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山东省潍坊市2025届高三模拟预测数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知函数则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.若双曲线的焦距是其实轴长的倍，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则( )
A. B. C. D.
6.若一组样本数据、、、的平均数为，方差为，则数据、、、、、、、的平均数和方差分别为( )
A. 、 B. 、 C. 、 D. 、
7.某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取局胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知函数，则图象的对称轴方程为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.已知点，圆，则( )
A. 点在内
B. 点与上的点之间的最大距离为
C. 以点为中点的弦所在直线的方程为
D. 过点的直线被截得弦长的最小值为
10.已知圆台的高为，其母线与底面所成的角为，下底面半径是上底面半径的倍，则( )
A. 该圆台的上底面半径为
B. 该圆台的体积为
C. 该圆台外接球圆台的上、下底面的圆周均在球面上的表面积为
D. 用平面截该圆台，若所截图形为椭圆，则椭圆离心率取值范围为
11.设函数，数列满足，，则( )
A. B. 为定值
C. 数列为等比数列 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时具有下列性质的函数 ．；在上是增函数．
13.已知集合，，若，则实数 ．
14.已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是 ；若与不共线，，，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四棱台中，上、下底面分别为边长，的正方形，平面，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正切值．
16.本小题分
在中，角、、所对的边分别为、、，已知，．
求；
若的面积为，是上的点，且，求的长．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的单调递增区间；
当时，求的解集；
若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系．
18.本小题分
已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点．
求的方程；
证明：点在定直线上；
延长交中的直线于点，求四边形面积的最小值．
19.本小题分
维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离设维空间点集或，其中．
若，，且点，，写出所有的点的坐标；
任取维空间中的不同两点．
若，求的概率；
记随机变量，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一，形如都可以
13.或
14.
15.解：连接，交于点，连接，．
由题意：，且，，为中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面．
因为平面，所以平面，
又平面，所以．
又，，平面，
所以平面．
所以为直线与平面所成的角．
在中，．

16.解：因为，所以，，即，
因为，则，即，故，
由余弦定理可得．
因为，则，
因为，可得，
因为，，故，，，
是上的点，且，则，，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
故．

17.解：由，，
令，得或，由于，则，
令，解得或，
所以的单调增区间为和．
当时，，且，
又，即在上单调递增，
所以的解集为．
设，，，且，，
曲线在点处切线斜率为，
两点连线斜率为
，
，
令，则，
令，，
则，令，
，即在上单调递减，
，即，
所以在上单调递减，故，
，又，即，
所以，即，
所以曲线在点处切线斜率小于两点连线斜率．

18.解：由题意，设抛物线的标准方程为，则，可得，
故抛物线的标准方程为．
若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
由题意可知，直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线、的方程得可得，所以，．
因此，点在定直线上
如下图所示：

易知点，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得可得，故点，则，
且，，
所以，
，
因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，．
因此，四边形面积的最小值为．

19.解：由定义可知，。
即，且，
所以解得满足方程的点坐标为：
固定点：设点，
因为，
因为或，或，
所以中有两项等于，两项等于，
所以满足条件的所有可能情况有，
因为两不同点所有可能情况共有种，
所以的概率．
设随机变量，其中
因为，
所以，
因为，
两边同时求导，得，
上式两边同乘，求导得
，
令，得，
所以，
因为，
所以单调递减，
因为，
所以．

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