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中考数学，常考模型汇总
模型十 几何最值模型
1.利用“两点之间，线段最短”求最值
（1）“将军饮马”模型
点 A，B位于直线 l的异．侧．，
两定点
在直线 l上找一点 P，使得 PA＋PB的值最小
一动点
点 A，B位于直线 l的同．侧．，
（线段和）
在直线 l上找一点 P，使得 PA＋PB的值最小
点 A，B位于直线 l的同．侧．，
两定点
在直线 l上找一点 P，使得|PA－PB|的值最大
一动点
点 A，B位于直线 l的异．侧．，
（线段差）
在直线 l上找一点 P，使得|PA－PB|的值最大
点 P在∠AOB的内部，
一定点
分别在边 OA，OB上确定点 M，N，
两动点
使得 PM＋MN＋PN的值最小
点 P，Q都在∠AOB的内部，
两动点
分别在边 OA，OB上确定点 M，N，
两定点
使得 PM＋MN＋NQ的值最小
（2）“造桥选址”模型
异侧 l1∥l2，A，B为直线 l1，l2外侧两定点．在 l1，l2上分别
的两 确定点 M，N，使得 MN⊥l1，且 AM＋MN＋NB的值最
定点 小
同侧 A，B为直线 l同侧的两定点，点 M,N在直线 l上，且
的两 MN为定值，试确定点 M，N的位置，使得 AM＋MN＋
定点 NB的值最小
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2.利用“垂线段最短”求最值
一
点 A为直线外一定点，
动
在直线 l上找一点 B，
一
使得 AB的值最小
定
两 点 P在∠AOB的内部，
动 在射线 OB，OA上
一 分别找两点 C，D，
定 使得 PC＋CD的值最小
一
动
二
点 O为直线 l上一定点，
定
点 P为直线 l外一定点，
（
在直线 l上找一点 M，
胡 作法：过点 O作射线 OA，使得 sin∠AOM＝k，
使得 PM＋kOM的值最小
不 则转化为求 PM＋MN的最小值；
（0＜k＜1）
归 过点 P作 PN′⊥OA于点 N′，交直线 l于点 M′，
问 则点 M′即为所求
题） （PM＋kOM的最小值是线段 PN′的长）
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3.构造辅助圆求最值
（1）基础模型
位置关系 点 P在⊙O外 点 P在⊙O上 点 P在⊙O内
图形
（⊙O的半径为 r，圆
心 O到定点 P的距离
点圆
为 d，即 OP＝d）
最值
最大值 r＋d 2r r＋d
最小值 d－r 0 r－d
位置关系
直线 l与⊙O相离 直线 l与⊙O相切 直线 l与⊙O相交
图形
（⊙O的半径为 r，圆
线圆 心 O到直线 l的距离
最值 为 d）
最大值 r＋d 2r r＋d
最小值 d－r 0 0
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（2）构造辅助圆
定点定长
在平面内，点 A为定点，点 B为动点，且 AB的长度为定值（r），
则动点 B的运动轨迹是以点 A为圆心，AB长（r）为半径的圆或圆弧
若 AB＝AC＝AD，则点 B，C，D在以点 A为圆心，AB长为半径的圆上
定弦定角
定弦：AB，定角：∠ACB＝90°；AB为⊙O的直径，
点 C的轨迹：⊙O（不含 A，B两点）
定弦：AB，定角：∠ACB＝30°；圆心角：∠AOB＝60°，点 C的
轨迹： ACB（不含 A，B两点）
定弦：AB，定角：∠ACB＝45°；圆心角：∠AOB＝90°，点 C的
轨迹：ACB（不含 A，B两点）
定弦：AB，定角：∠ACB＝60°；圆心角：∠AOB＝120°，点 C
的轨迹：ACB（不含 A，B两点）
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四点共圆
在四边形 ABCD中，
若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°），
则 A，B，C，D四点共圆
已知线段 AB，点 P，C在线段 AB同侧，
若∠P＝∠C，则 A，B，C，P四点共圆
4，阿氏圆
模型建立：如图，点 A，B是⊙O外两定点，⊙O的半径为 r，点 P为⊙O上一动点，已
知 r＝kOA（0＜k＜1），连接 PA，PB，当 PB＋kPA的值最小时，请确定此时点 P的位置．
问题解决：在线段 OA上截取 OC，使 OC＝kr，连接 PC，PO，证得△AOP∽△POC，则
PC＝kPA，所以 PB＋kPA＝PB＋PC.当 B，P，C三点共线时，PB＋PC的值最小，最小值
为 BP′＋CP′＝BC的长
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5，瓜豆原理
探究一
如图，C为定点，P为动点，
连接 CP，取 CP的中点 Q.
当点 P在直线 AB上运动时，
请探究点 Q的运动轨迹。
如图，C为定点，P为动点，
连接 CP，取 CP的中点 Q.
当点 P在⊙O上运动时，
请探究点 Q的运动轨迹
探究二
图（1） 图（2）
如图（1），C为定点，P，Q为动点，CP＝CQ，且∠PCQ为定值．
当点Р在直线 AB上运动时，请探究点 Q的运动轨迹。
【分析】易知△CPP1≌△CQQ1（SAS），则∠CPP1＝∠CQQ1，
可知点 Q的运动轨迹为一条直线。
如图（2），C为定点，P为动点，连接 CP，作 CQ⊥CP且 CQ＝CP.
当点 P在⊙O上运动时，请探究点 Q的运动轨迹。
【分析】作 CM⊥CO，CM＝CO，易知△CPO≌△CQM（SAS），则 MQ＝OP，
可知点 Q的运动轨迹是以 M为圆心，MQ为半径的圆。
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探究三
如图，C为定点，P为动点，以 CP为斜边作 Rt△CPQ，且∠CPQ＝30°.
当点 P在直线 AB上运动时，请探究点 Q的运动轨迹．
【分析】易知△CPP1∽△CQQ1，则∠CPP1＝∠CQQ1，可知点 Q的运动轨迹为一条直线。
如图，C为定点，P为动点，以 CP为直角边作 Rt△CPQ，且 CP＝2CQ.
当点 P在⊙O上运动时，请探究点 Q的运动轨迹．
【分析】作 CM⊥CO，CO∶CM＝2，易知△CPO∽△CQM 1，且相似比为 2，则 QM＝ OP.
2
可知点 Q的运动轨迹是以点 M为圆心，MQ为半径的圆。
总结：一个主动点（P），一个从动点（Q），当主动点、从动点与定点（C）连线的夹角是定值，
主动点、从动点到定点的距离之比是定值时，主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形。
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