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内蒙古赤峰市 2025 年 3 月高考模拟数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，向量 对应的复数是 ，则 的值为( )
A. 6
B. √ 6
C. 13
D. √ 13
2.已知集合 = {[ 1.5], [ 1], [0.4],[2.1]}，其中[ ]表示不超过 的最大整数， = { ∈ | 2 ≤ < 3}，则
∩ =( )
A. { 1,0} B. { 1.0,1} C. { 1,0,2} D. { 2, 1,0,2}
3.已知向量 和 满足| | = | | = 3, 与 的夹角为60°，则|2 | =( )
A. √ 3 B. 2 C. 2√ 3 D. 3√ 3
1
4.已知锐角 满足 = ，则 的值为( )
5
3 4 √ 5
A. B. C. D. √ 5
4 3 5
5.在平面内，两定点 ， 之间的距离为4，动点 满足| | = 3| |，则点 轨迹的长度为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
3 2
6.某学校有 、 两家餐厅，王同学第一天去 、 两个餐厅的概率分别是 和 ，如果第一天去 餐厅，那么
5 5
3 4
第二天去 餐厅的概率为 ；如果第一天去 餐厅，那么第二天去 餐厅的概率为 ，则王同学第二天去 餐厅
5 5
的概率为( )
12 8 17 8
A. B. C. D.
17 17 25 25

7.如图所示，用一个与圆柱底面成 (0 < < )2 角的平面截圆柱，截面是一个椭

圆面，若 = 3，则椭圆的离心率为( )
1
A.
2
√ 3
B.
3
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√ 2
C.
2
√ 3
D.
2
8.结合以下材料：“在空间直角坐标系 中，过点 ( 0, 0 , 0)且一个法向量为 = ( , , )的平面 的
方程为 ( 0)+ ( 0) + ( 0)= 0.”解决问题：在空间直角坐标系 中，若直线 是两平面
3 + 7 = 0与4 + 2 + 3 = 0的交线，则直线 的方向向量可以是( )
A. (3,1, 2) B. (3,1,2) C. ( 2,1, 3) D. (2,1,3)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }的前 项和为 ，且2 +1 = + +2，若 5 3 = 4， 2 = 4，则( )
+1+1
A. 1 = 1 B. { }是公差为2的等差数列
6 3
C. 9 = 81 D. = 3 6 3

10.已知函数 ( ) = sin( 2 )，则( )
3
A. ( )是周期为 的函数
2
B. ( )与函数 = cos(2 + )是同一函数
3

C. = 是 ( )的一条对称轴
12
√ 3
D. ( )在区间(0, )上的取值范围是[ 1, )
2 2
11.数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”
1 1
的曲线 ：| |2 + | |2 = 2(如图所示)，则下列关于曲线 的说法正确的有( )
A. 周长大于25
B. 共有4条对称轴
C. 围成的封闭图形面积小于14
D. 围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.在(2 + )6展开式中，常数项为______．

