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中考数学基础知识+公式
整数：-1,0,1

有理数 1 1 1 分数： ，， 注意：分数定为有理数 7 3 23

1. 实数 开方开不尽的： 5，- 2，3 6

2 无理数 含有 的： ，
3

类似于0.10100100010000 的无限不循环小数
2. 负指数幂
a n 1 10 2 1 1 1
2 1 1 1
3n 例： 2 ； 2 ＝ 9； 2 －a 10 100 3 1
1 8

3 9
零次幂 a0 1 除0外的任何数的0次方为1 例： 0 1；( 3)0 1；( 5)0 1
3.近似数与精确度：近似数 1.60万精确到 位；1.6×104精确到 位；近似数
1.6 的取值范围 .
4.科学记数法的形式： a 10n (1 | a | 10,n为整数）
用科学计数法表示：160000000= ，0.00000016= .
1.6 亿用科学计数法表示：
5.乘法公式：
平方差公式: (a b)(a b) a 2 b 2 完全平方公式: (a b)2 a2 2ab b2
变形公式: a2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2ab
(a b)2 (a b)2 4ab、 (a b)2 (a b)2 4ab
(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
a2 b2 c2 ab ac bc 1 [(a b)2 (b c)2 (a c)2 ]
2
5.三角函数值
AC
正弦: sin B sin 30 1 sin45 2 sin60 3 正
AB 2 2 2
弦值随角度的增大而增大.
: cos B BC cos30 3 cos 45 2余弦 cos 60 1 余弦值随角度的增大而减小.
AB 2 2 2
AC 3
正切: tan B tan 30 tan 45 1 tan 60 3 正切值随角度增大而增大.
BC 3
1
公式：当 90 时 ① sin cos ② cos sin ③ tan tan 1
对任意锐角 ① sin 2 cos2 sin 1 ② tan ③ sin cos 1
cos
6. 平面直角坐标系中两点 A(x1, y1),B(x2 , y2 ), C是线段 AB 的中点，则
C ( x1 x2 , y1 y2 ) 例如：A(2，3); B(-3,2)1 点坐标
2 2 ( 1 5则：①中点 C , )
2 线段 AB 的长度 (x1 x2 )
2 (y1 y2 )
2 2 2
② AB (2 3)2 (3 2)2 26
7.统计中的特征数：平均数，中位数，众数，方差，标准差.
有一组数据： x1, x2 , x3 , , xn .共 n个数，平均数为 x，方差 S
2，标准差 S.则
x 1①平均数 x1 x2 x3 xn .n
②中位数：将这组数据按从小到大顺序排列，取中间的数作为中位数.若中间有 2个
数，则取它们的平均数作为中位数.
③众数：这组数据中出现次数最多的数.一组数据众数可以出现多个，也可能没有.
S 2 1 [(x 21 x) (x x)
2 (x 2 2
n 2 3
x) (xn x) ]
④方差：
方差反映数据稳定程度，方差越小越稳定.
⑤ S S 2 即标准差 方差 . ★连续 5 个整数的方差为 2，标准差为 2 .
如 2,3,4,5,6的方差为 2.
⑥一组数据 x1 1, x2 1, x3 1, , xn 1的平均数x 1,方差S
2，标准差S.
一组数据3x1 2,3x2 2,3x3 2, ,3x
2
n 2的平均数3x 2,方差9S ，标准差3S.
8.特殊四边形的证法
2
9.扇形、圆柱、圆锥
扇形圆心角 n°，半径 R，弧长 l，面积 S，则
l n R ② S n R
2 1
1 lR
180 360 2
圆柱高 h，底面半径 r，母线 l
1 h l ② S侧 2 rl ③ S全面积 2 rl 2 r
2 ④ V柱 r
2h
圆锥高 h，母线 l，底面半径 r，展开扇形圆心角 ，则
S rl ② S r 21 侧 底面积 ③ S全面积 rl r
2
④ r 1 360 ⑤ h2 r 2 l 2 ⑥V圆锥体积 r
2h
l 3
10.直角三角形相关结论，如图 ACB 90 .
勾股定理 AC 2 BC 21 AB2 ;
2 若 A 30 1 ，则BC AB;
2
D AB CD 1①②③图 3 若 是 中点，则 AB; AD BD CD.
2
CD2 AD BD

