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【基础卷】北师大版（2024）数学七下 4.3 探索三角形全等的条件 同步练习
一、选择题
1．（2025八上·台州期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·红花岗期末）如图，与相交于点，不添加辅助线，能直接判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·衡阳期末）如图，点、在线段上，若，则添加下列条件，不一定能使的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2025八上·温州期中）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 即可固定，这里所用的几何原理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．两点确定一条直线
5．（2024八上·武威期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册 第一章 三角形的初步知识 单元测试卷 ）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．（2025八上·西湖期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八上·北京市期中）如图，在中，分别延长边上的中线到．使，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的3倍．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
9．（2025八上·嵊州期末）如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是　 　．（只需填上一个即可）
10．（2024八上·浙江期末）生活中，自行车的车架大多设计成如图所示的三角形，这是因为三角形具有 　 　．
11．（2024八上·自贡期中）如图，一块三角形的玻璃被打碎成三块，现要配一块与原来形状完全相同的玻璃，则应该带第　 　块区玻璃店．
12．（2023八上·襄州期中）如图，若，，，则的度数为　 　．
三、解答题
13．（2024九下·文山模拟）如图，点E，F在BC上，，，，求证：．
14．（2024八上·惠州期中）已知：如图，，，，求证：．
15．（2025八上·余姚期末）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵直角三角形没被挡住的是两角和夹边，∴画出一个与原三角形全等的三角形，这两个三角形全等的依据为ASA.
故答案选：C．
【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在和中，
∴
故答案为：C．
【分析】根据AAS证明全等即可．
3．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠DEF，∴添加∠C=∠D，AC=DE，可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
B、∵∠A=∠DEF，∴添加BC=FD，AC=ED，不能判定△ABC≌△EFD，故此选项符合题意；
C、∵∠A=∠DEF，∴添加∠ABC=∠DFE，AC=DE，可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
D、∵∠A=∠DEF，∴添加AC=DE，AB=EF，可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形还可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，据此逐一判断得出答案．
4．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：窗户打开后，窗钩AB和O点形成三角形OAB，利用三角形的稳定性进行固定，
故答案为：D.
【分析】三角形具有稳定性，当三角形三边确定后，其大小，形状均不会发生改变.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，则，
∴，
A、当，，时，依据可得；
B、当，，时，依据可得；
C、由，得，依据可得；
D、当，，时，不能得出；
故答案为：D
【分析】先根据题意进行线段的运算得到，进而根据三角形全等的判定结合题意即可求解。
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故答案为：A．
【分析】有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形，可以利用AAS，或ASA判断其全等；有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形，可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形中，这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接，
根据题意：，
∴，
∴，
∵，
若，则，
∵，
∴，
∴（与题干矛盾），故A选项错误；
∵，
∴，故B选项正确；
∵，故C选项错误；
∵，
∴，
∴，故D选项错误；
故答案选：B．
【分析】取格点，连接，利用网格线的性质利用证明，再利用三角形全等的性质逐一判断即可．
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：②是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
∴，②正确；
①.同理，
，，
，，①正确；
④.，，
、、三点在同一条直线上，
，
设两条平行线与之间的距离为，
，
∴，
，
，④正确；
③.无法判断，③错误；
综上分析可知：正确的有①②④，故B正确．
故选：B．
【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定.根据中点的性质可得：，再结合，，利用全等三角形的判定定理“”可证明，利用全等三角形的性质可得：，，根据内错角相等，两直线平行可推出：，据此可判断说法②；同理利用全等三角形的判定定理可证明：，，利用全等三角形的性质可得：，，，利用等量代换可得：，根据内错角相等，两直线平行可推出：，据此可判断说法①；根据，，可证明、、三点在同一条直线上，据此可得，设两条平行线与之间的距离为，则，利用三角形的面积计算公式和四边形的面积计算公式可证明，据此可判断说法④正，无法判断，据此可判断说法③．
9．【答案】(答案为唯一)
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，∴，
又∵，
根据只要添加：或；
根据只要添加：或；
根据只要添加：，
故答案为：(答案为唯一)．
【分析】利用全等三角形的判定定理解题即可．
10．【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
11．【答案】①
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：根据全等三角形的判定：两角及其夹边的两个三角形全等，即可确定这块三角形与购买的三角形全等，
故答案为：①．
【分析】第①块中，有两角及其夹边，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可得出这块三角形与购买的三角形全等．
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由已知条件知：
，，
在中，，
在和中，
，，，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=100°，再根据全等三角形判定定理可得，则
13．【答案】解：，
，即，
在与中，
，
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据线段的运算得到，再根据三角形全等判定证明即可求解。
14．【答案】证明：∵AF＝DC，
∴AF＋FC＝DC＋FC，
即AC＝DF，
∵BC∥EF，
∴∠EFC＝∠BCA，
在△EFD和△BCA中，
，
∴△EFD≌△BCA（SAS），
∴∠A＝∠D．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.利用线段的运算可证明：AC＝DF，再根据BC∥EF，利用平行线的性质可得：∠EFC＝∠BCA，再结合EF=BC，利用全等三角形的判定定理SAS可证明△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质可得：∠A＝∠D．
15．【答案】证明：∵，∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据题意得到，然后利用"SAS"证明，则，最后根据内错角相等，则两直线平行，据此即可求证.
