资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数与韦达定理综合压轴题训练
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点P（4，2），对称轴为y轴．A，B是抛物线上两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AB的解析式为y＝kx﹣4k﹣3，且△PAB的面积为35，求k的值；
（3）如图（2），若∠APB＝90°，PC⊥AB于点C，求PC的最大值．
2．如图1，抛物线ybx+3与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，OC＝OB．
（1）求b的值；
（2）点D在第一象限的抛物线上且在点A的右侧，若CD＝AD，求点D的横坐标；
（3）如图2，将抛物线ybx+3平移后得到新抛物线L，抛物线L顶点为原点，点C的坐标为（2，0），过点（3，2）作直线交抛物线L于点M，N，直线NG与MG分别交抛物线L于点K，H．若直线KH与直线y＝kx平行，求k的值．
3．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3，直线y＝x+b经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在抛物线上，满足∠CAB＝45°+∠BCD，求点D的坐标；
（3）如图2，设抛物线的顶点为T，直线y＝kx﹣k﹣3与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为EF的中点，求的值．
4．如图1，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上存在一点T，使得∠ACT＝45°，求T点横坐标；
（3）直线y＝x+m与抛物线C1交于M、N两点，若在x轴上存在唯一的一点P使得∠MPN＝90°，求m的值．
5．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求3m+n的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．
6．已知抛物线的顶点（0，1）．
（1）该抛物线的解析式为 　 　；
（2）如图1，直线y＝kx+kt交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE AF与t2的大小关系；
（3）如图2所示，平移抛物线使其顶点在原点O处，过y轴正半轴F点的直线与抛物线相交于C、D两点（直线CD不平行x轴），分别过C、D向直线y＝﹣1轴作垂线，垂足分别为M、N，连接FM、FN．记△CMF的面积为S1，△MNF的面积为S2，△DNF的面积为S3，若，求F点的坐标．
7．在平面直角坐标系中，任意点P（x，y）到定点的距离等于到直线的距离，记点P的轨迹为抛物线C1．
（1）直接写出抛物线C1的解析式 　 　；
（2）将抛物线C1向右平移1个单位长度，再绕点（2，1）旋转180°得到抛物线C2，抛物线C2与x轴交于A，B两点（A左B右），与y轴交于C点，R为抛物线C2上的动点，如图1，若以A、B、R、C为顶点的四边形为梯形，求点R的坐标；
（3）如图2，过点D（，t）分别作直线EF：y＝k1x+b1（k1≠0）交（2）中的抛物线C2于点E，F，直线GH：y＝k2x+b2（k2≠0）交抛物线C2于点G、H，点M、N分别为EF、GH的中点，若直线MN与直线y＝﹣8x平行，求证：k1+k2为定值，并求出该定值．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），不经过点B的直线y＝2x+b交抛物线于C，D两点．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若DC＝5，求b的值；
（3）若直线BC记为y＝k1x+b1，直线BD记为y＝k2x+b2，求k1与k2满足的数量关系．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3经过点A（﹣1，0）．（a为常数，且a≠0）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知点C（1，﹣5），点D为x轴下方的抛物线上一点，满足，试求点D的横坐标；
（3）如图2，若直线y＝kx﹣k﹣5与抛物线交于M，N两点，点N关于抛物线对称轴的对称点为点P，求证：直线PM过定点，并求出定点坐标．
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y＝ax2﹣6ax+8a交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴正半轴于点C．
（1）当OC＝4OA时：
①直接写出该抛物线的解析式　 　；
