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课时精练67　简单几何体的外接球和内切球问题
(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共6分.
一、基础巩固
1.直三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱长均为2,则此三棱柱的外接球的表面积为 (　　)
12π 16π
28π 36π
2.一圆锥底面半径为2,母线长为6,有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底面都相切,则这个球的半径为 (　　)
3.如图,正三棱锥A-BCD中,BC=AD,该三棱锥外接球的表面积为12π,则正三棱锥A-BCD的体积为 (　　)
2
4.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD的面积分别为1,,3,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 (　　)
14π
5.已知三棱锥A-BCD的外接球O,△BCD是边长为 3 ,则球O的体积为 (　　)
π
100π 64π
6.如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的表面积为　　　　.
7.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=2,AC=AB=4,且AC⊥AB,则该三棱锥外接球的表面积为　　　　.
8.如图为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分即榫卯结构啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六个完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁,其中正四棱柱的底面边长为1,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器表面积的最小值为30π,则正四棱柱的高为　　　　.
9.(10分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,其中△ABC是边长为1的正三角形,棱SC=2为球O的直径.求此三棱锥的体积.
10.(10分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=8,AA1=6.
(1)求三棱锥D1-ABC的体积;
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1内放一个体积为V的球,求V的最大值.
二、综合运用
11.(多选)“阿基米德多面体”也称为半正多面体,它是由边数不全相同的正多边形面围成的多面体,体现了数学的对称美.如图,将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共截去八个三棱锥,得到的半正多面体的表面积为12+4,则下列关于该半正多面体的说法中正确的是 (　　)
AB与平面BCD的夹角为
AB=2
与AB的夹角是的棱共有16条
该半正多面体的外接球的表面积为6π
12.如图,在△ABC中,AB=8,BC+AC=12,分别取三边的中点D,E,F,将△BDE,△ADF,△CEF分别沿三条中位线折起,便得A,B,C三点重合于点P,则当三棱锥P-DEF的外接球的体积最小时,其外接球的半径为　　　　,三棱锥P-DEF的体积为　　　　.
13.(13分)如图所示,三棱锥S-ABC中,△ABC与△SBC都是边长为的正三角形,求:
(1)三棱锥S-ABC体积的最大值.
(2)若S,A,B,C四点都在球O的表面上,且球O的半径为时,求二面角S-BC-A的余弦值.
三、创新拓展
14.(16分)已知,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所有棱长均为2,∠DAB=60°.在该棱柱内放置一个球O,设球O的体积为V1,直四棱柱去掉球O剩余部分的体积为V2.
(1)求三棱锥的A-A1B1D1的表面积S;
(2)求的最大值.(只要求写出必要的计算过程,不要求证明)
课时精练67　简单几何体的外接球和内切球问题
1.C　[由直三棱柱的底面边长为2,得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2,
又由直三棱柱的侧棱长为2,
则球心到圆O的球心距d=,
根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,
易得球半径R满足R2=r2+d2=7,
∴此三棱柱的外接球的表面积S=4πR2=28π.]
2.A　[作出圆锥的轴截面如图所示,
O为球心,O1为底面圆心,OO1为球的半径,设为r,由等面积法可得,r(6+6+4),解得r=.]
3.B　[因为三棱锥A-BCD为正三棱锥,
所以BC=CD=BD,AB=AD=AC.
又因为BC=AD,
所以三条侧棱AB,AD,AC两两垂直,不妨设AB=AD=AC=a,
则三棱锥的外接球是棱长为a的正方体的外接球,且球的直径为a.
又三棱锥外接球的表面积为12π,
所以外接球的直径为2,即a=2,
所以正三棱锥A-BCD的体积
V=.]
4.A　[在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,可将其补成长方体,则两者的外接球是同一个,长方体的体对角线就是外接球的直径.
设AB=a,AC=b,AD=c,
由题意得ab=2,ac=6,bc=3,
解得a=2,b=1,c=3.
所以外接球的半径为,
所以外接球的表面积为4π×=14π.]
