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2.2　用函数模型解决实际问题
课标要求　1.能利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题.
【引入】 通过上一节课的学习,我们已经掌握了实际问题的函数刻画,感受到函数模型的重要作用.在现实生活中,当我们遇到问题时,往往没有现成的函数模型可以直接套用,需要自己建立模型来解决问题.如何建立较为合理的函数模型呢 让我们带着这个问题进入今天的学习!
一、用函数模型解决实际问题
探究1 在现实生产、生活中,有许多问题蕴含着量与量之间的关系,可通过建立变量之间的函数关系并对所得函数进行研究的方式,使问题得到解决.到目前为止,我们已经学过的函数模型有哪些
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
探究2 解决函数实际应用问题,首先建立函数模型,即将实际问题转化为数学问题,然后通过对函数性质的研究解决数学问题,从而达到解决实际问题的目的.
解决函数实际应用问题的一般步骤是怎样的
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.数学模型
数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系,用　　　　的数学语言,抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构.其中,函数模型是应用最广泛的数学模型之一.
2.解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:
(一)　　　;(二)建模;(三)　　　;(四)还原.
这些步骤用框图表示如图:
例1 商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价越高,购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为“无效价格”,已知无效价格为300元每件.现在这种羊毛衫的成本价是100元每件,商场以高于成本价的价格(标价)出售.问:
(1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为多少元每件
(2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的75%,那么羊毛衫的标价为多少元每件
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　自建模型时主要抓住四个关键:“求什么,设什么,列什么,限制什么”.
(1)求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务.
(2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些制约因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量.
(3)列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等.
(4)限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义,如人数是整数,时间是正整数等.
　训练1 某企业投资144万元用于火力发电项目,n(n∈N+)年内的总维修保养费用为(4n2+40n)万元,该项目每年可给公司带来100万元的收入.假设到第n年年底,该项目的纯利润为y万元.(纯利润=累计收入-总维修保养费用-投资成本)
(1)写出纯利润y的表达式,并求该项目从第几年起开始盈利;
(2)随着中国光伏产业的高速发展,集群效应及技术的不断革新带来了成本的进一步降低.经过慎重考虑,该公司决定投资太阳能发电项目,针对现有火力发电项目,有以下两种处理方案:
①年平均利润最大时,以12万元转让该项目;
②纯利润最大时,以4万元转让该项目.
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展 请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
二、分段函数模型
例2 (链接教材P139例5)经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件),价格近似满足于
f(t)=(元).
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式;
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　应用分段函数模型时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域为每一段函数值域的并集.
　训练2 某服装厂计划投入80万元,全部用于甲、乙两种服装的生产,每种服装生产至少要投入10万元.在对市场进行调研分析发现生产甲服装的收益M、生产乙服装的收益N与投入a(单位:万元),满足M=N=a+20.设投入x(单位:万元)生产甲服装,两种服装的总收益为y.
(1)当甲服装的投入为36万元时,求生产两种服装的总收益;
(2)试问如何安排两种服装的生产投入,才能使总收益最大
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
三、存贮模型的应用
例3 (链接教材P140例6)经济订货批量模型,是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式,即某种物资在单位时间的需求量为某常数,经过某段时间后,存储量消耗下降到零,此时开始订货并随即到货,然后开始下一个存储周期,该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题,具体如下:年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系为T(x)=+,其中A为年需求量,B为每单位物资的年存储费,C为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料,年需求量为6 000吨,每吨存储费为120元/年,每次订货费为2 500元.
(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇,求年存储成本费;
(2)每次需订购多少吨甲醇,可使该化工厂年存储成本费最少 最少费用为多少
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　存贮模型是日常生活、生产中常见的函数模型,应用此种模型的关键是准确理解各变量、各字母参数的实际含义及它们之间的关系.
　训练3 某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市.蔬菜仓库的设计容量为45万吨,去年年底时该仓库的蔬菜存储量为9万吨,从今年开始,每个月购进蔬菜m万吨,再按照需求量向两个超市调出蔬菜.已知甲超市每月的蔬菜需求量为1万吨,乙超市前x个月的蔬菜总需求量为k万吨,其中1≤x≤12且x∈N+,且前4个月,乙超市的蔬菜总需求量为12万吨.
(1)求第x个月月底时,该仓库的蔬菜存储量M(万吨)与x的函数关系式;
(2)若要今年每月按计划购进蔬菜之后,仓库总能满足两个超市的需求,且每月调出蔬菜后,仓库的蔬菜剩余量不超过设计容量,试确定m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.某商场在空调销售旺季的4天内的利润如下表所示.
