资源简介

第二课时　对数函数y=logax的图象和性质的综合问题
课标要求　1.掌握对数型复合函数的单调性、奇偶性、最值、值域. 2.了解对数函数的综合应用.
一、对数型函数的单调性
例1 讨论函数y=loga(3x2-2x-1)的单调性.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　解决对数型复合函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数是否大于1进行讨论;二是运用复合函数的单调性法则来判断单调性;三是要注意函数的定义域.
　训练1 (1)若函数f(x)=loga(2x2+x)(0A. B.
C.(0,+∞) D.
(2)若函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,那么对f(x)在(1,+∞)上的叙述正确的是(　　)
A.递增且无最大值 B.递减且无最小值
C.递增且有最大值 D.递减且有最小值
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
二、对数型复合函数的值域(最值)
例2 设函数f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若f(1)=2,求函数f(x)在区间上的最大值.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求对数型函数的值域时,一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.一定要注意定义域对它的影响.当函数较为复杂时,可对对数函数进行换元,把复杂问题简单化.
2.求最值的三种方法:一是形如f(x)=logax(a>0,且a≠1)的函数,利用对数函数的单调性求解;二是关于logax的二次函数,可利用换元法转化;三是形如f(x)=logag(x)的函数,求解时确定a的取值范围之后,可将其转化为求g(x)的值域与最值.
　训练2 已知函数f(x)=lg .
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)在(m,n)上的值域为(-1,+∞),求m,n的值.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
三、对数函数在实际生活中的应用
例3 (链接教材P115例8)溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为
pH=-lg [H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的pH.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　对于生活中的实际问题,要注意自变量的实际意义下的取值范围.
　训练3 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3,单位是m/s,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是多少
(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.函数f(x)=log2(3x+1),x∈(0,+∞)的值域为(　　)
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
2.(多选)已知函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增,则(　　)
A.0B.a>1
C.f(a+2 023)>f(2 024)
D.f(a+2 023)3.函数y=lo(1-2x)的单调递增区间为　　　　.
4.不等式log2<1的解集为　　　　.
第二课时　对数函数y＝logax的图象和性质的综合问题
例1　解　由3x2－2x－1>0得函数的定义域为
.
设u＝3x2－2x－1，则y＝logau.
又u＝3x2－2x－1在(1，＋∞)上单调递增，
在上单调递减，故
①当a>1时，y＝logau为增函数，
∴y＝loga(3x2－2x－1)在区间(1，＋∞)上为单调增函数，在区间上为单调减函数；
②当0∴y＝loga(3x2－2x－1)在区间上为单调增函数，在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
训练1　(1)D　(2)A　[(1)令t＝2x2＋x>0，
解得x<－或x>0，
即x∈∪(0，＋∞).
因为y＝logat(0t＝2x2＋x在区间上单调递减，
所以函数f(x)的增区间为.
(2)由|x－1|＞0，得函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}.
设g(x)＝|x－1|＝
则有g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数.
∵f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，
∴a＞1.∴f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，故只有A正确.]
例2　解　(1)由题意得
解得－1所以函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)因为f(1)＝2，
所以loga4＝2(a>0，且a≠1)，
所以a＝2，
则f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
函数y＝－(x－1)2＋4在(－1，1]上单调递增，在(1，3)上单调递减，
所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是
f(1)＝log24＝2.
训练2　解　(1)因为f(x)为奇函数，
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即lg ＋lg ＝0，
所以＝1，
解得a＝1(a＝－1时，函数f(x)无意义，故舍去).
(2)由(1)知f(x)＝lg ，
则>0，解得－1即函数f(x)的定义域为(－1，1).
当x∈(－1，1)时，t＝＝－1＋为减函数，而y＝lg t在定义域内为增函数，
所以f(x)＝lg 在(－1，1)内是减函数，
又f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，
所以f(n)＝lg ＝－1，
当x＝m时，f(x)无意义，
所以n＝，m＝－1.