5.A　[设三棱锥A-BCD的高为h.作AM⊥平面BCD,垂足为M,连接BM.当球心O在线段AM上时,
三棱锥A-BCD的体积最大,
此时,
解得h=9.
设球O的半径为R.
如图,此时A-BCD为正三棱锥,BM==3,OB=OA=R,
则(9-R)2+32=R2,
解得R=5,
所以球O的体积为πR3＝π.]
6.6π　[如图,连接AC,BD交于点O,连接SO,设球的半径为r,
由题意知SO=AO=OC=OD=OB=r,则AB=r.
因为四棱锥的体积V=×(r)2×r=,解得r=,
所以该半球的表面积S=×4πr2+πr2=3πr2=6π.]
7.36π　[如图,设顶点P在底面上的投影为O1.
因为PA=PB=PC,
所以O1A=O1B=O1C,
即点O1是底面三角形ABC的外心.
又AC⊥AB,所以O1为BC的中点.
因为PA=PB=PC=2,AC=AB=4,
所以BC=4,所以AO1=2,
所以PO1=4,故有PA2=A,
即PO1⊥AO1,易得PO1⊥平面ABC.
设外接球的球心为O,半径为R,
则点O必在PO1上,所以O1O=4-R.
在Rt△O1OA中,(4-R)2+(2)2=R2,
解得R=3.
所以S球=4πR2=36π.]
8.5　[由题意知相当于球形容器内有一个长、宽、高分别为2,1,h的长方体,其中h为正四棱柱的高,且各顶点在球形容器表面上,该长方体的外接球半径R=,据此可得S=4πR2=(22+12+h2)π=30π,所以h=5,即正四棱柱的高为5.]
9.解　∵△ABC是边长为1的正三角形,
∴△ABC的外接圆半径r=,S△ABC
=,
∵棱SC=2为球O的直径,
故球的半径R为1,
∴点O到平面ABC的距离
d=,
∴点S到平面ABC的距离为2d=,
∴此三棱锥的体积为S△ABC·2d
=.
10.解　(1)由长方体的几何特征知,D1到平面ABC的距离为DD1=AA1=6,
又S△ABC=AB·BC=24,
所以S△ABC·DD1
=×24×6=48.
(2)设球的半径为R.若该球与三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面均相切,
则R为△ABC的内切圆的半径,
则R(AB+AC+BC)=24,得R=2,
又2R所以Vmax＝π×23＝.
11.AC　[补全该半正多面体得到一正方体,设正方体的棱长为a,由题意知,该半正多面体由6个全等的正方形面和8个全等的正三角形面围成.
由半正多面体的表面积为12+4,
得8×=12+4,
解得a=2(负值舍去),
因为AE⊥平面BCD,
所以∠ABE为AB与平面BCD的夹角,
因为△AEB为直角三角形,且AE=BE,
所以∠ABE=,
所以AB与平面BCD的夹角为,故A正确;AB=,故B错误;
在与AB相交的6条棱中,与AB的夹角是的棱有4条(均不互相平行),又这4条棱中,每一条棱都有3条平行的棱,故与AB的夹角是的棱共有16条,故C正确;
由半正多面体的对称性可知,其中心与相应的正方体的中心是同一点,其为正方体的体对角线的中点O,点O在平面ABE上的投影为O1,则有OO1=1,AO1=1,所以AO=,故该半正多面体的外接球的半径为,面积为4π×()2=8π,故D错误.故选AC.]
12.　[由题意得,三棱锥P-DEF的对棱分别相等,设BC=2a,则AC=12-2a,如图,将三棱锥P-DEF补充成长方体,则面对角线长分别为a,6-a,4,三棱锥P-DEF的外接球即为长方体的外接球,设长方体的长,宽,高分别为x,y,z,
则x2+y2=a2,y2+z2=(6-a)2,x2+z2=16,
所以x2+y2+z2=a2-6a+26,
则外接球半径
r=,
当a=3时,r最小,此时三棱锥P-DEF的外接球的体积最小,
此时r=,解得x=z=2,y=1,
所以VP-DEF=2.]