②点D为抛物线上一点，连接DB，DC，当△DBC面积为6时，求D点的横坐标；
（2）若点P（1，t）为抛物线上一点，过（5，6）作一直线交该抛物线于M，N两点，连PM，PN，设直线PM的解析式为：y1＝k1x+b1，直线PN的解析式为：y2＝k2x+b2，求k1k2的最小值．
11．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（﹣5，﹣5），O（0，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若抛物线上存在点C，使得∠COB＝∠ABO，求点C的坐标；
（3）如图2，直线y＝kx+k﹣1交抛物线于M，N两点，直线MO与直线BN交于点P，问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由．
12．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a＞0）与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴负半轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接CD，若∠ACD为锐角，且∠ACD＜30°，求点D的横坐标xD的取值范围；
（3）如图2，经过定点P作一次函数y＝kx2与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？请说明理由．
13．如图，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m（m＞1）交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C．
（1）如图1，当m＝3时，直接写出A、B、C三点坐标；
（2）在（1）的条件下，连接AC、BC．若D是抛物线上第四象限上一点，且∠DBC+∠ACO＝45°，求点D的坐标；
（3）如图2，直线y＝﹣mx+m与抛物线交于M、N两点（M在N的左边），连接AM、AN，分别交y轴于P、Q两点，求的值．
14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：y＝kx﹣3k+4交于E，F两点．
（1）直线L经过定点D，直接写出点D的坐标；
（2）求△BEF面积的最小值．
15．已知，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝﹣1，OC＝3OB＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接OD交直线AC于点E，若△AOE与△ABC相似，求点D的横坐标；
（3）如图2，经过点的直线l：y＝kx+t交抛物线于M，N两点（M在第三象限，N在第一象限），直线交线段MP于点Q（不与M，P重合），若的值与k无关，求k1的值．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点P（4，2），对称轴为y轴，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2+6；
（2）∵y＝kx﹣4k﹣3＝k（x﹣4）﹣3，
∴直线AB过定点D（4，﹣3）．
如图，连结PD，
∵P（4，2），D（4，﹣3），
∴PD∥y轴，PD＝5，
∴S△ABP|xB﹣xA|＝35，
∴|xB﹣xA|＝14，
由kx﹣4k﹣3x2+6，
整理得x2+4kx﹣16k﹣36＝0，
由根与系数的关系得xB+xA＝﹣4k，xBxA＝﹣16k﹣36，
∴|xB﹣xA|2＝（xB+xλ）2﹣4xBxA＝142，
∴4k2+16k﹣13＝0，
解得k＝﹣2或k＝﹣2；
∴k的值为﹣2或﹣2；
（3）设A（m，m2+6），B（n，n2+6），直线AB解析式为y＝tx+b'，
由得x2+tx+b'﹣6＝0，
由根与系数的关系得m+n＝﹣4t，mn＝4b'﹣24，
如图，过点P作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足为E、F，
∴∠E＝90°，∠F＝90°，
∴∠APE+∠PAE＝90°，∠E＝∠F，
∵∠APB＝90°，
∴∠APE+∠BPF＝90°，
∴∠PAE＝∠BPF，
∴△PAE∽△BPF，
∴，
∴，
整理变形可得mn+4（m+n）+32＝0，
又∵m+n＝﹣4t，mn＝4b'﹣24，
∴b'＝4t﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝tx+4t﹣2＝t（x+4）﹣2，
∴直线AB经过定点C（﹣4，﹣2），
∵P（4，2），
∴PC的最大值为4．
2．【解答】解：（1）由题意得，
C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴B（3，0），