时间 1 2 3 4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的(　　)
A.y=log2x B.y=2x
C.y=x2 D.y=2x
2.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数关系式为y=5x+4 000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为(　　)
A.200副 B.400副
C.600副 D.800副
3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为　　　　.
4.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)·e-0.24t求得.若把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于　　　　.(精确到0.01 min,参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693)
2.2　用函数模型解决实际问题
探究1　提示　一次函数、二次函数、幂函数、反比例函数、指数型函数、对数型函数等.
探究2　提示　①设变量，②建立函数模型，③求解函数模型，④解决实际问题.
知识梳理
1.形式化
2.审题　求模
例1　解　(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为x元每件，利润为y元，
则x∈(100，300]，
n＝kx＋b(k<0).
∵0＝300k＋b，
即b＝－300k，
∴n＝k(x－300).
∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300]).
∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为200元每件.
(2)由题意得
k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
即x2－400x＋37 500＝0，
解得x＝250或x＝150，
所以商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.
训练1　解　(1)由题意可知y＝100n－(4n2＋40n)－144
＝－4n2＋60n－144(n∈N＋).
令y>0，得－4n2＋60n－144>0，
解得3(2)若选择方案①，设年平均利润为y1万元，则
y1＝＝60－4≤60－4×2＝12，
当且仅当n＝，即n＝6时等号成立，
所以当n＝6时，y1取得最大值12，此时该项目共获利12×6＋12＝84(万元).
若选择方案②，
纯利润
y＝－4n2＋60n－144＝－4＋81，
因为n∈N＋，所以当n＝7或8时，y取得最大值80，此时该项目共获利80＋4＝84(万元).
以上两种方案获利均为84万元，但方案①只需6年，而方案②至少需7年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展.
例2　解　(1)由已知，由价格乘以销售量可得，
y＝
＝
＝
(2)由(1)知①当0≤t≤10时，
y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上单调递增，在t∈(5，10]上单调递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，
ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；
②当10y＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25，
图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]上单调递减，
∴ymax＝1 200(当t＝10时取得)，
ymin＝600(当t＝20时取得).
由①②知日销售额y的最大值为1 225元，最小值为600元.
训练2　解　(1)当甲服装的投入为36万元时，
生产两种服装的总收益为y＝4＋25＋×(80－36)＋20＝91(万元).
(2)由已知可得，生产两种服装的总收益
y＝
当10≤x≤49时，
y＝4－x＋85＝－(－4)2＋93，
当x＝16时，总收益最大为93(万元)；
当49y＝100－x<100－×49＝75.5(万元).
综上，甲服装厂投入生产16万元，乙服装厂投入生产64万元时，总收益最大.
例3　解　(1)由题意可得，A＝6 000，B＝120，C＝2 500，
所以存储成本费T(x)＝60x＋.
若该化工厂每次订购300吨甲醇，
则年存储成本费为T(300)＝60×300＋＝68 000(元).
(2)因为存储成本费
T(x)＝60x＋，x>0，
所以T(x)＝60x＋
≥2＝60 000，
当且仅当60x＝，即x＝500时，取等号，
所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元.
训练3　解　(1)由题意知：k·＝12，
解得k＝6，
∴M＝9＋mx－x－6＝(m－1)x－6＋9(1≤x≤12且x∈N＋).
(2)由题意得，0≤M≤45，
即0≤(m－1)x－6＋9≤45，
∴－＋≤m－1≤＋对任意1≤x≤12且x∈N＋恒成立，
设＝t，
则－9t2＋6t≤m－1≤36t2＋6t，
∵当t＝，即x＝9时，(－9t2＋6t)max＝1；
当t＝，即x＝12时，(36t2＋6t)min＝3＋，
∴1≤m－1≤3＋，则2≤m≤4＋，
∴m的取值范围为[2，4＋].
课堂达标
1.B　[逐个检验可得答案为B.]
2.D　[由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本.]
3.5　[根据图象可求得y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润为＝12－.
∵x＋≥10，当且仅当x＝5时等号成立，
∴要使年平均利润最大，客车营运年数为5.]
4.4.58　[依题意θ1＝100，θ0＝10，θ＝40，
代入公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t，
可得40＝10＋(100－10)e－0.24t，
所以e－0.24t＝，解得t＝≈4.58.](共64张PPT)
第五章 §2　实际问题中的函数模型
2.2　用函数模型解决实际问题
课标要求
1.能利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.
