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第二课时　两条直线垂直
课标要求　1.理解并掌握两条直线垂直的条件. 2.会用垂直的条件判定两条直线是否垂直. 3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应问题.
【引入】 在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关，那么怎样通过直线的斜率来判断两条直线垂直呢
一、两直线垂直的判定
探究1 平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为v1=(1，k1)，v2=(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论




探究2 若直线l1的方向向量为v1=(a，0)(a≠0)，l2的方向向量为v2=(0，b)(b≠0)，l1与l2垂直吗




【知识梳理】
1.对于两条直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2，l1⊥l2 　　　　　　.
2.当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
温馨提示　(1)已知两直线垂直，若其中一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为零.
(2)两直线垂直的充要条件是两直线的夹角为90°.
3.设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
例1 (链接教材P18例18)判断下列各组直线是否垂直，并说明理由.
(1)l1:y=3x+2，l2:y=-x+1;
(2)l1:x+2y-1=0，l2:2x-y=0;
(3)l1:x+5=0，l2:5y=1.




思维升华　判断两直线垂直的方法
(1)若两条直线都有斜率时，则观察斜率之积是否为1;若有一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，这两条直线也垂直.
(2)若两条直线的法向量互相垂直，则这两条直线垂直.
(3)若两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直.
训练1 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直:
(1)l1经过点A(-1，-2)，B(1，2)，l2经过点M(-2，-1)，N(2，1);
(2)l1的斜率为-10，l2经过点A(10，2)，B(20，3);
(3)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(-10，40)，N(10，40).




二、求与已知直线垂直的直线方程
例2 求经过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.




思维升华　(1)由已知直线求出斜率，再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出所求直线方程.但要注意一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况.
(2)可利用待定系数法:与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0，再由直线所过的点确定m.
训练2 已知三角形的三个顶点A(-2，0)，B(4，-4)，C(0，2).
(1)求线段BC的垂直平分线的方程;
(2)求AB边上的高所在直线的方程.




三、根据线线垂直求参数或点的坐标
例3 (1)(链接教材P26习题1-1 A组T9)已知直线l1:(1-a)x+ay-2=0，l2:ax+(2a+1)y+3=0，若l1⊥l2，则a的值为 (　　)
A.0或2 B.0或-2
C.2 D.-2
(2)在平面直角坐标系内点A(4，2)，B(1，-2)，若在x轴上存在点C，
使∠ACB=，则点C的坐标为 (　　)
A.(3，0) B.(0，0)
C.(5，0) D.(0，0)或(5，0)


思维升华　(1)由两直线垂直求参数，用A1A2+B1B2=0更方便，可避开讨论斜率是否存在;
(2)由垂直关系求点的坐标，先设出点的坐标，再利用k1k2=-1或直线的方向向量、法向量垂直求解.
训练3 (1)过点A，B(7，0)的直线l1与过点(2，1)，(3，k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于　　　　.
(2)已知直线l1经过点A(3，m)，B(m-1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(-2，m+2).若l1⊥l2，则m的值为　　　　.
【课堂达标】
1.直线l1，l2的斜率分别为-，-，若l1⊥l2，则实数a的值是 (　　)
A.- B.-
C. D.
2.下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的是(　　)
A.2x-y+1=0 B.x-2y-1=0
C.x+2y-1=0 D.x+y+1=0
3.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4，2)，B(1，-2)，C(-2，4)，则BC边上的高所在直线的斜率k为　　　　.
4.直线l过点(-1，2)，且与直线2x-3y+4=0垂直，则l的方程是　　　　.
第二课时　两条直线垂直
探究1　提示　l1⊥l2 v1·v2=0 1+k1k2=0，即k1k2=-1.
探究2　提示　l1⊥l2.
知识梳理
1.k1k2=-1
例1　解　(1)设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1=3，k2=
-=-1，所以l1⊥l2.
(2)法一(用斜率)　设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1=-，k2=2.因为k1k2=×2=-1，所以l1⊥l2.
法二(用方向向量)　两直线l1，l2的一个方向向量分别为v1=，v2=(1，2)，由于v1·v2=·(1，2)=0，∴l1⊥l2.
