资源简介

1.5　两条直线的交点坐标
课标要求　1.了解两条直线交点的概念. 2.掌握用解方程组求两条直线的交点的方法. 3.能利用直线的交点解决直线过定点及三线共点等问题.
【引入】 通过前面的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，一条直线上的点与以满足该直线方程的解为坐标的点一一对应，那么如何通过两直线的方程判断两直线是否相交 若两直线相交如何求出它们的交点坐标呢
一、两直线的交点坐标
探究 由两条直线的方程l1:2x-y+3=0，l2:x-2y+6=0，如何判断l1，l2是否相交呢 若相交，如何求出其交点坐标呢




【知识梳理】
一般地，对于两条不重合的直线
l1:A1x+B1y+C1=0，
l2:A2x+B2y+C2=0，
我们可以用直线的　　　　　　　　或　　　　先定性判断两条直线是否相交，若相交，可解方程组得到两条直线l1，l2的　　　　　　.
温馨提示　(1)两直线斜率都存在且斜率不相等，两直线相交;
(2)两直线的斜率一个存在，另一个不存在，两直线相交.
例1 (链接教材P21练习T2)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.




思维升华　(1)求两直线交点的坐标就是求方程组的解;
(2)方程组无解，一个解，无穷多解，对应的两直线分别为平行，相交，重合.
训练1 (1)若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是　　　　.
(2)若直线2x+3y-k=0与直线x-ky+12=0的交点在y轴上，则k的值为　　　　.
二、求过两直线交点的直线方程
例2 (链接教材P26习题1-1 A组T6)求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.




思维升华　求经过两直线交点的直线方程的两种方法
(1)求出交点坐标，根据题意求出相关直线的方程;
(2)用直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C)=0(不包含直线A2x+B2y+C2=0)表示，根据题意求出λ，化简即可.
训练2 求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程.


三、与交点有关的证明问题
例3 (链接教材P20例20)已知A(1，4)，B(-2，-1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证:△ABC的三条高所在的直线交于一点.




思维升华　证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路:先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上.
训练3 已知m为实数，设直线l1的方程为2x+my=1，直线l2的方程为mx+8y=m-2.当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上.