通过上一节课的学习，我们已经掌握了实际问题的函数刻画，感受到函数模型的重要作用.在现实生活中，当我们遇到问题时，往往没有现成的函数模型可以直接套用，需要自己建立模型来解决问题.如何建立较为合理的函数模型呢？让我们带着这个问题进入今天的学习！
引入
课时精练
一、用函数模型解决实际问题
二、分段函数模型
三、存贮模型的应用
课堂达标
内容索引
用函数模型解决实际问题
一
探究1 在现实生产、生活中，有许多问题蕴含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系并对所得函数进行研究的方式，使问题得到解决.到目前为止，我们已经学过的函数模型有哪些？
提示　一次函数、二次函数、幂函数、反比例函数、指数型函数、对数型函数等.
探究2 解决函数实际应用问题，首先建立函数模型，即将实际问题转化为数学问题，然后通过对函数性质的研究解决数学问题，从而达到解决实际问题的目的.
解决函数实际应用问题的一般步骤是怎样的？
提示　①设变量，②建立函数模型，③求解函数模型，④解决实际问题.
1.数学模型
数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用________的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构.其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一.
知识梳理
形式化
2.解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)______ ；(二)建模；(三)______ ；(四)还原.
这些步骤用框图表示如图：
审题
求模
例1
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为“无效价格”，已知无效价格为300元每件.现在这种羊毛衫的成本价是100元每件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少元每件？
设购买人数为n人，羊毛衫的标价为x元每件，利润为y元，
则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0).
∵0＝300k＋b，
即b＝－300k，
∴n＝k(x－300).
∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300]).
∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为200元每件.
通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为多少元每件？
由题意得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
即x2－400x＋37 500＝0，
解得x＝250或x＝150，
所以商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.
(1)求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.
(2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些制约因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
(3)列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
(4)限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人数是整数，时间是正整数等.
思维升华
某企业投资144万元用于火力发电项目，n(n∈N＋)年内的总维修保养费用为(4n2＋40n)万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入.假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元.(纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本)
(1)写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；
训练1
由题意可知y＝100n－(4n2＋40n)－144＝－4n2＋60n－144(n∈N＋).
令y>0，得－4n2＋60n－144>0，
解得3(2)随着中国光伏产业的高速发展，集群效应及技术的不断革新带来了成本的进一步降低.经过慎重考虑，该公司决定投资太阳能发电项目，针对现有火力发电项目，有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以12万元转让该项目；
②纯利润最大时，以4万元转让该项目.
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由.
若选择方案①，设年平均利润为y1万元，则
分段函数模型
二
例2
由已知，由价格乘以销售量可得，
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上单调递增，在t∈(5，10]上单调递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；
②当10图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]上单调递减，
∴ymax＝1 200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).
由①②知日销售额y的最大值为1 225元，最小值为600元.
思维升华
应用分段函数模型时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域为每一段函数值域的并集.
训练2
当甲服装的投入为36万元时，
(2)试问如何安排两种服装的生产投入，才能使总收益最大？
由已知可得，生产两种服装的总收益
存贮模型的应用
三
例3
由题意可得，A＝6 000，B＝120，C＝2 500，
(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？
思维升华
存贮模型是日常生活、生产中常见的函数模型，应用此种模型的关键是准确理解各变量、各字母参数的实际含义及它们之间的关系.
训练3
【课堂达标】
1.某商场在空调销售旺季的4天内的利润如下表所示.
√
逐个检验可得答案为B.
时间 1 2 3 4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的
A.y＝log2x B.y＝2x C.y＝x2 D.y＝2x
√
2.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为
A.200副 B.400副 C.600副 D.800副
由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本.
3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________.
5
根据图象可求得y＝－(x－6)2＋11，
4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0.24t求得.若把温度是100 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于________.(精确到0.01 min，参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)
4.58
依题意θ1＝100，θ0＝10，θ＝40，代入公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t，
【课时精练】
√
设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，
√
2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是
A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同 D.甲比乙先到达终点
由图可知，甲到达终点用时短，D正确，其余皆错误.故选D.
√
√
√
5.(多选)如图是某地一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的是
A.这几年人民生活水平逐年得到提高
B.生活费收入指数增长最快的一年是2019年
C.生活价格指数上涨速度最快的一年是2020年
D.虽然2021年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善
√
√
由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；
“生活费收入指数”在2019～2020年最陡.故B正确；
“生活价格指数”在2020～2021年最平缓，故C不正确；
由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故D正确.故选ABD.
6.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
9
设出租车行驶x km时，付费y元，则
由y＝8＋10.75＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9.
