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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题14 角平分线模型
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、角平分线垂两边型 1
2、截取构造对称全等型 2
3、角平分线垂中间型 3
4、角平分线与平行线结合型 3
真题演练 3
巩固练习 4
角平分线模型是处理与角平分线相关的几何问题的有力工具。比如，题目中给出一个角AOB，角平分线OC将角AOB平分为两个相等的角。此时，我们可以利用角平分线的性质，如角平分线上的点到角两边的距离相等，来构造等边三角形、等腰三角形等辅助图形，从而简化问题。
1、角平分线垂两边型
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
如图，P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N.
结论：.
特殊情况 直角三角形—含直角型
如图，在中，，为的角平分线，过点D作.
结论：.
2、截取构造对称全等型
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
如图，点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F（在角的两边上取相等的线段），且，连接DE、DF.
结论：.
3、角平分线垂中间型
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。
结论：△OAB是等腰三角形，OP是三线合一等。
4、角平分线与平行线结合型
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系。
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ//ON，交OM于点Q。
结论：△POQ是等腰三角形。
（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
1、在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
2、如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．
（1）求证：；
（2）若AD＝3，AB＝8，求AH的长．
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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题14 角平分线模型
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、角平分线垂两边型 1
2、截取构造对称全等型 2
3、角平分线垂中间型 3
4、角平分线与平行线结合型 3
真题演练 3
巩固练习 6
角平分线模型是处理与角平分线相关的几何问题的有力工具。比如，题目中给出一个角AOB，角平分线OC将角AOB平分为两个相等的角。此时，我们可以利用角平分线的性质，如角平分线上的点到角两边的距离相等，来构造等边三角形、等腰三角形等辅助图形，从而简化问题。
1、角平分线垂两边型
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
如图，P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N.
结论：.
特殊情况 直角三角形—含直角型
如图，在中，，为的角平分线，过点D作.
结论：.
2、截取构造对称全等型
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
如图，点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F（在角的两边上取相等的线段），且，连接DE、DF.
结论：.
3、角平分线垂中间型
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。
结论：△OAB是等腰三角形，OP是三线合一等。
4、角平分线与平行线结合型
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系。
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ//ON，交OM于点Q。
结论：△POQ是等腰三角形。
（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选C．
（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)84
【详解】（1）证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）如图，作，
∵的周长为56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
1、在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【答案】(1)猜想：
(2)猜想：．证明见解析
【详解】（1）猜想：．
证明：如图②，在上截取，连接，
为的角平分线时，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）猜想：．
证明：在的延长线上截取，连接．
平分，
．
在与中，
，，，
．
，．
，
又
，，
，
．
．
．
2、如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．
（1）求证：；
（2）若AD＝3，AB＝8，求AH的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
∵平分，，
∴，
在与中，，
∴，
，
，
．
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）已证：，
，
设，则，
，
，
在和中，，
，
，
，
解得，
即的长为．
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