13.解　(1)如图所示,取BC的中点D,连接SD和AD,
△ABC与△SBC都是正三角形,
所以SD⊥BC,AD⊥BC,又SD∩AD=D,所以BC⊥平面ASD,
过S作SE⊥AD,又SE 平面ASD,
所以SE⊥BC,三棱锥S-ABC体积
V=S△ABC·SE=
×()2SE≤,
故当E与D重合时,
三棱锥S-ABC体积最大,最大值为.
(2)过O分别作面ABC和面SBC的垂线,垂足为F和G,
易知F与G即为△ABC与△SBC的外心,
所以AF==1,
由球O的半径为,可得OA=,
所以OF=.
所以tan ∠ODF=,
所以∠ODF=.
由对称性可得∠ODG=,又因为SD⊥BC,AD⊥BC,
所以∠SDA即为二面角S-BC-A的平面角,
所以∠SDA=∠ODG+∠ODF=.
所以二面角S-BC-A的余弦值为-.
14.解　(1)因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,
所以AA1⊥平面A1B1D1,AA1为三棱锥A-A1B1D1的高,
由∠DAB=60°,所有棱长为2,△A1B1D1为等边三角形,
所以22＝，
Rt△A1AB1,Rt△A1AD1中,
×2×2=2,
×2×2=2,
△AB1D1中,B1D1=2,AB1=AD1=2,过A作AH⊥B1D1于H,AH=,
,
∴S=4+.
(2)设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V,
所以,
所以当V1最大时,取到最大值,
即求棱柱内放置一个球O体积V1最大,即球半径R最大,
若球O与棱柱侧面相切,则半径R即为菱形ABCD的内切圆半径,连接AC与BD交于点E,AC⊥BD,
△ABE中,AE=,BE=1,R1=,
若球O与棱柱上、下底面相切,则半径为R2=1,R2>R1,
所以球O半径最大为R=,此时球O体积V1最大,
V1=π.
V=AA1·SABCD=2×,
V2=V-V1=4π,
此时.培优课　简单几何体的外接球和内切球问题
课标要求　1.掌握简单几何体的外接球和内切球半径的求解方法. 2.能解决与外接球和内切球有关的计算问题.
【引入】 球与简单几何体的外接、内切问题是近几年高考命题的热点之一,这类题很好地考查了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.解题的关键是确定球心的位置,求出球的半径.下面介绍几种求解类型及对应的求解策略.
一、长方体(正方体)的外接球
例1 体积为8 cm3的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为　　　　 cm2.
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迁移 将本例已知变为若一个正方体内接于表面积为4π的球,则该正方体的表面积为　　　　.
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思维升华　(1)长方体或正方体的外接球的球心在其体对角线的中点处.
(2)正方体的棱长为a,其外接球的半径为R,则2R=a.
(3)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,其外接球的半径为R,则2R=.
训练1 (1)若一个长、宽、高分别为3,2,2的长方体的每个顶点都在球O的表面上,则此球的表面积为　　　　.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥A-B1CD1的表面积为4,则正方体外接球的体积为 (　　)
A.4
π
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二、直三棱柱的外接球
例2 (1)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为,则此三棱柱的外接球的体积为　　　　.
(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为54,AB=6,记三棱柱ABC-A1B1C1的外接球为球O,则球O的表面积是　　　　.
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思维升华　(1)直三棱柱外接球的求法——汉堡模型.
①补型:将直三棱柱补成长方体,若其各个顶点在长方体的顶点上,则直棱柱的外接球与长方体的外接球相同.
②作图:构造直角三角形,利用勾股定理.
直三棱柱内接于一球(棱柱的上、下底面为直角三角形),AH的长即为底面三角形斜边的一半,如图所示.
勾股定理:OH2+AH2=OA2 R=.
(2)底面外接圆的半径r的求法.
①正弦定理=2r(通法).
②直角三角形:半径等于斜边的一半.
