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(共26张PPT)
16.2.1 二次根式的运算
第16章 二次根式
沪科版数学八年级下册（示范课课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一、教学目标
理解二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式。
掌握二次根式有意义的条件，并能根据条件确定字母的取值范围。
理解二次根式的性质，会运用性质进行简单的化简与计算。
二、教学重难点
重点
二次根式的概念及有意义的条件。
二次根式的性质及应用。
难点
理解二次根式中字母的取值范围。
灵活运用二次根式的性质进行化简和计算。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些实际生活中的问题，如：已知正方形的面积为

S
，求它的边长。当

S=2
时，边长为

2

；当

S=3
时，边长为

3

等。
引导学生观察这些式子

2

、

3

等，它们都具有什么共同特征，从而引出本节课的主题 —— 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的乘法运算法则，并能用它进行有关实数的运算；
2.经历二次根式乘法运算法则的探索过程，体会数学的严谨性；
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
复习回顾
双重非负性
1.什么叫二次根式？
形如 的式子叫做二次根式.
2. 二次根式的两个基本性质是什么？
性质1:
性质2:
计算下列各题，观察有何规律？
小组合作
1.独立思考，完成计算；
2.两人一组，交流探究，找出规律.
观察
计算下列各题，观察有何规律？
2 5
10
10
0.5 10
5
5
算术平方根的积
积的算术平方根

猜想
观察
思考
能否证明这个猜想？
猜想
证明：因为当a≥0，b≥0时，
又 ，
ab的算术平方根只有一个，所以
积的乘方法则
算术平方根的意义
归纳
二次根式的性质3
如果a≥0，b≥0，那么有
算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.
由等式对称性，性质3也可以写成
二次根式的乘法法则
积的算术平方根的性质
积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.
典型例题
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(1)
二次根式的运算过程中，可以把被开方数中的“完全平方因式(因数) ”，用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外.我们可以利用这个办法将二次根式化简.
典型例题
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(2)
拓展
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数
根式与根式相乘，被开方数相乘的积作为积的被开方数.
知识点1 二次根式的乘法
1. 化简 的结果是( )
B
A. B. C. D.147
2.[2024合肥庐阳中学模拟] 下列运算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.下列各数中，与 的积为有理数的是( )
A. B. C. D.
C
返回
4.二次根式的乘法在生活和高科
技领域中有着广泛的应用.如图，
要将某一部件的一个长方形变化
D
A. B. C. D.
【点拨】设圆的半径为 ，根据题意，得
，解得 （负值已舍去），故选D.
成与其等面积的一个圆形，已知长方形的长是 ，宽
是 ，那么圆的半径应是 ( )
返回
5.计算： .
【解】原式 .
返回
知识点2 积的算术平方根
6.若等式成立，则 的取值
范围是( )
A
A. B.
C. D.或
7.已知，，用含，的代数式表示 ，这个
代数式是( )
B
A. B. C. D.
返回
8.（荣德原创题）当，时,化简 的结果为
( )
B
A. B. C. D.
【点拨】， ，
.
返回
9.化简：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
返回
易错点 忽视隐含条件，误直接将负数移到根号内
10.[2024德阳月考] 把 根号外的因式移到根号内的结果
是( )
C
A. B. C. D.
【点拨】由题可知 ，
.故选C.
返回
11.下列各式中，一定能成立的是( )
A
A.
B.
C.
D.
【点拨】A.易得， 原式 ，故A
符合题意；
B.当 时，此式子不成立，故B不符合题意；
C.原式 ，故C不符合题意；
D.当 时，此式子不成立，故D不符合题意.
故选A.
返回
12.[2024岳阳一模] 问题探究：因为 ，
所以.因为 ，所以
.请你根据以上规律，结合你的经验化简
_______.
【点拨】因为 ，
所以 .
返回
13. 已知为正整数，若 是整数，则
根据可知 有最小值
.设为正整数，若是大于1的整数，则 的最
小值为___，最大值为____.
3
75
二次根式的乘法法则：
二次根式的乘法
反过来，可得积的算术平方根的性质：
算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.
完成教材上的课后习题
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16.2.2 二次根式的运算
第16章 二次根式
沪科版数学八年级下册（示范课课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一、教学目标
理解二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式。
掌握二次根式有意义的条件，并能根据条件确定字母的取值范围。
理解二次根式的性质，会运用性质进行简单的化简与计算。
二、教学重难点
重点
二次根式的概念及有意义的条件。
二次根式的性质及应用。
难点
理解二次根式中字母的取值范围。
灵活运用二次根式的性质进行化简和计算。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
名师点金
二次根式的除法法则的推广
1.如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即
√ ÷√ ÷√ =√( ÷ ÷ )( ≥0, >0, >0).
2.当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式除以单
项式的法则进行运算，将根号外的因数（式）之商作为商的
根号外的因数（式），被开方数（式）之商作为商的被开方
数（式），即
√ ÷ √ =( ÷ )√( ÷ )( ≥0, >0, ≠0).
生活中的问题，如：已知正方形的面积为