【课堂达标】
1.直线3x-2y+1=0与直线x+2y+3=0的交点坐标为 (　　)
A.(1，-1) B.(-1，-1)
C.(1，1) D.(-1，1)
2.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2，-1)，则m+n的值为 (　　)
A.12 B.10
C.-8 D.-6
3.斜率为-2，且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为　　　　　　.
4.若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k=　　　　.
1.5　两条直线的交点坐标
探究　提示　=2，，所以l1与l2不平行，又l1与l2不重合，所以直线l1，l2一定相交;由于l1，l2的交点既在直线l1上，又在直线l2上.也就是说，交点坐标既满足方程2x-y+3=0，又满足方程x-2y+6=0.将这两个方程联立即可求出交点的坐标.解方程组所以这两条直线的交点坐标为(0，3).
知识梳理
　斜率(斜率存在时)　法向量　交点坐标　
例1　解　(1)解方程组
得
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，-1).
(2)方程组有无数个解，表明直线l1和l2重合.
(3)方程组无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
训练1　(1)(-6，-2)　(2)±6　[(1)解方程组 ∵直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，∴解得-6(2)法一　联立方程得
=0，解得k=±6.
法二　显然k≠0，在2x+3y-k=0中，令x=0，得y=，在x-ky+12=0中，令x=0，得y=，由题意可得，解得k=±6.]
例2　解　法一　解方程组
得
即l1与l2的交点坐标为(-1，2).
又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为-，则直线l的方程为y-2=-(x+1)，
即5x+3y-1=0.
法二　由于直线l⊥l3，
故设直线l为5x+3y+C=0.
又直线l过直线l1，l2的交点(-1，2)，
故5×(-1)+3×2+C=0，解得C=-1，
故直线l的方程为5x+3y-1=0.
法三　由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0，
整理，得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.
其斜率为-，解得λ=，
则直线l的方程为5x+3y-1=0.
训练2　解　法一　由方程组
解得
即l1与l2的交点坐标为(-2，2).
∵直线过坐标原点，
∴其斜率k==-1.
故直线方程为y=-x，即x+y=0.
法二　l过l1与l2的交点，故可设直线l为
3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0，
又过点(0，0)，故-2+2λ=0，λ=1.
则直线l的方程为3x+4y-2+2x+y+2=0，
即x+y=0.
例3　证明　kAB=，
kBC=，kAC==-1，则AB，BC，AC边上的高所在直线的斜率分别为
-，-3，1，
则AB，BC，AC边上的高所在直线的方程分别为y-1=-(x-4)，y-4=-3(x-1)，
y-(-1)=x-(-2)
由
则AB，BC边上的高所在直线的交点坐标为，
又AC边上的高所在的直线方程为y=x+1，
∵点满足方程y=x+1.
故△ABC的三条高所在的直线交于一点.
训练3　证明　联立
解得x=，y=-，m≠-4，
∴点A，
∵x==1+2y，
即x-2y-1=0(y≠0)，
因此，点A在直线x-2y-1=0(y≠0)上.
课堂达标
1.B　2.B　3.2x+y-4=0　4.-　(共49张PPT)
1.5　两条直线的交点坐标
第一章 §1　直线与直线的方程
课标要求
1.了解两条直线交点的概念.
2.掌握用解方程组求两条直线的交点的方法.
3.能利用直线的交点解决直线过定点及三线共点等问题.
通过前面的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，一条直线上的点与以满足该直线方程的解为坐标的点一一对应，那么如何通过两直线的方程判断两直线是否相交？若两直线相交如何求出它们的交点坐标呢？
引入
课时精练
一、两直线的交点坐标
二、求过两直线交点的直线方程
三、与交点有关的证明问题
课堂达标
内容索引
两直线的交点坐标
一
探究 由两条直线的方程l1：2x－y＋3＝0，l2：x－2y＋6＝0，如何判断l1，l2是否相交呢？若相交，如何求出其交点坐标呢？
知识梳理
斜率(斜率存在时)
法向量
交点坐标
温馨提示
(1)两直线斜率都存在且斜率不相等，两直线相交；
(2)两直线的斜率一个存在，另一个不存在，两直线相交.
例1
(链接教材P21练习T2)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
(1)求两直线交点的坐标就是求方程组的解；
(2)方程组无解，一个解，无穷多解，对应的两直线分别为平行，相交，重合.
思维升华
(1)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是____________.
训练1
(－6，－2)
±6
(2)若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为________.
求过两直线交点的直线方程
二
例2
(链接教材P26习题1－1 A组T6)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.
法二　由于直线l⊥l3，
故设直线l为5x＋3y＋C＝0.
又直线l过直线l1，l2的交点(－1，2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，
故直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
思维升华
求经过两直线交点的直线方程的两种方法
(1)求出交点坐标，根据题意求出相关直线的方程；
(2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C)＝0(不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)表示，根据题意求出λ，化简即可.
求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
训练2
即l1与l2的交点坐标为(－2，2).
∵直线过坐标原点，
法二　l过l1与l2的交点，故可设直线l为
3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，
又过点(0，0)，故－2＋2λ＝0，λ＝1.
则直线l的方程为3x＋4y－2＋2x＋y＋2＝0，
即x＋y＝0.
与交点有关的证明问题
三
例3
(链接教材P20例20)已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点.
思维升华
证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路：先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上.
训练3
已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2.当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上.
【课堂达标】
1.直线3x－2y＋1＝0与直线x＋2y＋3＝0的交点坐标为
A.(1，－1) B.(－1，－1)
C.(1，1) D.(－1，1)
√
√
∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0，得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，则m＋n＝10.
2.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为
A.12 B.10 C.－8 D.－6
3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________________.
2x＋y－4＝0