③等边三角形:半径等于高的三分之二.
④长(正)方形:半径等于对角线的一半.
训练2 (1)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,AB=2,AA1=4,则球O的表面积为 (　　)
A.
(2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为 (　　)
A.
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三、棱锥的外接球
例3 (1)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 (　　)
A.8π B.12π
C.20π D.24π
(2)已知正三棱锥A-BCD的四个顶点在同一个球面上,AB=AC=AD=4,CD=6,则该球的表面积为　　　　.
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思维升华　(1)三条侧棱两两垂直的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥可以构造长方体.
(2)对棱相等的三棱锥可以构造长方体.
(3)有侧棱垂直于底面的棱锥的外接球.
如图,外接球的球心O和底面多边形外接圆的圆心O'的连线垂直于底面,底面多边形外接圆的半径r可通过定义或由正弦定理(如三角形)得到,OO'等于和底面垂直的侧棱的一半,外接球的半径可通过R=得到.
(4)侧棱相等(不互相垂直)的棱锥的外接球.当棱锥的侧棱均相等时,过顶点作底面的垂线,垂足一定是底面多边形外接圆的圆心,这时,球心一定在其高线或高线的延长线上.可利用勾股定理,结合棱锥的高、底面多边形外接圆的半径,得到关于球的半径的方程求解.
训练3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 (　　)
A.
(2)四面体A-BCD的顶点A,B,C,D在同一球面上,AD⊥平面ABC,AD=,AB=2,AC=3,∠CAB=60°,则该四面体的外接球的表面积为　　　　.
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四、内切球
例4 (1)若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球表面积之比为 (　　)
A.3∶1 B.4∶1
C.5∶1 D.6∶1
(2)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知一个堑堵的底面积为6,一个体积为的球与其各面均相切,则该堑堵的表面积为 (　　)
A.18 B.24
C.36 D.48
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思维升华　(1)棱柱的内切球问题
棱柱不一定有内切球,更多的是棱柱的若干面与球相切,即棱柱内放一个球,此时,考虑球半径最大时的情况,要考虑两个方面:一是球与棱柱的上、下两底面均相切;二是球与侧面相切.
(2)棱锥的内切球问题
球与棱锥相内切的问题,主要有两种解题方法:一种是通过棱锥的结构特征,判断出球心的位置,进而得到半径;另一种也是最简单有效的方法,是将几何体分割成高为内切球半径的若干个小棱锥,通过等体积法建立方程求得球的半径.
训练4 (1)已知四面体P-ABC中,PA=4,AC=2,PB=BC=2,PA⊥平面PBC,则四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比值等于 (　　)
A.
(2)已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,侧棱长为3,则其内切球的半径为　　　　.
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【课堂达标】
1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,则其内切球的体积为 (　　)
A.
D.2πa3
2.已知在高为2的正四棱锥P-ABCD中,AB=2,则正四棱锥P-ABCD外接球的体积为 (　　)
A.4π B.
3.球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,点M为棱DD1的中点,则平面ACM截球O所得截面圆的面积为　　　　.
4.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上.
若VP-ABCD=,则球O的体积是　　　　.
培优课　简单几何体的外接球和内切球问题
例1　12π　[由题意知该球即为正方体的外接球,
因为正方体的体积为8 cm3,
所以正方体的棱长为2 cm,
因为正方体的体对角线即为外接球的直径,
设正方体外接球的半径为r,
所以正方体外接球的直径
2r=(cm),
所以半径为r=(cm),
则该球的表面积为S=4πr2=12π(cm2).]
迁移　8　[设正方体的棱长为x,球的半径为R,
则S球=4πR2=4π,解得R=1,
正方体的体对角线长为x,
所以x=2R=2,解得x=.
所以该正方体的表面积为S正=6x2=6×=8.]
训练1　(1)17π　(2)B　[(1)该长方体的体对角线
l=为球的直径,
所以球O的表面积S=4π·=17π.
