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郑州市2025年高中毕业年级第二次质量预测
数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，
1.已知集合M={x|lnx<0},N={x|lx|≤1}，则M∩N
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(0,1]
D.（-∞，1)
2.某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单
位：cm3):18,19,20,20,21,21,22,23,23,24.估计该小区业主月均用气量的样
本数据的60%分位数为
A.21
B.21.5
C.22
D.22.5
3.已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为
A号
B.93x
95π
C.
2√2π
D
2
8
3
tan'a-tan'B
4.若tan(a-B)=3,1-tan2atan2
=18,则tan2a=
A-司
B.-2
c
n-品
5.函数f(x)=2sin(2x+君)与函数g(x)=log2x的图象交点个数为
A.3
B.5
C.6
D.7
6.某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进
行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为
高三数学试题卷第1页（共6页）
A
B品
c
1
D.
7.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，l是C的准线，点N是C上一点且
位于第一象限，直线FN与圆A:x2十y2一6x十6=0相切，过点N作l的垂线，
垂足为P,则△PFN的面积为
A.23
B.4
C.43
D.16√5
8.已知函数f（x)=
-2x3-ax2+1,z≤0,9x∈(0，+o),有
ax-Inx-1,x>0,
f(x)·f(一x)≥0恒成立，则a的取值范围是
A.[1,+∞)
B.[1,22]
c[2,2]
D.[1,3]
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求
9.已知复数z满足|z+1|+|之一1|=4，则下列说法正确的是
A.|x|≤2
B.z-1≥1
C.若x∈R,则|之=2
D.若z2∈R,则|z|=2
10.在棱长为1的正方体ABCD一A:B,C1D1中，E是棱CC1的中点，则
A.过点E有且只有一条直线与直线AB和A1D1都相交
B.过点E有且只有一个平面与直线AB和A:D1所成角相等
C.过A,D:,E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为2√②
+√5
D.点Q是正方形B,BCC1内的动点，A,Q⊥BC1,则Q点的轨迹长度√2
1.已知对于任意非零实数x,函数f(x)均满足f(x)=f(),f(x)=
2-f),下列结论正确的有
A.f(1)=1
B.f(2)关于点(0,1)中心对称
C.f(2)关于x=1轴对称
D.f(2)+f(22)+f(23)+…+f(21)=10
高三数学试题卷第2页（共6页）郑州市 2025 年高中毕业年级第二次质量预测
数学 评分参考
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D A A C D
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分）
题号 9 10 11
答案 ABC AD ABD
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
12.（1,1），（0,2），（0，-2），（2,0），（-2,0）（答案不唯一，写出任意一个都对）;
13. 5 7 ; 14. 2.
7
四、解答题
15.解：（1）列联表如下：
近视人数 未近视人数 合计
户外活动时间不足2小时 35 10 45
户外活动时间超过2小时 25 30 55
合计 60 40 100
........................................................................................................................2 分
零假设为 H0：学生患近视与户外活动时间长短无关. ...................................................3 分
根据列联表中的数据，经计算得到
2 100 (35 30 25 10)
2 3200
10.774 7.897 x0.005， ............................................6 分60 40 45 55 297
根据小概率值 0.005的独立性检验，我们推断 H0不成立，即认为学生患近视与户外活动
时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.005. ....................................................7 分
（2）设事件A “使用“物理十药物”治疗方案并且治愈”，事件 B1 “该近视同学每天户外活
动时间超过 2 小时”，B2 “该近视同学每天户外活动时间不足 2 小时”，则
P B 25 5 , P B 35 71 2 ，且 P A | B
5
1 ,P A | B
2
2 ，...................................10 分60 12 60 12 6 3
则 P A P B1 P A | B P B P A | B
5 5 7 2 53
1 2 2 ，12 6 12 3 72
53
所以该近视学生使用“物理十药物”治疗方案被治愈的概率为 . ...................................13分
72
1
16. 解：（1）由正弦定理得 sin B(cos A 3 sin A) sin A sin C ，...............................2
分
sin B cos A 3 sin B sin A sin A sin(A B)，
3 sin B sin A sin A sin Acos B ，
sin A 0, 3 sin B 1 cos B，..................................................................................4 分
sin 1（B ） .
6 2
B 5 B , B 即 . ..................................................................6 分
6 6 6 6 6 3
（2 1）（ i） BE (BA BC), ..........................................................................................8
2
分
1 2 2