例3　解　(1)根据对数的运算性质，
有pH＝－lg [H＋]＝lg [H＋]－1＝lg .
在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，减小，相应地，lg 也减小，即pH减小.
所以随着[H＋]的增大，pH值减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强，反之，碱性就越强.
(2)当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg 10－7＝7，
所以纯净水的pH是7.
训练3　解　(1)令Q＝2 700，
则v＝log3＝log327＝1.5.
故该鱼的游速是1.5 m/s.
(2)令v＝0，则log3＝0，
可得＝1，
所以Q＝100.
故一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.
课堂达标
1.A　[根据题意，对数函数的底数大于1，对数函数单调递增，当x∈(0，＋∞)时，3x>0，可得3x＋1>1，那么函数f(x)＝log2(3x＋1)>log21＝0，
即log2(3x＋1)>0，故可知函数的值域为(0，＋∞).]
2.AC　[由函数f(x)＝loga|x－1|，可知函数关于x＝1对称，又f(x)在(－∞，1)上单调递增，易得0∵2 023∴f(a＋2 023)>f(2 024).故选AC.]
3.　[由题意知函数的定义域为
，
令u＝1－2x，
则函数u＝1－2x在区间上单调递减，而y＝logu是减函数，
故函数y＝log(1－2x)的单调递增区间为.]
4.　[由log2<1可得
0<<2.
解不等式>0，即<0，解得0解不等式<2，
即>0，解得x<0或x>.
因此，不等式log2<1的解集为.](共52张PPT)
第四章 §3　对数函数 3.3　对数函数y＝logax的图象和性质
课标要求
1.掌握对数型复合函数的单调性、奇偶性、最值、值域.
2.了解对数函数的综合应用.
课时精练
一、对数型函数的单调性
二、对数型复合函数的值域(最值)
三、对数函数在实际生活中的应用
课堂达标
内容索引
对数型函数的单调性
一
例1
讨论函数y＝loga(3x2－2x－1)的单调性.
解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断单调性；三是要注意函数的定义域.
思维升华
训练1
√
令t＝2x2＋x>0，
√
(2)若函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么对f(x)在(1，＋∞)上的叙述正确的是
A.递增且无最大值 B.递减且无最小值
C.递增且有最大值 D.递减且有最小值
对数型复合函数的值域(最值)
二
例2
设函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
思维升华
1.求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.一定要注意定义域对它的影响.当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化.
2.求最值的三种方法：一是形如f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的函数，利用对数函数的单调性求解；二是关于logax的二次函数，可利用换元法转化；三是形如f(x)＝logag(x)的函数，求解时确定a的取值范围之后，可将其转化为求g(x)的值域与最值.
训练2
因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，
(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值.
又f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，
对数函数在实际生活中的应用
三
例3
(链接教材P115例8)溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
思维升华
对于生活中的实际问题，要注意自变量的实际意义下的取值范围.
训练3
【课堂达标】
1.函数f(x)＝log2(3x＋1)，x∈(0，＋∞)的值域为
A.(0，＋∞) B.[0，＋∞) C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)
√
根据题意，对数函数的底数大于1，对数函数单调递增，当x∈(0，＋∞)时，3x>0，可得3x＋1>1，那么函数f(x)＝log2(3x＋1)>log21＝0，
√
2.(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则
A.01
C.f(a＋2 023)>f(2 024) D.f(a＋2 023)由函数f(x)＝loga|x－1|，可知函数关于x＝1对称，又f(x)在(－∞，1)上单调递增，易得0√
∵2 023∴f(a＋2 023)>f(2 024).故选AC.
【课时精练】
√
1.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0，1]，则函数f(x)的值域为
A.[0，1] B.(0，1) C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
由于0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2，
∴log21≤log2(x＋1)≤log22，
即0≤log2(x＋1)≤1，
故函数f(x)的值域为[0，1].