(2)设正方体的棱长为a,则B1D1=AC=AB1=AD1=B1C=D1C=a,
由于三棱锥A-B1CD1的表面积为4,
所以S=4×(a)2=4,
所以a=,
所以正方体的外接球的半径为,
所以正方体的外接球的体积为
π.]
例2　(1)π　(2)60π　[(1)由直三棱柱的底面边长为,
得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=,
又由直三棱柱的侧棱长为,
则球心到圆O的球心距d=,
根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,
易得球半径R满足R2=r2+d2=2+,
所以此三棱柱的外接球的体积
V＝πR3＝π·＝π.
(2)如图,O1为△A1B1C1的中心,连接A1O1,A1O,OO1.
因为正三棱柱ABC-A1B1C1的底面积S＝×62＝9,
所以其高h=,所OO1=.
由正弦定理,可得底面三角形外接圆的半径
O1A1=,
所以球O的半径R=OA1=,
所以球O的表面积S=4πR2=60π.]
训练2　(1)D　(2)C　[(1)过球心O作平面ABC的垂线,垂足为O'(图略),易知OO'=2,O'A=.
易知OA2=OO'2+O'A2,
所以OA=,
所以球O的表面积S=4π·OA2=.
(2)法一(直接法)
如图1,作出直棱柱ABC-A1B1C1的外接球O.由题意知,直三棱柱的底面是直角三角形,所以△ABC外接圆的圆心是BC的中点E,△A1B1C1外接圆的圆心是B1C1的中点E1.
由球的截面的性质可得直三棱柱外接球的球心O就是线段EE1的中点.
连接OA,AE,在△ABC中,AC⊥AB,
所以BC==5,
所以EA=.
又OE＝AA1＝×12＝6，
由球的截面的性质可得OE⊥平面ABC,
所以OA=.
法二　补形法
由题意可知△ABC是直角三角形,A=90°,
如图2,将直三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面补成矩形,得到长方体ABDC-A1B1D1C1.显然,直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球就是长方体ABDC-A1B1D1C1的外接球,而长方体ABDC-A1B1D1C1的外接球的直径等于长方体的体对角线长,
连接AD1,则AD1==13,
所以直三棱柱外接球的半径为.]
例3　(1)C　(2)64π　[(1)将三棱锥P-ABC补成长方体,如图所示,则球O就是长方体的外接球.因为PA=AB=2,AC=4,△ABC为直角三角形,
所以BC=.
设外接球的半径为R,
依题意可得(2R)2=22+22+(2)2=20,
故R2=5,则球O的表面积为4πR2=20π.
(2)如图所示,取△BCD的中心G,连接AG,则AG⊥底面BCD.
可知该球的球心O在直线AG上,连接OB,BG.
因为底面三角形的边长为6,
所以BG=,
所以AG==2.
设球的半径为R,
则在△BOG中,R2=(R-2)2+(2)2,
解得R=4.
所以该球的表面积为4πR2=64π.]
训练3　(1)A　(2)12π　[(1)如图,由已知条件可知球心在正四棱锥的高上.设球的半径为R,球心为O,正四棱锥的底面中心为O1,则OO1垂直于棱锥底面,OO1=4-R.
在Rt△O1OA中,R2=(4-R)2+2,
解得R=,
所以该球的表面积为4πR2=4π×π.
(2)在△ABC中,由余弦定理可得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos ∠CAB=7,则BC=,
所以△ABC的外接圆的直径为
2r=,
所以r=.
因为AD⊥平面ABC,
所以四面体A-BCD的外接球的半径
R=,
所以外接球的表面积为4πR2=12π.]
例4　(1)C　(2)C　[(1)设底面边长为a,
则r内=a,
r外=a,
则它的外接球与内切球表面积之比为
=5∶1.
(2)一个堑堵的底面积为6,体积为的球与其各面均相切,画出球在底面的俯视图.
如图,设球的半径为r,
r3＝，
可得球的半径r=1,
则棱柱的高为2,
设该棱柱的底面周长为c,
则c·r=6,解得c=12,
则棱柱的侧面积为12×2=24,
故棱柱的表面积为6+24+6=36.]