∴0，
∴b；
（2）由得，
x＝3或x＝4，
∴A（4，0），
设AC的中点为E（2，），连接DE，
∵CD＝AD，
∴DE⊥BC，
∵，
∴，
∴直线DE的解析式为：y，
由得，
∴x（舍去），x，
∴D点横坐标为：；
（3）平移后的抛物线的解析式为：y，
设M（m，），，
设直线MN的解析式为：y＝px+q，
∴，
∴，
∴y，
∴2，
∴mn＝3m+3n﹣8，
同理可得，
直线NK的解析式为：y，
0，
∴t，
直线MH的解析式为：y，
∴0，
∴h，
直线KH的解析式为：y，
∵直线KH与直线y＝kx平行，
∴k，
∵t+h8，
∴k．
3．【解答】解：（1）∵OC＝3，C在y轴负半轴，
∴C（0，﹣3），
把C（0，﹣3）代入y＝x+b得﹣3＝b，
∴y＝x﹣3，
令y＝0得x＝3，
∴B（3，0），
把B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0得0＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），OA＝1，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，
∴∠BCO＝45°＝∠CBO，
∵∠CAB＝45°+∠BCD，
∴∠CAB＝∠BCO+∠BCD，
①当D在CB下方时，设CD延长线交x轴于K，如图，
此时∠CAB＝∠BCO+∠BCD＝∠DCO，
∴∠CAB+∠ACO＝90°＝∠DCO+∠ACO，即∠ACK＝90°，
∴∠OCK＝90°﹣∠ACO＝∠OAC，
∵∠AOC＝90°＝∠COK，
∴△AOC∽△COK，
∴，即，
∴OK＝9，K（9，0），
由C（0，﹣3），K（9，0）得直线CK解析式为yx﹣3，
联立，
解得或，
∴D（，）；
②当D'在CB上方时，设CD'交x轴于W，过B作BT⊥x轴交直线CD于T，如图，
此时∠BCD＝∠BCD'，∠CBW＝45°＝∠CBT，
又BC＝BC，
∴△CBW≌△CBT（ASA），
∴BT＝BW，
在yx﹣3中，令x＝3得y＝﹣2，
∴T（3，﹣2），BT＝2，
∴BW＝2，OW＝OB﹣BW＝3﹣2＝1，
∴W（1，0），
由W（1，0），C（0，﹣3）得直线CW的解析式为y＝3x﹣3，
联立，
解得或，
∴D'（5，12）；
综上所述，D的坐标为（，）或（5，12）；
（3）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4知抛物线顶点T坐标为（1，﹣4），
联立得x2﹣（k+2）x+k＝0，
设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2＝k+2，x1 x2＝k，y1＝kx1﹣k﹣3，y2＝kx2﹣k﹣3，
∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k﹣6＝k（k+2）﹣2k﹣6＝k2﹣6，
∵G为EF的中点，
∴G（，），
∴TG；
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1 x2＝（k+2）2﹣4k＝k2+4，
∴（y1﹣y2）2＝k2（x1﹣x2）2＝k2（k2+4），
∴EF，
∴，
∴的值为．
4．【解答】解：（1）已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣3）．将点A，点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴此抛物线的解析式为；
（2）如图1，以AC为斜边作等腰直角△ACF，△AEC，直线CF或CE与抛物线交于点T，则∠ACT＝45°，
设F（m，n），
∵△ACF是等边三角形，
∴AF＝FC，，
∵A（﹣6，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝32+62＝45，AF2＝（m+6）2+n2，CF2＝m2+（n+3）2，
，
解得：或，
∴，，
设直线CE的解析式为y＝k1x﹣3，将点E的坐标代入得：
，
解得：k1＝﹣3，
∴直线CE的解析式为y＝﹣3x﹣3；
设直线CF的解析式为y＝k2x﹣3，将点F的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线CF的解析式为，
联立，
解得：或，
联立，
解得：或，
∴T点横坐标为﹣16或；
（3）如图3，图4，
∵y＝x+m与抛物线C1交于M、N两点，
当x＝0时，y＝m，
设M，N的横坐标分别为x1，x2，
∴x1，x2是方程，即的两个根，
∴x1+x2＝0，，
∴MN的中点在y轴上，即（0，m），
∵∠MPN＝90°，
∴P是以MN为直径，（0，m）为圆心的圆上的一点，
∵在x轴上存在唯一的一点P，使得∠MPN＝90°，
即P是圆与x轴的切点，
∴，
∵y＝x+m与抛物线C1交于M、N两点，MN与水平线的夹角为45°，
∴，
∴，