法三(用法向量)　由两条直线方程可得它们的一个法向量分别为n1=(1，2)，n2=(2，-1).因为n1·n2=(1，2)·(2，-1)=2-2=0，所以l1⊥l2.
(3)由两个方程，可知l1∥y轴，l2∥x轴，
所以l1⊥l2.
训练1　解　(1)直线l1的斜率k1==2，直线l2的斜率k2=，k1k2=1，故l1与l2不垂直.
(2)直线l1的斜率k1=-10，直线l2的斜率k2=，k1k2=-1，故l1⊥l2.
(3)由题意得l1的倾斜角为90°，所以l1⊥x轴.
因为直线l2的斜率k2==0，
所以l2∥x轴，所以l1⊥l2.
例2　解　法一　设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线2x+y-10=0垂直，
∴k·(-2)=-1，∴k=，
又∵直线l经过点A(2，1)，
∴所求直线l的方程为y-1=(x-2).
即x-2y=0.
法二　设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.
∵直线l经过点A(2，1)，
∴2-2×1+m=0，
∴m=0.
∴所求直线l的方程为x-2y=0.
训练2　解　(1) ∵BC的中点为(2，-1)，边BC所在直线的斜率为kBC=，∴线段BC的垂直平分线的斜率为k=，其方程为y+1=(x-2)，即2x-3y-7=0.
(2)∵边AB所在直线的斜率为kAB=-，
∴AB边上的高所在直线的斜率为k'=，
∴AB边上的高所在直线的方程为y-2=x，
即3x-2y+4=0.
例3　(1)B　(2)D　[(1)∵l1⊥l2，∴(1-a)a+a(2a+1)=0，即a2+2a=0，∴a=0或a=-2，选B.
(2)设C(x0，0)，则kAC=，kBC=.
∵∠ACB=，∴AC⊥BC，
则kAC·kBC=-1，
即=-1，解得x0=0或x0=5，
∴点C的坐标为(0，0)或(5，0).故选D.]
训练3　(1)3　(2)3或-4　[(1)由题意知l1⊥l2，=-1，得k=3.
(2)法一　直线l2的斜率k2=，
当m=0时，直线l1的斜率k1=，l1与l2不垂直;
当m≠0时，k2≠0，
∵l1⊥l2，
∴k1=存在，且k1k2=-1，
即=-1，
解得m=3或m=-4.
法二　直线l1的方向向量v1==(m-4，2-m)，直线l2的方向向量v2==(-3，m)，∵l1⊥l2，∴v1·v2=0，
即-3(m-4)+m(2-m)=0，解得m=3或m=-4.]
课堂达标
1.A　2.B　3.　4.3x+2y-1=0　(共48张PPT)
第二课时　两条直线垂直
第一章 §1　直线与直线的方程 1.4　两条直线的平行与垂直
课标要求
1.理解并掌握两条直线垂直的条件.
2.会用垂直的条件判定两条直线是否垂直.
3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应问题.
在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关，那么怎样通过直线的斜率来判断两条直线垂直呢？
引入
课时精练
一、两直线垂直的判定
二、求与已知直线垂直的直线方程
三、根据线线垂直求参数或点的坐标
课堂达标
内容索引
两直线垂直的判定
一
探究1 平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
提示　l1⊥l2 v1·v2＝0 1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.
探究2 若直线l1的方向向量为v1＝(a，0)(a≠0)，l2的方向向量为v2＝(0，b)(b≠0)，l1与l2垂直吗？
提示　l1⊥l2.
1.对于两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 ________________.
2.当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
知识梳理
k1k2＝－1
温馨提示
(1)已知两直线垂直，若其中一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为零.
(2)两直线垂直的充要条件是两直线的夹角为90°.
3.设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
知识梳理
例1
设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
(2)l1：x＋2y－1＝0，l2：2x－y＝0；
由两个方程，可知l1∥y轴，l2∥x轴，
所以l1⊥l2.
判断两直线垂直的方法
(1)若两条直线都有斜率时，则观察斜率之积是否为1；若有一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，这两条直线也垂直.
(2)若两条直线的法向量互相垂直，则这两条直线垂直.
(3)若两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直.
思维升华
判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40).