13.锐角△ 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，且 2 2 = ( ) ，若 = √ 3，则△ 周长
的取值范围是______．
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1
14.已知函数 ( ) = + (0 < ≤ √ 3)在[ 2, 1]上的最大值比最小值大 ，则 = ______．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下列
联表，并画出身高的频率分布直方图：
身高
性别 合计
低于170 不低于170
女 20
男 50
合计 200
(1)根据身高的频率分布直方图，求列联表中的 ， 的值；
(2)依据小概率值 = 0.001的独立性检验，能否认为“高三年级学生的性别”与“身高是否低于170 ”有
关联？
(3)将样本频率视为概率，在全市不低于170 的学生中随机抽取6人，其中不低于175 的人数记为 ，求
的期望．
2
( )
附： 2 = ，
( + )( + )( + )( + )
( 2 ≥ ) = 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
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16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ( + 1) ．
(1)求 ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若函数 ( ) = ( ) 有两个极值点，求 的取值范围．
17.(本小题15分)
5
已知数列{ }中， +1 = 2
3 +1
．
(1)若 1， 2， 3依次成等差数列，求 1；
4 1
(2)若 1 = ，证明：数列{ 3
}为等比数列； 3
4
(3)若 1 = ，求{ 3 }的前 项和 ．
18.(本小题17分)
如图所示，三棱柱 中，平面 ⊥平面 ， = 2 = 2 = 4，∠ = ∠ = 120°，
点 为棱 的中点，动点 满足 = + (1 ) (0 < < 1)．
3
(1)当 = 时，求证： ⊥ ；
4
(2)若平面 与平面 所成角的正切值为√ 19，求 的值．
19.(本小题17分)
已知点 为圆 ：( + 2)2 + 2 = 12上任意一点，点 (2,0)，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，设点 的
轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
√ 3
(2)若过点 的直线 与曲线 相切，且与直线 = ± 分别交于点 ， ．
3
( )证明：点 为线段 的中点；
( )求2| | + 3| |的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】160
13.【答案】(3 + √ 3,3√ 3]
14.【答案】1
15.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，低于170 的学生有200× 5× (0.005+ 0.015+ 0.030+
0.060) = 110人，
则不低于170 的学生有200 110 = 90人，
所以 = 110 50 = 60， = 90 20 = 70；
(2)零假设 0：性别与身高没有关联，
2 2
2 ( ) 200(60×70 50×20) 6400则 = = = ≈ 21.549 > 10.828，
( + )( + )( + )( + ) 80×110×120×90 297
根据 = 0.001的独立性检验，我们推断 0不成立，因此该市高三年级学生的性别与身高是否低于170 有
关联；
(3)样本中抽中不低于175 的频数为(0.032+ 0.008)× 5 × 200 = 40人，
40 4
样本中抽中不低于175 的频率为 = ，
90 9
4
将样本频率视为概率，则 (6, )，
9
4 8
所以 ( ) = 6× = ．
9 3
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16.【答案】解：(1)由题意，函数 ( )的定义域为(0,+∞)
1
， ′( ) = + + 1，

故 ′(1) = 2，又 (1) = 0，所以切点坐标为(1,0)，
所以 ( )在点(1, (1))处的切线方程为 0 = 2( 1)，即2 2 = 0．
(2)函数 ( ) = ( ) = ( + 1) 的定义域为(0,+∞)，
1
则 ′( ) = + + 1 ，

( )有两个极值点等价于 ′( ) = 0有两个不等正根，
1
即 + + 1 = 有两个不等正根，

1 1 1 1
设 ( ) = + +1， ′( ) = 2 = 2 ( > 0)，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，当 ∈ (1,+∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以 ( ) = (1) = 2，
作出 ( )的大致图象如图所示：
当 > 2时，直线 = 与函数 ( )的图象有两个交点，
设这两个交点的横坐标分别为 1、 2(0< 1 < 1 < 2)，
由图可知，当0 < < 1或 > 2时， ( ) > ，则 ′( ) > 0，
当 1 < < 2时， ( ) < ，则 ′( ) < 0，
所以函数 ( )在(0, 1)、( 2,+∞)上单调递增，在( 1 , 2)上单调递减，
此时函数 ( )的极大值点为 1，极小值点为 2，
故当 > 2时， ( )有两个极值点，
综上， 的取值范围为(2,+∞)．
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5 5
17.【答案】(1)解：由 +1 = 2
3 +1
，得 2 = 2 1 ， 9
5 5 5 10 5 35
3 = 2 2 = 2(2 1 ) = 4 1 = 4 1 ， 27 9 27 9 27 27
∵ 1， 2， 3成等差数列，∴ 2 2 = 1 + 3，
5 35 5
即2(2 1 ) = 1 + 4 1 ，解得 = ； 9 27 1 27
4 1
(2)证明： 1 = ，即 = 1， 3 1 3
5
∵ +1 = 2 +1， 3
1 5 1 6 2 1
∴ +1 = 2
3 +1 3 +1 3 +1
= 2 = 2 = 2( )，
3 +1 3
3
1
+1 +1
3 1即 1 = 2，可得数列{ }是首项为1，公比为2的等比数列；
3
3
1 1
(3)解：由(2)可得 = 1 × 2
1 = 2 1，则 = 2 1
3
+ ，
3
∴ = (20 + 21 + + 2 1
1 1 1
)+ ( 1 + 2 + + ) 3 3 3
1 1 1 1
1×(1 2 ) ×(1 ) ×(1 )3
= + 3 = 2
3 1 1
1 1 +
3 = 2 1 + × (1
1 2 2
)
1 2 3
3 3
1 1 1 1
= 2 1 + = 2 ．
2 2×3 2×3 2
18.【答案】(1)证明：由 = + (1 ) 可得， + = ，
即 + + + = ，即 = ，
如图：
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以过 作 ⊥ 于 ，则 ⊥平面 ，
连接 ，因为△ △ ，所以 ⊥ ，
= 2 = 2 = 4，∠ = ∠ = 120°，
在 △ 中， = 60° = √ 3， = 60° = √ 3，∠ = 90°．
2 2 2
所以 = √ 6，则cos < ，
+ 4+4 6 1
>= cos∠ = = = ，
2 2×2×2 4
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=
1
，
2
= + = = ，
3 3当 = 时， = ，
4 4
3 1 3
= ( ) ( ) = | |2 + +
1

