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4.1　导数的加法与减法法则
课标要求　1.理解并掌握导数的加法法则与减法法则. 2.能利用导数公式与加法和减法法则求函数的导数.
【引入】 我们前面学习了求单个函数的导数的方法，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的和、差的导数呢？
一、导数的加法与减法法则及简单求导
探究 设f(x)＝x2，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？
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【知识梳理】
导数的加法与减法法则
两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即
[f(x)＋g(x)]′＝________，
[f(x)－g(x)]′＝________.
温馨提示　[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x).
例1 (链接教材P67例1)求下列函数的导数：
(1)y＝x4＋x3＋cos x－ln 5；
(2)y＝ln x－sin x；
(3)y＝5x＋log2x－3.
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思维升华　应用加法、减法法则求导时的关注点
(1)函数的解析式是基本初等函数的和与差构成的形式.
(2)熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提.
训练1 (1)已知函数f(x)＝x－cos x，则函数f(x)的导函数为(　　)
A.1－cos x B.1＋sin x
C.1－sin x D.1＋cos x
(2)已知f(x)＝sin x＋cos x＋，则f′＝(　 )
A.－1＋ B.＋1
C.1 D.－1
二、求复杂函数的导数
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝1＋2sin cos ；
(3)y＝(x2＋2x).
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思维升华　应用加法、减法法则求复杂函数的导数的两种技巧
(1)分拆函数，函数的解析式是否由基本初等函数的和与差构成的形式，不是的应先化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式.
(2)恒等变形，对三角函数式的求导，注意运用三角恒等式先化简再求导.
训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝(1－3x)2；(2)y＝(＋1)；
(3)y＝cos2－sin2.
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三、导数的加法与减法法则的应用
例3 (链接教材P68例2)已知曲线S：y＝x3－2x.
(1)求曲线S在点A(2，4)处的切线方程；
(2)求过点B(1，－1)并与曲线S相切的直线方程.
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思维升华　求切线方程的关注点
(1)求过点P的曲线的切线方程时应注意，P点在曲线上还是不在曲线上，两种情况的解法是不同的.
(2)充分利用切点满足的三个关系：
①切点坐标满足曲线方程；
②切点坐标满足对应切线的方程；
③切线的斜率是函数在此切点处的导数值.
训练3 已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求不等式f′(x)<0的解集.
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【课堂达标】
1.函数f(x)＝x＋的导数f′(x)＝(　　)
A.1－ B.1－
C.1＋ D.1＋
2.曲线f(x)＝＋x2在(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A.3x＋2y＋1＝0 B.3x＋2y－7＝0
C.3x－2y＋1＝0 D.3x－2y－7＝0
3.已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为________.
4.已知函数f(x)＝ex－＋x，则f′(1)＝________.
4.1　导数的加法与减法法则
探究　提示　设y＝f(x)＋g(x)＝x2＋x.
∵＝
＝
＝Δx＋2x＋1，
∴[f(x)＋g(x)]′＝ ＝ (Δx＋2x＋1)＝2x＋1，
而f′(x)＝2x，g′(x)＝1，
∴[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x).
同理可得[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x).
知识梳理
f′(x)＋g′(x)　f′(x)－g′(x)
例1　解　(1)y′＝(x4＋x3＋cos x－ln 5)′
＝(x4)′＋(x3)′＋(cos x)′－(ln 5)′
＝4x3＋3x2－sin x.
(2)y′＝(ln x－sin x)′＝(ln x)′－(sin x)′＝－cos x.
(3)y′＝(5x＋log2x－3)′＝(5x)′＋(log2x)′－3′＝5xln 5＋.
训练1　(1)B　(2)D　[(1)依题意f′(x)＝1＋sin x.
(2)由f(x)＝sin x＋cos x＋，
得f′(x)＝cos x－sin x，
所以f′＝cos －sin ＝－1.]
例2　解　(1)∵y＝x＝x＋2＋，
∴y′＝1－.
(2)∵y＝1＋2sin cos ＝1＋sin x，
∴y′＝cos x.
(3)∵y＝(x2＋2x)＝x＋2x，
∴y′＝x＋3x.
训练2　解　(1)∵y＝(1－3x)2＝9x2－6x＋1，
∴y′＝18x－6.
(2)∵y＝(＋1)＝1－＋－1＝－＋＝－x＋x－，
∴y′＝－x－－x－.
(3)∵y＝cos2－sin2＝cos x，
∴y′＝－sin x.
例3　解　(1)∵y＝x3－2x，则y′＝3x2－2，
∴当x＝2时，y′＝10，即切线的斜率为10，
∴点A处的切线方程为y－4＝10(x－2)，
即10x－y－16＝0.