√
令x2－5x－6>0，解得x<－1或x>6，
√
√
√
√
令－x2＋3x＋4>0，得－1令t＝－x2＋3x＋4，
√
由于函数f(x)＝log3(1－ax)在(－∞，2]上为减函数，且函数y＝log3u为增函数，
(－∞，0)∪(2，＋∞)
(2，＋∞)
由x2－2x>0，∴x>2或x<0，
1
(－∞，2)
f(0)＝20＝1.
①④
令t＝x－2，则y＝logat.
9.设a>1，函数f(x)＝log2(x2＋2x＋a)，x∈[－3，3].
(1)求函数f(x)的单调区间；
由a>1，知x2＋2x＋a>0对任意x∈[－3，3]都成立，
令u(x)＝x2＋2x＋a，x∈[－3，3]，则y＝log2u，
且u(x)＝(x＋1)2＋a－1，x∈[－3，3]，
∴u(x)在[－3，－1]上为减函数，在(－1，3]上为增函数，
∵y＝log2u为增函数，
∴f(x)＝log2(x2＋2x＋a)的单调递减区间为[－3，－1]，单调递增区间为(－1，3].
(2)若f(x)的最大值为5，求f(x)的最小值.
由(1)知，f(x)在x＝－1处取得最小值，在x＝3处取得最大值.
∴f(x)max＝f(3)＝log2(a＋15)，
依题意知log2(a＋15)＝5，解得a＝17，
∴f(x)min＝f(－1)＝log216＝4.
10.20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
√
11.(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是
A.f(x＋2)是偶函数
B.f(x＋2)是奇函数
C.f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间[2，＋∞)上是增函数
D.f(x)没有最小值
√
f(x＋2)＝lg(|x|＋1)，显然A正确，B错误；
对于C，作出y＝f(x)的图象，如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，C正确；对于D，由图可知存在最小值0，D错误.
所以A，C正确.
12.设f(x)＝|lg(x－1)|，若0＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是___________.
(4，＋∞)
先画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象，
∵0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，
∴1＜a＜2，b＞2，
∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，
13.已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
由4x－1>0，解得x>0，
(2)讨论f(x)的单调性；
任取0因此log4(4x1－1)即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
14.已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0，且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x).
(1)求h(x)的定义域；
即－1所以h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为(－1，1).
(2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
因为h(x)的定义域关于原点对称， x∈(－1，1)，
h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－h(x)，
所以h(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)是奇函数.3.3　对数函数y=logax的图象和性质
第一课时　对数函数y=logax的图象和性质
课标要求　1.初步掌握对数函数的图象和性质. 2.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
　　　　　　　　　　 　　　　
【引入】 我们已经掌握了y=log2x与y=lox的图象与性质,类比这两个函数的图象与性质,今天我们共同探讨y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质.
一、对数函数的图象和性质
探究 在同一坐标系中,对数函数y=log2x,y=log5x,y=lox,y=lox的图象如下图所示.从图中看,对数函数图象的分布与底数有什么关系
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域:　　　
值域:　　　　
过定点　　　　,即当x=1时,y=0
当x>1时,y　　0; 当01,y　　0; 当0性质 在定义域(0,+∞)上是　　　 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 在定义域(0,+∞)上是　　　 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大
对称性:函数y=logax与y=lox的图象关于　　对称; 函数y=logax与y=ax的图象关于直线y=x对称.
温馨提示　(1)讨论对数函数的性质时,若底数a的大小不确定,必须分a>1和0(2)根据对数函数的性质可知,对数函数的图象都经过点,(1,0),(a,1),且图象都在第一、四象限内,据此可以快速地画出对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象.
例1 (链接教材P114例6)求下列函数的定义域:
(1)f(x)=lg(x-2)+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=log(x+1)(16-4x);
(4)y=(a>0,且a≠1).
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时,被开方数非负.