训练4　(1)C　
(2)　[(1)如图,因PA⊥平面PBC,
故PA⊥PC,PA⊥BC.又PA=4,AC=2,PB=BC=2,
故PC==2,
AB=.
故△PBC为等边三角形,作△PBC的中心O',
连接外接球心O与O',则OO'⊥平面PBC,且OO'=PA=2,连接O'P,OP.
则△OPO'为Rt△,
设外接球的半径为R,OP=R,O'P==2,故R2=4+4=8,R=2.
设内切球半径为r,根据等体积法有VP-ABC=VO-PBC+VO-ABC+VO-PAB+VO-PAC,
即AP·S△PBC＝r(S△PBC＋S△ABC＋S△PAB＋S△PAC)，
代入数据得,),解得r=,故r∶R=.
(2)法一(作截面法)如图,设E为BC的中点,I为底面正方形ABCD的中心,连接SI,SE,则SI⊥平面ABCD,则内切球球心在SI上,设为O,过点O作OH⊥SE交SE于点H,连接IE,IC.
在Rt△SIC中,可求出SI=,
即正四棱锥S-ABCD的高为.
在△SBC中,可求出SE=2,
即正四棱锥S-ABCD的斜高为2.
设内切球的半径为R,则OI=OH=R.
由Rt△SHO与Rt△SIE相似,得,
所以,
所以,
所以R=.
法二(分割法)
设内切球的半径为R,由正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,侧棱长为3,可求得高为,斜高为2.运用分割思想,
可得×22=,
所以R=.]
课堂达标
1.B　[因为球内切于棱长为2a的正方体,
所以球的直径等于正方体的棱长,
所以球的半径为a,
所以该球的体积为·a3＝.]
2.B　[设正方形ABCD的中心为O,正四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,
则OA=,易知球心在OP上,
则R2=(2-R)2+()2,解得R=,
则正四棱锥P-ABCD外接球的体积为
.]
3.　[易知球O的半径为1,设球心到截面的距离为d,截面圆的半径为r,连接OA,OC,OM,
则VO-ACM=VM-AOC,O'为正方形ABCD的中心,连接OO'.
M到平面AOC的距离等于D到平面AOC的距离,为,
即即S△ACM·d＝S△AOC，
易得S△ACM=,S△AOC=,
∴d=.又d2+r2=1,∴r=,
∴截面圆的面积为π×.]
4.　[设球O的半径为R.因为正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,且点P在球面上,
所以PO⊥底面ABCD,PO=R,正方形ABCD的面积S=2R2.
因为VP-ABCD=,
所以VP－ABCD＝×2R2×R＝＝，
解得R＝2，
所以球O的体积V＝πR3＝π×23＝π.](共69张PPT)
培优课　简单几何体的外接球和内切球问题
第六章　立体几何初步
课标要求
1.掌握简单几何体的外接球和内切球半径的求解方法. 2.能解决与外接球和内切球有关的计算问题.
球与简单几何体的外接、内切问题是近几年高考命题的热点之一，这类题很好地考查了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.解题的关键是确定球心的位置，求出球的半径.下面介绍几种求解类型及对应的求解策略.
引入
课时精练
一、长方体(正方体)的外接球
二、直三棱柱的外接球
三、棱锥的外接球
课堂达标
内容索引
四、内切球
长方体(正方体)的外接球
一
例1
由题意知该球即为正方体的外接球，
体积为8 cm3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________ cm2.
12π
因为正方体的体积为8 cm3，所以正方体的棱长为2 cm，
因为正方体的体对角线即为外接球的直径，
设正方体外接球的半径为r，
将本例已知变为若一个正方体内接于表面积为4π的球，则该正方体的表面积为________.
迁移
8
设正方体的棱长为x，球的半径为R，
思维升华
(1)若一个长、宽、高分别为3，2，2的长方体的每个顶点都在球O的表面上，则此球的表面积为________.