4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________.
【课时精练】
√
若直线与直线x＋3y－4＝0相交，则两条直线的斜率不相等，故选C.
√
√
√
√
5.(多选)若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值可以为
A.1 B.－1 C.－2 D.2
√
√
6.三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10，2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________.
-1
7.已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________.
设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.
8.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为___________________________.
9.求经过直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程.
法一　设所求的直线为l，解方程组
所以直线l的斜率为－3，
所以根据点斜式有
法二　设所求直线为l，很显然l不是直线x＋y＋2＝0.
因为直线l过直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
所以设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，
10.已知直线l1：2x－y＝0，l2：x－2y＋3＝0，且l1，l2的交点为P.
(1)求点P的坐标；
(2)若直线l过点P，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程.
易知直线l与坐标轴不平行，设直线l：y－2＝k(x－1)，k≠0.
解得k＝－1或k＝－4，
故直线l的方程为y－2＝－(x－1)或
y－2＝－4(x－1)，
即x＋y－3＝0或4x＋y－6＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－3＝0或4x＋y－6＝0.
√
12.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率等于________.
13.如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.
设B(x0，y0)，
即4x－y－20＝0.
14.已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.
(1)求直线l1与l2的交点P的坐标；
(2)求过l1，l2交点P，且在两坐标轴截距相等的直线方程；
设所求直线为l，
(3)若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，求实数a的值.
①当l3与l1平行时不能构成三角形，此时：a·(－2)－2×1＝0，解得a＝－1；第一章　课时精练8　两条直线的交点坐标
(分值:100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分,共25分
1.下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为(　　)
x+3y=1 y=-x-12
x+4
2.已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是(　　)
3.当0第一象限 第二象限
第三象限 第四象限
4.设两直线l1与l2的方程分别为x+y+b=0,xsin α+y-a=0,a,b为常数,α为第三象限角,则l1与l2(　　)
平行 垂直
平行或重合 相交但不一定垂直
5.(多选)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则a的取值可以为(　　)
1 -1
-2 2
6.三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则实数a的值为　　　　.
7.已知点P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是　　　　.
8.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　.
9.(10分)求经过直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
10.(10分)已知直线l1:2x-y=0,l2:x-2y+3=0,且l1,l2的交点为P.
(1)求点P的坐标;
(2)若直线l过点P,且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积为,求直线l的方程.
二、综合运用
选择题每小题5分,共5分
11.已知实数a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0过定点(　　)
12.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为M(1,-1),则直线l的斜率等于　　　　.
13.(15分)如图,已知在△ABC中,A(-8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程.
三、创新拓展
14.(15分)已知两直线l1:x-2y+4=0,l2:4x+3y+5=0.
(1)求直线l1与l2的交点P的坐标;
(2)求过l1,l2交点P,且在两坐标轴截距相等的直线方程;
(3)若直线l3:ax+2y-6=0与l1,l2不能构成三角形,求实数a的值.
课时精练8　两条直线的交点坐标
1.C　2.A　3.B　4.B　5.ABC　
6.-1　7.(2，3)　8.x+y+1=0或3x+4y=0　
9.解　法一　设所求的直线为l，解方程组
因为直线l和直线3x+y-1=0平行，
所以直线l的斜率为-3，
所以根据点斜式有
y-，
即所求直线方程为15x+5y+16=0.
法二　设所求直线为l，很显然l不是直线x+y+2=0.
因为直线l过直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，
所以设直线l的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.
因为直线l与直线3x+y-1=0平行，
所以，解得λ=.
所以所求直线方程为15x+5y+16=0.
10.解　(1)由
所以点P的坐标为(1，2).
(2)易知直线l与坐标轴不平行，设直线l:y-2=k(x-1)，k≠0.
当x=0时，y=2-k;当y=0时，x=1-，
因此可得
解得k=-1或k=-4，
故直线l的方程为y-2=-(x-1)或
y-2=-4(x-1)，
即x+y-3=0或4x+y-6=0.
综上，直线l的方程为x+y-3=0或4x+y-6=0.
11.D　[由a+2b=1，得a=1-2b，则直线ax+3y+b=0可化为(1-2b)x+3y+b=0，整理得x+3y-b(2x-1)=0，所以.]
12.-　[设A(xA，1)，B(xB，xB-7)，则有=-1，故xB=4，则B(4，-3)，故直线l的斜率为.]
13.解　设B(x0，y0)，
则AB的中点E的坐标为，
由条件可得
得
即B(6，4).
同理可求得C点的坐标为(5，0).
故所求直线BC的方程为，
即4x-y-20=0.
14.解　(1)由
所以点P的坐标为(-2，1).
(2)设所求直线为l，
①当直线l在两坐标轴截距为不零时，
设直线方程为:=1，
则=1，解得t=-1，所以直线l的方程为:=1，即x+y+1=0.
②当直线l在两坐标轴截距为零时，设直线方程为:y=kx，则1=k×(-2)，解得k=
-，所以直线l的方程为y=-x，即x+2y=0.
综上，直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0.
(3)①当l3与l1平行时不能构成三角形，此时:a·(-2)-2×1=0，解得a=-1;
②当l3与l2平行时不能构成三角形，此时:a·3-2×4=0，解得a=;
③当l3过l1，l2的交点时不能构成三角形，此时:a·(-2)+2×1-6=0，解得a=-2.
综上，当a=-1或或-2时，不能构成三角形.

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