训练1
求与已知直线垂直的直线方程
二
例2
求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
法一　设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2，1)，
∴2－2×1＋m＝0，
∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
思维升华
(1)由已知直线求出斜率，再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出所求直线方程.但要注意一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况.
(2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，再由直线所过的点确定m.
训练2
已知三角形的三个顶点A(－2，0)，B(4，－4)，C(0，2).
(1)求线段BC的垂直平分线的方程；
即2x－3y－7＝0.
(2)求AB边上的高所在直线的方程.
根据线线垂直求参数或点的坐标
三
例3
(1)(链接教材P26习题1－1 A组T9)已知直线l1：(1－a)x＋ay－2＝0，l2：ax＋(2a＋1)y＋3＝0，若l1⊥l2，则a的值为
A.0或2 B.0或－2 C.2 D.－2
√
∵l1⊥l2，∴(1－a)a＋a(2a＋1)＝0，即a2＋2a＝0，∴a＝0或a＝－2，选B.
√
思维升华
(1)由两直线垂直求参数，用A1A2＋B1B2＝0更方便，可避开讨论斜率是否存在；
(2)由垂直关系求点的坐标，先设出点的坐标，再利用k1k2＝－1或直线的方向向量、法向量垂直求解.
训练3
3
(2)已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2).若l1⊥l2，则m的值为___________.
3或－4
∵l1⊥l2，∴v1·v2＝0，
即－3(m－4)＋m(2－m)＝0，
解得m＝3或m＝－4.
【课堂达标】
√
√
∵直线2x＋y＋1＝0的斜率为k1＝－2，
3.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4，2)，B(1，－2)，C(－2，4)，则BC边上的高所在直线的斜率k为________.
4.直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是______________.
3x＋2y－1＝0
【课时精练】
√
1.下列四组直线中，互相垂直的一组是
A.2x＋y－1＝0与2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0与x－2y＋1＝0
C.x＋2y－1＝0与x－y－1＝0 D.x＋y＝0与x＋y－3＝0
由两条直线垂直的充要条件易知B选项中的两条直线互相垂直.
√
√
√
√
4.直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是
A.－4 B.2 C.－2 D.4
∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，∴(a＋3)＋a－1＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，∴直线l1在x轴上的截距是－2.
√
5.A，B两点的坐标分别为(3，1)和(1，3)，则线段AB的垂直平分线的方程为
A.x－y＝0 B.x＋y－4＝0
C.x＋y＝0 D.x－y＋4＝0
6.若直线l1：2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2：ax－y＋2a＝0的法向量，则实数a的值等于________.
7.直线l与直线x＋y－2＝0垂直，且它在y轴上的截距为4，则直线l的方程为_______________.
设直线l的方程为x－y＋m＝0，又它在y轴上的截距为4，∴m＝4，
∴直线l的方程为x－y＋4＝0.
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因两直线垂直，故有2m－20＝0，m＝10，又垂足为(1，p)，故10＋4p－2＝0，p＝－2，2－5p＋n＝0，n＝－12，则m－n＋p＝10＋12－2＝20.
8.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p＝________.
法二　由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(4，3)，n2＝(3，－4).
因为n1·n2＝0，∴l1⊥l2.
(3)l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2.
10.求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程.
由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0，
又∵△AOB的周长为10，
即|OA|＋|OB|＋|AB|＝10，
√
√
√
12.已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________.
9
∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，
13.已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0).
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
设Q(x，0)，∵∠NQP＝∠NPQ，
14.在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状.
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ.
所以OP∥QR，OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
因为kOP·kOR＝－1，
所以OP⊥OR.又|OP|≠|OR|，
故四边形OPQR为矩形.1.4　两条直线的平行与垂直
第一课时　两条直线平行
课标要求　1.理解并掌握两条直线平行的条件. 2.会运用直线方程的特征判定两条直线是否平行. 3.运用两直线平行时的斜率关系解决相应的问题.
【引入】 在平面几何中，我们已经学习了两条直线平行的性质定理和判定定理，那么，在平面直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线的平行关系呢
一、两条直线平行
探究 对于两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，倾斜角相等(α1=α2)是l1∥l2的充要条件吗 若l1∥l2，则一定能推出两直线的斜率相等吗


【知识梳理】
1.对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2)，l1∥l2 　　　　.
