资源简介

成都七中高一下学期 3 月考试数学试题
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知角 满足 cos2 cos2 ，则 sin （ ）
A 1． 1 B．0 C． 2 D．1
π π 1 2π
2．已知 0, ， sin ，则 cos （ ）
2 10 3 5
2 2 2 2 1 1A． B． C． D．
3 3 3 3
3．函数 f (x) sin x 3 cos x(x [0, π])的单调递增区间是（ ）
0,11π π , 5π 0, 5π 0, 2π A． B． C． D． 12 6 6 6 3
b π π
4．若 tan ， 2 2
a 2 2 asin x bcos x a b sin x 0 2π ，下列判断错
误的是（ ）
A．当 a 0,b 0时， B．当 a 0,b 0时， 2π
C．当 a 0,b 0时， π D．当a 0,b 0时， 2π

5．如图，圆 O内接边长为 1的正方形 ABCD,P是劣弧 BC（包括端点）上一点，则 AP AB
的取值范围是（ ）

1, 4 2
2 2 1 2 2
A． 4
B． 1, C． 1, D． ,1
2 2

4

6．已知 0，函数 y cos x与函数 y cos( x )相邻的三个交点构成一个直角三
3
角形，则 =( )
A 3． B 2． C． 3 D． 2
3 2
第 1页，共 4页
{#{QQABQYYUoggAAgBAAAgCEwHQCECQkBCACQoORAAUoAAAgQNABAA=}#}
{#{QQABQYYUoggAAgBAAAgCEwHQCECQkBCACQoORAAUoAAAgQNABAA=}#}
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.

12．已知向量 a 1,2 b x,1 a ， ，若 b与 b 共线，则 x的值为_________.
13．如图：在平行四边形 ABCD中，O为对角线 AC与BD的交点，M 为直线 AE与DC的
π 1 1
交点，N 为直线 AF 与 BD的交点，若 AD 3, AB 4， BAD ，且DE DO,CF CB，
3 2 2

则 AM AN ．
π
14．已知函数 f x sin x 0 区间 π,2π 内没有零点，则 的取值范围
3
是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
|m | sin m,n
15．(本小题满分 13分)对任意两个非零向量m,n，定义新运算：m n ．
| n |

(1)若向量a (3,4),b (2,0)，求 a b的值；
(2)若非零向量 a,b 满足 | a | 2 | b |，且 a b 3，求b a的取值范围；
16．(本小题满分 15分)如图所示，在VABC中，D是边 BC的中点， E在边 AB上，

BE 2EA, AD与CE交于点O．

(1)以 AB, AC为基底表示 BD；

(2)若 BO xAB yAC ，求 x, y的值；
第 3页，共 4页
{#{QQABQYYUoggAAgBAAAgCEwHQCECQkBCACQoORAAUoAAAgQNABAA=}#}

17 ．(本小题满分 15分)已知向量 a (cos x, 2sin x),b (2cos x, 3 cos x)，函数 f (x) a b．

(1) 求函数 f (x) a b在 [0, π]上的单调递减区间；
f 11 x πx , π (2)若 0 ，且5 0 ，求
cos2x
6 3 0
的值；


18．(本小题满分 17分)已知在 ABC中， AB 2， AC 3，且 | 3 AB 2(1 )AC |的最小

值为 3， P为 AB边上任意一点，求 PB PC的最小值．
19．(本小题满分 17分)已知函数 f x sinx cosx 3sin2 x 3 ，将 f x 的图像上所有点
2
π
的横坐标变为原来的 2倍，再向左平移 个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来
3
的 3倍，得到函数 g x 的图象．
(1)求函数 f x 的单调递增区间，并写出函数 g x 的解析式；
(2)关于 x的方程 g x cosx a 0在 0, 2π 内有两个不同的解 1, 2；
①求实数 a的取值范围；
②用 a的代数式表示 cos 1 2 的值．
第 4页，共 4页
{#{QQABQYYUoggAAgBAAAgCEwHQCECQkBCACQoORAAUoAAAgQNABAA=}#}成都七中高一下学期 3 月考试数学试题
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D C A C A BCD BC
题号 11
答案 AC
uuur
11．AC【详解】在直线 PA，PB，PC上分别取点 M，N，G，使得| PM |=| PN |=| PG |=1，

以 PM，PN为邻边作平行四边形 PMQN，则 PM PN PQ，如图，

PA PB PC
0 ∵ ，即 ，即
PA PB PC PM PN PG 0 PQ PG 0，
∴P，G，Q三点共线且 PQ=1，故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，
∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°，故 A正确，B错误；
∵AB 3，BC=1，∠ABC=90°，∴AC=2，∠ACB=60°，
在△ABC外部分别以 BC AC为边作等边△BCE和等边△ACD，直线 CP绕 C旋转 60°交 PD
于 P’，
CE CB

∴ ECA BCD 120 ，即 ECA BCD，故 EAC BDC，

CA CD
EAC BDC

CA CD ，即 CPA CP D，故CP CP ，

PCA P CD
∴ CPP 为等边三角形， CP D CPA 120 ，则 B，P，D三点共线，同理有 A，P，E
三点共线，
BP BC 1
∴△BPC∽△BCD，即 ，即 PC=2BP，故 C正确，
CP CD 2
AP AC
同理：△APC∽△ACB，即 2，即 AP=2PC，故 D错误.故选：AC
CP BC
第 1页，共 6页
{#{QQABQYYUoggAAgBAAAgCEwHQCECQkBCACQoORAAUoAAAgQNABAA=}#}
{#{QQABQYYUoggAAgBAAAgCEwHQCECQkBCACQoORAAUoAAAgQNABAA=}#}

