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2025 届辽宁省辽阳市高三一模考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { 1,1,2}, = { 2,1,3}，则 ∪ =( )
A. {1} B. { 2, 1,1,3} C. { 2, 1,2,3} D. { 2, 1,1,2,3}
2.已知向量 = (5,1)， = ( , 9)， = (8,5).若 、 、 三点共线，则 =( )
5 5
A. B. 11 C. 11 D.
4 4
3.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 = 5， = 7， = 4，则 的面积为( )
A. 4√ 6 B. 2√ 6 C. 4 D. 8
4.已知(1 2 ) + (3 + 4 ) = 2 + 6 ，其中 , 为实数，则( )
A. = 1, = 1 B. = 1, = 1 C. = 1, = 1 D. = 1, = 1
5.如图，三棱柱 1 1 1的所有棱长都为2，且∠

1 = 60 ， 、 、 分别为 1 1、 1 1、 的中
点，则异面直线 和 所成角的余弦值为( )
√ 3 √ 3 √ 7 √ 21
A. B. C. D.
3 2 7 7
6.若 = 0.220, = 624, = 312，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.设抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 交于 、 两点，记点 到直线 的距离
为 ，且| | = .若点 的横坐标为2，则 =( )
2 4
A. B. 1 C. D. 2
3 3
8.已知球 的半径为 ，则在球 的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为( )
2√ 2 1 √ 3 2√ 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青
春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如
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图所示的折线统计图，则( )
A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差

10.已知函数 ( ) = 2( + ) + 1( > 0, > 0,0 < < )的最大值与最小值的差为2，其图象与 轴
2
的交点坐标为(0,2)，且图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，则( )
A. = 2

B. =
2

C. =
4
D. ( )的单调递增区间为[1 + 4 , 3 + 4 ], ∈
11.已知函数 ( )的定义域为 ，对任意 , ∈ ，均满足 ( ) ( + ) = ( 1) ( 1)，且 (0) = 2，
则( )
A. 函数 ( ) = ( )为偶函数 B. 8是 ( )的一个周期
C. ( )的图象关于点(2025,0)对称 D. ∑2025 =0 ( ) = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.若双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线上的点 ( √ 6, 3√ 2)关于另一条渐近线的对称点恰
为右焦点 ，则双曲线 的渐近线方程为 ，实轴长为 ．
13.某工人给排成一排的 块地砖上色，可用颜色为固定的第1号至第 号，共 种颜色，其中 ∈ ， ≥ 5.
上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第1号至第 号颜色(每种颜色至少使用一次， ∈
， ≤ )，则称此方案为一种 上色方案.当 = 4时，不同的3 上色方案共有 种.
14.在平面直角坐标系中，已知点 ( 5,0), (1,0)，动点 满足| | = 2| |，记 的轨迹为曲线 ，直线 : +
+ 2 1 = 0与 交于 , 两点，当| |取得最小值时， | |的值为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知等比数列{ }是递减数列，{ }的前 项和为 ，且 、2 2、8 3成等差数列，3 2 = 1 + 2 3，数列{
}
1
满足 +1 = 2 2 + 1， = 3， ∈

1
(1)求{ }和{ }的通项公式；
, 是奇数
(2)若 = {(6 +19) ，求数列{ }的前2 项和 2 ． , 是偶数
+2
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ , = = 2, 为 的中点， 1 = 1．
(1)证明： 1//平面 1 ．
(2)求直线 1 与平面 1 1 所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
+ln
已知函数 ( ) = ， ( ) = ( , ∈ )．