4 射影定理：若 ACB 90 ,CD AB,则 AC 2 AD AB

BC
2 BD AB
CD AC BC5 面积法求高：
④⑤图 AB
★一般结论：以 Rt ABC 三边向外做相似图形，则两个小的面积之和等于大的图
形的面积.
变式图 当以 AB斜边为直径的半圆向上画半圆时，如
图得月牙形 S1,S2，则有 S1 S2 S ABC .
3
11.度分秒互化：1 60 ；1 60 ，1 3600
例如：1 42 1.7 1.32 1 19.2 1 19 12
12.三角形面积求法.
① ②
S 1
1
BC AH S sin AB BC2 2
③ ④
S 1 ah 1 铅垂高 水平宽 S 大矩形面积减去三个小三角形面积2 2
13.黄金分割： 若 AC 2 AB BC (AC BC )，则点 C称为线段 AB 的黄金分割点；
AC 5 1
0.618 (黄金比)；
AB 2
一条线段有 2个黄金分割点；注意：一般黄金分割值都带根号，除非他要求精确；
黄金三角形
底 5 -1 腰 5 -1
(顶角为 36°的等腰三角形： ，顶角为 108°的等腰三角形： ）
腰 2 底 2
① AD=BD=BC
② △BCD∽△ABC；
③ BC 5 1 AC
2
14.坡度(又称坡比)：
i tan AB坡度
BC
4
15. 全等，相似证法
1 全等：SSS SAS ASA AAS HL(只适用 Rt )
2 相似：两角对应相等；两边对应成比例，夹角相等；三边对应成比例；
a b
★比例中项概念：若 ,即b2 ac,则b叫做ac的比例中项.
b c
16.常见相似基本图形
17.平行线等积变形.
AB∥CD 正方形 AECD和正方形 BFDG,可得 BD∥AC
1
S△EMN S S△FMN (同底等高) △ABC S△ADC S2 正AECD
18.平面直角坐标系中有 2条直线，解析式为 y1 k1x b1; y2 k2x b2 ; y3 k3x b3 .
①当 k1 k2 时，两直线平行；反之两直线平行， k1 k2.
②当 k1 k3 1时，两直线垂直；反之两直线垂直， k1 k3 1.
19.平面直角坐标系中，点到直线距离公式.(不熟练的不用)
初中常用方法：“改斜归正”
AB AC cos BAC
km b n
点 A(m,n)到直线 y kx b的距离 AB h
1 k 2
5
2
ax2 bx b b 4ac20.①一元二次方程： c 0.求根公式： x .
2a
②韦达定理：设 x1, x 是方程 ax
2
2 bx c
b c
0的两个根，则 x1 x2 , xa 1
x2 .a
21.二次函数.
表达式 对称轴 顶点 最值
一般式 y ax2
b
bx c 直线 x b 4ac b2 4ac b2
2a ( , )
2a 4a 4a
顶点式 y a(x m)2 k 直线 x m ( m,k) k
交点式 y a(x x1)(x x )
直线
2 x 把横坐标x 1 x2 ( x1 x2 , ) 同顶点纵坐
代入计算
x , x 2 2 标其中 1 2 是抛物
线与 x轴交点横坐
标.
二次函数识图一：
a 0(看开口方向)
b 0(看对称轴：左同右异)
c 0(看抛物线与y轴交点位置)
b2 4ac 0(看抛物线与x轴交点个数)
二次函数识图二：
① y ax2 抛物线顶点在原点 b 0,c 0
② y ax2 bx 抛物线过原点 c 0
③ y ax2 c 抛物线顶点在 y轴 b 0 对称轴为 y轴
④ y ax2 bx c中b2 4ac 0 抛物线顶点在 x轴 抛物线与 x轴只有 1 个
交点
① ② ③ ④
6
⑤ 抛物线 y ax2 bx c与坐标轴三个交点构成直角三角形 ac 1
⑥ 抛物线与 x轴两个交点及顶点构成等腰直角三角形 4
⑦ 抛物线与 x轴两个交点及顶点构成等边三角形 12
⑤ ⑥ ⑦
★图像平移.口诀：左加右减，上加下减.
例如： y kx b向左平移 1个单位，向下平移 2 个单位，得 y k(x 1) b 2
y a(x m)2 k 向右平移 3个单位，向上平移 1 个单位，得 y a(x m 3)2 k 1
b2 4ac
★抛物线 y=ax2+bx+c 在 x轴上截得的线段长度为：
| a |
或者是 | x x 2 21 2 | (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2
22.函数应用题
（1）利润最值问题(二次函数)：
a. 列表分析,关注未知数 x表达的意思（销售价还是降价或涨价等）
b. 关注自变量的取值范围（注意隐含的取值范围，如整数等）
c. 判断对称轴是否在自变量取值范围内：