(2)设P(x0，x－2x0)为切点，
则切线的斜率为3x－2，
故切线方程为y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，
又知切线过点(1，－1)，代入上述方程
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
解得x0＝1或x0＝－.
∴切线斜率为1或－，
∴所求的切线方程为
y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)，
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
训练3　解　(1)依题意，函数f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝2x－，
∴f(1)＝12－ln 1＝1，f′(1)＝2－1＝1，
因此，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝x－1，即y＝x.
(2)由(1)知f′(x)＝2x－，且x>0，
故由f′(x)<0，得
解得0故不等式f′(x)<0的解集为.
课堂达标
1.A　[f′(x)＝′＝x′＋′＝1－.]
2.C　[∵f(x)＝＋x2＝x－＋x2，
∴f′(x)＝(x－＋x2)′＝(x－)′＋(x2)′＝－x－＋2x，
∴f′(1)＝.
又f(1)＝2，
∴所求切线的方程为y－2＝(x－1)，
即3x－2y＋1＝0.]
3.14　[∵g′(x)＝f′(x)＋1，
∴g′(1)＝f′(1)＋1＝14.]
4.e＋　[∵f′(x)＝ex＋＋x－，
∴f′(1)＝e＋1＋＝e＋.](共48张PPT)
第二章 §4　导数的四则运算法则
4.1　导数的加法与减法法则
课标要求
1.理解并掌握导数的加法法则与减法法则. 2.能利用导数公式与加法和减法法则求函数的导数.
我们前面学习了求单个函数的导数的方法，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的和、差的导数呢？
引入
课时精练
一、导数的加法与减法法则及简单求导
二、求复杂函数的导数
三、导数的加法与减法法则的应用
课堂达标
内容索引
导数的加法与减法法则及简单求导
一
探究 设f(x)＝x2，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？
而f′(x)＝2x，g′(x)＝1，
∴[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x).
同理可得[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x).
导数的加法与减法法则
两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即
[f(x)＋g(x)]′＝________________________，
[f(x)－g(x)]′＝________________________.
知识梳理
f′(x)＋g′(x)
f′(x)－g′(x)
温馨提示
[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x).
例1
(链接教材P67例1)求下列函数的导数：
(1)y＝x4＋x3＋cos x－ln 5；(2)y＝ln x－sin x；(3)y＝5x＋log2x－3.
应用加法、减法法则求导时的关注点
(1)函数的解析式是基本初等函数的和与差构成的形式.
(2)熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提.
思维升华
(1)已知函数f(x)＝x－cos x，则函数f(x)的导函数为
A.1－cos x B.1＋sin x C.1－sin x D.1＋cos x
训练1
√
依题意f′(x)＝1＋sin x.
√
求复杂函数的导数
二
例2
思维升华
应用加法、减法法则求复杂函数的导数的两种技巧
(1)分拆函数，函数的解析式是否由基本初等函数的和与差构成的形式，不是的应先化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式.
(2)恒等变形，对三角函数式的求导，注意运用三角恒等式先化简再求导.
训练2
(1)∵y＝(1－3x)2＝9x2－6x＋1，∴y′＝18x－6.
导数的加法与减法法则的应用
三
例3
(链接教材P68例2)已知曲线S：y＝x3－2x.
(1)求曲线S在点A(2，4)处的切线方程；
∵y＝x3－2x，则y′＝3x2－2，
∴当x＝2时，y′＝10，即切线的斜率为10，
∴点A处的切线方程为y－4＝10(x－2)，
即10x－y－16＝0.
(2)求过点B(1，－1)并与曲线S相切的直线方程.
思维升华
求切线方程的关注点
(1)求过点P的曲线的切线方程时应注意，P点在曲线上还是不在曲线上，两种情况的解法是不同的.
(2)充分利用切点满足的三个关系：
①切点坐标满足曲线方程；
②切点坐标满足对应切线的方程；
③切线的斜率是函数在此切点处的导数值.
训练3
已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
【课堂达标】
√
√
3.已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为________.