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
训练1 (1)函数f(x)=+ln(x+1)的定义域为　　　　.
(2)函数f(x)=的定义域为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
二、对数函数图象的应用
例2 (1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(　　)
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,1) D.(-1,1)
(2)如图,曲线C1,C2,C3,C4分别对应函数y1=lox,y2=lox,y3=lox,y4=lox的图象,则(　　)
A.a4>a3>1>a2>a1>0
B.a3>a4>1>a1>a2>0
C.a2>a1>1>a4>a3>0
D.a1>a2>1>a3>a4>0
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.对数函数图象过定点问题
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
训练2 (1)已知0(2)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是(　　)
A.a>1,c>1 B.a>1,0C.01 D.0三、对数函数图象与性质的应用
例3 (链接教材P114例7)比较下列各组数的大小:
(1)log3与log5;
(2)log1.10.7与log1.20.7;
(3)loga3.1与loga5.2(a>0,且a≠1).
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　比较对数式大小的方法
(1)当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;
(2)当底数不同、真数相同时,可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象,数形结合解得;
(3)当不同底、不同真数时,可利用中间值进行比较.
　训练3 (1)设a=log2e(e为自然对数的底数),b=ln 2,c=lo,则实数a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.b>a>c
(2)已知log0.3(3x)A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(　　)
A.(0,1) B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)
2.已知a=log23,b=log34,c=log45,则有(　　)
A.a>b>c B.aC.b>c>a D.b>a>c
3.已知函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1),则f(x)的图象必经过定点　　　　.
4.若-10,且a≠1),则a的取值范围为　　　　.
第一课时　对数函数y＝logax的图象和性质
探究1　提示　在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象越靠近x轴；0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴.
知识梳理
(0，＋∞)　R　(1，0)　＞　＜　＜　＞
增函数　减函数　x轴　
例1　解　(1)要使函数有意义，需满足
x－3≠0，))
解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
(2)要使函数有意义，
需满足
解得1∴函数的定义域为{x|1(3)要使函数有意义，
需满足
解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).
(4)当0∴∴函数的定义域为；
当a>1时，有4x－3≥1，∴x≥1，
∴函数的定义域为{x|x≥1}.
训练1　(1)(－1，2)　(2)∪(0，＋∞)
[(1)若使函数式有意义，需满足条件：
即
可得－1故函数的定义域为(－1，2).
(2)由题意有
解得x>－且x≠0，
则f(x)的定义域为∪(0，＋∞).]
例2　(1)D　(2)A　[(1)令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1).
(2)作直线y＝1(图略)，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可得出各底数的大小为a4>a3>1>a2>a1>0.]
训练2　(1)D　(2)D　[(1)函数y＝ax与y＝logax互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，y＝loga(－x)与y＝logax的图象关于y轴对称，又0(2)由函数的图象知，函数单调递减，
∴0由题图得函数y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位长度得到的，且0例3　解　(1)∵log3＜log31＝0，
而log5＞log51＝0，
∴log3＜log5.
(2)法一　∵0＜0.7＜1，1.1＜1.2，
∴0＞log0.71.1＞log0.71.2.
∴＜，
由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.
法二　作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.
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(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
∵3.1<5.2，∴loga3.1当0∵3.1<5.2，∴loga3.1>loga5.2.
训练3　(1)C　(2)A　[(1)∵a＝log2e>log22＝1，
b＝ln 2c＝log＝log23>log2e＝a，
∴c>a>b.故选C.
(2)因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于
解得x>.故选A.]
课堂达标
1.C　[由x2－x>0，解得x<0或x>1，则定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.]
2.A　[∵a＝log23＝log49，∴a>log45＝c，排除B，C选项；
b＝log343.(2，1)　[令x－1＝1得x＝2，把x＝2代入y＝loga(x－1)＋1得y＝1，
故函数f(x)过定点(2，1).]