(1)求 ( )的单调区间；
(2)若 ( )的最大值为1，证明： ∈ ， ( ) ≤ ( )．
18.(本小题17分)
2025亚冬会于2025年2月7日至2月14日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一个抽题箱，
箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小球内只有一
1
道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为1分、2分、3分.已知1分题目小球被抽到的概率为 ，2分
2
1 1
题目小球被抽到的概率为 ，3分题目小球被抽到的概率为 ，且每次抽完会补充一个同分值小球到箱内．
3 6
2 1 1
(1)已知甲回答1分、2分、3分题目正确的概率分别为 、 、 ，求甲抽取3次，抽到2种不同分值的题目，且
3 2 3
累积得分不低于6分的概率；
(2)若甲抽取3次，记 表示甲3次抽取的题目分值之和，求 的分布列和数学期望．
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19.(本小题17分)
2 2 2 2
对于给定的椭圆 1: 2 + 2 = 1( > > 0)，与之对应的另一个椭圆 2: 2 + 2 = ( > 0且 ≠ 1)，则称 与 1
2 2 2 2
2互为共轭椭圆.已知椭圆 + = 1与椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)互为共轭椭圆， (2,0)是椭圆 的右顶16 12
点．
(1)求椭圆 的标准方程．
1
(2)不过点 的直线 : = + 与椭圆 交于 、 ，且直线 与直线 的斜率之积为 ．
4
①证明：直线 过定点．
②试问在 轴上是否存在点 ，使得直线 、 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请
说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 = ±√ 3 ； ； ； ； ；
；2√ 6
13.【答案】18
14.【答案】4√ 2
3 2 = 1 + 2 3 3 1 = 1 + 2
2
1
15.【答案】解：(1)设等比数列{ }的公比为 ，由题意可得{ 1 ，则{ 1 , 4 2 = + 8 3 4( 1 + 1 ) = + 8 1
2
1 1
1
因为数列{ }是等比数列，解得 = = ，所以， = 1
1
1 1 = ( ) ， 2 2
因为 +1 = 2 2 + 1，所以， +1 2( + 1) 1 = 2( 2 1)，
因为 1 = 3，则 1 2 × 1 1 = 0，所以， 2 1 = 0，故 = 2 + 1．
2 +1
(2)当 为奇数时， = ，令 = ∑

=1 2 2 1
，
3 7 11 4 1
则 = 1 + + + + ， 2 23 25 22 1
1 3 7 4 5 4 1
所以， = + 3 + + 2 1 +4 2 2 2 22 +1
，
1 1
(1 )
3 3 4 4 4 4 1 3 2 1 4 1
两个等式作差可得 = + + + + 4
4 2 23 25 22 1
= +
22 +1 2 1 22 +1
1
4
13 12 +13
= ，
6 6 4
26 12 +13
化简得 = 9 9 22 1
；
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6 +19 4(2 +5) (2 +1) 1 1
当 为偶数时， = = = 2 ， 2 (2 +1)(2 +5) 2 (2 +1)(2 +5) (2 +1) 2 (2 +5) 2
1 1 1 1 1 1
令 = ∑

=1 2 ，则 = + + + 5 20 9 22 9 22 13 24 (4 +1) 22 2 (4 +5) 22
1 1
=
5 (4 +5) 22
，
139 12 +13 1
故 2 = + = ． 45 9 22 1 (4 +5) 22
16.【答案】解：(1)连接 1， 1 ∩ 1 =
∵ 为 1中点， 为 的中点，
∴ // 1，
∵ 1 平面 1 ， 平面 1 ，
∴ 1//平面 1 ；
(2)以点 为坐标原点， , , 1所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 1(2,0,1), (2,0,0), 1(0,2,1), (0,0,0), (1,1,0)，
则 = ( 2,2,0), 1 1 1 = (2,0,1), 1 = (1, 1, 1)，
设平面 1 1 的法向量 = ( , , )，
= 2 + 2 = 0
则{ 1 1 ，取 = 1，则 = (1,1, 2)，
1 = 2 + = 0
设 1 与平面 1 1 所成角为 ，
则 1 与平面 1 1 所成角的正弦值为：
| | 2 √ 2
sin = 1 = = ．
| 1 | | | √ 6×√ 3 3
+ln 1 ln
17.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = 的定义域为(0,+∞)，且 ′( ) = ，
2
由 ′( ) > 0可得0 < < 1 ，由 ′( ) < 0可得 > 1 ，
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所以，函数 ( )的增区间为(0, 1 )，减区间为( 1 , +∞)．
1
(2)由(1)知， ( )max = (
1 ) = 1 = 1，解得 = 1，
1+ln
要证 ( ) ≤ ( )，即证 ≤ ，即证 ln 1 = +ln ( + ln ) 1 ≥ 0，

