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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题18 半角模型（相似三角形模型）
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、正方形中的半角相似模型 2
2、特殊三角形中的半角相似模型 3
（1）含45°半角模型 3
（2）含60°半角模型 3
真题演练 3
巩固练习 5
压轴真题强化 6
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等。通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件变更载体，而构建模型，可把握问题的本质。
1、正方形中的半角相似模型
如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°
结论：如图，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；
结论：如图，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；
结论：如图，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；
结论：如图，△BME∽△AMN∽△DFN.
2、特殊三角形中的半角相似模型
（1）含45°半角模型
如图，已知∠BAC＝90°，；
结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ （）
（2）含60°半角模型
如图，已知∠BAC＝120°，；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）
（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．
【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．
（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点．
（1）当，时，
①求证：；
②连结，，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，则当为何值时，是等腰三角形.
综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：．
一、单选题
1．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2023·重庆·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）

A． B． C． D．
二、解答题
3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
（1）尝试解决：如图①，在等腰中，，点M是上的一点，，，将绕点A旋转后得到，连接，则___________．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，于点B，于点D，点P、Q分别是上的点，且，求的周长．（结果用a表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形，，求四边形的面积．
4．（2021·湖南娄底·中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图②，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立．
5．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题18 半角模型（相似三角形模型）
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、正方形中的半角相似模型 2
2、特殊三角形中的半角相似模型 3
（1）含45°半角模型 3
（2）含60°半角模型 3
真题演练 3
巩固练习 8
压轴真题强化 11
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等。通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件变更载体，而构建模型，可把握问题的本质。
1、正方形中的半角相似模型
如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°
结论：如图，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；
结论：如图，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；
结论：如图，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；
结论：如图，△BME∽△AMN∽△DFN.
2、特殊三角形中的半角相似模型
（1）含45°半角模型
如图，已知∠BAC＝90°，；
结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ （）
（2）含60°半角模型
如图，已知∠BAC＝120°，；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）
（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．
【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．
【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三]
【详解】[探究一]
∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上，
∴，
∴，
∴，
在与中
∴
∴
[探究二]证明：如图所示，

∵四边形是正方形，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵公共角，
∴；
[探究三] 证明：∵是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．

∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点．
（1）当，时，
①求证：；
②连结，，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，则当为何值时，是等腰三角形.
【答案】（1）①见解析；②；（2）当或2或时，是等腰三角形．
【详解】（1）①证明：在菱形中，
，
，
，
，
∴（ASA），
∴．
②解：如图1，连结．
由①知，，
．
在菱形中，，
∴，
设，则．
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在菱形中，，
，
，
同理，，
∴．
是等腰三角形有三种情况：
①如图2，当时，，
，
，
，
．
②如图3，当时，
，
，
，
∴．
③如图4，当时，
，
，
，
．
综上所述，当或2或时，是等腰三角形．
综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：．
【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）见解析
【详解】（1）由翻折的性质可知：
为正方形
，
为等腰三角形
（2）如图：将顺时针旋转，
由旋转的性质可得：，
由（1）中结论可得
为正方形，
在和中
（3）为正方形对角线
，
，
（4）如图：将顺时针旋转，连接，
由（2）中的结论可证
根据旋转的性质可得：，
在中有
一、单选题
1．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
2．（2023·重庆·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将绕点逆时针旋转至，

∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转性质可知：，，，
∴，
∴点三点共线，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
二、解答题
3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
（1）尝试解决：如图①，在等腰中，，点M是上的一点，，，将绕点A旋转后得到，连接，则___________．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，于点B，于点D，点P、Q分别是上的点，且，求的周长．（结果用a表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形，，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）2a；（3）
【详解】（1）∵，
∴∠B=∠ACB=45°，
将绕点A旋转后得到，此时AB与AC重合，由旋转可得：
△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN=1，∠B=∠ACN=45°，
∴∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，∠MAN=∠ABC=90°，
∴
∴；
（2）∵，，
∴将绕点C旋转后得到，此时BC与DC重合，
∴△BCP≌△DCM，
∴∠DCM=∠PCB，BP=DM，PC=CM，
∵，
∴，
∴，
∵PC=CM，QC=QC,
∴△QCP≌△QCM，
∴PQ=QM，
∴的周长=AQ+AP+PQ= AQ+AP+QM= AQ+AP+DQ+DM= AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，
∵，
∴的周长=2a；
（3）如图，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，
连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；
∴△BCD≌△B′AD
∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAB′=135°
∴∠B′AE=45°，
∵
∴B′E=AE=，
∴BE=AB+AE=2+=，
∴
∵等边△DBB′，∴BB′上的高=，
∴
∴ ，
∴S四边形ABCD=S四边形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′=；
4．（2021·湖南娄底·中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图②，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，
，
即；
（3）证明：将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，连结FD，
∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，
∵，
∴AC= ，
在Rt△ABC中由勾股定理
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=AH=，
∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，即，
∴，
整理得，
即，
∴，
∴，
∴．
5．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】
【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，，，，
∴①．
∴．
又∵，
∴在中，②．
∵，，
∴③．
【知识迁移】．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到．
过点作交边于点，连接．

由旋转的特征得．
由题意得，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
又∵为正方形的对角线，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
在中，，
∴．
【拓展应用】．
证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，

将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
则．
则，，
，
，
在和中
，
，
∴，
过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴，
即，
又∴，
∴，
即，
【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．

由旋转的特征得．
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，
同理可得．
，
，
，
又∵，
∴四边形为矩形．
，
，
在中，．
，
解得．
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