4.∪　[由－1＜loga＜1，
得loga＜loga＜logaa，
当a＞1时，∴＜＜a，得a＞；
当0＜a＜1时，∴＞＞a，得0＜a＜，
∴a＞或0＜a＜.](共56张PPT)
第四章 §3　对数函数 3.3　对数函数y＝logax的图象和性质
第一课时　对数函数y＝logax的图象和性质
课标要求
1.初步掌握对数函数的图象和性质.
2.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
引入
课时精练
一、对数函数的图象和性质
二、对数函数图象的应用
三、对数函数图象与性质的应用
课堂达标
内容索引
对数函数的图象和性质
一
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
知识梳理
a＞1 0＜a＜1
图象
(0，＋∞)
R
(1，0)
＞
＜
＜
＞
增函数
减函数
x轴
温馨提示
例1
求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
思维升华
训练1
(－1，2)
对数函数图象的应用
二
例2
√
(1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点
A.(1，2) B.(2，1) C.(－2，1) D.(－1，1)
令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1).
√
(2)如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应函数y1＝loga1x，y2＝loga2x，y3＝loga3x，y4＝loga4x的图象，则
A.a4>a3>1>a2>a1>0 B.a3>a4>1>a1>a2>0
C.a2>a1>1>a4>a3>0 D.a1>a2>1>a3>a4>0
作直线y＝1(图略)，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可得出各底数的大小为a4>a3>1>a2>a1>0.
思维升华
1.对数函数图象过定点问题
求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
(1)已知0训练2
√
函数y＝ax与y＝logax互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，y＝loga(－x)与y＝logax的图象关于y轴对称，又0(2)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是
A.a>1，c>1 B.a>1，0C.01 D.0√
由函数的图象知，函数单调递减，
对数函数图象与性质的应用
三
例3
思维升华
比较对数式大小的方法
(1)当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；
(2)当底数不同、真数相同时，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；
(3)当不同底、不同真数时，可利用中间值进行比较.
训练3
√
∵a＝log2e>log22＝1，b＝ln 2√
【课堂达标】
1.函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为
A.(0，1) B.[0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
√
由x2－x>0，解得x<0或x>1，则定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.
√
2.已知a＝log23，b＝log34，c＝log45，则有
A.a>b>c B.ac>a D.b>a>c
∵a＝log23＝log49，∴a>log45＝c，排除B，C选项；
3.已知函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)，则f(x)的图象必经过定点______________.
(2，1)
令x－1＝1得x＝2，把x＝2代入y＝loga(x－1)＋1得y＝1，故函数f(x)过定点(2，1).
【课时精练】
√
1.(多选)若0＜a＜1，则函数y＝loga(x＋5)的图象一定经过
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
√
√
∵y＝loga(x＋5)过定点(－4，0)且单调递减，∴函数图象一定过第二、三、四象限，故选BCD.
√
要使函数有意义，则
√
3.(多选)下列不等号连接正确的是
A.log0.52.2＞log0.52.3 B.log34＞log65
C.log34＞log56 D.logπe＞logeπ
√
√
根据y＝log0.5x为减函数易知A正确；
4.函数y＝ax与y＝－logax(a＞0，且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是
√
函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B项；当a＞1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，A项正确，C项错误；
当0√
6.若函数y＝4＋loga(2x－1)(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为___________.
(1，4)
令2x－1＝1，可得x＝1.当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点(1，4).
7.已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a②④⑤
实数a，b满足等式log2a＝log3b，
即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等，
当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时⑤成立；
令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知②成立，①不成立；
由题意知，函数y＝f(x)在(－∞，3]上单调递增，且f(3)＝1.
9.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(3－x)；
10.已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2).
(1)求函数f(x)的解析式；
∵g(9)＝loga9＝2，解得a＝3，
∴g(x)＝log3x.
∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求实数x的取值范围.
∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
√
11.(多选)若实数a，b满足loga2A.0b>1 D.0√
√
12.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，1]，则y＝f(log2x)的定义域是________.