BE (BA BC)2 1 BA 2BA BC BC 39 . ........................................10 分
2 2 2
21
（ii）在 BCF中，由余弦定理得CF 2 BC 2 BF 2 CF 2 ，...................................11 分
2
（法一）由题知M 是 ABC的重心，
CM 2 CF 21 BM 2 BE 39 ， ， ....................................................................13 分
3 3 3 3
2 2 2
在 BMC中，由余弦定理得cos BMC BM CM BC 4 91 . .............................15 分
2BM CM 91
1
（法二）又CF BA BC ，
2
BE CF (1 BA 1
2 2
BC) 1 1 1 1 ( BA BC) BA BA BC BC 3 . .................. 13 分
2 2 2 4 4 2
cos EMF cos BE,CF BE CF 4 91
91 . ................................................................15 分BE CF
17.解：（1）解：（1）当 a 2时， f (x) (2 x)e x , f (x) (1 x)e x 1, .................1 分
x
即1 x e x ,令 (x) e x x 1, (x) e x 1 e 1 , ...................................2 分
ex
令 (x) 0,得 x 0，令 (x) 0, 得 x 0 ，所以 min (x) (0) 0, 即 x 0，.......4 分
f (0) 2,所以 f (x) 在 x 0 处的切线方程为 y x 2 . .................................................6 分
x 1
（2）由 f (x) (a x)e x 1 x 得， aex xex x 1，即 a x x 没有整数解.e
2
.................................................7 分
h x x x 1
x
设 x ，h x
2 x e x 2
1 x x ， ...........................................................8 分e e e
设 t x ex x 2 x， t x e 1 0，所以 t x 单调递增，
且 t 0 1， t 1 e 2 0 ，
所以存在唯一的 x0 0,1 ，使 t x0 0，即 h x0 0，
当 x , x0 时， h x 0， h x 单调递减，
当 x x0 , 时，h x 0，h x 单调递增， ................................................................11 分
又 h 0 h 1 1，所以当 x Z时， h x 1， ...........................................................13 分
当 a 1时， a h(x) 没有整数解，即 f (x) 1 x没有整数解. ...................................15 分
18. 1 a1 (2n 1)d 2a1 2(n 1)d 1，解：（ ）由题意得 .......................................................2
4a1 6d 4(a1 2d 1),
分
a 1，
解得 1 ...........................................................................................................................4 分
d 2.
an 的通项公式为an 2n 1. .................................................................................................5分
2 i k,n 2k 1,（ ）（ ） b 其中 k 是正整数，.................................................................6n
bn 1 k,n 2k，
分
b1 1，b2 b1 1 2，b3 2，b4 b3 2 4. .....................................................................10 分
（ii）
2n
bi b1 b2 b3 ... b2n (b1 b3 b5 ... b2n 1 ) (b2 b 4 b 6 ... b 2n )
i 1
(b1 b3 b5 ... b n ) [(b
n 1
1 1) (b3 2) (b5 3) ... (b n 2 )]...............................14 分2 1 2 1
2(b1 b3 b5 ... b n ) (1 2 3 ... 2
n 1)
2 1
3(1 2 3 ... 2n 1)
2n 1(1 2n 1)
3
2
3
（3 2n 2 22n 3 ). ......................................................................................................................17 分
19.解：（1）连接 E1E3 , E3E2 , E2E4, E E
1 1
4 1 ，因为 E3E2∥ BD, E E ∥ BD ，2 1 4 2
所以 E3E2∥E1E4 ，四边形 E1E3E2E4为平行四边形，
1
又 E1E3∥ AC ， AC BD ，所以 E1E3 = E3E2 ，所以四边形 E2 1
E3E2E4为菱形，
所以 E1E2 E3E4 ，...............................................................................................................2 分
同理，四边形 E1E5E2E6为菱形， E1E2 E5E6 ， ..............................................................3 分
又因为四边形 E3E5E4E6 为菱形， E3E4 , E5E6 交于一点，
所以 E1E2 平面 E3E5E4E6 . .....................................................................................4 分
（2）如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系 D xyz ，.....5 分
由 E1E2 6, E3E4 E5E6 2，得 A(2,0,2), B(0, 6,2),C(2, 6,0),