2.若直线l1与l2的斜率都不存在，则l1与l2　　　　　　.
温馨提示　(1)l1∥l2 k1=k2成立的前提:两直线l1，l2不重合且斜率存在;(2)当
l1∥l2时，它们的斜率可能都存在且相等，也有可能斜率都不存在，但它们的倾斜角一定相等.
例1 (链接教材P17例16)根据下列条件，判断直线l1与直线l2是否平行:
(1)直线l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l2经过点C(3，-3)，D(8，-7).
(2)l1:3x+5y-6=0，l2:6x+10y+3=0.
(3)l1:x=2，l2:x=4.




思维升华　判定两条不同直线平行的思路
用斜率判断两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行;若存在，再看是否相等，若相等，则平行.
训练1 判断下列各组直线是否平行，并说明理由:
(1)l1:y=2x+3，l2:2x-y+5=0;
(2)l1:y=2x+1，l2:x-2y=0;
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(-2，-3).
(4)l1:y=2x+1，l2:2x-y+1=0.




二、求平行直线的方程
例2 (链接教材P19练习T2(1)(3))已知直线l的方程为4x-3y-12=0，直线l'与l平行，求满足下列条件的直线l'的方程.
(1)l'经过点(-1，3);
(2)l'在两坐标轴上的截距之和为.




思维升华　与已知直线平行的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，再由已知条件写出所求方程.
(2)可利用待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1.
训练2 直线l与直线l1:3x+4y+12=0平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积是24，求直线l的方程.




三、根据两直线平行求参数
例3 (1)(链接教材P19练习T3(1))已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0与l2:x+ay+1=0平行，则a= (　　)
A.-1 B.2
C.0或-2 D.-1或2
(2)已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为　　　　.


思维升华　已知两直线平行求方程中的参数值的方法
(1)根据条件A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或B1=B2=0且A1C2≠A2C1进行求解.
(2)对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况求解.求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除两直线重合的情况.
训练3 (1)(多选)若直线l1:(m-2)x-y-1=0与l2:3x-my=0平行，则m的值可能为 (　　)
A.-1 B.1
C.3 D.0
(2)(多选)三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3构成三角形，则a的取值可以是 (　　)
A.-1 B.1
C.2 D.5
【课堂达标】
1.过点(-1，3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 (　　)
A.2x+y-1=0 B.x-2y+7=0
C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0
2.已知直线l1:y=x-2，l2:y=kx，若l1∥l2，则实数k= (　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.1
3.若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是　　　　.
4.若直线l过点(3，4)，且平行于过点M(1，2)和N(-1，-5)的直线，则直线l的方程为　　　　.
第一课时　两条直线平行
探究　提示　是充要条件;不一定，两直线的斜率可能均不存在.
知识梳理
1.k1=k2
2.平行或重合
例1　解　(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
则k1=，
k2=，
所以直线l1与直线l2平行或重合.
又kBC=，故l1∥l2.
(2)将两直线方程分别化为斜截式，
l1:y=-，l2:y=-.
则k1=-，b1=，k2=-，b2=-.
因为k1=k2，b1≠b2，所以l1∥l2.
(3)由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2.
训练1　解　(1)设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，
k1=k2=2，b1=3，b2=5，b1≠b2，所以l1∥l2.
(2)k1=2，k2=，k1≠k2.
所以l1与l2不平行.
(3)由题意知k1=tan 60°=，
k2=，
∵k1=k2，∴l1∥l2或l1与l2重合.
(4)因为k1=k2=2，b1=b2=1，
所以l1与l2重合.
例2　解　(1)法一　l的方程可化为y=x-4，
∴l的斜率为，
∵l'∥l，∴l'的斜率为，
又l'过点(-1，3)，
∴由点斜式得直线l'的方程为
y-3=(x+1)，
即4x-3y+13=0.
法二　∵l'∥l，可设l'的方程为4x-3y+m=0(m≠-12)，
将(-1，3)代入得m=13，
∴所求直线的方程为4x-3y+13=0.
(2)法一　由题意，设所求直线的方程为
4x-3y+m=0(m≠-12).