训练1
该长方体的体对角线
17π
√
直三棱柱的外接球
二
例2
如图，O1为△A1B1C1的中心，连接A1O1，A1O，OO1.
60π
思维升华
思维升华
训练2
√
过球心O作平面ABC的垂线，垂足为O′（图略），
√
法一(直接法)
如图1，作出直棱柱ABC－A1B1C1的外接球O.由题意知，直三棱柱的底面是直角三角形，所以△ABC外接圆的圆心是BC的中点E，△A1B1C1外接圆的圆心是B1C1的中点E1.
如图2，将直三棱柱ABC－A1B1C1的上、下底面补成矩形，得到长方体ABDC－A1B1D1C1.显然，直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球就是长方体ABDC－A1B1D1C1的外接球，而长方体ABDC－A1B1D1C1的外接球的直径等于长方体的体对角线长，
棱锥的外接球
三
例3
(1)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
A.8π B.12π C.20π D.24π
√
将三棱锥P－ABC补成长方体，如图所示，则球O就是长方体的外接球.因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，
(2)已知正三棱锥A－BCD的四个顶点在同一个球面上，AB＝AC＝AD＝4，CD＝6，则该球的表面积为________.
如图所示，取△BCD的中心G，连接AG，则AG⊥底面BCD.
64π
思维升华
(1)三条侧棱两两垂直的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥可以构造长方体.
(2)对棱相等的三棱锥可以构造长方体.
(3)有侧棱垂直于底面的棱锥的外接球.
思维升华
(4)侧棱相等(不互相垂直)的棱锥的外接球.当棱锥的侧棱均相等时，过顶点作底面的垂线，垂足一定是底面多边形外接圆的圆心，这时，球心一定在其高线或高线的延长线上.可利用勾股定理，结合棱锥的高、底面多边形外接圆的半径，得到关于球的半径的方程求解.
训练3
如图，由已知条件可知球心在正四棱锥的高上.设球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面中心为O1，则OO1垂直于棱锥底面，OO1＝4－R.
√
在△ABC中，由余弦定理可得
12π
内切球
四
例4
(1)若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为
A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶1
√
设底面边长为a，
√
则棱柱的侧面积为12×2＝24，
故棱柱的表面积为6＋24＋6＝36.
思维升华
(1)棱柱的内切球问题
棱柱不一定有内切球，更多的是棱柱的若干面与球相切，即棱柱内放一个球，此时，考虑球半径最大时的情况，要考虑两个方面：一是球与棱柱的上、下两底面均相切；二是球与侧面相切.
(2)棱锥的内切球问题
球与棱锥相内切的问题，主要有两种解题方法：一种是通过棱锥的结构特征，判断出球心的位置，进而得到半径；另一种也是最简单有效的方法，是将几何体分割成高为内切球半径的若干个小棱锥，通过等体积法建立方程求得球的半径.
训练4
如图，因PA⊥平面PBC，
√
(2)已知正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为______________.
法一(作截面法)
如图，设E为BC的中点，I为底面正方形ABCD的中心，连接SI，SE，则SI⊥平面ABCD，则内切球球心在SI上，设为O，过点O作OH⊥SE交SE于点H，连接IE，IC.
【课堂达标】
√
因为球内切于棱长为2a的正方体，
√
设正方形ABCD的中心为O，正四棱锥P－ABCD外接球的半径为R，
3.球O与棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面圆的面积为________.
易知球O的半径为1，设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，连接OA，OC，OM，则VO－ACM＝VM－AOC，O′为正方形ABCD的中心，连接OO′.
设球O的半径为R.因为正四棱锥P－ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且点P在球面上，
【课时精练】
√
1.直三棱柱ABC－A′B′C′的所有棱长均为2，则此三棱柱的外接球的表面积为
A.12π B.16π C.28π D.36π
根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，
易得球半径R满足R2＝r2＋d2＝7，
∴此三棱柱的外接球的表面积S＝4πR2＝28π.