7.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝
ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
24
由已知条件得192＝eb，∴b＝ln 192.
151
9.某地区某年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数.结果4月、5月、6月的患病人数分别为66，82，115.你认为谁选择的模型较好？
②－①，得p·q2－p·q＝2，④
③－②，得p·q3－p·q2＝4，⑤
⑤÷④，得q＝2，
将q＝2代入④，得p＝1，将q＝2，p＝1代入①，得r＝50，
∴乙：y2＝2x＋50.
当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
可见，乙选择的模型较好.
当0≤x≤120时，
L(x)＝150x－(0.1x2＋130x)－300＝－0.1x2＋20x－300，
(2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？
当0≤x≤120时，L(x)＝－0.1x2＋20x－300＝－0.1·(x－100)2＋700，
∴当x＝100时，利润L(x)取最大值700万元；
√
11.(多选)某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是
A.x＝10时费用之和有最小值 B.x＝45时费用之和有最小值
C.最小值为850万元 D.最小值为360万元
√
12.(多选)某外贸公司在30天内A商品的销售价格P(元)与时间t(天)的关系满足如下图象所示的函数，A商品的销售量Q(万件)与时间t(天)的关系为Q＝40－t，则下列说法正确的是
A.第15天的销售额最大
B.第20天的销售额最大
C.最大销售额为125万元
D.最大销售额为120万元
√
√
由图象可得当0≤t≤20时，
可设P＝at＋b，根据图象过点(0，2)，(20，6)，
13.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与时间t(单位：h)之间近似满足如右图所示的曲线.
当0≤t<1时，y＝kt，
(1)写出服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间.
由题意知f(t)≥0.25，
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
当0≤x<6时，由题意，
(2)求函数f(x)的最大值.课时精练47　用函数模型解决实际问题
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共18分.
一、基础巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
-1
2.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
甲比乙先出发
乙比甲跑的路程多
甲、乙两人的速度相同
甲比乙先到达终点
3.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是(　　)
75,25 75,16
60,25 60,16
4.近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=A+2,则投资这两座城市收益的最大值为(　　)
26万元 44万元
48万元 72万元
5.(多选)如图是某地一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中正确的是(　　)
这几年人民生活水平逐年得到提高
生活费收入指数增长最快的一年是2019年
生活价格指数上涨速度最快的一年是2020年
虽然2021年生活费收入增长缓慢,但由于生活价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善
6.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了　　　　km.
7.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是　　　　小时.
8.预测A省未来50年新能源汽车的保有量,采用阻滞型模型x(t)= ,其中第t年底的汽车保有量为x(t),r为年增长率,M为饱和量,x0为初始值(单位:万辆).已知A省2023年底的新能源汽车拥有量为16.8万辆,以此为初始值,若以后每年的增长率为0.115,饱和量为1 400,那么,2043年底该省新能源汽车的保有量为　　　　.(精确到1万辆)
9.(10分)某地区某年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=p·qx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月、5月、6月的患病人数分别为66,82,115.你认为谁选择的模型较好
10.(10分)长江存储是我国一家能够独立生产3D NAND闪存的公司,其先进的晶栈Xtacking技术使得3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命.为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况,某下游闪存封装公司拟对产能进行调整,已知封装闪存的固定成本为300万元,每封装x万片,还需要C(x)万元的变动成本,通过调研得知,当x不超过120万片时,C(x)=0.1x2+130x;当x超过120万片时,C(x)=151x+-1 350,封装好后的闪存颗粒售价为150元/片,且能全部售完.
(1)求公司获得的利润L(x)的函数解析式;
(2)封装多少万片时,公司可获得最大利润
二、综合运用
11.(多选)某公司一年购买某种货物900吨,现分次购买,若每次购买x吨,运费为9万元/次,一年的总储存费用为4x万元,要使一年的总运费与总储存费用之和最小,则下列说法正确的是(　　)
x=10时费用之和有最小值
x=45时费用之和有最小值
最小值为850万元
最小值为360万元
12.(多选)某外贸公司在30天内A商品的销售价格P(元)与时间t(天)的关系满足如右图象所示的函数,A商品的销售量Q(万件)与时间t(天)的关系为Q=40-t,则下列说法正确的是(　　)
第15天的销售额最大
第20天的销售额最大
最大销售额为125万元
最大销售额为120万元
13.(13分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间的函数关系式y=f(t);
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,对治疗疾病有效,求服药一次治疗疾病的有效时间.
