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兰州市学府致远学校中考数学押题卷答案（二）
本卷满分 120 分
一，选择题（每小题 3 分，共 11 小题，共计 33 分）
1.A 2.B 3.B 4. C 5.D 6.A 7.B 8. A 9.B 10.C 11.D
二，填空题（每小题 3 分，共 4小题，共计 12 分）
12. a ≥ 4 113. 3 14.
3 15.2
三，简答题（共 11 题，共计 75 分）
16.【详解】12 tan 60 3 2 π 4
0 2 3 3 2 3 1 3
...........................二次根式、三角函数、绝对值、0次幂化简各 1分，结果 1分
17. 【详解】解：解：∵ 2x(x 3) x 3，
∴ 2x(x 3) x 3 0 ，.....................................................1分
∴ 2x 1 x 3 0，.........................................................................2分
∴2x 1 0或 x 3 0，.......................................................................3分
1
∴ 1 ， x2 3．..........................x.... .................5分
2
3 x2 4x 4
18. 【详解】解： 1
x 1 x 1
x 1 3 x 2 2
，.....................................................1分
x 1 x 1
x 2 x 1

x 1 x 2 2 ，.....................................................3分
1
，.....................................................4分
x 2
1
当 x 3时，原式 1，.....................................................5分
3 2
19.【详解】（1）解：将 A 2,m 代入 y x 1得，m 2 1 3，
∴ A 2,3 ，.....................................................1分
将 A 2,3 代入 y k k得， 3 ，
x 2
解得， k 6，
6
∴反比例函数表达式为 y ；.............................................2分
x
（2）解：当 y 0时， x 1 0，
解得， x 1，
∴B 1,0 ，.....................................................3分
{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}
将C n,5 代入 y x 1得，5 n 1，
解得，n 4，
∴C 4,5 ，.....................................................4分
∵CD∥ y轴，
∴ xD 4，
6 3
当 xD 4时， yD ，4 2

∴D 4,
3
，.....................................................5分
2
∴CD 5
3 7
，.....................................................6分
2 2
∴ S
1 1 7 35
BCD CD xD xB 5 ，.....................................................7分2 2 2 4
20.【详解】（1）解：连接AB，作线段AB的垂直平分线MN，交直线l于点C，点C即为所求．
.................................................................................3分
（2）证明：∵AE⊥l，∠AEC＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，.................................................................................4分
在△AEC和△CFB中，
∠ = ∠ = 90°
∠1 = ∠3
= ，
∴△AEC≌△CFB（AAS），.................................................................................5分
∴AE＝CF，EC＝BF，.................................................................................6分
∴EF＝EC+CF＝AE+BF．.................................................................................7分
21.【详解】 BE AB
1 ，
（1 3）解： AB 24 cm，
1
BE 24 8cm，.....................................................1分
3
cos12 BG ，
8
BG 8cos12 cm 8 0.98 7.84(cm)；.....................................................2分
2 sin12
EG
（ ）解： ，
BE
EG 8sin12 cm ，.....................................................3分
延长GB， NM交于点 H ，
{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}
四边形DNHG是矩形，
NH DG DE EG (28 8sin12 )cm，DN GH ，
HM NH MN (20 8sin12 )cm，.....................................................4分
∵ ∠ABG = 12°，∠ABM = 147°，
FBG 135 ，
MBH 45 ，
MBH BMH 45 ，.....................................................5分
BH HM (20 8sin12 )cm，.....................................................6分
DN GH BG BH
8cos12 20 8sin12
8 0.98 20 8 0.21
26.2 (cm)；
答：线段DN的长度为 26.2cm．.....................................................7分
22.【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，
设抛物线的解析式为： y a x 5 2 6.25，.....................................................1分
0 a 10 5 2∴ 6.25，解得： a 0.25，.....................................................2分
∴ y 0.25 x 5 2 6.25．.....................................................3分
（2）解：隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下：
当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10 3 2 4， 4 2 2，.....................................................4分
∴ x 2代入解析式得： y 0.25 2 5 2 6.25 4；.....................................................5分
∴4 3.5 0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶．.....................................................7分
23.【详解】（1）解：由题意知样本容量为8 0.16 50；
m 50 0.24 12；
n 0.48 50 24；
p 1 0.16 0.24 0.48 0.12．
故答案为： 50，12，24，0.12.....................................................4分
（2）一共50名同学，从小到大排列后，中位数为第25位和第26位数的平均数， A， B两组共有20人，且C组有24人，
∴所抽取学生成绩的中位数落在C组．.....................................................5分
依据题意补全频数分布直方图如下图所示：
{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}
