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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题23 隐圆模型
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、动点定长模型 1
2、定边对直角模型 2
3、定边对定角模型 2
4、四点共圆模型 3
真题演练 3
巩固练习 4
在中考数学的考场上，有一类题目常常出现，它们并未直接描绘“圆”的形状，却在解题过程中离不开“圆”的知识。这类题目，我们称之为“隐圆模型”。它们通常以动态问题为背景，涉及点的运动、线的变化，或是图形的翻折与旋转。对于大多数学生而言，这类题目往往让人束手无策，难以找到解题的突破口。然而，只要我们能够洞察出其中的“隐藏圆”，就能找到解题的关键。隐圆模型常见于动点定长、定边定角以及对角互补等问题，这些动态问题的轨迹实质上构成了一个圆。因此，解决这类问题的关键在于如何识别和利用这个“隐藏圆”。
1、动点定长模型
若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径，
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
2、定边对直角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径，
寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
3、定边对定角模型
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆，
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
4、四点共圆模型
四点共圆模型我们在上一模型专题中已经详细讲解了，在该部分就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模型作相应练习即可。
（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
（2022·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）

A． B． C． D．
1、如图，点在线段上，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（　　）

A． B． C． D．
2、如图，在中，，．分别以、为斜边，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则和面积之和为 ；连接，则线段的最大值为 ．
3、如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．
(1)求的长．
(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．
(3)如图，过点作于，连接，求的最小值．
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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题23 隐圆模型
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、动点定长模型 1
2、定边对直角模型 2
3、定边对定角模型 2
4、四点共圆模型 3
真题演练 3
巩固练习 7
在中考数学的考场上，有一类题目常常出现，它们并未直接描绘“圆”的形状，却在解题过程中离不开“圆”的知识。这类题目，我们称之为“隐圆模型”。它们通常以动态问题为背景，涉及点的运动、线的变化，或是图形的翻折与旋转。对于大多数学生而言，这类题目往往让人束手无策，难以找到解题的突破口。然而，只要我们能够洞察出其中的“隐藏圆”，就能找到解题的关键。隐圆模型常见于动点定长、定边定角以及对角互补等问题，这些动态问题的轨迹实质上构成了一个圆。因此，解决这类问题的关键在于如何识别和利用这个“隐藏圆”。
1、动点定长模型
若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径，
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
2、定边对直角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径，
寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
3、定边对定角模型
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆，
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
4、四点共圆模型
四点共圆模型我们在上一模型专题中已经详细讲解了，在该部分就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模型作相应练习即可。
（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
【答案】D
【详解】解：取中点，连接，．
在中，，，
，
、分别是、的中点，
，
在中，，，
，
在中，；当运动到上时，，
，
线段的最小值是，
故选：D．
（2022·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
【答案】
【详解】解：为的直径，
∴
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接
∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵
∴
在中，
∴∠
∴
∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，
则的横坐标为，纵坐标为，
∴，
取点，则是的中位线，
∴，
∵，
∴点在半径为的上运动，
∵是的中位线，
∴，
∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，
在中，，
过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
设，,
则
∴
∴
∴
解得：
∴
∴的最大值为，
故选：A．
1、如图，点在线段上，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，以为边，在的上面作等边，使，，连接，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点的运动轨迹为以点为圆心，2为半径的圆，
连接并延长，交于点，则的最小值为，过作于，
，，
，
，
，
长度的最小值为，
故选：B．
2、如图，在中，，．分别以、为斜边，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则和面积之和为 ；连接，则线段的最大值为 ．
【答案】 1
【详解】（1）、均是等腰直角三角形，
设，，
，，
即，
=1．
故答案为：1．
（2）如图1，取AB中点F，连接DF，CF，
则AF=CF=BF=1，又AD=CD，
DF垂直平分AC，
，
设的外接圆为，
A、F为圆上两定点，点D为动点，又为定值，
为一位置与大小确定的定圆，
当点C运动到上时（如图2），
，，
，
，
为等腰直角三角形，
四边形AFCD为正方形，
的圆心O在此时正方形AFCD的中心处，
取AF中点G，连接OG，则OG=GF=，的半径r=OF=，
，
当BD过点O时（如图3），BD最大，
此时BD的最大值为BO+r=+=．
故答案为：．
3、如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．
(1)求的长．
(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．
(3)如图，过点作于，连接，求的最小值．
【答案】(1)8
(2)的长度不发生变化；
(3)
【详解】（1）如图，连接，
∵，，
∴，
∴圆的半径为5，

∵，
∴，
∴．
（2）的长度不发生变化；．理由如下：
如图，连接，

∵直径，，，弦，，
∴，
∴，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故的长度不发生变化；．
（3）如图，连接，
∵，

∴点H的运动轨迹是以为直径的上的，
当D、H、N三点共线时，取得最小值，
连接，交于点M，
故当H与M重合时，取得最小值，
∵，，，
∴，
∴，
过点N作于点F，
则，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
故最小值为．
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