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2025年湖南省长沙市岳麓实验学校高考一模
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.终边上一点坐标为,则( )
A. B. C. D.
3.已知函数,若在上单调递增,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.若复数,则的虚部为( )
A. B. C. D.
5.若直线:与圆:交于,两点,则的取值不可能为( )
A. B. C. D.
6.已知为函数的零点,则( )
A. B. C. D.
7.红海行动是一部现代化海军题材影片,该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务必须排在前三位,且任务、必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.在不断发展的过程中,我国在兼顾创新创造的同时,也在强调已有资源的重复利用,废弃资源的合理使用,如土地资源的再利用是其中的重要一环为了积极响应国家号召,某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园,并拟计划修建主干路与为更好的规划建设,利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探,在勘探简化图中,,,平分,,则( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知是圆:上的动点,直线:与:交于点,则
( )
A. B. 直线与圆相切
C. 直线与圆截得弦长为 D. 的值为
10.如图,正方体中,为棱的中点,为平面上的动点,设直线与底面所成的角为,直线与底面所成的角为,平面与底面的夹角为,平面与底面的夹角为,则( )
A. 若,则点在圆上 B. 若,则点在双曲线上
C. 若,则点在抛物线上 D. 若,则点在直线上
11.已知正方形在平面直角坐标系中,且:,则直线的方程可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知数列的前项和为,且,若,则的最小值为______.
13.函数是定义在上的偶函数,且,若,,则 ______.
14.如图,现有两排座位,第一排个座位,第二排个座位,将人含甲、乙、丙随机安排在这两排座位上,则甲、乙、丙人的座位互不相邻相邻包括左右相邻和前后相邻的概率为______.
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、,且满足.
求角的大小;
若,的角平分线与边相交于点,且,求的面积.
16.本小题分
在前项和为的等比数列中,,,.
求数列的通项公式;
令,求数列的前项和.
17.本小题分
已知函数.
讨论的单调性;
若有两个零点,求的取值范围.
18.本小题分
如图,在四棱锥中,,,,,平面.
求证:平面;
求的长;
若,求直线与平面所成角的正弦值.
19.本小题分
某市统计了年月的空气质量指数,将其分为,,,的组,画出频率分布直方图如图所示若,称当天空气质量达标;若,称当天空气质量不达标求;
从月的天中任取天,求至少有天空气质量达标的概率;
若年月的天中有天空气质量达标,请完成下面列联表,根据小概率值的独立性检验,能否认为空气质量是否达标与月份有关联?
月份 空气质量 合计
达标 不达标
月
月
合计
附:,
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解:由正弦定理可得,
,
整理得:,
,
由于,
所以;
的角平分线与边相交于点,
,
,
在中,由余弦定理可得,
,解得或舍去.
的面积.
16.解:设等比数列的公比为,
由,得,即,解得或,
当时,由,得,解得,此时,故舍去,
当时,由,解得,
所以;
由可知,
所以,
则,
两式相减得,
所以.
17.解:由于,
故,
,.
当时,,从而恒成立,在上单调递减;
当时,令:,从而,得.
一
单调递减 极小值 单调递增
综上,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增;
由知,当时,在上单调递减,在上至多一个零点,不满足条件,
当时,,令,
则.
在上单调递增,
而,故当时,;当时,;当时,.
若,则,故恒成立,无零点;
若,则,
故仅有一个实根,无两个零点,不满足条件;
(ⅲ)若,则,注意到,,
故在上有一个实根,
而又,
且,
令,则,
在单调递减,在单调递增,,
故,又,
,,即,
故在上有一个实根.
又在上单调递减,在上单调递增,故在上至多两个实根,
又在及上均至少有一个实根.故在上恰有两个实根.
综上,时,在上恰有两个实根,
即的取值范围为.
18.解:证明:由平面,平面,
所以,又,且,
所以平面,
取中点,连,,由,且,
所以四边形为平行四边形,所以,
由平面,得,所以,
又,所以,又,所以平面,
由平面,所以,
由平面,得,所以,
又,所以;
以为坐标原点,,为,轴的正方向,以过且与平面垂直向上为轴的正方向建立空间直角坐标系,
由,得为正三角形,所以,
又,,,所以,,
设平面的法向量,则,即,
取,得到平面的一个法向量.
又,设直线与平面所成角的大小为,
则,,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.解:根据题意可得,解得;
由频率分布直方图知:
月份的空气质量达标的天数为:,
所以月份的空气质量不达标的天数为:,
所以从月的天中任取天,至少有天空气质量达标的概率为;
列联表如下:
月份 空气质量 合计
达标 不达标
月
月
合计
假设:空气质量是否达标与月份无关,
则,
所以根据小概率值,没有充分理由推断不成立,
所以不能认为空气质量是否达标与月份有关联.
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