例3 求证:tan .
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训练3 求证:=32sin 10°.
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四、三角恒等变换在几何问题中的应用
在几何问题中,常用角表示一些几何量,借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)或函数来求解.
例4 已知锐角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求证:tan A=2tan B;
(2)设AB=3,求AB边上的高.
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训练4 如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形区域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
(2)若R=45 m,求当θ为何值时,矩形ABCD的面积S最大 最大面积是多少 (取≈1.414)
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五、三角恒等变换在研究三角函数性质中的应用
对于研究复杂的三角函数的性质,一般需要经过三角恒等变换,归结为y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B),然后再研究其性质.
例5 已知函数f(x)=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)的图象两相邻对称轴之间的距离为2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,若g(x)-m<0对任意的x∈[0,4]恒成立,求实数m的取值范围.
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训练5 已知函数f(x)=sin 2x+cos(x∈R).
(1)求 f(x)的最大值;
(2)设g(x)=,则把函数f(x)的图象沿x轴至少向左平移多少个单位长度,才可得到函数g(x)的图象
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例1　解　假设存在角α,β满足条件,
则由已知条件可得
由①2+②2得sin2α+3cos2α=2,
又∵sin2α+cos2α=1,
∴cos2α=.
∵α∈,∴cos α=,∴α=.
当α=时,由②式知cos β=,
又β∈(0,π),∴β=,此时①式成立,
∴存在α=,β=满足条件.
训练1　A　[由=5
得=5,
可得tan α=2,
则cos2α+sin 2α=cos2α+sin αcos α=.]
例2　解　=2cos α.
∵tan,
∴tan α=-3,
∵α∈,cos α=-,
∴cos α
=2.
训练2　解　(1)∵sin x+cos x=,
∴(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=,
∴sin xcos x=-,
∵00,cos x<0,sin x-cos x>0,
∴(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=1+,
∴sin x-cos x=.
(2)由
解得sin x=,cos x=-,
∴tan x==-2,
∵sin 2x=-,sin 2x=,
∴.
例3　证明　∵左边=tan
==
=
=右边.
∴tan .
训练3　证明　∵左边==
=
=
=
=
=32sin 10°=右边.
∴原式成立.
例4　(1)证明　∵sin(A+B)=,
sin(A-B)=,
∴ =2.
∴tan A=2tan B.
(2)解　∵∴tan(A+B)=-,
即.
将tan A=2tan B代入上式并整理得
2tan2B-4tan B-1=0,
解得tan B=,舍去负值,
得tan B=.
∴tan A=2tan B=2+.
设AB边上的高为CD,
则AB=AD+DB=,
由AB=3,得CD=2+,
∴AB边上的高为2+.
训练4　解　(1)由题意,可知点M为的中点,所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F,OM与AD交点为E,又图书馆的正面要朝市政府大楼,故有OE=BC,
则BC=2Rsin θ,OF=Rcos θ,
OE=Rsin θ,
所以AB=OF-OE=Rcos θ-Rsin θ.
所以S=AB·BC=2Rsin θ(Rcos θ-Rsin θ)
=R2(2sin θcos θ-2sin2θ)
=R2(sin 2θ-1+cos 2θ)
＝R2sin －R2，θ∈.
(2)因为θ∈,
所以2θ+,
所以当2θ+,
即θ=时,S有最大值.
Smax=(-1)R2=(-1)×452
≈0.414×2 025=838.35(m2).
故当θ=时,矩形ABCD的面积S最大,最大面积为838.35 m2.
例5　解　(1)由已知得f(x)=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx=1-cos 2ωx+sin 2ωx
=+1,
因为函数图象两相邻对称轴之间的距离为2,
所以该函数的最小正周期为4,于是=4,
解得ω=,
所以函数f(x)的解析式为
f(x)=+1.
(2)由题意知g(x)=+1,
当x∈[0,4]时,
,
sin,
g(x)∈[0,+1],
要使g(x)-m<0对任意的x∈[0,4]恒成立,只需m>[g(x)]max,所以m>+1,
因此实数m的取值范围为(+1,+∞).
训练5　解　(1)f(x)=sin 2x+cos
=sin 2x+
=,
故f(x)的最大值为.
(2)设把函数f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度,则得到函数
y=
=的图象,令2x+2t+(k∈Z),
得t=kπ-(k∈Z),
∵t>0,∴当k=1时,得t的最小值为.(共26张PPT)
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第四章　三角恒等变换
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同角三角函数基本关系式的应用主要有以下几个方面：
(1)已知某角的一个三角函数值，求其余的三角函数值；
(2)化简三角函数式；
(3)证明三角恒等式.
一、同角三角函数基本关系式的应用
例1
假设存在角α，β满足条件，
训练1
√
三角函数求值主要有三种类型，即：
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”.在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.
二、三角函数求值问题
例2
训练2
由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子的特点，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数的化简与证明.
化简三角函数式的原则：
1.能求出值的应求出值；
2.使三角函数的种数尽量少；
3.使项数尽量少；
4.尽量使分母不含三角函数；
5.尽量使被开方数不含三角函数；
6.次数尽量低.
三、三角函数的化简与证明
例3
训练3
＝32sin 10°＝右边.
∴原式成立.
在几何问题中，常用角表示一些几何量，借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)或函数来求解.
四、三角恒等变换在几何问题中的应用
例4
训练4
如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形区域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ，
OE＝Rsin θ，
所以AB＝OF－OE＝Rcos θ－Rsin θ.
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ(Rcos θ－Rsin θ)＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)
＝R2(sin 2θ－1＋cos 2θ)
五、三角恒等变换在研究三角函数性质中的应用
例5
已知函数f(x)＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx(ω>0)的图象两相邻对称轴之间的距离为2.
(1)求函数f(x)的解析式；
由已知得f(x)＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx＝1－cos 2ωx＋sin 2ωx
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，若g(x)－m<0对任意的x∈[0，4]恒成立，求实数m的取值范围.
训练5
设把函数f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度，则得到函数

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