S
，求它的边长。当

S=2
时，边长为

2

；当

S=3
时，边长为

3

等。
引导学生观察这些式子

2

、

3

等，它们都具有什么共同特征，从而引出本节课的主题 —— 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的除法运算法则，并能利用它进行有关实数的运算；
2.经历利用二次根式除法法则进行运算的过程，了解最简二次根式的概念，体会数学的严谨性；
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
复习回顾
1. 二次根式的乘法法则是什么？
2. 逆用二次根式的乘法法则可以得到什么？
算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
符号语言
文字语言
符号语言
文字语言
二次根式的除法有类似的运算法则吗？
计算下列各题，观察有何规律？
小组合作
1.独立思考，完成计算；
2.两人一组，交流探究，找出规律.
观察
计算下列各题，观察有何规律？
观察
算术平方根的商
商的算术平方根

猜想
对比乘法法则，a、b的取值范围有何变化？
思考
你能仿照二次根式的乘法法则证明二次根式的除法法则吗？
证明：因为当a≥0，b＞0时，
又 ，
猜想
的算术平方根只有一个，所以
归纳
二次根式的性质4
如果a≥0，b＞0，那么有
算术平方根的商等于商的算术平方根.
由等式对称性，性质4也可以写成
二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
商的算术平方根等于算术平方根的商.
想一想
现在你能算出长方形游泳池的宽吗？
长方形游泳池的宽为 m.
典型例题
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(1)
(2)
二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行.把分母中的根号化去，就是分母有理化.
交流
下面的式子还有其它的计算方法吗？
依据：分数的基本性质
目的：去掉分母中的根号
典型例题
【例2】化简：
(1) ； (2) .
解：(1)
(2)
交流
观察例题中几个式子的运算结果有什么特征？
被开方数的因数是整数，
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1
2
因式是整式；
最简二次根式
分母中不能含根号，根号下不能含分母.
在二次根式的运算中，一般把最后结果化成最简二次根式.
知识点1 二次根式的除法
1. 计算 的结果是( )
A
A. B. C. D.
2. 对于任意的两个不相等的正实数 ,
,定义一种新运算 ,，那8 6么____.
3.计算：_____ .
返回
知识点2 商的算术平方根
4.若成立，则 的值可以是( )
B
A. B.0 C.2 D.3
返回
5.[2024莆田一模] 下列各式的化简正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
6.计算：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
返回
知识点3 分母有理化
7.化简: _ __.
8.计算： .
【解】
.
返回
知识点4 最简二次根式
9.[2024合肥包河区期中] 下列二次根式：， ，
， 中，是最简二次根式的有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.（荣德原创题）若为正整数， 是最简二次根式，
则 的最小值为___.
2
返回
11.已知和 是相等的最简二次根式，则
的值为_____.
【点拨】由题意得解得， ，
.
返回
易错点 弄错运算顺序而致错
12.计算 的结果为( )
B
A. B. C. D.
【点拨】原式 .故选B.
与实数的运算顺序相同，二次根式的乘除混合运算
应按从左到右的顺序进行.
返回
13.如果，，那么下面各式： ；
； ，其中正确的是( )
B
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【点拨】，，， .
， ，
.故②③正确.故选B.
返回
14. 幻方是一种中国传统
游戏，它是将从1到 的自然数排成纵横各
为 个数的正方形，使在同一行、同一列和
同一对角线上的几个数的和都相等.类比幻
方，我们给出如图所示的方格，要使方格
20
中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则
，，， 之积为____.
【点拨】对角线方向上的实数相乘的结果
为 .
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的
实数相乘的结果都相等，得
，解得 ；
，解得 ；
，解得 ；
，解得 ，
，，， 之积为
.
返回
二次根式的除法法则：
二次根式的除法
反过来，可得商的算术平方根的性质：
算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根.
商的算术平方根等于算术平方根的商.
最简二次根式：
被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1
2
完成教材上的课后习题
谢谢观看！(共22张PPT)
16.2.3 二次根式的运算
第16章 二次根式
沪科版数学八年级下册（示范课课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
名师点金
含二次根式的数（或式子）的大小比较，是教与学的一
个难点，如果能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地
采用不同的方法，将会得到简捷的解法.较常见的比较方法有
平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、
倒数法、定义法和特殊值法等.
个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即
√ ÷√ ÷√ =√( ÷ ÷ )( ≥0, >0, >0).
2.当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式除以单
项式的法则进行运算，将根号外的因数（式）之商作为商的
根号外的因数（式），被开方数（式）之商作为商的被开方
数（式），即
√ ÷ √ =( ÷ )√( ÷ )( ≥0, >0, ≠0).
生活中的问题，如：已知正方形的面积为