14.已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值；
∵loga3>loga2，∴a>1，
(3)求函数g(x)＝|logax－1|的单调区间.
由(1)知g(x)＝|log2x－1|，课时精练40　对数函数y=logax的图象和性质
(分值:100分)
单选题每小题5分,共15分;多选题每小题6分,共18分.
一、基础巩固
1.(多选)若0第一象限 第二象限
第三象限 第四象限
2.函数y=的定义域为(　　)
(-∞,2) (2,+∞)
(2,3)∪(3,+∞) (2,4)∪(4,+∞)
3.(多选)下列不等号连接正确的是(　　)
log0.52.2>log0.52.3 log34>log65
log34>log56 logπe>logeπ
4.函数y=ax与y=-logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是(　　)
A B C D
5.已知lomn16.若函数y=4+loga(2x-1)(a>0,且a≠1)的图象恒过点A,则点A的坐标为　　　　.
7.已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式:①a>b>1;②b>a>1;③a8.已知a>0且a≠1,设函数f(x)=
的最大值为1,则实数a的取值范围是　　　　.
9.(10分)求下列函数的定义域:
(1)f(x)=log(x-1)(3-x);
(2)f(x)=+log2(3x-1).
10.(10分)已知函数y=f(x)的图象与g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,且g(x)的图象过点(9,2).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(3x-1)>f(-x+5)成立,求实数x的取值范围.
二、综合运用
11.(多选)若实数a,b满足loga20a>b>1 012.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,1],则y=f(log2x)的定义域是　　　　.
13.(13分)已知loga<1,<1,<1,求实数a的取值范围.
三、创新拓展
14.(14分)已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)解不等式lo(x-1)>lo(a-x);
(3)求函数g(x)=|logax-1|的单调区间.
课时精练40　对数函数y＝logax的图象和性质
1.BCD　[∵y＝loga(x＋5)过定点(－4，0)且单调递减，∴函数图象一定过第二、三、四象限，故选BCD.]
2.C　[要使函数有意义，则
解得23，
所以函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C.]
3.ABC　[根据y＝log0.5x为减函数易知A正确；
由log34＞log33＝1＝log55＞log65可知B正确；
由log34＝1＋log3＞1＋log3＞1＋log5＝log56可知C正确；
由π＞e＞1得，logeπ＞1＞logπe可知D错误.]
4.A　[函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B项；当a＞1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，A项正确，C项错误；
当05.D　[因为0<<1，logm所以m>n>1.]
6.(1，4)　[令2x－1＝1，可得x＝1.当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点(1，4).]
7.②④⑤　[实数a，b满足等式log2a＝log3b，
即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等，
当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时⑤成立；
令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知②成立，①不成立；
令log2a＝log3b＝－1，可得a＝，b＝，由此知④成立，③不成立.
综上可知，可能成立的关系式为②④⑤.]
8.　[由题意知，函数y＝f(x)在(－∞，3]上单调递增，且f(3)＝1.
由于函数f(x)＝的最大值为1，
则函数f(x)＝3＋logax在(3，＋∞)上单调递减，且3＋loga3≤1，
则有
即解得≤a<1，
因此，实数a的取值范围是.]
9.解　(1)由题意知解得1故f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3).
(2)由题意知解得x>且x≠1，
故f(x)的定义域为∪(1，＋∞).
10.解　(1)∵g(9)＝loga9＝2，解得a＝3，
∴g(x)＝log3x.
∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，
∴f(x)＝logx.
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
∴log(3x－1)>log(－x＋5).
∵f(x)＝logx在(0，＋∞)上单调递减，
∴解得即实数x的取值范围为.
11.ABC　[当0当00，则loga2当a>b>1时，log2a>log2b>0，即>>0，故loga2当00，logb2<0，D不正确.
故选ABC.]
12.　[由－1≤log2x≤1可得≤x≤2，
所以f(log2x)的定义域为.]
