资源简介

顺义区2025年高三统一测试试卷
数学 2025.3
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，集合，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知平面向量满足，，，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）下列函数中，单调递增且值域为的是
（A） （B）
（C） （D）
（4）复数的共轭复数为，且满足，则 （A）（B）（C）（D）
（5）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等是假设把恒星放在距离地球10秒差距（秒差距光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等满足,其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星距离地球约光年，恒星距离地球约光年，恒星的视星等满足，则 （A）（B）（C）（D）
（6）已知，，，点满足，则的可能取值是 （A）（B）（C）（D）
（7）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是 （A）（B）（C）（D）
（8）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（9）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点，为坐标原点，直线与交于点，若，则△的面积等于
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知直线分别与函数和的图象交于，，给出下列三个结论：
① ；②；③.
其中正确结论的个数是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知双曲线的左、右焦点分别为，且过点，则双曲线的渐近线方程为________.
（12）若，则_______；_______.
（13）已知直线与圆有两个交点，则可以是________.（写出满足条件的一个值即可）
（14）在△中，，，则__________.
（15）已知函数，数列满足，.
给出下列四个结论：
若，则有个不同的可能取值；
若，则；
对于任意，存在正整数，使得；
对于任意大于的正整数，存在，使得；
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，.
（Ⅰ）若平面与棱交于点，且平面，求证：是中点；
（Ⅱ）若是棱上一点，且满足，当时，求与平面所成角的正弦值.
（17）（本小题13分）
已知函数().
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围．
条件①：在上是单调函数；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：对任意的，都有成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题14分）
智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技术，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取份试卷作为样本，其评分情况如下表所示：
试卷序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
系统甲评分 82 88 76 92 87 66 75 69 90 58 86 84
系统乙评分 80 82 76 90 80 61 71 65 88 54 82 80
最后得分 81 85 76 91 85 64 74 67 89 56 84 83
（Ⅰ）从这份试卷中随机选取份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过分的概率；
（Ⅱ）从这份试卷中随机选取份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过分的份数记为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从上述的份试卷中随机抽取份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
（I）求的方程和短轴长；
（II）直线与相交于不同的两点，直线,分别与直线交于点.当时，求的值.
（20）（本小题15分）
已知函数.
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，求证：是上的单调递减函数；
（III）求证：当时，.
（21）（本小题15分）
已知数列各项为正整数.对任意正整数，定义：，，其中表示有限集中的元素个数，规定.
（I）对于数列，写出，，，的值;
（II）若数列满足.
（i）若，令，当时，求；
（ii）求证：.顺义区2025年高三统一测试试卷
数学参考答案 2025.3
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）C （2）D （3）B （4）A （5）C
（6）B （7）D （8）B （9）A （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）； （13）（答案不唯一）
（14） （15）①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题满分13分）
（Ⅰ）设与交点为，连结.
因为平面，
平面平面，平面.
所以，又因为为中点，所以是中点. ……… 5分
（II）方法一：
因为，，.
所以平面，平面，所以.
因为.
所以，即可知，又.
所以平面
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，经过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，．
因此，，．
因为，所以.
所以，因此.
设平面的法向量为，则
即
令，则．于是．
所以．
设与平面所成角为，则．
所以，与平面所成角的正弦值为． ……… 13分
（II）方法二：
取中点,连结
因为四边形为菱形，.
所以为等边三角形. 所以.
又因为.所以.
因为，，.
所以平面，平面，所以.
因为.
所以，即可知，又.
所以平面
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，．
因此，，．
因为，所以.
所以，因此.
设平面的法向量为，则
即
令，则．于是．
所以．
设与平面所成角为，则．
所以，与平面所成角的正弦值为． ……… 13分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为().
所以
……… 3分
（Ⅱ）().
选择条件 ①②：
因为在上是单调函数；
所以最小正周期满足：，即
所以，又,所以.
又因为图象的一个对称中心为；
所以，即.
所以.
所以.
因为，所以，
又因为在区间上仅有一个零点
所以,即
所以的取值范围是.
选择条件 ①③：
因为在上是单调函数；
所以最小正周期满足：，即
所以，又,所以.
又对任意的，都有成立.
所以为的最大值,即
所以，即.
所以,所以.
因为，所以，
又因为在区间上仅有一个零点
所以,即
所以的取值范围是. ……… 13分
（18）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）从这份试卷中随机选取份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过分为事件，则中包含的基本事件有个，所以. ……… 4分
（Ⅱ）从这份试卷中随机选取份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过分的份数记为，则的可能取值为.又,,,.
所以，的分布列为
数学期望 . ……… 11分
（Ⅲ）. ……… 14分
（19）（本小题满分15分）
解：（I）由题设，
解得．所以的方程为，短轴长为． ……… 5分
（II）设，，其中.
由消去得
所以.
又直线的斜率
直线的方程为，令可得.
同理可得.
又，所以即……①
又，.由题意可知
所以①式可得……②.
因为=
所以②式可得，解得.
所以的值为. ……… 15分
（20）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）依题意，．
又,
所以.
所以曲线在点处的切线方程为
即. ……… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以.
令，则
因为，所以，即
所以在上单调递减，所以
即，所以是上的单调递减函数. ……… 9分
（III）令.
则.由（Ⅱ）知，在上单调递减.
所以当时，，此时，即在上单调递减
所以，即
当时，，，.
所以即
所以即
综上可得：当时，. ……… 15分
（21）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ），，， ……… 4分
（Ⅱ）令，则，根据的定义，可知数列中有两项等于1，
根据数列的增减性质，可得；令，则，
可知数列中有四项小于等于2，可得，…… ，
以此类推可得得前项为，
，其中 ……… 9分
（Ⅲ）（法一）用数学归纳法证明
对成立，.........（**）
当时，令，，
（**）式左边=
（**）式右边=
（**）式左边=（**）式右边，（**）式对成立；
假设时，（**）式成立
即······①
当时，（**）式左边=
设，令，则,，……，
，
（**）式左边=
（**）式右边=
根据①可知（**）式对成立，由数学归纳法原理可知（**）成立 ……… 15分
（法二）设数列中等于的项分别有个，则
，，……，
，
从而,，……，
注意到
等式成立. ……… 15分

展开更多......

收起↑