S
，求它的边长。当

S=2
时，边长为

2

；当

S=3
时，边长为

3

等。
引导学生观察这些式子

2

、

3

等，它们都具有什么共同特征，从而引出本节课的主题 —— 二次根式
学习目标
1.了解并掌握比较两个不含字母的二次根式的方法；
2.经历探究二次根式的大小比较的过程，感受类比、转化的数学思想；
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
复习回顾
根据已学知识填空，看谁又快有准：
能否利用这些知识来比较二次根式的大小？
(1)如果a＞0，b＞0，当a＞b时，则a2 b2 ；
反之，如果a＞0，b＞0，当a2＞b2时，则a b；
(2)如果a b＞0，则a b；
(3)如果a＞0，b＞0，且 ＜1，则a b；
(4)如果a＞b＞0，则 .
＞
＞
＞
＜
＞
合作探究
一个正方形的边长为 cm，另一个正方形的边长为 cm，问：哪个正方形的面积大？它们的边长又有什么关系？
∴边长为 cm的正方形面积大.
正方形的面积越大，边长越长.
∵
它们的边长又有什么关系呢？
相互转化
合作探究
能否从刚才的探究中发现比较 与 的大小的方法？
v
平方
v
平方
无理数
有理数
平方
比较有理数的大小即可
转化
合作探究
现在知道如何比较 与 的大小吗？
∵
∴
解：
过程
依据
当a＞0，b＞0时，
，则a＞b；
，则a＜b.
1
2
还有其他的方法来比较二次根式的大小吗？
平方法
典型例题
【例】比较 与 的大小.
解：
∵ 12＜18，
∴
∴
为什么把根号外的正因数移到根号内？
当a＞0，b＞0时，
a＞b，则 ，
a＜b，则 .
依据
1
2
被开方数比较法
比较被开方数的大小
典型例题
【例】比较 与 的大小.
解：
∴
＜0
若a b＞0，则a＞b；
若a b＜0，则a＜b.
依据
1
2
作差法
先作差，有公因式先提公因式，再与0进行比较.
典型例题
【例】比较 与 的大小.
解：
∴
＜1
当a＞0，b＞0时，
，则a＞b；
，则a＜b.
依据
1
2
作商法
归纳
二次根式的大小比较的基本方法：
1
2
3
4
平方法
被开方数比较法
作差法
作商法
知识点 二次根式的大小比较
1. 比较大小：( ) .
B
A.大于 B.小于 C.等于 D.无法确定
2.已知，，则与 的大小关系
为( )
C
A. B. C. D.无法比较
返回
3.已知，， ，则下列大小关系正确的是
( )
A
A. B. C. D.
【点拨】，， ，
，，即 .
返回
4.比较大小：___.（填“ ”“ ”或“ ”）
5.（1）比较与 的大小.
【解】 .
， .
（2）比较与 的大小.
， .
返回
6.（1）比较与 的大小；
【解】
，
.
,, ,
，
即 .
（2）比较与 的大小.
， ，
且， ，
即 .
返回
7.比较与 的大小.
【解】, .
.
又， .
返回
8.已知，，试比较，
的大小.
【解】 ，
.
,
.
返回
二次根式的大小比较的基本方法：
二次根式的大小比较
课堂小结
注意：
二次根式的大小比较，除了今天学习的四种基本方法，后面会慢慢接触其它方法.要选择合适的方法进行求解.
1
2
3
4
平方法
被开方数比较法
作差法
作商法
完成教材上的课后习题
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16.2.4 二次根式的运算
第16章 二次根式
沪科版数学八年级下册（示范课课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
名师点金
含二次根式的数（或式子）的大小比较，是教与学的一
个难点，如果能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地
采用不同的方法，将会得到简捷的解法.较常见的比较方法有
平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、
倒数法、定义法和特殊值法等.
个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即
√ ÷√ ÷√ =√( ÷ ÷ )( ≥0, >0, >0).
2.当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式除以单
项式的法则进行运算，将根号外的因数（式）之商作为商的
根号外的因数（式），被开方数（式）之商作为商的被开方
数（式），即
√ ÷ √ =( ÷ )√( ÷ )( ≥0, >0, ≠0).
生活中的问题，如：已知正方形的面积为