13.解　①当a>1时，
解得
∴②当0解得∴0综上，实数a的取值范围是.
14.解　(1)∵loga3>loga2，∴a>1，
∴y＝logax在[a，2a]上为增函数，
∴loga(2a)－logaa＝loga2＝1，∴a＝2.
(2)依题意可知
解得1(3)由(1)知g(x)＝|log2x－1|，
∴当x＝2时，g(x)＝0，
则g(x)＝
∴g(x)的单调递减区间为(0，2]，单调递增区间为(2，＋∞).课时精练41　对数函数y=logax的图象和性质的综合问题
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为(　　)
[0,1] (0,1)
(-∞,1] [1,+∞)
2.函数f(x)=lo(x2-5x-6)的单调递减区间是(　　)
(-∞,-1)
(6,+∞)
3.若函数f(x)=ln 为奇函数,则a=(　　)
-1 1 0 2
4.(多选)关于函数y=log0.4(-x2+3x+4),下列说法正确的是(　　)
定义域为(-1,4)
定义域为(-∞,-1)∪(4,+∞)
值域为[-2,+∞)
递增区间为
5.已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为(　　)
(0,+∞)
(1,2) (-∞,0)
6.函数y=lo(x2-2x)的定义域是　　　　;单调递减区间为　　　　.
7.已知函数f(x)=则f(0)=　　　　,f(x)的值域为　　　　.
8.给出下面四个条件:①②
③④能使函数y=logax-2为单调减函数的是　　　　(填序号).
9.(10分)设a>1,函数f(x)=log2(x2+2x+a),x∈[-3,3].
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的最大值为5,求f(x)的最小值.
10.(10分)20世纪70年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0.其中A是被测地震的最大振幅,A0是标准地震的振幅.
(1)假设在一次地震中,一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.002,计算这次地震的震级;
(2)5级地震给人的震感已比较明显,我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍
二、综合运用
11.(多选)对于函数f(x)=lg(|x-2|+1),下列说法正确的是(　　)
f(x+2)是偶函数
f(x+2)是奇函数
f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间[2,+∞)上是增函数
f(x)没有最小值
12.设f(x)=|lg(x-1)|,若013.(13分)已知f(x)=log4(4x-1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)求f(x)在区间上的值域.
三、创新拓展
14.(15分)已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中(a>0,且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).
(1)求h(x)的定义域;
(2)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若a=log327+lo2,求使f(x)>1成立的x的取值集合.
课时精练41　对数函数y＝logax的图象和性质的综合问题
1.A　[由于0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2，
∴log21≤log2(x＋1)≤log22，
即0≤log2(x＋1)≤1，
故函数f(x)的值域为[0，1].]
2.D　[令x2－5x－6>0，解得x<－1或x>6，
∴f(x)的定义域为{x|x<－1或x>6}，
∵u＝x2－5x－6的对称轴为x＝，开口向上，
∴u＝x2－5x－6在(－∞，－1)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，
又y＝logu为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为(6，＋∞).故选D.]
3.B　[∵f(x)＝ln 为奇函数，
∴f(－x)＝ln ＝－f(x)＝－ln ，
即＝，
∴a2＝1，∴a＝1或a＝－1.
经检验a＝－1不符合题意，a＝1符合题意，
∴a＝1，故选B.]
4.ACD　[令－x2＋3x＋4>0，得－1即函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的定义域为(－1，4)，A正确，B错误；
∵－x2＋3x＋4＝－＋，
∴－x2＋3x＋4∈，
∴y＝log0.4(－x2＋3x＋4)∈[－2，＋∞)，C正确；
令t＝－x2＋3x＋4，
则其在上单调递增，上单调递减，
又y＝log0.4t在(0，＋∞)上单调递减，
所以y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的递增区间为，D正确.]