15．【详解】（1）向量a (3,4),b (2,0)，则 | a | 32 42 5,| b | 2 ， a b 6，
a b 3
于是 cos a,b
4
，而0 a,b π，则 sin a,b 1 cos2 a,b ，
| a || b | 5 5
5 4
所以 a b | a | sin a,b

5 2 .
| b | 2

| a | sin a,b
（2）由 | a | 2 | b |，a b 3，得 a b 2sin a,b 3 3，则 sin a,b 1，
| b | 2

所以b a
| b | sin b,a 1 sin a,b 3 1 ( , ] .
| a | 2 4 2
16．

【详解】（1） BD
1 1
BC ( AB AC) 1 AB 1 AC．
2 2 2 2
（2）连接 BO，

则 BO xAB yAC xAB y(BC BA) xBA yBA yBC ( x y)BA yBC，
1 2
因为 BD BC， BE BA，
2 3

所以 BO
3
( x y)BE yBC， BO ( x y)BA 2yBD，
2
因为 E,O,C三点共线， A,O,D三点共线，
3
3
( x y) y 1
x
4
所以 2 ，解得 ．
( x y) 2y 1 y
1

4
17．【详解】（1）因为
πf (x) a b 2cos2 x 2 3sin xcos x cos2x 1 3sin 2x 2cos(2x ) 1，
3
所以 2kπ 2x
π
π 2kπ, kπ π 2π即 x kπ , k Z，
3 6 3
第 3页，共 6页
{#{QQABQYYUoggAAgBAAAgCEwHQCECQkBCACQoORAAUoAAAgQNABAA=}#}
又因为 x 0, π f (x) π 2π ，所以函数 在 0,π 上的单调递减区间为 , 6 3
11 π 11 π 3
（2）若 f x0 则2cos(2x ) 1 ，所以 cos(2x ) .5 0 3 5 0 3 5
x π π π π 因为 0 , ，所以 2x 6 3 0 3
0,
3
，

所以 sin(2x π 20 ) 1 cos (2x
π 4
0 ) ，3 3 5
所以
cos2x cos(2x π π) cos 2x π cos π sin 2x π sin π 3 1 4 3 3 4 30 0 0 0 3 3 3 3 3 3 5 2 5 2 10
cos2x 3 4 3故 0 .10
18．【详解】因为
2 3 AB 2 1 2 AC 9 2 AB 12 1 AB AC cos BAC 4 1 2 AC
2 2
72 1 1 1 cos BAC
1
2
36 72 1 cos BAC
4
18 18cos BAC
2
18 18cos BAC，
1
当且仅当 时等号成立.
2

又因为 3 AB 2 2 AC 的最小值为3，所以 18 18cos BAC 3，
cos BAC 1 2π解得 ，所以 BAC .
2 3
3 3 3
如图所示建立直角坐标系，则 A 0,0 ， B 2,0 ，C ,2 2
，

设 P x,0 ， x 0,2 .
2
所以 PB PC 2 3 3 3 1 1 49 49 x,0 x, x
2
x 3

x

，
2 2 2 4 16 16

当且仅当 x
1 49
时等号成立，所以 PB PC的最小值为 ．4 16
19．【详解】（1）
第 4页，共 6页
{#{QQABQYYUoggAAgBAAAgCEwHQCECQkBCACQoORAAUoAAAgQNABAA=}#}
f x sinx 3 1 cos2x 1 cosx 3sin2x 3 sin 2x 3 1 3 π sin 2x cos2x sin 2x ，2 2 2 2 2 2 3
因为2k 2x 2k ,k Z，
2 3 2
π 5π
解得 kπ x kπ ,k Z，
12 12
所以函数 f x π 5π 的单调递增区间为 kπ ,kπ ,k Z； 12 12
由图象平移的性质可得 g x 3sin x
（2）①由（1）可得3sin x +cosx - a = 0，
因为关于 x的方程3sin x +cosx - a = 0在 0, 2π 内有两个不同的解 1, 2，
即 y a与 y 3sin x cos x 10 sin x 有两个交点，其中 sin 10 ，且 为锐角.
10
所以 a 10, 10 ；
②不妨设 1 2，
则 1 2 2 ，或 1 2 3 2 ，
当 1 2 2 时，
sin 1 2 sin 2 2sin cos
3
，
5
cos cos 2 1 2sin 21 2
4
，
5
因为3sin 1 cos 1 a,3sin 2 cos 2 a,
9sin2所以 1 6sin 1 cos 1 cos
2 a2 9sin21 ， 2 6sin 2 cos 2 cos
2 2 a
2
，
两式相加之后可得
2a2 9sin2 1 6sin 1 cos cos
2
1 1 9sin
2 2 6sin 2 cos 2 cos
2 2
8sin2 1 3sin 2 1 8sin
2 2 3sin 2 2 2
第 5页，共 6页
{#{QQABQYYUoggAAgBAAAgCEwHQCECQkBCACQoORAAUoAAAgQNABAA=}#}
8 1 cos 2 1 3sin 2 8 1 cos 2 1 2 3sin 2 2 22 2
10 4 cos2 1 cos2 2 3 sin 2 1 sin 2 2 ，
由积化和差公式可得上式
10 8cos 1 2 cos 1 2 6sin 1 2 cos 1 2
10 cos 1 2 8cos 1 2 6sin 1 2
10 cos 41

2 8 6
3

5 5
10 10cos 1 2 ，

2
所以 cos 1 2
a
1
5
当 1 2 3 2 时，
同理可证上述等式成立；
2
所以 cos a1 2 15
第 6页，共 6页
{#{QQABQYYUoggAAgBAAAgCEwHQCECQkBCACQoORAAUoAAAgQNABAA=}#}

展开更多......

收起↑