资源简介

2025年湖南省长沙市岳麓实验学校高考一模
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.终边上一点坐标为，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
5.若直线：与圆：交于，两点，则的取值不可能为( )
A. B. C. D.
6.已知为函数的零点，则( )
A. B. C. D.
7.红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，，，平分，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是圆：上的动点，直线：与：交于点，则
( )
A. B. 直线与圆相切
C. 直线与圆截得弦长为 D. 的值为
10.如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则( )
A. 若，则点在圆上 B. 若，则点在双曲线上
C. 若，则点在抛物线上 D. 若，则点在直线上
11.已知正方形在平面直角坐标系中，且：，则直线的方程可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，且，若，则的最小值为______．
13.函数是定义在上的偶函数，且，若，，则 ______．
14.如图，现有两排座位，第一排个座位，第二排个座位，将人含甲、乙、丙随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙人的座位互不相邻相邻包括左右相邻和前后相邻的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、，且满足．
求角的大小；
若，的角平分线与边相交于点，且，求的面积．
16.本小题分
在前项和为的等比数列中，，，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，平面．
求证：平面；
求的长；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
某市统计了年月的空气质量指数，将其分为，，，的组，画出频率分布直方图如图所示若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标求；
从月的天中任取天，求至少有天空气质量达标的概率；
若年月的天中有天空气质量达标，请完成下面列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？
月份 空气质量 合计
达标 不达标
月
月
合计
附：，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理可得，
，
整理得：，
，
由于，
所以；
的角平分线与边相交于点，
，
，
在中，由余弦定理可得，
，解得或舍去．
的面积．
16.解：设等比数列的公比为，
由，得，即，解得或，
当时，由，得，解得，此时，故舍去，
当时，由，解得，
所以；
由可知，
所以，
则，
两式相减得，
所以．
17.解：由于，
故，
，．
当时，，从而恒成立，在上单调递减；
当时，令：，从而，得．
一
单调递减 极小值 单调递增
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由知，当时，在上单调递减，在上至多一个零点，不满足条件，
当时，，令，
则．
在上单调递增，
而，故当时，；当时，；当时，．
若，则，故恒成立，无零点；
若，则，
故仅有一个实根，无两个零点，不满足条件；
(ⅲ)若，则，注意到，，
故在上有一个实根，
而又，
且，
令，则，
在单调递减，在单调递增，，
故，又，
，，即，
故在上有一个实根．
又在上单调递减，在上单调递增，故在上至多两个实根，
又在及上均至少有一个实根．故在上恰有两个实根．
综上，时，在上恰有两个实根，
即的取值范围为．
18.解：证明：由平面，平面，
所以，又，且，
所以平面，
取中点，连，，由，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
由平面，得，所以，
又，所以，又，所以平面，
由平面，所以，
由平面，得，所以，
又，所以；
以为坐标原点，，为，轴的正方向，以过且与平面垂直向上为轴的正方向建立空间直角坐标系，
由，得为正三角形，所以，
又，，，所以，，
设平面的法向量，则，即，
取，得到平面的一个法向量．
又，设直线与平面所成角的大小为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：根据题意可得，解得；
由频率分布直方图知：
月份的空气质量达标的天数为：，
所以月份的空气质量不达标的天数为：，
所以从月的天中任取天，至少有天空气质量达标的概率为；
列联表如下：
月份 空气质量 合计
达标 不达标
月
月
合计
假设：空气质量是否达标与月份无关，
则，
所以根据小概率值，没有充分理由推断不成立，
所以不能认为空气质量是否达标与月份有关联．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