1） 在——直接取最值（配方法、公式法）
2） 不在——根据对称轴和开口方向判断增减性，在自变量端点值求最值
（2）成本最值问题（一次函数）：求出自变量取值范围，根据增减性在端点处
求最值。
（3）拱形门问题：区分清楚是二次函数问题还是圆弧形问题。
（4）围成面积问题：注意限制条件，注意开门等条件,理解材料总长和要表示的
线段
23.一线三等角构“K”字型相似.
条件： B AED C 90
结论：△ABE∽△ECD
证明：由题意 A 1 90
2 1 90
A 2
条件： B AED C
又 B C
结论：△ABE∽△ECD
△ABE∽△ECD
7
★在某些难题中出现直角的条件，可尝试构造“K”字型相似或“K”字型全等.有时
出现一线上有 2 个等角，可尝试画出第 3个等角，构造“K”字型相似.(难题的解决
需要多次尝试)
24.常见的勾股数. 3,4,5 6,8,10 5,12,13 8,15,17 7,24,25
对无理数的估算. 2 1.414 3 1.732 5 2.236
25.反比例函数基本图形及结论.
S 1 k BD BE①面积不变性 ②比例性质 ③平行性质 AB∥CD2 AD CE
(注意象限 K 的符号)
`
AB=CD S S bc ad④恒等性质 ⑤面积公式 AOB 梯形ACDB 2
26.中位线. 梯形中位线 EF.
三角形中位线 DE 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD.
如图：D,E是△ABC 中， E,F 分别是 AD,BC 中点.
AB,AC 边上中点， 则有：EF∥AB∥CD
则有 DE∥BC，DE= 1 BC.
2 EF=
1 (AB CD)
2
★中点四边形：取四边形的四边中点，连成的四边形叫中点四边形.
① ② ③ ④
1 任意四边形 ABCD，取四边的中点 E,F,G,H，则四边形 EFGH 是平行四边形.
2 四边形 ABCD 中，AC=BD，取四边中点 E,F,G,H，则四边形 EFGH 是菱形.
3 四边形 ABCD，AC⊥BD，则中点四边形 EFGH是矩形.
4 四边形 ABCD，AC=BD，AC⊥BD，则中点四边形 EFGH 是正方形.
8
27.角平分线.
①角平分线+平行线 等腰三角形. ②角平分线定理. 三角形中（不常用）
③角平分线推广定理
如图，AB∥CD，CE 平分∠ACD， 如图，BE平分 ABC，
则△ACE 是等腰三角形.
EF AB EH BC AD平分 BAC，
AB∥CD 1 2 EF EH AB BD
2 3 1 3 AC DC
又 CE平分 ACD AC AE.即△ACE是等腰三角形.
④BD,CD平分∠ABC,∠ACB, BD,CD平分∠CBF,∠BCE, BD,CD平分∠ABC,∠ACE,
1 1
则∠D=90 1°+ ∠A 则∠D=90°- ∠A 则∠D= ∠A
2 2 2
28.(1)正方形中，∠EAF=45°. (2)三角形中剪出正方形. ∵DM∥BC
（半角模型） ∴△ADM∽△ABC
DM AF
结论：①BE+DF=EF. 用 列方程BC AE
②DM 2 BN 2 MN 2. 例如：BC=8，AE=6，求边长.
可设边长 x，则
x 6 x , x 24 得
BC=8 AE=6. 8 6 7如图： ，
三角形中剪出最大矩形. 求矩形 DMNG 的最大面积.
解：设DG EF MN x 4 DM 8 x
DM∥BC 3
S x(8 4 x) 4 △ADM ABC 矩 x
2 8x
3 3
DM AF , DM 6 x x bBC AE 8 6 当 3时，S2a 最大
12
1
结论：当 DM为中位线时，矩形最大. S矩形最大 S2 △ABC
29.三角形外心，内心，重心.
1 外心(外接圆圆心，是△ABC 三边中垂线的交点)
结论：△ABC 的外心到三个顶点的距离相等.
9
2 内心(内切圆圆心，是△ABC 三条角平分线的交点)
结论：△ABC 的内心到三边的距离
3 重心(△ABC 三条中线的交点)
结论：重心将每条中线分成两段，长度为 2:1，
OA OB OC
即： 2
OF OG OE
30.内切圆中的部分结论公式. 如图：☉O 是△ABC 的内切圆，S 表示△ABC 面
积， l表示△ABC 周长， r表示☉O 半径：
结论：①AE=AF;BF=BD;CD=CE(切线长定理)
②AF+BC= 1 l，BF+AC= 1 l ,CE+AB= 1 l
2 2 2
S 1 2s③ △ABC lr. (r内 )2 l
S S
△AOB
S△BOC S△AOC
1
AB r
1
BC r 1 AC r
2 2 2 知道三角形周长