1 / 1【基础卷】北师大版（2024）数学七下 4.3 探索三角形全等的条件 同步练习
一、选择题
1．（2025八上·台州期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵直角三角形没被挡住的是两角和夹边，∴画出一个与原三角形全等的三角形，这两个三角形全等的依据为ASA.
故答案选：C．
【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断.
2．（2025八上·红花岗期末）如图，与相交于点，不添加辅助线，能直接判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在和中，
∴
故答案为：C．
【分析】根据AAS证明全等即可．
3．（2025八上·衡阳期末）如图，点、在线段上，若，则添加下列条件，不一定能使的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠DEF，∴添加∠C=∠D，AC=DE，可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
B、∵∠A=∠DEF，∴添加BC=FD，AC=ED，不能判定△ABC≌△EFD，故此选项符合题意；
C、∵∠A=∠DEF，∴添加∠ABC=∠DFE，AC=DE，可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
D、∵∠A=∠DEF，∴添加AC=DE，AB=EF，可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形还可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，据此逐一判断得出答案．
4．（2025八上·温州期中）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 即可固定，这里所用的几何原理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．两点确定一条直线
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：窗户打开后，窗钩AB和O点形成三角形OAB，利用三角形的稳定性进行固定，
故答案为：D.
【分析】三角形具有稳定性，当三角形三边确定后，其大小，形状均不会发生改变.
5．（2024八上·武威期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，则，
∴，
A、当，，时，依据可得；
B、当，，时，依据可得；
C、由，得，依据可得；
D、当，，时，不能得出；
故答案为：D
【分析】先根据题意进行线段的运算得到，进而根据三角形全等的判定结合题意即可求解。
6．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册 第一章 三角形的初步知识 单元测试卷 ）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故答案为：A．
【分析】有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形，可以利用AAS，或ASA判断其全等；有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形，可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形中，这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
7．（2025八上·西湖期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接，
根据题意：，
∴，
∴，
∵，
若，则，
∵，
∴，
∴（与题干矛盾），故A选项错误；
∵，
∴，故B选项正确；
∵，故C选项错误；
∵，
∴，
∴，故D选项错误；
故答案选：B．
【分析】取格点，连接，利用网格线的性质利用证明，再利用三角形全等的性质逐一判断即可．
8．（2024八上·北京市期中）如图，在中，分别延长边上的中线到．使，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的3倍．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：②是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
∴，②正确；
①.同理，
，，
，，①正确；
④.，，
、、三点在同一条直线上，
，
设两条平行线与之间的距离为，
，
∴，
，
，④正确；
③.无法判断，③错误；
综上分析可知：正确的有①②④，故B正确．
故选：B．
【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定.根据中点的性质可得：，再结合，，利用全等三角形的判定定理“”可证明，利用全等三角形的性质可得：，，根据内错角相等，两直线平行可推出：，据此可判断说法②；同理利用全等三角形的判定定理可证明：，，利用全等三角形的性质可得：，，，利用等量代换可得：，根据内错角相等，两直线平行可推出：，据此可判断说法①；根据，，可证明、、三点在同一条直线上，据此可得，设两条平行线与之间的距离为，则，利用三角形的面积计算公式和四边形的面积计算公式可证明，据此可判断说法④正，无法判断，据此可判断说法③．
二、填空题
9．（2025八上·嵊州期末）如图，点B，F，E，C在同一直线上，，且，要使，则可以添加的条件是　 　．（只需填上一个即可）
【答案】(答案为唯一)
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，∴，
又∵，
根据只要添加：或；
根据只要添加：或；
根据只要添加：，
故答案为：(答案为唯一)．
【分析】利用全等三角形的判定定理解题即可．
10．（2024八上·浙江期末）生活中，自行车的车架大多设计成如图所示的三角形，这是因为三角形具有 　 　．
【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
11．（2024八上·自贡期中）如图，一块三角形的玻璃被打碎成三块，现要配一块与原来形状完全相同的玻璃，则应该带第　 　块区玻璃店．
【答案】①
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：根据全等三角形的判定：两角及其夹边的两个三角形全等，即可确定这块三角形与购买的三角形全等，
故答案为：①．
【分析】第①块中，有两角及其夹边，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可得出这块三角形与购买的三角形全等．
12．（2023八上·襄州期中）如图，若，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由已知条件知：
，，
在中，，
在和中，
，，，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=100°，再根据全等三角形判定定理可得，则
三、解答题
13．（2024九下·文山模拟）如图，点E，F在BC上，，，，求证：．
【答案】解：，
，即，
在与中，
，
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据线段的运算得到，再根据三角形全等判定证明即可求解。
14．（2024八上·惠州期中）已知：如图，，，，求证：．
【答案】证明：∵AF＝DC，
∴AF＋FC＝DC＋FC，
即AC＝DF，
∵BC∥EF，
∴∠EFC＝∠BCA，
在△EFD和△BCA中，
，
∴△EFD≌△BCA（SAS），
∴∠A＝∠D．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.利用线段的运算可证明：AC＝DF，再根据BC∥EF，利用平行线的性质可得：∠EFC＝∠BCA，再结合EF=BC，利用全等三角形的判定定理SAS可证明△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质可得：∠A＝∠D．
15．（2025八上·余姚期末）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：．
【答案】证明：∵，∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据题意得到，然后利用"SAS"证明，则，最后根据内错角相等，则两直线平行，据此即可求证.
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