令 ( ) = 1，其中 ∈ ，则 ′( ) = 1，
由 ′( ) < 0可得 < 0，由 ′( ) > 0可得 > 0，
所以，函数 ( )的减区间为( ∞, 0)，增区间为(0,+∞)，
所以， ( ) ≥ (0) = 0，即 ≥ + 1，
所以， ∈ ， +ln ≥ + ln + 1，即 ( ) ≤ ( )．
18【. 答案】解：(1)若甲3次答题累积得分不低于6分，则甲抽取的3个题目的分值可以是(2,2,3)、(1,3,3)、(2,3,3)，
1 2 1 1
当甲抽取的3个题目的分值是(2,2,3)时，概率为( ) × × 3 = ，
3 6 18
1 1 2 1 1
要使得累积得分不低于6分，则3个题要全答对，所以，概率为 × ( ) × = ；
18 2 3 216
1 2 1 1
当甲抽取的3个题目的分值是(1,3,3)时，概率为( ) × × 3 = ，
6 2 24
1 1 2 1
要使得累积得分不低于6分，则2个3分题要答对，概率为 × ( ) = ；
24 3 216
1 2 1 1
当甲抽取的3个题目的分值是(2,3,3)时，概率为( ) × × 3 = ，
6 3 36
1 1 2 1
要使得累积得分不低于6分，则2个3分题要答对，概率为 × ( ) = ．
36 3 324
1 1 1
故甲3次答题累积得分不低于6分的概率为 + 2 × = ．
324 216 81
(2) 的所有可能取值为：3、4、5、6、7、8、9，
1 3 1 1 2 1 1
( = 3) = ( ) = ， ( = 4) = ( ) × × 3 = ，
2 8 2 3 4
1 2 1 1 2 1 7
( = 5) = ( ) × × 3 + ( ) × × 3 = ，
2 6 3 2 24
1 3 1 1 1 11 1 2 1 1 2 1 7
( = 6) = ( ) + × × × 6 = ， ( = 7) = ( ) × + ( ) × × 3 = ，
3 2 3 6 54 3 6 6 2 72
1 2 1 1 1 3 1
( = 8) = ( ) × × 3 = ， ( = 9) = ( ) = ，
6 3 36 6 216
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
3 4 5 6 7 8 9
11 7 11 7 1 1

8424547236216
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1 1 7 11 7 1 1
所以， ( ) = 3 × + 4 × + 5 × + 6 × + 7 × + 8 × + 9 × = 5．
8 4 24 54 72 36 216
√ 16 12
=
19.【答案】解：(1)由题意可得{ 4 ，解得 = 2， = 3，
= 2 √
2 = 2 2
2 2
故椭圆 的标准方程为 + = 1．
4 3
(2)①设 ( 1, 1)、 ( 2, 2)，
= +
联立{ 2 2 可得(3
2 + 4) 2 + 6 + 3 2 12 = 0，
3 + 4 = 12
则 = 36 2 2 4(3 2 + 4)(3 2 12) > 0，可得 2 < 3 2 + 4，
6 3 2 12
由韦达定理可得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 3 +4 3 +4

因为 = 1 2 ， = ， 1 2 2 2
1 2 所以， = =
1 2
( 1 2)( 2 2) ( 1+ 2)( 2+ 2)
3 2 12
1 = 2 3
2
= +4
1
2 = ， 1 2+ ( 2)( 1+ 2)+( 2)2 2(3
2 12) 6 2 ( 2) 4
( )2
3 2
+ 2
+4
3 2 12 1
整理可得 2
4( 2)2
= ，即 2 = 0，解得 = 1或 = 2，
4
若 = 2，则直线 的方程为 = + 2，此时，直线 过点 ，不合乎题意，
所以， = 1，所以，直线 的方程为 = 1，则直线 过定点( 1,0)；
6 9
②由①可知， 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 3 +4 3 +4

设点 ( , 0)，则 1 2 = ， = ， 1 2

所以，
1 2 1 2
= = ( 1 )( 2 ) ( 1 1)( 2 1)
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9
1 2 2= = 3 + 4
2 1 2 ( + 1)( 1 + 2) + ( + 1)
2 9 2 6 2( + 1) 2
3 2
+ ( + 1)
+ 4
9 9
= = ，
12 2+3 2 2+4 2+8 +4 3 2( 2 4)+4( +1)2
要使得直线 、 的斜率之积为定值，只需 2 4 = 0，解得 = ±2，
9 9 1
当 = 2时， = = = ； 3 2( 2 4)+4( +1)2 36 4
9 9
当 = 2时， = 2 = ． 3 ( 2 4)+4( +1)2 4
故在 轴上存在点 ，使得直线 、 的斜率之积为定值，
1
当点 的坐标为(2,0)时，直线 、 的斜率之积为定值 ；
4
9
当点 的坐标为( 2,0)时，直线线 、 的斜率之积为定值 ．
4
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