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2025年广东省广州市高考数学一模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知点在双曲线：上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则下列不等式可能成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则( )
A. B. C. D.
8.定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：，，，，，，；第二组：，，，，，，则( )
A. 两组数据的平均数相等
B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差
C. 两组数据的极差相等
D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数
10.已知函数在处取得极大值，的导函数为，则( )
A.
B. 当时，
C.
D. 当且时，
11.如图，半径为的动圆沿着圆：外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线已知运动开始时点与点重合以下说法正确的有( )
A. 曲线上存在到原点的距离超过的点
B. 点在曲线上
C. 曲线与直线有两个交点
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.将，，，，这个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小若将填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有______种
14.在正三棱锥中，，，点在内部运动包括边界，点到棱，，的距离分别记为，，，且，则点运动路径的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求证：；
若，求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为．
求，，，；
求；
比较与的大小，并说明理由．
18.本小题分
已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线．
求的方程；
为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点．
证明：直线；
满足四边形的面积为的直线共有多少条？说明理由．
19.本小题分
已知且，集合，其中若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的子集例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集．
判断集合是否是的子集？说明理由；
判断是否为集合的变换函数？说明理由；
若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，说明理由．
参考答案
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13.
14.
15.证明：由，根据正弦定理得，
在中，，
所以，
整理得，即，
所以或不符合题意，舍去，可得．
解：根据正弦定理，
可得，即，解得，
由余弦定理，即，
整理得，解得或．
当时，，，结合可得，所以．
此时，故不符合题意，舍去．
所以，，的面积为．
16.【答案】解：证明：因为底面为矩形，，
所以，
设三棱锥的高为，又三棱锥的体积为，
所以，
所以，
又侧面是等边三角形，且，
取的中点，连接，可得，从而为三棱锥的高，
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
取的中点，连接，
则，
故由可以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：由题意知，
所以，，．
由题意知，．
所以，，
所以，则；
由题意知，
则，
所以当时取等号，
所以．
18.解：由抛物线的定义得动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以，即．
证明：由题可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为，则直线的斜率为，
设直线与相交于，两点，不妨设，，
由，得，则，，
由，得，则点处的斜率为，
则点处的切线方程为，
令，得，即点，
直线的方程为，令，得，即，
所以直线的斜率，
所以，即直线．
连接，，由得，，所以，
又因为，所以轴，即四边形为平行四边形，
由，得
，
若四边形的面积为，则，
整理得．
令，则，
设，，则，
所以在单调递增，又，，
所以存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以有个零点，即有个根，
所以四边形的面积为的直线共有条．
19.解：是，理由如下：
令，
在上是连续函数，
且，，，，
符合，
所以是的变换函数，是的子集；
不是，理由如下：
因为，
而在上单调递减，
若为集合的变换函数，
则由且，
所以，
，
所以；
同理，
因为，
所以至少要有两个不等的正数根．
由，
可得，即，
解得，只有一个正数解，矛盾．
故不为集合的变换函数；
存在，或，
由，
所以，
当时，
由且，
所以，
所以，
取，知符合题意；
当时，由，
而，
所以，
所以，
所以，
此时取知符合题意．
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