.....................................................6分
（3）成绩不低于80分的学生有：1200 0.12 0.48 720（名），
答：估计成绩不低于80分的学生有720名．.....................................................7分
24.【详解】（1）证明：连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，.....................................................1分
∵∠CAB＝2∠EAB，∠EOF＝2∠EAB，
∴∠EOF＝∠CAB，.....................................................2分
∵∠AFE＝∠ABC，
∴∠EOF+∠AFE＝∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠OEF＝180°﹣（∠EOF+∠AFE）＝90°，.....................................................3分
∵OE是⊙O的半径，且EF⊥OE，
∴EF是⊙O的切线．.....................................................4分
（2）解：∵OB＝OE，BF＝1，
∴OF＝OB+BF＝OE+1，.....................................................5分
∵∠OEF＝90°，
OE
∴ =sin 4∠AFE= ，.....................................................6分
OF 5
OE= 4∴ （OE+1），
5
解得OE＝4，
∴⊙O的半径长为4．.....................................................7分
25. 7【详解】解：（1）①∵点P1(0， )，P2( 1，0)，P3(1， 3)，2
∴OP1 = (0 0)2 + (
7 0)2 = 7，OP = ( 1 0)2 + (0 0)2 = 1， 2
2 2 2 OP3 = (1 0) + ( 3 0)
2 = 2，
∴点P1与⊙O 7的最小距离为 3 = 1，点P2与⊙O的最小距离为3﹣1＝2，点P3与⊙O的最小距离为3﹣2＝1，
2 2
∴⊙O的关联点是P1、P3，
故答案为：P1、P3；.....................................................2分
②根据定义可得，当直线y＝﹣x上的点P到原点的距离在2到4之间时符合题意，
∴设点P的坐标为P（x，﹣x），
当OP＝2时，由距离公式可得，OP = (x 0)2 + ( x 0)2 = 2，
解得：x =± 2；.....................................................3分
当OP＝4时，由距离公式可得，OP = (x 0)2 + ( x 0)2 = 4，
解得：x =± 2 2；......................................内....部....资....料...4 分禁止翻印
故点P的横坐标的取值范围为： 2 2 ≤ x ≤ 2或 2 ≤ x ≤ 2 2；.....................................................5分
{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}
（2）∵y＝﹣x+2与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，
令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2，
令x＝0，得y＝2，
∴A（2，0），B（0，2），
如图1，当圆过点A时，CA＝4，
∴点C坐标为C（﹣2，0），.....................................................6分
如图2，当直线与小圆相切时，切点为D，则CD＝2，
又∵直线AB所在的函数解析式为y＝﹣x+2，
∴直线AB与x轴形成的夹角是45°，
∴Rt△ACD中，CA = 2 2，
∴C点坐标为(2 2 2，0)，
∴C点的横坐标的取值范围为 2 ≤ x ≤ 2 2 2；
如图3，当圆过点A时，AC＝2，
∴C点坐标为（4，0），.....................................................7分
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{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}
此时BC = 22 + 42 = 2 5＞4，不符合题意；
如图4，当圆过点B时，连接BC，此时BC＝4，
∴在Rt△OCB中，由勾股定理得OC = 42 22 = 2 3，
∴C点坐标为(2 3，0)，.....................................................8分
显然，此时A不符合题意，
∴该种情况不存在，不合题意；
综上，圆心C的横坐标的取值范围为 2 ≤ x ≤ 2 2 2．.....................................................9分
26.【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵DE=AD，
∴四边形ABEC是平行四边形．
故答案为：BD=CD；.....................................................2分
（2）证明：延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，.....................................................3分
在△ADB和△FDC中，
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{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}
AD = DF
∠ADB = ∠FDC ，
BD = DC
∴△ADB≌△FDC（SAS），
∴CF=BA，∠DCF=∠ABD，.....................................................4分
∴AB || CF，
∵AB || ME，
∴ME || CF，.....................................................5分
∵CE || MF，
∴四边形CEMF是平行四边形，
∴ME=CF，
∴ME=AB，
∴四边形ABME是平行四边形；.....................................................6分
（3）解：延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，
由（2）知，ME=AB=4，CE=MF，
则ME+MC取最小值时，CM最小，故CM⊥AD时，CM最小，如图，
.....................................................7分
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=3，
由勾股定理得AD=5，
1
利用面积法得 ×5×CM= 1 ×3×4，
2 2
解得CM= 12 ，.....................................................8分
5
Rt CMF MF= 12 2 = 16在 △ 中，由勾股定理得， CF2 CM2 = 42 ，
5 5
∴CE= 16 ．.....................................................9分
5
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{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}兰州市学府致远学校中考数学押题卷（二） 7．随着时代的进步，汽车的普及，现在的汽车设计可以说是日新月异，出现了极具前瞻性的设计，其中很
重要的一个组成部分就是车门设计．好的车门主要体现在它的防撞性能、密封性能、开合便利性等．如
（本试卷满分 120 分，时间 120 分钟）
图，某汽车车门的底边长为1m，车门打开后的最大角度为75°，若将一扇车门打开，则这扇车门底边扫
一．选择题：（本大题 11 小题，每小题 3 分，共 33 分。）
过区域的最大路径长是（ ）
1．-2025的绝对值是（ ）
1 1
A．2025 B．-2025 C． D．
2025 2025
2．目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为23纳
米，即0.000000023米，将0.000000023化成科学记数法为（ ）
5 5 3
A． B． C． D．
A．2.3 ﹣×10 7 B．2.3×10﹣8 C ﹣ ﹣．2.3×10 9 D．0.23×10 10 24 12 2 4
2
3．如图，在△ABC中， C 70 ，直线DE经过点A且DE∥BC，若 DAB 30 ，则 BAC 8．若抛物线 y x 2x k经过点 1,3 ，则k的值为（ ）的度数为