S
，求它的边长。当

S=2
时，边长为

2

；当

S=3
时，边长为

3

等。
引导学生观察这些式子

2

、

3

等，它们都具有什么共同特征，从而引出本节课的主题 —— 二次根式
学习目标
1.经历探索二次根式加减运算方法，使学生了解什么是同类二次根式，会辨别同类二次根式；
2.通过合并同类项的类比，归纳出二次根式加减的法则，并了解实数的运算性质和法则在根式中同样适用；
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
复习回顾
这节课我们一起来研究这个问题
1.二次根式计算、化简的结果满足什么要求？
被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1
2
2.能否将下列二次根式化为最简二次根式？
化简后的二次根式能进行加减运算吗？
最简二次根式
合作探究
已知△ABC，AB cm， BC cm， AC cm，
蚂蚁1经路线①到达C点，蚂蚁2经路线②到达C点.
A
B
C
你知道蚂蚁1比蚂蚁2多走多少路程吗？
①
①
②
多走的路程 AB BC AC
如何计算这个结果呢？
思考
整式的加减
合并同类项
化成最简二次根式
合并
这几个二次根式有什么共同特征？
被开方数相同
如何计算这个结果呢？
思考
整式的加减
合并同类项
化成最简二次根式
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式.
合并
归纳
二次根式加减运算的法则
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并.合并同类二次根式与合并同类项类似.
二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.
要想得到同类二次根式，必须先化简再观察.
注意
典型例题
【例1】计算： .
解：
一化
二找
三合并
典型例题
【例2】化简：
(1) ；
(2) .
解：(1)
满足平方差公式
实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算
对于有乘积的二次根式混合运算，注意乘法公式的准确运用.
典型例题
【例2】计算：
(1) ；
(2) .
解：(2)
实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算
满足完全平方公式
乘法分配律
不是同类二次根式不能合并
典型例题
【例3】计算： .
解：
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每题4分，共32分）
1.[2024蚌埠蚌山区月考] 下列各式中，一定是二次根式的是
( )
D
A. B. C. D.
2.[2024宿州校级期中] 下列二次根式中，是最简二次根式的
是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.[2024合肥蜀山区期中] 下列各式中，正确的是( )
B
A. B.
C. D.
4.下列各式中，计算正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
5.[2024芜湖镜湖区期中] 已知是整数，则正整数 的最
小值为( )
C
A.2 B.1 C.6 D.36
【点拨】，且是整数， 正
整数 的最小值为6.
返回
6.[2024合肥瑶海区期中] 若 ，则化简
的结果是( )
C
A. B.1 C. D.
返回
7.已知方程组设， ，则
代数式 的值为( )
B
A. B. C. D.
【点拨】根据方程组的特点，将两个方程相减，即可得到
的值；再将两个方程相加，即可得到 的值，进而求解.
返回
8. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用
三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊数学家海伦
提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为,, ，记
，则其面积 .这个公式
也被称为海伦-秦九韶公式.若, ，则此三角形面积
的最大值为( )
C
A. B.4 C. D.5
【点拨】,,, .
.
.
当时，有最大值，最大值为 .
返回
二次根式的加减运算法则：
二次根式的加减
课堂小结
二次根式的加减运算步骤：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并.合并同类二次根式与合并同类项类似.
一化；二找；三合并.
同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式.
完成教材上的课后习题
谢谢观看！

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