AB ( 2, 6,0), AC (0, 6, 2),

设平面 ABC 的一个法向量为m (x, y, z)，

AB m 2x 6y 0,
则 令 y 2，得m ( 6, 2, 6)，........................................7 分
AC m 6y 2z 0,

DB (0, 6,2), DC (2, 6,0),

设平面 BCD的一个法向量为 n (x, y, z)，

DB n 6y 2z 0,
则 令 y 2，得 n

( 6, 2, 6) ，........................................8 分
DC n 2x 6y 0,
4

所以 cos m, n
m n 6 4 6 8 1 . ................................................9 分
| m | | n | 6 4 6 6 4 6 16 2

所以二面角 A BC D的大小为 . ............................................................................10 分
3
（3）由（2）知可将 P MNO补成长方体，设长宽高分别设为 a,b,c，
1 2 2 2
则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，即： R a b c ，
2
S 4πR2 π(a2 b2 c2 )，
1
MN 2 a2 b2 , NO2 b2 c2 , MO2 a2 c2 S (MN 2 MO2 NO2，则 )π，...................11 分
2
x2
y2 1
在 xOy 平面内设 M (x

1,y1),N(x2,y2)，由 2 ，得 (m2 2)y2 2my 1 0 ，
x my 1
显然Δ 2m 2 4(2 m2 ) 8m2 8 0，
y 2m 11 y2 2 , y1 y2 2 ， .............................................................................12 分2 m 2 m
MN 2 (1 m2 )(y y )2 (1 m2 ) 8(1 m
2 ) 8(1 m2 )2
于是 1 2 ,(m2 2)2 (m2 2)2
MO2 NO2 x2 y2 21 1 x2 y
2 2 2y2 y22 1 1 2 2y
2 2
2 y2 4 (y
2 2
1 y2 )
4 2
4 ( y y 21 2) 2y y
4m 10m 12
1 2 2 2 ，(m 2)
1 4 2 4 2S (MN 2 MO2 NO2 )π= 12m 26m 20 6m 13m 10所以
2 2 (m2 2) 2

(m2

2) 2
.................................................................................................................................................13 分
2 2 2 2
在△MNO 中， cos MON MO NO MN c 0，则 MON 为锐角，
2MO NO MO NO

因此OM ON 0，即 x1x2 y1 y2 0，
x1x2 y1 y2 (my1 1)(my2 1) y
2
1 y2 (m 1)y1 y2 m(y1 y2 ) 1
(m2 1) 2m2 1
1 0 2，解得m ， .....................................................14 分
m2 2 m2 2 2
6(m4 4m2 4) 11m2S 14 11m
2 14
又 ，
（m2
π [6
2）2 （m2 2）2
]π
5
不妨令 t m2 2 [2, 5)，则 S [6 11 8 2 ] [8(
1 11
) 2 6 121 ] ，
2 t t t 16 32
2 1 1 1 1 S 5 ， 当 时，
5 t 2 t 2 min
.
2
5
此时m 0，所以S的最小值为 π，此时直线方程为 x 1 . ..........................................17 分
2
6

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