1 和面积，可求内 r(AB BC AC)
2 切圆半径.

1 lr
2
★Rt△ABC 内切圆半径为 r .
r AB BC AC结论：
2
例如：一个三角形三边为 3,4,5；则它是 Rt△，
3 4 5
内切圆半径为 r 1.
2
31.圆中三大定理.
(1) 垂径定理： ∵AB

是直径 ①
AB⊥CD ② 推论由二推三.
∴CE=DE ③
把其中两个做条件
B⌒C= B⌒D

④ 可推出其余三个结论.

A⌒C= A⌒D ⑤
垂径三角形 Rt△COE:半径 OC,半径 CE，弦心距 OE，构成 Rt△COE，可用勾．股．定．理．求
解长度.
10
易错：平分弦(不．是．直径)的直径垂(2) ．．圆心角定理：
直弦，平分弦所对的弧.
∵ A⌒B= C⌒D ①
推论由一推三.
∴∠AOB=∠COD② 把其中一个做条件
AB=CD ③
OE=OF ④ 可推出其余三个结论.
易错：在同圆或等圆中，弧相等，则弦相等（√）. 度数一样
在同圆或等圆中，弦相等，则弧相等（×）. 同．弧．、等．弧．概念
长度一样
原因：一条弦对两条弧.
(3) 圆周角定理：
①同弧或等弧所对圆周角相等，即∠E=∠F.
1
②一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，即∠E= ∠AOB.
2
③直径所对圆周角是直角；90°的圆周角所对弦是直径.
∵AB是直径 ∵∠AFB=90
∴∠AFB=90°. ∴AB 是直径.
32.(1)圆内接四边形圆：
四边形 ABCD 是圆内接四边形
A C 180
圆内接四边形对角互补
D ABC 180
∠D=∠ABE(圆内接四边形外角等于它的内对角)
(2) 四点共圆：
若四边形中，∠A+∠C=180 ， 若四边形中，
则 A,B,C,D在同一个圆上， ∠DAC=∠DBC,
即 A,B,C,D四点共圆. 即 A,B,C,D四点共圆.
(3)多边形内角和，外角和：
① n边形内角和公式： (n 2) 180 ； ② n边形外角和:360 .
180 - 360
(n 2) 180
③正 n边形每个内角度数： 或 ;
n n
n 360

