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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题08 倍长中线与截长补短模型（全等三角形模型）
模型解读 1
常见类型讲解 1
【“倍长中线”模型】 2
1、倍长中线型（基本型） 2
2、类中线 / 中点型（一） 2
3、类中线 / 中点型（二） 2
【“截长补短”模型】 3
真题演练 3
【“倍长中线”问题专练】 3
【“截长补短”问题专练】 4
巩固练习 5
“倍长中线法”是几何中常用的辅助线构造方法，主要用于解决与三角形“中线”或“类中线”（与中点有关的线段）相关的几何问题。通过延长中线或类中线，构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论。
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在 EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证GF＝CD即可。 补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证AH＝EF即可。
【“倍长中线”模型】
1、倍长中线型（基本型）
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线；
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE。若连结BE，则△BDE≌△CDA；
若连结EC，则△ABD≌△ECD。
2、类中线 / 中点型（一）
如图，在△ABC中，D是BC中点；
证明思路：延长FD至点E使DE＝FD，则△FDB≌△EDC。
3、类中线 / 中点型（二）
如图，C为AB的中点；
证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则△BCE≌△ACF；
若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则△ACD≌△BCG。
【“截长补短”模型】
如下图，若要求证AB＋BD＝AC，
1、截长法：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条。
思路：可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可。
2、补短法：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
思路：延长AB至点C′使得AC'＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可。
【“倍长中线”问题专练】
（2020·山东德州·中考真题）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　　；
（2）AD的取值范围是　　；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，AB/BC=1/2，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且EF/BE=1/2，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
（2020·四川乐山·中考真题）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是　 　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．
【“截长补短”问题专练】
（2020·安徽·中考真题）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG=AG．（结论中包含线段的和差等量关系，容易联想到截长补短的方法）
1、课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判断AC与BF的数量关系，并说明理由．
2、阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
3、课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第2页（共6页）中小学教育资源及组卷应用平台
【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题08 倍长中线与截长补短模型（全等三角形模型）
模型解读 1
常见类型讲解 2
【“倍长中线”模型】 2
1、倍长中线型（基本型） 2
2、类中线 / 中点型（一） 2
3、类中线 / 中点型（二） 2
【“截长补短”模型】 3
真题演练 3
【“倍长中线”问题专练】 3
【“截长补短”问题专练】 9
巩固练习 10
“倍长中线法”是几何中常用的辅助线构造方法，主要用于解决与三角形“中线”或“类中线”（与中点有关的线段）相关的几何问题。通过延长中线或类中线，构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论。
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在 EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证GF＝CD即可。 补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证AH＝EF即可。
【“倍长中线”模型】
1、倍长中线型（基本型）
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线；
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE。若连结BE，则△BDE≌△CDA；
若连结EC，则△ABD≌△ECD。
2、类中线 / 中点型（一）
如图，在△ABC中，D是BC中点；
证明思路：延长FD至点E使DE＝FD，则△FDB≌△EDC。
3、类中线 / 中点型（二）
如图，C为AB的中点；
证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则△BCE≌△ACF；
若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则△ACD≌△BCG。
【“截长补短”模型】
如下图，若要求证AB＋BD＝AC，
1、截长法：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条。
思路：可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可。
2、补短法：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
思路：延长AB至点C′使得AC'＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可。
【“倍长中线”问题专练】
（2020·山东德州·中考真题）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　　；
（2）AD的取值范围是　　；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，AB/BC=1/2，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且EF/BE=1/2，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【详解】解：（1）如图，AD是中线，
在与中，
故答案为：
（2）
故答案为：
（3）证明：延长至点，使，
∵是的中线
∴
在和中
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵
∴
（4）证明：延长至点使，连接、、
∵G为的中点
∴
在和中
∴
∴
在中，∵，
∴
又矩形中，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又为的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵G为的中点，
∴，
即．
（2020·四川乐山·中考真题）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是　OE＝OF　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．
【答案】（1）；（2）补图见解析，仍然成立，证明见解析；（3），证明见解析
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2） 可知 ，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【“截长补短”问题专练】
（2020·安徽·中考真题）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG=AG．（结论中包含线段的和差等量关系，容易联想到截长补短的方法）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠EAD=90 ，AO=BC，AD∥BC，
在△EAF和△DAB，
，
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E=∠BDA，
∵∠BDA+∠ABD=90 ，
∴∠E+∠ABD=90 ，
∴∠EGB=90 ，
∴BG⊥EC；
（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，
∵AF∥BC，∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC，
∴，又AF=AB=1，
∴即，
解得：，（舍去）
即AE=；
（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，
在△EAH和△DAG，
，
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，
∵∠EAH+∠DAH=90 ，
∴∠DAG+∠DAH=90 ，
∴∠HAG=90 ，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴即，
∴GH=AG，
∵GH=EG-EH=EG-DG，
∴．
1、课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判断AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AC=BF，理由见解析
【详解】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中
∵，
∴△ADC≌△EDB（SAS）．
∴BE=AC=3．
∵AB-BE∵2∵AE=2AD
∴1（2）AC=BF，理由如下：
延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，
在△ADC和△GDB中，
，
∴△ADC≌△GDB（SAS）．
∴BG=AC，∠G=∠DAC．．
∵AE=EF
∴∠AFE=∠FAE．
∴∠DAC=∠AFE=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF
∴AC=BF．
2、阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）线段DF与AD的数量关系为：．
证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：
∵点F为BE的中点，
∴
在和中，
∵，
∴
∴，，
∴
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE
∴，，
∴
∵是等边三角形
∵，，
∴
∵，
∴
在和中，
∵，
∴
∴，，
∴
∴是等边三角形，
∴．
3、课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分．
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