令x=0，得y=;
令y=0， 得x=-，
所以-，
解得m=28，
所以所求直线的方程为4x-3y+28=0.
法二　由题意知，所求直线不过原点，即在两坐标轴上的截距都不为0.
故可设所求直线的方程为
=1(a≠0，b≠0)，
则有故所求直线的方程为4x-3y+28=0.
训练2　解　根据题意可设直线l:3x+4y+m=0(m≠12)，
该直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，
则A，B，
则三角形的面积
S==24，
解得m=±24.
所以直线l的方程是3x+4y±24=0.
例3　(1)A　(2)0或1　[(1)法一　由题知，两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0，l2:x+ay+1=0平行，则a(a-1)=2，a2-a-2=0，解得a=-1或a=2.
当a=-1时，直线l1:-2x+2y+1=0与l2:x-y+1=0平行;
当a=2时，直线l1:x+2y+1=0与l2:x+2y+1=0重合(舍去).
综上，a=-1.故选A.
法二　因为x，y的系数不能同时为0，
所以，解得a=-1.故选A.
(2)当m=-2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意;
当m=-1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意;
当m≠-2，且m≠-1时，kAB=，kMN=.
因为AB∥MN，所以kAB=kMN，
即，
解得m=0或m=1.
当m=0或1时，由图形知，两直线不重合.
综上，m的值为0或1.]
训练3　(1)AC　(2)CD　[(1)由已知，得直线l1的斜率k1=m-2.因为l1∥l2，所以直线l2的斜率k2存在，故m≠0，且k2=，即m2-2m-3=0，解得m=-1或m=3.故选AC.
(2)直线x+y=0与x-y=0都经过原点，而无论a为何值，直线x+ay=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以a≠±1，故选CD.]
课堂达标
1.B　2.D　3.-　4.7x-2y-13=0　(共47张PPT)
第一章 §1　直线与直线的方程 1.4　两条直线的平行与垂直
第一课时　两条直线平行
课标要求
1.理解并掌握两条直线平行的条件.
2.会运用直线方程的特征判定两条直线是否平行.
3.运用两直线平行时的斜率关系解决相应的问题.
在平面几何中，我们已经学习了两条直线平行的性质定理和判定定理，那么，在平面直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线的平行关系呢？
引入
课时精练
一、两条直线平行
二、求平行直线的方程
三、根据两直线平行求参数
课堂达标
内容索引
两条直线平行
一
探究 对于两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，倾斜角相等(α1＝α2)是l1∥l2的充要条件吗？若l1∥l2，则一定能推出两直线的斜率相等吗？
提示　是充要条件；不一定，两直线的斜率可能均不存在.
1.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2 ____________.
2.若直线l1与l2的斜率都不存在，则l1与l2____________.
知识梳理
k1＝k2
平行或重合
温馨提示
(1)l1∥l2 k1＝k2成立的前提：两直线l1，l2不重合且斜率存在；(2)当l1∥l2时，它们的斜率可能都存在且相等，也有可能斜率都不存在，但它们的倾斜角一定相等.
例1
(链接教材P17例16)根据下列条件，判断直线l1与直线l2是否平行：
(1)直线l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，直线l2经过点C(3，－3)，D(8，－7).
设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
(2)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0.
(3)l1：x＝2，l2：x＝4.
(2)将两直线方程分别化为斜截式，
思维升华
判定两条不同直线平行的思路
用斜率判断两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行；若存在，再看是否相等，若相等，则平行.
判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)l1：y＝2x＋3，l2：2x－y＋5＝0；
(2)l1：y＝2x＋1，l2：x－2y＝0；
训练1
(1)设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，
k1＝k2＝2，b1＝3，b2＝5，b1≠b2，所以l1∥l2.
∵k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合.
(4)因为k1＝k2＝2，b1＝b2＝1，
所以l1与l2重合.
求平行直线的方程
二
例2
(链接教材P19练习T2(1)(3))已知直线l的方程为4x－3y－12＝0，直线l′与l平行，求满足下列条件的直线l′的方程.
(1)l′经过点(－1，3)；
法二　∵l′∥l，可设l′的方程为4x－3y＋m＝0(m≠－12)，
将(－1，3)代入得m＝13，
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
法一　由题意，设所求直线的方程为
思维升华
与已知直线平行的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，再由已知条件写出所求方程.