④正 边形每个外角度数： .
n
11
33.“12345”定理：(填空、选择可直接用)
如图在“3×3”网格中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=∠ACB=45 .
①∠1+∠2=45 ②∠ACB+∠3=∠MCBA
tan 1 1 tan 2 1 ， . ACB 45 tan 3 12 3 ， ，tan MCB 23
1
我们用“ ”表示 1的度数，
2 则有45
1 “ ”＝“2”
3
1
“ ”表示 2的度数.
3 ③∠ACB+∠4=∠ACF
1 1
则有“ ” “ ” 45
2 3 ACB
1
45 ，tan 4 ，tan ACF 3
2
④ ∠D=∠CAD 1
则有45 “ ”＝“3”
∠D+∠CAD=∠ACB 2
tan D 1 ，tan CAD 1 , tan ACB 3
3 3 4
1 1 3
“ ” “ ”＝“ ”
3 3 4
⑤ ∠D=∠CAD
∠D+∠CAD=∠ACB
tan D 1 ，tan CAD 1 , tan ACB 4
2 2 3
1 1 4
“ ” “ ”＝“ ”
2 2 3
34.常见几何模型
㈠双子型（手拉手模型）
条件：△OAB,△OCD 均为等边三角形.
结论：①△OAC≌△OBD；②AC=BD；
③∠AEB=60°；④OE 平分∠AED；⑤点 E在
△OAB 的外接圆上
条件：△OAB,△OCD 均为等腰直角三角形
结论：①△OAC≌△OBD；②AC=BD；
③∠AEB=90°；④OE 平分∠AED；⑤点 E
在△OAB 的外接圆上
12
条件：△OAB,△OCD 均为等腰三角形，
∠AOB=∠COD.
结论：①△OAC≌△OBD；②AC=BD；
③∠AEB=∠AOB；④OE平分∠AED(或
∠AED的外角）；⑤点 E在△OAB的外
接圆上.
条件：CD∥AB(△OCD∽△OAB)，将△OCD 旋转至右图位置
结论：①△OAC∽△OBD;②AC 与 BD 交于点 E，必有∠AEB=∠AOB；③点 E在△OAB 的
外接圆上.
条件：CD∥AB(△OCD∽△OAB)，∠AOB=∠COD=90°.
结论：①△OAC∽△OBD；②(延长)AC 交 BD 于点 E，必有∠AEB=90°；
③ BD OD OB tan OCD；④点 E 在△OAB 的外接圆上(A,O,E,B四点共圆）.
AC OC OA
㈡最短路程——将军饮马模型
总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线
段最短”解决。
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；
方法：作定点关于动点所在直线的对称点。
㈢最短路程——“胡不归”模型
13
2022 中考复习资料
模型条件：A、B为定点，P为射线 AC 上一个动点
问题：点 P在何处，BP n AP n（ 1）最短。
m m
方法：第一步.在 AC 的一侧，PB 的异侧，构造∠CAE= ,使得 sin n ;
m
第二步.作 BH⊥AE 于点 E，交 AC 于点 P,此时点 P就是所求位置，BH 就是 BP n AP
m
的最小值.
㈣“定边对定角”模型
“定边对定角”动点成“隐圆”
条件：AB 为定值，点 P 为动点，且∠APB=α,(α为定角）
结论：①点 P 在以 AB 为弦的圆弧上运动；
②圆心在 AB 中垂线上，圆心角为 2α（α为锐角）或 360°-2α（α为钝角）.
关于条件的联想
1. 弦长 垂径定理，勾股定理.
2. 中点 中线，中位线，等腰，倍长.
3. 角平分线 角边距离，三线合一等.
4. 矩形、正方形对角线上的点 往角两边作垂线构相似或全等.
5. 一线三等角(可能只出现 2 个等角) 造相似
6. 求面积 能切割用切割，不能切割去作高；特殊角度出现，可能做高更好.
7. 相切问题 直线与圆有交点，则连半径，证垂直.
若不知是否有交点，则作垂直，证半径.
8. 动点特殊四边形问题 抓各自四边形专有特点是关键.
9. 解的可能个数(分类讨论) 关注关键字词(射线，延长线，直线)，(等腰，等边，
翻折，旋转)等等.
10.临界状态的考虑 是自变量的关键.
11.动点定值问题 可取特殊位置法.
14
基本思想方法
1.等面积法
2.方程与函数思想
利用方程解决几何计算已经不能算难题了,建立变量间的函数关系,也是经常会碰到
的,常见的建立函数关系的方法有比例线段,勾股定理,三角比,面积公式等。
3.分类讨论思想
常见于动点问题,找等腰,找相似,找直角三角形之类的。
4.转化与化归思想
就是把一个问题转化为另一个问题,比如把四边形问题转化为三角形问题,还有压轴
题中时有出现的找等腰三角形,有时可以转化为找一个和它相似的三角形也是等腰
三角形的问题等等,代数中用的也很多,比如无理方程有理化,分式方程整式化等等
5.数形结合思想
初中用的较多的是用几何问题去解决直角坐标坐标系中的函数问题。对于初中生,
尽可能从图形着手去解决,比如求点的坐标,可以通向坐标轴作垂线,把它转化为求线
段的长,再结合基本的相似全等三角形解快,尽可能避免用两点间距离公式列方程组。
当然有时也可以将几何图形放入直角坐标系，利用解析法去解决一些动点问题。
15

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