资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第六章平面向量及其应用达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下说法中正确的个数是（ ）
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③单位向量都是共线向量；
④零向量的长度为0，没有方向．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若，则
3．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中内角所对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量满足，，且，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．与的夹角为
10．已知中，，.则（ ）
A．若，则有两解
B．若是钝角三角形，则
C．若是锐角三角形，则
D．的最大值是
11．三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点满足条件：时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角所对的边分别为，记的面积为，点是的布洛卡点，布洛卡角为，则（ ）
A．当时，
B．当且时，
C．当时，
D．当时
三、填空题
12．已知向量，满足，，，则 .
13．在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 .
14．在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是 ；设点是线段上的动点，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知，，与的夹角为60°，
(1)当为何值时，？
(2)当为何值时，？
16．设是不共线的两个非零向量.
(1)若与共线，求实数k的值.
(2)已知向量满足求；
17．已知是平面内两个不共线的向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)试确定实数，使和共线；
(3)若，求实数的值．
18．如图，在平行四边形中，，，若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中k，，设，.
(1)当，时，用向量和分别表示向量和；
(2)当，时，求的取值范围.
19．记的内角所对的边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围．
《第六章平面向量及其应用达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C C D B C AC CD
题号 11
答案 ABC
1．B
【分析】根据向量共线及模长，零向量的定义判断各个小题即可.
【详解】共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，①错误；
两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，②正确；
单位向量的定义只是模长定义的，方向有无数种情况，③错误；
零向量也有方向，只是方向任意，④错误．
故选：B.
2．B
【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断.
【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误；
对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确；
对于选项C：例如，满足且，但，故C错误；
对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误；
故选：B
3．D
【分析】先由题意求出的值，再根据投影向量的概念即可得结果.
【详解】因为，
所以，
即，
所以在方向上的投影向量是，
故选：D.
4．C
【分析】由平方，求得，再由夹角公式即可求解；
【详解】由，
可得
又，平方可得：，
所以
所以
所以，，
所以向量的夹角为，
故选：C
5．C
【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值.
【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
故选：C.
6．D
【分析】由向量的模可求得，可求的取值范围.
【详解】因为与均为单位向量，其夹角为，
由，可得，所以，
所以，所以，
由，，所以，
所以，所以，
所以，又，所以，
所以的取值范围是.
故选：D.
7．B
【分析】利用基底的性质结合选项可以判断.
【详解】因为，所以不能作为平面向量的基底，A不正确；
因为不共线，所以能作为平面向量的基底，B正确；
因为，所以不能作为平面向量的基底，C不正确；
因为，所以不能作为平面向量的基底，D不正确；
故选：B
8．C
【分析】由正弦定理边化角得到，再由，得到，求得，结合可求解；
【详解】由，得，
结合正弦定理边化角可得：
，
所以，
又，
所以，
所以中一个角为钝角，假设为钝角，
所以，
所以，
解得：，
，
故选：C
9．AC
【分析】对两边平方可判断A；计算出可判断B；利用求出可判断CD．
【详解】对于A，因为，，且，所以，
则，则，故A正确；
对于B，因为，所以与不垂直，故B错误；
对于C ，，又，所以与的夹角为，
故C正确D错误．
故选：AC．
10．CD
【分析】先由正弦定理解三角形判断A，根据钝角三角形边长关系计算判断B，应用正弦定理结合角的范围计算值域即可判断C，D.
【详解】因为中，，，，
由正弦定理得，，即，
故，所以，故有一解，故选项A错误；
因为，又因为为钝角三角形，
当为钝角时，，即，故B错误；
C选项，因为为锐角三角形，所以，
所以，，
又因为即，，故C正确；
因为，当时，的最大值是，故D正确.
故选：CD.
11．ABC
【分析】利用相似可以判断A，利用相似比，结合等腰三角形的三线合一，可得到底角是，再利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可求角来判断B，利用余弦定理和结合的三角形面积公式来整体化简可判断C，同样利用角的余弦定理和面积关系化简求解，可判断D．
【详解】
对于A，当时，有，又因为，
所以，又因为，
所以，即，故A正确；
对于B，由可得：，又因为，
所以，取中点为，可得，
又因为，所以，则，
再由正弦定理可得：，
展开化简得：，
再由，
因为一定为锐角，所以，故B正确；
对于C，由三角形面积关系可得：，
因为，所以有，
在中，由余弦定理可得：
，
，
，
三个式子相加得：，
整理得：，
代入可得：，故C正确；
对于D，由前面可得：，
，
代换得：，
再由余弦定理得：
，
代换得：，整理得，故D错误；
故选：ABC．
【点睛】方法点睛：利用面积把角与边建立边角关系，再结合余弦定理同样建立边角关系，从而可代换求解．
12．4
【分析】由，通过平方即可求解.
【详解】由，可得，
，
解得.
故答案为：4
13．
【分析】利用基本不等式即可得最小值，然后利用余弦定理得，由得，利用辅助角公式即可求解.
【详解】因为，当且仅当时，等号成立，
由有
所以，
又由，所以，
因为，
所以
故答案为：.
14．
【分析】根据定比分点以及向量线性运算，利用数量积的运算律计算可得；设，利用向量数量积的运算律并结合二次函数性质即可求得的最小值.
【详解】因为D为BC的三等分点（靠近C点），所以，
可得，
所以
；
设，
所以，
可得
；
可知当时，的最小值为.
故答案为：；；
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用平面向量的共线定理设出，再由向量的线性运算以及运算律计算可得结果.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量定理求解.
（2）利用数量积的定义及运算律，结合垂直关系的向量表示列式求解.
【详解】（1）依题意，，由，得，
而与不共线，则，解得，
所以当时，.
（2）由，，与的夹角为60°，得，
由，得
，解得，
所以当时，.
16．(1)；
(2) .
【分析】（1）由向量共线的性质即可求得参数；
（2）利用已知可求得，由 ，可求模.
【详解】（1）由 与 共线，则存在实数 ，
使得 ，
即 ，又 是不共线的两个非零向量，
因此 ，解得 ，或 ，实数 k 的值是 ；
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）计算 ，观察 与 的关系，即可得到结论；
（2）根据向量共线的条件，利用向量共线定理，求得；
（3）计算 和 的坐标，利用向量垂直的坐标表示求得.
【详解】（1）,
所以，则有 ，
又 与 有公共点，因此 三点共线.
（2）由于 和 共线，存在实数 使得：
和共线，有，
则有，解得 ，
所以.
（3），
则，，
由，
则，解得.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算求解；
（2）用表示，利用数量积的运算律求出，根据二次函数的性质可求其范围.
【详解】（1）当 ，时，
，
（2）当，时，
， ，
故
，
因为 ，故
故 的取值范围为 .
19．(1)证明见详解
(2)
【分析】(1)利用将已知中的切化弦，再利用正弦定理将边化角，即可得证；
(2)利用(1)中的结论可求出，再利用正弦定理将化成角，即可求出范围.
【详解】（1），，
两边同时乘以得，，
由正弦定理得，；
在中，，，
，，
又，，，
或，
若，且，则，，不合题意，舍去.
.
（2）由(1)可知，又，，
，，
又由已知可得，，，
，
，
，，
，，
的取值范围是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