(2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1.
直线l与直线l1：3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积是24，求直线l的方程.
训练2
根据题意可设直线l：3x＋4y＋m＝0(m≠12)，
该直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，
解得m＝±24.
所以直线l的方程是3x＋4y±24＝0.
根据两直线平行求参数
三
例3
(1)(链接教材P19练习T3(1))已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则a＝
A.－1 B.2 C.0或－2 D.－1或2
√
法一　由题知，两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0平行，
则a(a－1)＝2，a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，直线l1：－2x＋2y＋1＝0与l2：x－y＋1＝0平行；
当a＝2时，直线l1：x＋2y＋1＝0与l2：x＋2y＋1＝0重合(舍去).
综上，a＝－1.故选A.
法二　因为x，y的系数不能同时为0，
0或1
(2)已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为________.
当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；
当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合.
综上，m的值为0或1.
思维升华
已知两直线平行求方程中的参数值的方法
(1)根据条件A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1或B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1进行求解.
(2)对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况求解.求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除两直线重合的情况.
训练3
(1)(多选)若直线l1：(m－2)x－y－1＝0与l2：3x－my＝0平行，则m的值可能为
A.－1 B.1 C.3 D.0
√
√
(2)(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是
A.－1 B.1 C.2 D.5
√
√
【课堂达标】
1.过点(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为
A.2x＋y－1＝0 B.x－2y＋7＝0
C.x－2y－5＝0 D.2x＋y－5＝0
√
设直线方程为x－2y＋c＝0(c≠3)，因为直线过点(－1，3)，所以－1－6＋c＝0，解得c＝7.故所求直线方程为x－2y＋7＝0.
√
由两直线平行斜率相等，则k＝1，故选D.
2.已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx，若l1∥l2，则实数k＝
A.－2 B.－1 C.0 D.1
3.若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是________.
4.若直线l过点(3，4)，且平行于过点M(1，2)和N(－1，－5)的直线，则直线l的方程为__________________.
7x－2y－13＝0
【课时精练】
√
1.过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线与直线y＝3的位置关系是
A.相交 B.平行
C.重合 D.以上都不对
斜率都为0且不重合，所以平行.
√
√
根据直线平行的充要条件得
3.“m＝－1”是“x＋my－2m＋2＝0与直线mx＋y－m＋1＝0平行”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
4.(多选)直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是
A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B.若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C.若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有斜率，所以A不正确；因为两直线的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切值相等，即tan α1＝tan α2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正确；若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，所以C正确；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，所以D正确.
√
√
√
5.已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为
A.0或3或－1 B.0或3
C.3或－1 D.0或－1
因为直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，所以1·3a－a2(a－2)＝0，即a(a2－2a－3)＝0，所以a＝0或a＝－1或a＝3.经验证，当a＝3时，两直线重合，舍去.
6.已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________.
-8
设所求直线方程为xcos θ＋ysin θ＋m＝0(m≠2)，又经过点(cos θ，sin θ)，
则cos2θ＋sin2θ＋m＝0，m＝－1，故所求直线方程为xcos θ＋ysin θ－1＝0.
7.经过点(cos θ，sin θ)且平行于直线xcos θ＋ysin θ＋2＝0(θ∈R)的直线方程是____________________.
-6
直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，
9.已知直线l：2x－y＋4＝0在x轴上的截距为a，求过点(a，3a)且与直线l平行的直线方程.
因为2x－y＋4＝0，令y＝0，得x＝－2，
所以a＝－2，所以点(a，3a)为(－2，－6).
设所求直线方程为2x－y＋C＝0(C≠4)，
代入(－2，－6)得－4＋6＋C＝0，则C＝－2，
所以所求直线的方程为2x－y－2＝0.7
10.在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点
A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，求点D的坐标.
设点D(x，y)，四边形ABCD的四条边AB，DC，AD，BC的所在直线的斜率分别为kAB，kDC，kAD，kBC，则由AB∥DC，AD∥BC可得kAB＝kDC，kAD＝kBC，
√
√
-7
由题意，边AB所在直线的斜率为：
故A＝{(x，y)|2x－y－1＝0，x≠2}，
故集合A表示的是直线2x－y－1＝0上除点(2，3)外的点构成的集合.