5.B　[由于函数f(x)＝log3(1－ax)在(－∞，2]上为减函数，且函数y＝log3u为增函数，
则函数u＝1－ax在(－∞，2]上为减函数，
∴－a<0，得a>0，且u＝1－ax>0在(－∞，2]上恒成立，
则umin＝1－2a>0，解得a<.
因此，实数a的取值范围是.故选B.]
6.(－∞，0)∪(2，＋∞)　(2，＋∞)　[由x2－2x>0，∴x>2或x<0，
根据复合函数的单调性，y＝log(x2－2x)的递减区间为t＝x2－2x大于0的递增区间(2，＋∞).]
7.1　(－∞，2)　[f(0)＝20＝1.
当x<1时，f(x)＝2x∈(0，2)；
当x≥1时，f(x)＝－log2x≤0，
所以f(x)的值域为(－∞，2).]
8.①④　[令t＝x－2，则y＝logat.
当时，t＝x－2为增函数，y＝logat为减函数，可得函数y＝logax－2为减函数，所以①满足条件；
当时，t＝x－2为减函数，y＝logat为减函数，可得函数y＝logax－2为增函数，所以②不满足条件；
当时，t＝x－2为增函数，y＝logat为增函数，可得函数y＝logax－2为增函数，所以③不满足条件；
当时，t＝x－2为减函数，y＝logat为增函数，可得函数y＝logax－2为减函数，所以④满足条件.
故填①④.]
9.解　(1)由a>1，知x2＋2x＋a>0对任意x∈[－3，3]都成立，
令u(x)＝x2＋2x＋a，x∈[－3，3]，
则y＝log2u，
且u(x)＝(x＋1)2＋a－1，x∈[－3，3]，
∴u(x)在[－3，－1]上为减函数，在(－1，3]上为增函数，
∵y＝log2u为增函数，
∴f(x)＝log2(x2＋2x＋a)的单调递减区间为[－3，－1]，单调递增区间为(－1，3].
(2)由(1)知，f(x)在x＝－1处取得最小值，在x＝3处取得最大值.
∴f(x)max＝f(3)＝log2(a＋15)，
依题意知log2(a＋15)＝5，解得a＝17，
∴f(x)min＝f(－1)＝log216＝4.
10.解　(1)M＝lg A－lg A0＝lg ＝lg
＝lg 104＝4，
即这次地震的震级为4级.
(2)由题意得
所以lg A8－lg A5＝3，
即lg ＝3.
所以＝103＝1 000，
即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍.
11.AC　[f(x＋2)＝lg(|x|＋1)，显然A正确，B错误；
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对于C，作出y＝f(x)的图象，如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，C正确；对于D，由图可知存在最小值0，D错误.所以A，C正确.]
12.(4，＋∞)　[先画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象，如图，
INCLUDEPICTURE"加3.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2024（秋）数学 必修 第一册 北师大版 学生用书（皖豫……）\\学生word文档\\加3.TIF" \* MERGEFORMATINET
∵0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，
∴1＜a＜2，b＞2，
∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，
∴＝b－1，∴a＝1＋，
∴a＋b＝b＋＋1＝b－1＋＋2
≥2＋2＝4，
∵b＞2，∴b－1≠，
故上式“＝”取不到，
∴a＋b＞4，∴a＋b的取值范围是(4，＋∞).]
13.解　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)任取0因此log4(4x1－1)即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
(3)由(2)知f(x)在区间上单调递增，
∴f(x)min＝f＝0，
f(x)max＝f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415].
14.解　(1)由题意得即－1所以h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为(－1，1).
(2)因为h(x)的定义域关于原点对称， x∈(－1，1)，
h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－h(x)，
所以h(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)是奇函数.
(3)由a＝log327＋log2＝3－1＝2，
得f(x)＝log2(1＋x)>1，
即log2(1＋x)>log22，
所以1＋x>2，即x>1.
故使f(x)>1成立的x的取值集合为{x|x>1}.

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