3
+ | |2 +
4 2 4 2 8
1
= 0，
2
所以 ⊥ ；
(2)解：如图，由(1)得 ， ， 两两垂直，
故可以 为原点， 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立如图所示坐标系：
平面 中， (0,3,0), (√ 3, 4,0), (0,4, √ 3)， (0,0,√ 3)，
= (0,1, √ 3), = (√ 3, 1,0)，
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1 , 1)，
1 = 0 1 + √ 3 1 = 0则{ ，即{ ，
1 = 0 √ 3 1 + 1 = 0
令 1 = 1，则 1 = (1, √ 3, 1)；
平面 中，由(1)可知， = ，
设 (0, , 0)，因为 = (0, , 0)， = (0,4,0)，
所以(0, , 0) = (0,4,0)，可得 = 4 ，
所以 (0,3,0), (√ 3, 0,0), (0,4 , √ 3)，
= (√ 3, 3,0), = (0,4 3,√ 3)，
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2 , 2)，
2 = 0 √ 3 2 3 = 0则{ ，即{ 2 ，
2 = 0 (4 3) 2 + √ 3 2 = 0
令 2 = 3，则 2 = (3, √ 3, 3 4 )；
由题意，设平面 与平面 所成角为 ，且 √ 5 = √ 19，可得 = ，
10
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1 2 = 1 × 3 + ( √ 3) × √ 3 + 1 × (3 4 ) = 3 4 ，
| 2 2 21 | = √ 1 + ( √ 3) + 1 = √ 5，| | = √ 32 + (√ 3)2 + (3 4 )3 = √ (4 3)22 + 12，
| 1 2 | |3 4 | √ 5 = = = 1
| 1 | | 2 | 2 10，解得 = ， √ 5 √ (4 3) +12 4
1
即平面 与平面 所成角的正切值为√ 19时， 的值为 ． 4
19.【答案】解：(1) 为 的垂直平分线上一点，则| | = | |，
∴ || | | || = || | | || = | | = 2√ 3 < | | = 4，
∴点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线，且2 = 2√ 3, = 2，
2
故点 的轨迹方程为 ： 2 = 1．
3
(2)( )证明：设 ( 0 , 0)， ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
√ 3 √ 3
双曲线的渐近线方程为 1 = 1①， 2 = ②， 3 3 2
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程是 √ 3 = ± ，根据双曲线的对称性可知，
3
此时直线 即是双曲线 的切线，同时满足点 为线段 的中点，
当直线 的斜率存在时，设过点 且与 相切的直线 的方程为 √ 3 = + ( ≠ ± )，
3
= +
与双曲线联立{ 2 (1 3 2) 2 6 3 2 3 = 02 ， = 1
3
2 2 3 3 由 = 0 3 = +1，且 0 = 2，故可得 ( 2 , 2)，
1 3 1 3 1 3
= +
{ 3 √ 3 由 √ 3 ( , )；
= √ 3 3 √ 3 3
3
= +
{ 3 √ 3 √ 3 ( , )，
= √ 3 3 √ 3+3
3
6 2
∴ 1 + 2 = 2 = 2 0, 1 + 2 = 2 = 2 0，
1 3 1 3
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∴点 为线段 的中点，
综上，点 为线段 的中点．
( )由( )知， 3 √ 3 3 √ 3 ( , ), ( , )，
√ 3 3 √ 3 3 √ 3 3 √ 3+3
2
2 2 2 2 4 4 9
2 4 9×(3 1)
∴ | | | | = √ 1 + 1 √ 2 + 2 = | 1 2| = × 2 = × 2 = 4， 3 3 9 3 3 9 3
∴ 2| | + 3| | ≥ 2√ 6| || | = 2√ 6× 4 = 4√ 6，
当且仅当2| | = 3| |，即| | = √ 6时取等号，
又∵ | | ∈ (0,+∞)，
∴ 2| | + 3| |的取值范围为[4√ 6,+∞)．
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