√
作出圆锥的轴截面如图所示，
√
因为三棱锥A－BCD为正三棱锥，
√
在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，可将其补成长方体，则两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是外接球的直径.
设AB＝a，AC＝b，AD＝c，
由题意得ab＝2，ac＝6，bc＝3，
解得a＝2，b＝1，c＝3.
√
设三棱锥A－BCD的高为h.作AM⊥平面BCD，垂足为M，连接BM.
则(9－R)2＋32＝R2，解得R＝5，
6π
如图，连接AC，BD交于点O，连接SO，设球的半径为r，
如图，设顶点P在底面上的投影为O1.
36π
因为PA＝PB＝PC，
所以O1A＝O1B＝O1C，
即点O1是底面三角形ABC的外心.
又AC⊥AB，所以O1为BC的中点.
设外接球的球心为O，半径为R，
则点O必在PO1上，所以O1O＝4－R.
解得R＝3.
所以S球＝4πR2＝36π.
即PO1⊥AO1，易得PO1⊥平面ABC.
5
8.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，它起源于古代汉族建筑中
首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分即榫
卯结构啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左
右、前后完全对称，六个完全相同的正四棱柱分成三组，经
90°榫卯起来.现有一鲁班锁，其中正四棱柱的底面边长为1，欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱的高为________.
9.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，其中△ABC是边长为1的正三角形，棱SC＝2为球O的直径.求此三棱锥的体积.
∵△ABC是边长为1的正三角形，
10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝8，AA1＝6.
(1)求三棱锥D1－ABC的体积；
由长方体的几何特征知，D1到平面ABC的距离为DD1＝AA1＝6，
(2)在三棱柱ABC－A1B1C1内放一个体积为V的球，求V的最大值.
设球的半径为R.若该球与三棱柱ABC－A1B1C1的三个侧面均相切，
则R为△ABC的内切圆的半径，
√
√
补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为a，由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形面和8个全等的正三角形面围成.
解得a＝2(负值舍去)，
因为AE⊥平面BCD，
所以∠ABE为AB与平面BCD的夹角，
因为△AEB为直角三角形，且AE＝BE，
12.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＋AC＝12，分别取三边的中点D，E，F，将△BDE，△ADF，△CEF分别沿三条中位线折起，便得A，B，C三点重合于点P，则当三棱锥P－DEF的外接球的体积最小时，其外接球的半径为________，三棱锥P－DEF的体积为________.
由题意得，三棱锥P－DEF的对棱分别相等，设BC＝2a，则AC＝12－2a，
如图，将三棱锥P－DEF补充成长方体，则面对角线长分别为a，6－a，4，三棱锥P－DEF的外接球即为长方体的外接球，
设长方体的长，宽，高分别为x，y，z，
则x2＋y2＝a2，y2＋z2＝(6－a)2，x2＋z2＝16，
所以x2＋y2＋z2＝a2－6a＋26，
13.如图所示，三棱锥S－ABC中，△ABC与△SBC都是边长为的正三角形，求：
如图所示，取BC的中点D，连接SD和AD，
(1)三棱锥S－ABC体积的最大值.
△ABC与△SBC都是正三角形，
所以SD⊥BC，AD⊥BC，又SD∩AD＝D，所以BC⊥平面ASD，
过S作SE⊥AD，又SE?平面ASD，
所以SE⊥BC，三棱锥S－ABC体积
过O分别作面ABC和面SBC的垂线，垂足为F和G，
14.已知，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所有棱长均为2，∠DAB＝60°.在该棱柱内放置一个球O，设球O的体积为V1，直四棱柱去掉球O剩余部分的体积为V2.
(1)求三棱锥的A－A1B1D1的表面积S；
因为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，
所以AA1⊥平面A1B1D1，AA1为三棱锥A－A1B1D1的高，
由∠DAB＝60°，所有棱长为2，△A1B1D1为等边三角形，
Rt△A1AB1，Rt△A1AD1中，
设直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为V，
若球O与棱柱上、下底面相切，则半径为R2＝1，R2>R1，

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