∴m2＝﹣2x1x2，即m2＝﹣2（﹣12﹣4m），
解得：或．
5．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1），
3m+n＝12﹣3＝9；
（2）①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，
故此时Q点坐标为（2，﹣7）；
②当CP＝PQ时，
可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；
③当CQ＝PQ时，
可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：yx，
当x＝2时，y，即点Q的坐标为（2，）；
故：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，）或（2，﹣7）；
（3）图象翻折后的点P对应点P′的坐标为（2，﹣1），
①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3；
②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，
此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b．
即：b＝﹣3或．
6．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点（0，1），
∴抛物线解析式为x2+1，
故答案为：；
（2）直线y＝kx+kt交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，设A的横坐标为x1，B的横坐标为x2，C的横坐标为x3，
∴B、E横坐标相同且均为x2，C、F横坐标相同且均为x3，
联立得：，
整理得：x2﹣4kx+4﹣4kt＝0，
∴x2+x3＝4k，x2x3＝4﹣4kt，
令y＝kx+kt＝0，
解得x＝﹣t，
∴x1＝﹣t，
∴AE＝x2﹣x1＝x2+t，AF＝x3﹣x1＝x3+t，
∴AE AF＝（x2+t）（x3+t）
＝4﹣4kt+t 4k+t2
＝4+t2，
∵4+t2＞t2，
∴AE AF＞t2；
（3）∵平移抛物线使其顶点在原点O处，如图2，
∴平移后解析式为，
设CD：y＝k1x+b1，M（m，﹣1），N（n，﹣1），则C（m，k1m+b1），D（n，k1n+b1），F（0，b1），
∴CM＝k1m+b1+1，DN＝k1n+b1+1，MN＝n﹣m，EF＝b1+1，EM＝﹣m，EN＝n，
∵记△CMF的面积为S1，△MNF的面积为S2，△DNF的面积为S3，
∴S1＝S△CMFME CM，S2＝S△MNFEF MN，S3＝S△DNF，
∵4S1 S3，
∴，
整理得4mn（k1m+b1+1）（k1n+b1+1），
∴，
联立得：，
整理得，
∴m+n＝﹣4k1，mn＝4b1，
∴（n﹣m）2＝（m+n）2﹣4mn，
∴，
整理得0，
∵CD不与x轴平行，
∴k1≠0，
∴b1＝1，
∴F（0，1）．
7．【解答】（1）解：点P（x，y）到定点Q（0，）的距离为，
点P（x，y）到直线y的距离为|y|，
根据题意得|y|，
整理得：y＝2x2，
故答案为：y＝2x2；
（2）解：将抛物线C1：y＝2x2向右平移1个单位长度得：y＝2（x﹣1）2，顶点为（1，0），
再将点（1，0）绕点（2，1）旋转180°得到点（3，2），
∴将抛物线C1：y＝2x2绕点（2，1）旋转180°后得到新抛物线C2：y＝﹣2（x﹣3）2+2，
令y＝0，得﹣2（x﹣3）2+2＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∴A（2，0），B（4，0），
令x＝0，得y＝﹣16，
∴C（0，﹣16），
当CR∥AB时，R与C关于对称轴直线x＝3对称，此时R（6，﹣16）；
当BR∥AC时，如图1，设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝8x﹣16，
设直线BR的解析式为y＝8x+n，把B（4，0）代入得：32+n＝0，
解得：n＝﹣32，
∴直线BR的解析式为y＝8x﹣32，
联立得，
解得：，，
∴R（﹣2，﹣48）；
当AR∥BC时，同理可得直线BC的解析式为y＝4x﹣16，直线AR的解析式为y＝4x﹣8，
联立得，
解得：x1＝x2＝2，不符合题意，舍去；
综上所述，点R的坐标为（6，﹣16）或（﹣2，﹣48）；
（3）证明：如图2，
将点D（，t）分别代入直线EF：y＝k1x+b1，直线GH：y＝k2x+b2，得：tk1+b1k2+b2，∴b1﹣b2（k2﹣k1），联立抛物线与直线EF，得：，
∴2x2+（k1﹣12）x+b1+16＝0，则xE+xF（12﹣k1）＝6k1，∵点M、N分别为EF、GH的中点，∴xM（xE+xF）＝3k1，
同理：xG+xH（12﹣k2）＝6k2，xN＝3k2，