14
∵g′(x)＝f′(x)＋1，
【课时精练】
√
1.函数f(x)＝x2－2x的导函数为f′(x)＝
A.2x－2x B.2x－2xln 2 C.2x＋2x D.2x＋2xln 2
∵f(x)＝x2－2x，
√
√
3.已知函数f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)为f(x)的导函数，则
A.f(x)＋f′(x)＝2sin x B.f(x)＋f′(x)＝2cos x
C.f(x)－f′(x)＝－2sin x D.f(x)－f′(x)＝－2cos x
因为f(x)＝sin x＋cos x，
√
4.若对任意x∈R，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则
A.f(x)＝x4－2 B.f(x)＝x4
C.f(x)＝4x3－5 D.f(x)＝x4＋2
由f′(x)＝4x3知：f(x)＝x4＋C且C为常数，
√
5.(多选)已知曲线y＝x3－x＋1在点P处的切线平行于直线y＝2x，那么点P的坐标可以为
A.(1，0) B.(1，1) C.(－1，1) D.(0，1)
√
设y＝f(x)＝x3－x＋1，则f′(x)＝3x2－1.
6.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝f′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.
∵f(x)＝f′(e)＋ln x，
7.若直线y＝2x＋b为曲线y＝ex＋x的一条切线，则b＝________.
1
设切点为(x0，ex0＋x0)，又y′＝ex＋1，
2
8.已知函数f(x)＝x＋sin x＋1，其导函数记为f′(x)，则f(2 025)＋f′(2 025)＋
f(－2 025)－f′(－2 025)＝________.
因为f′(x)＝1＋cos x，
所以f′(x)为偶函数，
所以f′(2 025)－f′(－2 025)＝f′(2 025)－f′(2 025)＝0，
所以原式＝f(2 025)＋f(－2 025)＝2 025＋sin 2 025＋1＋(－2 025－sin 2 025＋1)＝2.
10.已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求f′(x)；
∵f(x)＝x3＋x－16，则f′(x)＝3x2＋1.
(2)求曲线y＝f(x)过点(2，－14)的切线的方程.
√
11.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫作f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
因为f(x)＝x3－2x，所以f′(x)＝3x2－2.
令x0为f(x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”，
12.(多选)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为
A.f(x)＝cos x B.f(x)＝x3＋x＋1
C.f(x)＝x3＋sin x D.f(x)＝ex＋x
√
√
对于A，f′(x)＝－sin x为奇函数，其图象关于原点对称，A不符合题意；
13.已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)若a＝1，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
当a＝1时，f(x)＝ln x＋x2，
(2)若对于任意x≥2，f′(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围.
当x≥2时，f′(x)≥x恒成立，
14.已知函数f(x)的定义域为D，导函数为f′(x)，若 x∈D，均有f(x)(1)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，试判断f(x)是否为其定义域上的“梦想函数”，并说明理由；
函数f(x)＝sin x＋cos x不是其定义域上的“梦想函数”.理由如下：
(2)若函数g(x)＝ax＋a－1，x∈(0，π)为其定义域上的“梦想函数”，求实数a的取值范围.
g(x)＝ax＋a－1，所以g′(x)＝a.课时精练22　导数的加法与减法法则
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.函数f(x)＝x2－2x的导函数为f′(x)＝(　　)
2x－2x 2x－2xln 2
2x＋2x 2x＋2xln 2
2.已知一质点的运动方程为s＝ln t＋3t，其中s的单位为米，t的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为(　　)
1 m/s 2 m/s
4 m/s m/s
3.已知函数f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)为f(x)的导函数，则(　　)
f(x)＋f′(x)＝2sin x f(x)＋f′(x)＝2cos x
f(x)－f′(x)＝－2sin x f(x)－f′(x)＝－2cos x
4.若对任意x∈R，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则(　　)
f(x)＝x4－2 f(x)＝x4
f(x)＝4x3－5 f(x)＝x4＋2
5.(多选)已知曲线y＝x3－x＋1在点P处的切线平行于直线y＝2x，那么点P的坐标可以为(　　)
(1，0) (1，1)
(－1，1) (0，1)
6.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝f′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.
7.若直线y＝2x＋b为曲线y＝ex＋x的一条切线，则b＝________.
8.已知函数f(x)＝x＋sin x＋1，其导函数记为f′(x)，则f(2 025)＋f′(2 025)＋f(－2 025)－f′(－2 025)＝________.
9.(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝2x－cos x＋ln x；(2)y＝＋tan x＋4；
(3)y＝＋x2.
10.(10分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求f′(x)；
(2)求曲线y＝f(x)过点(2，－14)的切线的方程.
二、综合运用
11.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫作f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　)
3 2
1 0
12.(多选)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　)
f(x)＝cos x f(x)＝x3＋x＋1
f(x)＝x3＋sin x f(x)＝ex＋x
13.(13分)已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)若a＝1，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若对于任意x≥2，f′(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围.
三、创新拓展
14.(15分)已知函数f(x)的定义域为D，导函数为f′(x)，若 x∈D，均有f(x)(1)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，试判断f(x)是否为其定义域上的“梦想函数”，并说明理由；
(2)若函数g(x)＝ax＋a－1，x∈(0，π)为其定义域上的“梦想函数”，求实数a的取值范围.
