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中考数学，常考模型汇总
模型四 面积模型
1. 基础面积公式
三角形的面积
S 1 1△ABC＝ BC·AD＝ BC·AB·sin α2 2
S 3△ABC＝ a2（a为等边三角形ABC的边长）4
S 1△ABC＝ （a＋b＋c）r2
（ a，b，c分别为△ABC的三条边长，r为△ABC内切圆的半径）
S abc△ABC＝ 4R
（a，b，c分别为△ABC的三条边长，R为△ABC外接圆的半径）
四边形的面积
S 2正方形 ABCD＝a S 矩形 ABCD＝ab S ABCD＝ah
S 1 1菱形 ABCD＝ AC·BD＝ah＝a2·sin∠ABC S 梯形 ABCD＝ （a＋b）h2 2
圆与扇形的面积
nπr2 1
S ＝πr2 S 扇形＝ ＝ lr圆 360 2
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2.求阴影部分的面积
（1）公式法
若所求阴影部分面积是一个规则的图形，如三角形、特殊四边形、扇形等，可直接利用面
积公式求解
（2）和差法
直接和差法（无需辅助线）
S 阴影＝S△ABC－S
S 阴影＝S 扇形 AOB－S△OCD－S 正方形CDEF
扇形DAF
S 阴影＝S ABCD－S 扇形DAE－S△BCE S 阴影＝S△ABC＋S 扇形 CAE－S 扇形 BAD
构造和差法（需作辅助线）
S 阴影＝S△BOD＋S 扇形 COD S 阴影＝S△ODC－S 扇形DOE
S 阴影＝S 扇形 AOB－S△AOB S 阴影＝S△BCE＋S 扇形 ABE－S 扇形CBF
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（3）等积转化法
当所求的阴影部分是一个不规则的图形，直接求面积较复杂或无法计算时，可通过平移、
对称、割补等方法，将所求图形进行转化，再利用公式法或和差法计算转化后的图形面积．
S 阴影＝S 扇形 BOC S 阴影＝S△ACD
S 阴影＝S 扇形 COD S 阴影＝S 扇形DOE
（4）组合法
πa2S a2 S πa
2
阴影＝ － 阴影＝ －a22 2
（a为正方形 ABCD的边长） （a为正方形 ABCD的边长）
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3.平面直角坐标系中的面积模型
（1）求三角形面积
S 1△ABC＝ |xA－xB|·|yC－yA|2
S 1△ABC＝ |yA－yB|·|xC－x2 A
|
S△ABC＝S
1 1
△ADB＋S△CDB＝ BD·（AE＋CF）＝ |xB－xD|·|yC－yA|2 2
S 1 1△ABC＝S△ADB＋S△CDB＝ BD·（AE＋CF）＝ |y －y |·|x －x |2 2 D B C A
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（3）与二次函数有关的线段、面积最值问题
求铅垂线 CD的最大值：
设 C（m，km＋b1），则 D（m，am2＋bm＋c）.
CD＝|km＋b1－am2－bm－c|
求垂线段 DE的最大值：
设 C（m，km＋b1），则 D（m，am2＋bm＋c）.
CD＝|km＋b1－am2－bm－c|.
DE＝CD·cos∠CDE
（一般通过证明可得到∠CDE是特殊角）
求△ABD的面积的最大值：
设 C（m，km＋b1），则 D（m，am2＋bm＋c）.
CD＝|km＋b1－am2－bm－c|.
S 1△ABD＝ CD·|xB－xA|2
（4）等面积模型
问题：已知 A，B为抛物线与 x轴的交点，C为抛物线上一点，连接 BC交 y轴于点 D，在
抛物线上找一点 P，使得 S△BCP＝S△ABC.
解法：过点 A作 BC的平行线，交抛物线于点 P1，交 y轴于点 E，在点 D下方的 y轴上找
一点 F，使得 DF＝DE，过点 F作 BC的平行线，交抛物线于点 P2，P3，则点 P1，P2，P3
即为所求。
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