∴M（3k1，3k1+b1），N（3k2，3k2+b2），
设直线MN的解析式为y＝k′x+b′，
则，
消去b′，得：k′＝k1+k2﹣12，
∵b1﹣b2（k2﹣k1），
∴k′＝k1+k2+2，
∵直线MN与直线y＝﹣8x平行，
∴k′＝﹣8，
即k1+k2+2＝﹣8，
∴k1+k2＝﹣10，
故k1+k2＝﹣10为定值．
8．【解答】解：（1）令y＝﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；
（2）设点C、D的坐标分别为：（x1，2x1+b）、（x2，2x2+b），
联立直线和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3＝2x+b，
则x1+x2＝0，x1x2＝3﹣b，
则CD2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝（x1﹣x2）2+（2x1+b﹣2x2﹣b）2＝52，
即（x1﹣x2）2+（2x1﹣2x2）2＝52，
即（x1+x2）2﹣4x1x2＝0﹣4（3﹣b）＝5，
解得：b或；
（3）设点D、C的横坐标分别为：m、n，
由（2）知，m+n＝0，
则点D（m，﹣m2+2m+3），
将点B、D的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：k2＝﹣（m+1），
同理可得：k1＝﹣（n+1），
则k1+k2＝﹣m﹣1﹣n﹣1＝﹣（m+n）﹣2＝﹣2．
9．【解答】解：（1）将点A的坐标代入函数表达式得：0＝a+2a﹣3，
则a＝1，
即抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点D（m，m2﹣2m﹣3），
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝（m﹣3）（x+1），
由点C的坐标知，点C在抛物线对称轴上，设AD交抛物线对称轴于点H，则H（1，2m﹣6），
则CH＝2m﹣6+5＝2m﹣1，
则S△ACDCH×（xD﹣xA）（2m﹣1）（m+1），
解得：m＝﹣2（舍去）或，
即点D的横坐标为；
（3）直线y＝kx﹣k﹣5，
联立上式和二次函数表达式并整理得：x2﹣（k+2）x+k+2，
设M（x2，y2），N（x1，y1），则x1+x2＝x1 x2＝k+2，
设直线MP与直线x＝1的交点为Q（1，m），
∵点N关于抛物线对称轴的对称点为点P，则点P（2﹣x1，y1），
由点P、M的坐标得：直线PM的表达式为：y＝（2﹣x1+x2﹣2）（x﹣x2）+y2，
将点Q的坐标代入上式得：
m＝（﹣x1+x2）（1﹣x2）+y2
＝x2x1+x1x2+y2
＝x2+y2+x1x2﹣x1
＝x2+y2+x1+x2﹣x1
＝2x2+y2kx2﹣k﹣5
＝x2（k+2）﹣k﹣5
＝x1x2k﹣5
＝k+2﹣k﹣5
＝﹣3，
∴m＝﹣3，
∴直线MP过定点Q（1，﹣3）．
即直线PM过定点，定点坐标为（1，﹣3）．
10．【解答】解：（1）①抛物线y＝ax2﹣6ax+8a与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C．令y＝0，即ax2﹣6ax+8a＝0，
∵a≠0，
∴x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x＝2，x＝4，
即A（2，0），B（4，0），
∴OA＝2，
∵OC＝4AO，
∴OC＝8，
当x＝0时，y＝8a＝8，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+8；
故答案为：y＝x2﹣6x+8；
②由（1）可得A（2，0），B（4，0），C（0，8），
∴，
∵△DBC的面积等于6时，
∴D到BC的距离为，
如图所示，在y轴上取点E，过点E作EF⊥BC，使得，交抛物线于点D1，D2，在BC的两侧分别作BC的平行线，与抛物线的交点为D，
∵EF⊥BC，
∴∠CFE＝∠AOB＝90°，
又∵∠ECF＝∠BCO，
∴△ECF∽△BCO，
∴，
∴，
解得：CE＝3，
∴E（0，5），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，
设过点E且与BC平行的直线的解析式为y＝﹣2x+e，代入E（0，5）得：
e＝5，
∴过点E的直线解析式为y＝﹣2x+5，
联立，
解得：x1＝1，x2＝3，
同理在BC上方作BC的平行线，交y轴于点G，则G（0，8+3），即G（0，11），
设过点G的直线解析式为y＝﹣2x+g，代入G（0，11）得：
g＝11，
∴过点G的直线解析式为y＝﹣2x+11，
联立，
消去y得，x2﹣6x+8＝﹣2x+11，
解得：，
综上所述，点D的横坐标为；
（2）点P（1，t）为抛物线上一点，过（5，6）作一直线与抛物线交于M，N两点，直线PM的解析式为：y1＝k1x+b1，直线PN的解析式为：y2＝k2x+b2，