①当直线ax－y－2＝0与直线2x－y－1＝0平行时，满足A∩B＝ ，此时a＝2；第一章　课时精练6　两条直线平行
(分值:100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分,共25分
1.过点A(2,5)和点B(-4,5)的直线与直线y=3的位置关系是(　　)
相交 平行
重合 以上都不对
2.已知过点A(m,-1)和B(2,m)的直线与直线x-y-1=0平行,则m的值为(　　)
1 -1
3.“m=-1”是“x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的(　　)
充要条件 充分不必要条件
必要不充分条件 既不充分也不必要条件
4.(多选)直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题正确的是(　　)
若l1∥l2,则斜率k1=k2
若斜率k1=k2,则l1∥l2
若倾斜角α1=α2,则l1∥l2
若l1∥l2,则倾斜角α1=α2
5.已知直线x+a2y+6=0与直线(a-2)x+3ay+2a=0平行,则a的值为(　　)
0或3或-1 0或3
3或-1 0或-1
6.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为　　　　.
7.经过点(cos θ,sin θ)且平行于直线xcos θ+ysin θ+2=0(θ∈R)的直线方程是　　　　　　.
8.已知直线l1经过点A(0,-1)和点B,直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2).若l1与l2没有公共点,则实数a的值为　　　　.
9.(10分)已知直线l:2x-y+4=0在x轴上的截距为a,求过点(a,3a)且与直线l平行的直线方程.
10.(10分)在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),求点D的坐标.
二、综合运用
选择题每小题5分,共5分
11.(多选)满足下列条件的直线l1与l2,其中l1∥l2的是(　　)
l1的斜率为2,l2过点A(1,2),B(4,8)
l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,且不经过点P
l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5)
l1的一个方向向量为(1,1),l2的倾斜角为
12.已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且直线ax+by+1=0在y轴上的截距为,则a+b的值为　　　　.
13.(15分)已知△ABC的三个顶点是A(-1,-1),B(3,1),C(1,6),直线l平行于AB,交AC,BC分别于E,F,△CEF的面积是△CAB面积的.求直线l的方程.
三、创新拓展
14.(15分)已知集合A=,集合B={(x,y)|ax-y-2=0},当a取何值时,A∩B=
课时精练6　两条直线平行
1.B　2.A　3.A　4.BCD　5.D　
6.-8　7.xcos θ+ysin θ-1=0　8.-6　
9.解　因为2x-y+4=0，令y=0，得x=-2，
所以a=-2，所以点(a，3a)为(-2，-6).
设所求直线方程为2x-y+C=0(C≠4)，
代入(-2，-6)得-4+6+C=0，则C=-2，
所以所求直线的方程为2x-y-2=0.
10.解　设点D(x，y)，四边形ABCD的四条边AB，DC，AD，BC的所在直线的斜率分别为kAB，kDC，kAD，kBC，则由AB∥DC，AD∥BC可得kAB=kDC，kAD=kBC，
即，
解得x=0，y=-2.故点D的坐标为(0，-2).
11.BC　[对于A，由题意得kAB==2，所以l1与l2平行或重合，故A错误;
对于B，由题意得kPQ==0，因为l2平行于x轴，且不经过点P，所以l1∥l2，故B正确;
对于C，由题意得kMN=，kRS=，kMR==-1，
所以l1∥l2，故C正确;
对于D，直线l1的斜率为1，直线l2的斜率为tan ，所以l1与l2不平行，故D错误.]
12.-7　[因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行，所以4b=3a.又直线ax+by+1=0在y轴上的截距为，所以b+1=0，解得b=-3，所以a=-4.经检验，a=-4，b=-3符合题意，所以a+b=-7.]
13.解　由题意，边AB所在直线的斜率为:
kAB=，由题意知kl=kAB=，
且E，F分别为边AC，BC的中点，
故E点的坐标为，
所以直线l的方程为y=.
14.解　由=2可得2x-y-1=0(x≠2)，
故A={(x，y)|2x-y-1=0，x≠2}，
故集合A表示的是直线2x-y-1=0上除点(2，3)外的点构成的集合.
