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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题28 婆罗摩笈多（定理）模型
模型解读 1
常见类型讲解 1
真题演练 2
巩固练习 3
婆罗摩笈多是古代印度的一名数学家，曾提出了一个圆内接四边形相关的定理，即婆罗摩笈多定理，我们把该定理放在全等的背景下延伸出的一系列几何问题，统称为“婆罗摩笈多模型”。所以它和我们前面学过的“手拉手”与“夹半角”一样，都是由于特定条件的组合，从而产生特定的结论。婆罗摩笈多模型特点：①两个等腰三角形（常常是直角或互补）；②在①中的两个三角形共顶点；③不是旋转手拉手模型。
婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点。
如图，ABCD为圆内接四边形，对角线AC和BD垂直相交，交点为E，过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD交于点G；则点G是AD的中点。
如图，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延长线于点H，
（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，则G为BE中点。
如图，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，在AF的延长线取点H，使得AF=FH；
（1）S△ACD=S△ABE；（2）若F为CD中点，则AG⊥BE。
（2023·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________ 证明：
（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________．
【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．
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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题28 婆罗摩笈多（定理）模型
模型解读 1
常见类型讲解 1
真题演练 2
巩固练习 4
婆罗摩笈多是古代印度的一名数学家，曾提出了一个圆内接四边形相关的定理，即婆罗摩笈多定理，我们把该定理放在全等的背景下延伸出的一系列几何问题，统称为“婆罗摩笈多模型”。所以它和我们前面学过的“手拉手”与“夹半角”一样，都是由于特定条件的组合，从而产生特定的结论。婆罗摩笈多模型特点：①两个等腰三角形（常常是直角或互补）；②在①中的两个三角形共顶点；③不是旋转手拉手模型。
婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点。
如图，ABCD为圆内接四边形，对角线AC和BD垂直相交，交点为E，过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD交于点G；则点G是AD的中点。
如图，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延长线于点H，
（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，则G为BE中点。
如图，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，在AF的延长线取点H，使得AF=FH；
（1）S△ACD=S△ABE；（2）若F为CD中点，则AG⊥BE。
（2023·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________ 证明：
（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________．
【答案】（1）见解析；（2）菱形
【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点．
求证：点E是的中点
证明：
，
，
，
，
，
同理可证，
，
∴点E是的中点
故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点．
求证：点E是的中点
（2）四边形是菱形
理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点，
是中点
∴四边形是菱形
故答案为：四边形是菱形
【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．
【答案】【思考】真命题；【探究】（1）证明见解析；（2）4．
【详解】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
理由如下：如下图，
∵，为的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
即：．
∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
故答案为：真命题．
【探究】（1）如下图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
即是的中点．
（2）如下图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
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