当x＝1时，y＝a﹣6a+8a＝3a＝t，即P（1，3a），
将点P的坐标P（1，3a）代入y＝k1x+b1得：k1+b1＝3a，
∴b1＝3a﹣k1，
∴直线PM：y＝k1x+3a﹣k1，
联立，
得ax2﹣（k1+6a）x+5a+k1＝0，
即（x﹣1）[ax﹣（5a+k1）]＝0，
∴，x2＝1，
∴M的横坐标为，
代入PM：y＝k1x+3a﹣k1，得，
∴，
同理，
设直线MN的解析式为y＝mx+n，将点M，点N的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线MN的解析式为，将（5，6）代入得：
，
化简得：，
∴当a＝1，（k1k2）min＝﹣3．
11．【解答】解：（1）依题意，把A（﹣1，3），B（﹣5，﹣5），O（0，0）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣x2﹣4x；
（2）如图1：
当点C在BO下方时，
设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（﹣1，3），B（﹣5，﹣5）代入得：
，
解得，
∴y＝2x+5．
∵∠COB＝∠ABO，
∴AB∥CO，
∴设直线CO的解析式为y＝2x+m，
∵点O是原点，
∴直线CO的解析式为y＝2x，
依题意，得，
解得x1＝0，x2＝﹣6，
∵点O是原点，
∴C（﹣6，﹣12）．
当点C在BO上方时，如图2：
设直线AB交x轴于点F，过B点作BD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，
则DB＝DO＝5，∠BDF＝∠ODC＝90°，
∴∠DBO＝∠DOB＝45°，
又∵∠COB＝∠ABO，
∴∠DOC＝∠DBF，
∴△DBF≌△DOC（ASA），
∴DE＝DF，
令y＝0，则2x+5＝0，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
∴直线OE的解析式为，
联立得：，
解得，，
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为（﹣6，﹣12）或；
（3）点P是在一条定直线上；理由如下：
设M（m，﹣m2﹣4m），N（n，﹣n2﹣4n），
设直线MO：y＝kx，则km＝﹣m2﹣4m，
解得：k＝﹣m﹣4，
∴直线MO：y＝（﹣m﹣4）x，
设直线BN：y＝k1x+b1，代入得：
，
解得：，
∴直线BN：y＝﹣（n﹣1）x﹣5n，
联立直线MO，BN得：
，
解得：，
联立直线y＝kx+k﹣1与抛物线得：
，
整理得：x2+（k+4）x+k﹣1＝0，
∴m+n＝﹣k﹣4，mn＝k﹣1，
∴m+n+mn＝﹣5，
∴m＝﹣5﹣n﹣mn，
∴m﹣n+5＝﹣5﹣n﹣mn﹣n+5＝﹣mn﹣2n，
∴xp═，yp5，
∴yP＝﹣2xP+5，
∴点P在定直线y＝﹣2x+5上．
12．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a＞0）与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；
（2）如图1，以C为顶点，在AC下方作∠ACD＝30°，连CD交抛物线于点D，过A作AE⊥AC交CD于E，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵y＝x2+x﹣2，令x＝0，得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），又A（﹣2，0），
∴OA＝OC＝2，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴AC＝2，∠OAC＝45°，
∵∠EAC＝90°，∠ACD＝30°，
∴AEAC，
∵∠CAE＝90°，∠OAC＝45°，
∴∠EAF＝45°，
∵∠AFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝EFAE，
∴OF＝OA+AF＝2，
∴E（﹣2，），
设直线CE解析式为y＝kx+b，把E（﹣2，），C（0，﹣2）代入得：
，
解得，
∴直线CE解析式为y＝（﹣2）x﹣2，
联立方程组得，
解得（舍去）或，
∴D（﹣3，7﹣5），
∵∠ACD＜30°，点D是抛物线上第三象限内的一点，
∴﹣2＜xD＜﹣3；
（3）是定值．理由如下：
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由得x2+（1﹣k）x0，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2，
∵y1＝kx12，y2＝kx22，
∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∴MN



＝1+k2，
∵点P是直线y＝kx2上一定点，