①当直线ax-y-2=0与直线2x-y-1=0平行时，满足A∩B= ，此时a=2;
②当直线ax-y-2=0过点(2，3)时，满足A∩B= ，则2a-5=0，解得a=.
综上所述，a=2或a=.第一章　课时精练7　两条直线垂直
(分值:100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分,共25分
1.下列四组直线中,互相垂直的一组是(　　)
2x+y-1=0与2x-y-1=0
2x+y-1=0与x-2y+1=0
x+2y-1=0与x-y-1=0
x+y=0与x+y-3=0
2.(多选)如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,那么直线l2的斜率可能为(　　)
不存在
3.已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0,若l1⊥l2,则sin 2α=(　　)
4.直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是(　　)
-4 2
-2 4
5.A,B两点的坐标分别为(3,1)和(1,3),则线段AB的垂直平分线的方程为(　　)
x-y=0 x+y-4=0
x+y=0 x-y+4=0
6.若直线l1:2x+3y-1=0的方向向量是直线l2:ax-y+2a=0的法向量,则实数a的值等于　　　　.
7.直线l与直线x+y-2=0垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为　　　　　　.
8.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足坐标为(1,p),则m-n+p=　　　　.
9.(10分)判断下列两条直线是否垂直,并说明理由 :
(1)l1:y=-3x+2,l2:y=x+5;
(2)l1:4x+3y=10,l2:3x-4y=5;
(3)l1:y=2 025,l2:x=2 024.
10.(10分)求与直线4x-3y+5=0垂直,且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程.
二、综合运用
选择题每小题5分,共5分
11.(多选)若直线3x+2y+6=0,2x-3m2y+18=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m的值可以为(　　)
0 1
-1 -
12.已知m,n为正数,且直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直,则m+2n的最小值为　　　　.
13.(15分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
三、创新拓展
14.(15分)在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
课时精练7　两条直线垂直
1.B　2.CD　3.D　4.C　5.A　
6.　7.x-y+4=0　8.20　
9.解　(1)∵k1=-3，k2=，
∴k1k2=-1，则l1⊥l2.
(2)法一　∵k1=-，k2=，
∴k1k2=-1，则l1⊥l2.
法二　由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1=(4，3)，n2=(3，-4).
因为n1·n2=0，∴l1⊥l2.
(3)l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2.
10.解　由题意，可设所求直线的方程为
3x+4y+b=0，
令x=0，可得y=-，即A，
令y=0，可得x=-，即B，
又∵△AOB的周长为10，
即|OA|+|OB|+|AB|=10，
∴+=10，
解得b=±10.
故所求直线的方程为3x+4y+10=0或3x+4y-10=0.
11.ACD　[由题意，若直线3x+2y+6=0和2x-3m2y+18=0垂直，可得3×2+2×
(-3m2)=0，解得m=±1.经验证，当m=1时，有两条直线平行，构不成三角形;当m=-1时，符合题意.同理，若直线3x+2y+6=0和2mx-3y+12=0垂直可得6m-6=0，解得m=1，应舍去;若直线2x-3m2y+18=0和2mx-3y+12=0垂直可得4m+9m2=0，解得m=0或m=-，经验证均符合题意.故m的值为0，-1，-.]
12.9　[∵直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直，
∴n-(n-2)m=0，∴2m+n=mn，
∴=1，
∴m+2n=(m+2n)
=5+=9，
当且仅当m=n=3时取等号.]
13.解　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN=3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN=-1，
即×3=-1. ①
由已知得kPN=-2，由PN∥MQ，可得kPN=kMQ，即=-2. ②
联立①②，解得x=0，y=1，即Q(0，1).
(2)设Q(x，0)，∵∠NQP=∠NPQ，
∴kNQ=-kNP，
又∵kNQ=，kNP=-2，
∴=2，即x=1，
∴Q(1，0).
又∵M(1，-1)，∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
14.解　由斜率公式得kOP==t，
同理，kQR=t，kOR=-，kPQ=-.
所以kOP=kQR，kOR=kPQ.
所以OP∥QR，OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
因为kOP·kOR=-1，
所以OP⊥OR.又|OP|≠|OR|，
故四边形OPQR为矩形.

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