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第8章 三角形 复习课
【素养目标】
1.知道三角形的三种重要线段——中线、角平分线和高,并能画出这三种线段.
2.会应用三角形的三边关系判断三条线段能否组成三角形.
3.知道三角形的内角和、外角性质、外角和以及多边形的内角和、外角和,并会灵活应用它们解决实际问题.
4.能举例说出某些正多边形能够铺满地面并说明其中的道理.
【重点】
能描述三角形的相关性质,会灵活运用三角形的相关性质和定理解决实际问题.
【体系构建】
请你完成下面的知识结构图.
【参考答案】
高线　中线　角平分线　中线　大于　稳定性　180°
360°　(n-2)×180°　360°
【专题复习】
三角形的重要线段
例1　小华在电话中问小明:“已知一个三角形的三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积 ”小明提示说:“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是 ( )
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
变式训练
1.如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD比△ACD的周长大6 cm,则AB与AC的差为 ( )
A.2 cm B.3 cm
C.6 cm D.12 cm
2.如图,在△ABC中,AD,AE分别为△ABC的角平分线和高,∠B=46°,∠C=64°,则∠DAE= .
3.如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=12 cm2,则阴影部分的面积
为 cm2.
三角形的内角和与外角和
例2　如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,且AE与BF相交于点O,∠BAC=64°,∠C=70°,求∠EAD与∠BOA的度数.
变式训练
1.一副三角板有两个直角三角形,按如图所示的方式叠放在一起,则∠α的度数是 ( )
A.165° B.120° C.150° D.135°
2.如图,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,且CD,BE交于一点P,若∠A=50°,求∠BPC的度数.
3.一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°.李叔叔量得∠BCD=142°,就断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗 请用两种不同的方法说明理由.
三角形的三边关系
例3　已知a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为整数,求△ABC周长的最大值和最小值.
变式训练
1.如图,小杰为估计池塘岸边A,B两点间的距离,在池塘的一侧选取一点O,测得OA=10米,OB=6米,A,B两点间的距离可能是 ( )
A.4米 B.12米 C.16米 D.22米
2.若△ABC的边为a,b,c,化简:|a+b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
3.已知△ABC的三边a,b,c满足a+b=3c-4,a-b=2c-6,且a>b.
(1)求c的取值范围.
(2)若△ABC的周长为12,求c的值.
多边形的内角和与外角和
例4　一个多边形的每个外角都相等,且比它的内角小140°,求它的边数和每个内角的度数.
变式训练
1.如果正n边形的一个外角与和它相邻的内角之比是1∶3,那么n的值是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.如图,∠MON=59°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠NED的度数为 .
3.如图,在五边形ABCDE中,∠BCD的平分线与∠CDE的平分线交于点P,∠P=80°,求∠A+∠B+∠E.
用正多边形铺设地面
例5　在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下空白又不互相重叠.在几何里叫做平面镶嵌.这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.
(1)如图,如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形
(2)在正三角形、正四边形、正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形.说明你的理由.
变式训练
1.如图所示的图案是由正六边形密铺而成的,灰色正六边形周围第一层有六个白色正六边形,则第n层有 个白色正六边形.
2.如图所示的地面由正五边形和正n边形两种地砖镶嵌而成,则∠ABC的度数为 .
【参考答案】
专题一
例1　B
变式训练
1.C　2.9°　3.3
专题二
例2　解:∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵∠C=70°,∴∠DAC=180°-90°-70°=20°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=×64°=32°,
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=32°-20°=12°.
∵∠BAC=64°,∠C=70°,
∴∠BAO=32°,∠ABC=46°.
∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠ABO=23°,
∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-32°-23°=125°.
变式训练
1.A
2.解:∵∠A=50°,BE⊥AC,
∴∠ABE=90°-50°=40°,
又∵CD⊥AB,
∴∠BPC=90°+∠ABE=130°.
3.解:(方法一)如图1,连结AC并延长.
在△ADC中,∠1=∠D+∠DAC,
在△ABC中,∠2=∠B+∠BAC,
∴∠BCD=∠1+∠2=∠D+∠B+∠BAC+∠DAC=∠D+∠B+∠DAB=140°,
∴李叔叔量得∠BCD=142°,就可以断定这个零件不合格.
(方法二)如图2,延长DC交AB于点M.
∵∠AMD=180°-∠A-∠D=180°-90°-30°=60°,
∴∠CMB=180°-∠AMD=180°-60°=120°,
∴∠MCB=180°-∠B-∠CMB=180°-20°-120°=40°,
∴∠BCD=180°-∠MCB=180°-40°=140°,
∴李叔叔量得∠BCD=142°,就可以断定这个零件不合格.
专题三
例3　解:∵(b-2)2+|c-3|=0,
∴b-2=0,c-3=0,
解得b=2,c=3,
∴3-2∵a为整数,
∴a的最大值为4,a的最小值为2,
∴△ABC周长的最大值为2+3+4=9,最小值为2+3+2=7.
变式训练
1.B
2.解:在△ABC中,根据三角形三边之间的关系可知,
a+b>c,a+c>b,
|a+b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|
=|(a+b)-c|+|b-(c+a)|+|c-(a+b)|
=(a+b)-c+(c+a)-b+(a+b)-c
=a+b-c+c+a-b+a+b-c
=3a+b-c.
3.解:(1)由题意有a-b∴2c-6又∵a>b,∴a-b=2c-6>0,
∴c>3,
∴c的取值范围为3(2)∵△ABC的周长为12,
∴
∴a=5,b=3,c=4.
专题四
例4　解:设每个内角的度数为n°,则每个外角的度数为(n-140)°.
由n+(n-140)=180,
得n=160,
所以每个内角为160°,每个外角为20°.
因为360÷20=18,
所以这个多边形为十八边形.
变式训练
1.D　2.23°
3.解:∵PC平分∠BCD,PD平分∠EDC,
∴∠BCD=2∠PCD,∠EDC=2∠PDC.
∵∠P=80°,
∴∠PCD+∠PDC=180°-∠P=180°-80°=100°,
∴∠BCD+∠EDC=2∠PCD+2∠PDC=2×100°=200°.
∵∠A+∠B+∠E+∠BCD+∠EDC=(5-2)×180°=540°,
∴∠A+∠B+∠E=540°-∠BCD-∠EDC=540°-200°=340°.
专题五
例5　解:(1)如
果限于用一种正多边形镶嵌,那么由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形都能镶嵌成一个平面图形.
(2)如正方形和正八边形(如图).设在一个顶点周围有m个正方形的角,n个正八边形的角,那么m,n应是方程m·90°+n·135°=360°的正整数解,即方程2m+3n=8的正整数解,只有m=1,n=2这一组,∴符合条件的图形只有一种.
变式训练
1.6n　2.144°

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