∴P（，﹣2），
∴PM
，
PN
，
∴PM PN＝（1+k2）
＝（1+k2）
＝（1+k2）
（1+k2）
MN，
∴4，
∴是定值．
13．【解答】解：（1）把m＝3代入y＝x2+（1﹣m）x﹣m得：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）取点A关于y轴的对称点E，则E（1，0），连接CE，BD，如图1，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，即∠OCE+∠BCE＝45°，
∵点A关于y轴的对称点E，
∴∠OCE＝∠OCA，
∴∠OCA+∠BCE＝45°，
∵∠DBC+∠ACO＝45°，
∴∠DBC＝∠BCE，
∴CE∥BD，
设直线CE的解析式为：y＝kx+b，
把E（1，0），C（0，﹣3）代入得：
，
∴，
∴直线CE的解析式为：y＝3x﹣3，
设BD的解析式为：y＝3x+m，把B（3，0）代入得：0＝3×3+m，
∴m＝﹣9，即BD的解析式为：y＝3x﹣9，
联立，
得x2﹣2x﹣3＝3x﹣9，即x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3（舍去），
当x＝2时，y＝﹣3，
∴点D的坐标为（2，﹣3）；
（3）令y＝0代入y＝x2+（1﹣m）x﹣m，则x2+（1﹣m）x﹣m＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝m，
∴A（﹣1，0），B（m，0），
联立得：x2+x﹣2m＝0，
设M（x1，﹣mx1+m），N（x2，﹣mx2+m），
∴x1+x2＝﹣1，
∴N（﹣1﹣x1，mx1+2m），
设AN的解析式为：y＝px+q，代入得：
，
解得：，
∴AN的解析式为：，
同理：AM的解析式为：，
∴，，
∴OP，OQ，
∴，
又∵x1﹣2m＝0，即x1＝2m，
∴1．
14．【解答】解：（1）∵y＝kx﹣3k+4，
∴k（x﹣3）＝y﹣4，
∵k为任意不为0的实数，
∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，
解得x＝3，y＝4，
∴直线L经过定点D，D（3，4）；
（2）设E、F的横坐标分别为x1，x2，
则x1，x2为方程的两根，
整理得x2﹣4（k+1）x+12k﹣13＝0，
∴x1+x2＝4（k+1），x1x2＝12k﹣13，
∴，
当时，x2﹣x1有最小值，最小值为8，
当y＝0时，，
解得x1＝1，x2＝3，
则B（3，0），
作BD∥y轴交直线EF于点D，如图，则D（3，4），
∴，
∴S△BEF的最小值为．
15．【解答】解：（1）由已知OC＝3OB＝3，知点B（1，0），C（0，3），
且对称轴为直线则：
，
解得，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如图1，①当△AOE∽△ABC时，∠AOE＝∠ABC，则OD1∥BC，
设直线BC为y＝mx+n，
将B（1，0），C（0，3）代入得，
解得，
所以直线BC：y＝﹣3x+3，
因为OD1∥BC，所以直线OD1为：y＝﹣3x，
联立抛物线与直线OD1得﹣x2﹣2x+3＝﹣3x
即x2﹣x﹣3＝0，
解得x1，x2（舍去）；
②当△AOE∽△ACB时，∠AOE＝∠ACB，
作BH⊥AC，如图2，
由B（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
则A（﹣3，0），AB＝4，OC＝OA＝3，
∴AC＝3，AH＝BH＝2，
∴CH，tan∠AOE＝tan∠ACB2，
作EK⊥OA，则tan∠AOE2，
设OK＝e，AE＝EK＝2e，3e＝3得e＝1，点E（﹣1，2），
直线OE为：y＝﹣2x，联立抛物线与直线OE，﹣x2﹣2x+3＝﹣2x，
解得x1，x2（舍去）
综上所述点D的横坐标为或者．
（3）经过点P（，）的直线l：y＝kx+t交抛物线于M，N两点（M在第三象限，N在第一象限），直线TQ：y＝k1x交线段MP于点Q（不与M，P重合），
如图3，设点M（xM，yM）N（xN，yN），
∵直线l：y＝kx+t经过点，
∴k+t，tk，直线l：y＝kxk，
联立直线l：y＝kxk与直线TQ：y＝k1x，
解得xQ①，
联立直线l：y＝kxk与抛物线得﹣x2﹣2x+3＝kxk，
即x2+（k+2）xk0，
由韦达定理得xM+xN＝﹣k﹣2，xMxNk②，
如图分别作PH∥CO，NS∥OC，PS∥AB，QR∥AB，MH∥AB，则∠PMH＝∠PQR＝∠NPS，
∴，
∴，
将xP及①②代入得，
设S，
∴（2k1+11﹣9s）k+2k1+9sk1+11＝0，
若的值与k无关，
则2k1+11﹣9s＝0，2k1+9sk1+11＝0，
解得k1＝﹣1或k1．
当k时，P与Q重合，不合题意，舍去，
∴k1＝﹣1．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