课时精练22　导数的加法与减法法则
1.B　[∵f(x)＝x2－2x，∴f′(x)＝2x－2xln 2.]
2.C　[由题意得s′＝＋3，故质点在第1秒末的瞬时速度为＋3＝4(m/s).]
3.B　[因为f(x)＝sin x＋cos x，所以f′(x)＝cos x－sin x，
所以f(x)＋f′(x)＝2cos x，f(x)－f′(x)＝2sin x.]
4.A　[由f′(x)＝4x3知：f(x)＝x4＋C且C为常数，
又f(1)＝14＋C＝－1，则C＝－2，所以f(x)＝x4－2.]
5.BC　[设y＝f(x)＝x3－x＋1，则f′(x)＝3x2－1.
令3x2－1＝2，即x2＝1，解得x＝±1，
又f(1)＝1，f(－1)＝1，所以P点坐标为(－1，1)或(1，1).]
6.　[∵f(x)＝f′(e)＋ln x，∴f′(x)＝，∴f′(e)＝.]
7.1　[设切点为(x0，ex0＋x0)，又y′＝ex＋1，
所以ex0＋1＝2，所以x0＝0，
所以切点为(0，1)，代入y＝2x＋b，得b＝1.]
8.2　[因为f′(x)＝1＋cos x，所以f′(x)为偶函数，
所以f′(2 025)－f′(－2 025)＝f′(2 025)－f′(2 025)＝0，
所以原式＝f(2 025)＋f(－2 025)＝2 025＋sin 2 025＋1＋(－2 025－sin 2 025＋1)
＝2.]
9.解　(1)y′＝(2x－cos x＋ln x)′＝2xln 2＋sin x＋.
(2)y′＝(＋tan x＋4)′＝＋.
(3)y′＝′＝′＝－2x－3＋x－2＋2x＝－＋＋2x.
10.解　(1)∵f(x)＝x3＋x－16，则f′(x)＝3x2＋1.
(2)设切点为(x0，x＋x0－16)，
∵f′(x)＝3x2＋1，
∴切线的斜率为k＝3x＋1，
所求切线方程为y－(x＋x0－16)＝(3x＋1)(x－x0).
将x＝2，y＝－14代入切线方程，
得－14－(x＋x0－16)＝(3x＋1)(2－x0).
整理得x(x0－3)＝0，解得x0＝0或3.
当x0＝0时，k＝1, 切线方程为y－(－14)＝x－2，化简得x－y－16＝0；
当x0＝3时，k＝28，切线方程为y－(－14)＝28(x－2)，化简得28x－y－70＝0.
综上所述，曲线y＝f(x)过点(2，－14)的切线的方程为x－y－16＝0或28x－y－70＝0.
11.B　[因为f(x)＝x3－2x，所以f′(x)＝3x2－2.
令x0为f(x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”，
则有3x－2＝，
即3x－2＝2，解得x0＝±，
所以函数f(x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.]
12.BC　[对于A，f′(x)＝－sin x为奇函数，其图象关于原点对称，A不符合题意；
对于B，f′(x)＝3x2＋1为偶函数，其图象关于y轴对称，B符合题意；
对于C，f′(x)＝3x2＋cos x为偶函数，其图象关于y轴对称，C符合题意；
对于D，f′(x)＝ex＋1为非奇非偶函数，其图象不关于y轴对称，D不符合题意.]
13.解　(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x2，
求导得f′(x)＝＋2x，则f′(1)＝3，
而f(1)＝1，故f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)当x≥2时，f′(x)≥x恒成立，
即当x≥2时，＋2x≥x恒成立，
有a≥－x2在x∈[2，＋∞)上恒成立，
而函数y＝－x2在[2，＋∞)上单调递减，
故当x＝2时，ymax＝－4，
于是得a≥－4，
所以实数a的取值范围为[－4，＋∞).
14.解　(1)函数f(x)＝sin x＋cos x不是其定义域上的“梦想函数”.理由如下：
f(x)＝sin x＋cos x的定义域为R，
f′(x)＝cos x－sin x，
存在x＝，使得f>f′，
故f(x)＝sin x＋cos x不是其定义域上的“梦想函数”.
(2)g(x)＝ax＋a－1，所以g′(x)＝a.
若函数g(x)＝ax＋a－1在x∈(0，π)上为“梦想函数”，
则ax＋a－1即a<在x∈(0，π)上恒成立.
因为y＝在x∈(0，π)上的值域为，所以a≤，
所以实数a的取值范围为.

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