三、创新拓展
14.(14分)中国的钨矿资源储量丰富,在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%,居全球首位.中国又属赣州钨矿资源最为丰富,其素有“世界钨都”之称.某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值与这种新合金材料的含量x(单位:克)的关系为:当0≤x<6时,y是x的二次函数;当x≥6时,y=.测得数据如表(部分).
x(单位:克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x);
(2)求函数f(x)的最大值.
课时精练47　用函数模型解决实际问题
1.D　[设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.]
2.D　[由题图可知，甲到达终点用时短，D正确，其余皆错误.故选D.]
3.D　[由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.]
4.B　[由题意知
故40≤a≤80.
设投资这两座城市的收益为y万元，
则有y＝3－6＋A＋2＝3＋(120－a)－4＝3－a＋26，其中40≤a≤80.
令＝t(t∈[2，4])，
则有f(t)＝－t2＋3t＋26，
该二次函数图象的对称轴为t＝6，且开口向下，所以f(t)max＝f(6)＝－×(6)2＋3×6＋26＝44，故选B.]
5.ABD　[由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；
“生活费收入指数”在2019～2020年最陡.故B正确；
“生活价格指数”在2020～2021年最平缓，故C不正确；
由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故D正确.故选ABD.]
6.9　[设出租车行驶x km时，付费y元，则
y＝
由y＝8＋10.75＋2.85(x－8)＋1＝22.6，
解得x＝9.]
7.24　[由已知条件得192＝eb，
∴b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k
＝192(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，
则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×＝24(小时).]
8.151　[根据题中所给阻滞型模型，代入有关数据，注意以2023年的为初始值，
则有x(20)＝≈151.]
9.解　依题意，得
即解得
∴甲：y1＝x2－x＋52.
又
②－①，得p·q2－p·q＝2，④
③－②，得p·q3－p·q2＝4，⑤
⑤÷④，得q＝2，
将q＝2代入④，得p＝1，
将q＝2，p＝1代入①，得r＝50，
∴乙：y2＝2x＋50.
当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
可见，乙选择的模型较好.
10.解　(1)当0≤x≤120时，
L(x)＝150x－(0.1x2＋130x)－300
＝－0.1x2＋20x－300，
当x>120时，
L(x)＝150x－－300＝1 050－x－，
综上，
L(x)＝
(2)当0≤x≤120时，L(x)＝－0.1x2＋20x－300＝－0.1·(x－100)2＋700，
∴当x＝100时，利润L(x)取最大值700万元；
当x>1 200时，L(x)＝1 050－≤1 050－2＝730.
∴当且仅当x＝，即x＝160时，利润L(x)取最大值730万元，
综上所述，封装160万片时，公司可获得最大利润730万元.
11.BD　[一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，运费是9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，所以一年的总运费与总储存费用之和为万元.
因为·9＋4x≥2＝2×180＝360，
当且仅当＝4x，即x＝45时，等号成立，
所以当x＝45时，一年的总运费与总储存费用之和最小为360万元，故选BD.]
12.AC　[由题图象可得当0≤t≤20时，
可设P＝at＋b，根据图象过点(0，2)，(20，6)，
所以
解得b＝2，a＝，所以P＝t＋2；
当20≤t≤30时，可设P＝mt＋n，
根据图象过点(20，6)，(30，5)，
所以
解得m＝－，n＝8，所以P＝－t＋8.
综上可得， P＝
设第t天的销售额为y元，
又Q＝－t＋40(0则y＝P·Q＝
化简可得y＝
当0所以y≤125，当且仅当t＝15时等号成立；
当20≤t≤30时，y＝(t－60)2－40，
所以y≤120，当且仅当t＝20时等号成立.
综上可得，第15日的销售额最大，最大值为125万元，故选AC.]
13.解　(1)当0≤t<1时，y＝kt，
由点M(1，4)在直线上，得4＝k，故y＝4t；
当t≥1时，y＝，
由点M(1，4)在曲线上，得4＝，
解得a＝3，即y＝.
故y＝f(t)＝
(2)由题意知f(t)≥0.25，
则或
解得≤t≤5.
所以服药一次治疗疾病的有效时间为
5－＝(h).
14.解　(1)当0≤x<6时，由题意，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题中表格数据可得
解得
所以当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x.
当x≥6时，f(x)＝，
由题中表格数据可得，f(9)＝＝，
解得t＝7，所以当x≥6时，f(x)＝.
综上，f(x)＝
(2)当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x
＝－(x－4)2＋4，
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，为4；
当x≥6时，f(x)＝单调递减，
所以f(x)max＝f(6)＝＝3.
综上，函数f(x)的最大值为4.

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