（ ） A． 4 B． 2 C．2 D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(6，0)，将△ 绕着点B顺时针旋转60°
，得到△ ，则点C的坐标是（ ）
A．70 B．80 C．90 D．100
4．如果点P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．已知△ABC∽△DEF，相似比为1: 2，且△V ABC的面积为6，则 DEF的面积为（ ） A．(3 3，3) B．(3，3 3) C．(6，3) D．(3，6)
A．12 B．3 C．6 D．24
10. 如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，若CF=3，EF=4，则AE的长是（ ）
6．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送
到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快
马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为 x天，则可列方程为（ ）
900 2 900 900 900 900 900 900 900A． B． 2 C． 2 D． 2
x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3
A.3 B.4 C.5 D.7
{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}
三、解答题（本大题11小题，共75分）
11．如图1，在△ABC中，动点P从点A出发，沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止，设点P的运动路程 0
16．（5分）计算： 12 tan 60 3 2 π 4 ；
为x，线段AP 7 3的长度为y，△ABC的高 = 2 ，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的
最低点，则点F的坐标为（ ） 17. （5分）解一元二次方程： 2x(x 3) x 3．
3 x2 4x 4
18 ．（5分）先化简，再求值： 1 ，其中 x 3．
x 1 x 1
A．(12，2 3) B．(4，4 3) C．(13，2 3) D．（12，4 3） k
19．（7分）如图，已知一次函数 y x 1的图象与反比例函数 y 在第一象限的图象交于点 A 2,m ，与x
x
二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）
轴交与点B，点C n,5 在一次函数图象上，过点C作y轴的平行线交反比例函数图象于点D，连接 ．
12．式子 a 4成立的条件是
13. 如图，直线A1A ∥ BB1 ∥ CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段B1C1的长是____________ ．
（1）求反比例函数的表达式；
14．2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小 （2）求 BCD的面积．
明、小亮选择的影片相同的概率为____________.
20．（7分）如图，已知点A、B在直线l的同侧，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E、F．
（1）在直线l上求作一点C，使CA＝CB；（要求：用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不
写作法．）
15. 如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M． （2）在（1）的条件下，连接CA、CB，若∠ACB＝90°，求证：EF＝AE+BF．
若PN=3，则DM的长为____________ ．
{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}
21．（7分）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管 23．（7分）2025年横空出世的DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过与人机互动，学生
口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管 可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了
AB 24cm， BE
1
AB，试管倾斜角 ABG为12 ．（参考数据： sin12 0.21 cos12 0.98 DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报； ）．
3
告．请根据调查报告，回答下列问题：
课题 ××学校学生对DeepSeek掌握情况
调查方式 抽样调查
(1)求试管口 B与铁杆DE的水平距离 BG的长度： ××学校学生
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长 BM 交CN 的延长线于点 F，且MN CF 于点 N（点C, D, N , F
在一条直线上），经测得：DE 28cm，MN 8cm ABM 147 DN 分组 成绩x/分 频数 频率 ， ，求线段 的长度（结果精确到0.1）
． A 60 x 70 8 0.16
B 70 x 80 m 0.24
C 80 x 90 n 0.48
22．（7分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程．
D 90 x 100 6 p
数据的整理与描述
(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为10m．
隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解
析式；
调查结论 ……
(2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安
(1)上述表格中，样本容量为________，m ________， n ________， p ________；
全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空
(2)所抽取学生成绩的中位数落在________组；补全频数分布直方图；
隙）？并说明理由．
(3)若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？
{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}
24．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F线段AB的延长线上且∠AFE 26.（9分）（1）【问题探究】如图1，已知AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连结BE，CE
＝∠ABC. 可得四边形ABEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．请你完善以下证明过程：
（1）求证：EF是⊙O的切线； ∵AD是△ABC的中线，
（2）若BF＝1， ∠ = 4，求⊙O的半径． ∴___________ =____________．5
∵DE=AD，
∴四边形ABEC是平行四边形．
25．（9分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P
（2）【拓展提升】如图2，在△ABC的中线AD上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作ME∥
，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
AB，CE∥AD，连结AE．
（1）当⊙O的半径为3时，
7 求证：四边形ABME是平行四边形．①在点 1(0， 2 )，P2（﹣1，0），P3（1， 3）中，⊙O的关联点是______________.
（3）【灵活应用】如图3，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，点D是BC的中点，点M是直线AM上的动
②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，直接写出点P的横坐标xp的取值范围；
点，且ME∥AB，CE∥AD，当ME+MC取最小值时，求线段CE的长．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为3，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上的所有点都
是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．
{#{QQABCYa4wgAQgkRACI6KE0FyCwkQkIGQJaoOAVCcuAxqARFABAA=}#}

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