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2025 届河南省名校学术联盟高三下学期模拟冲刺（六）数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 3 1 + ( 2) ( ∈ )，若 为实数，则| | =( )
A. 2 B. 5 C. 3 D. 1
2.设集合 = { | 2 ≥ 9}， = { |2 < }，若 ，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 6] B. ( ∞, 2] C. [3,+∞) D. [6,+∞)

3.函数 ( ) = cos ( + ) sin 的最小正周期是( )
4

A. B. C. D. 2
4 2
4.过原点且与曲线 = sin 相切的直线有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
lg( 2 + 9), 0 < ≤ 1
5.已知函数 ( ) = { 在定义域内单调递增，则 的取值范围为( )
2 + 3 + 2,1 < < 2
5 3
A. [ 4,+∞) B. [2,+∞) C. [ , 2) D. [ , +∞)
4 4
6.设抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点， ⊥ ，| | = 2| |，则 的斜率
是( )
A. ±1 B. ±√ 2 C. ±√ 3 D. ±2
7.已知某圆锥的轴截面是顶角为 的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则当 的值最大时，
=( )
A. 1 B. 2 C. √ 2 1 D. 2√ 2 1

8.已知 ， ∈ [ , )，则( 2 + 2cos )(1 + cos ) + 2sin sin 的最大值为( )
3
√ 2 √ 3
A. 1 B. 2 C. D.
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.已知椭圆 : + = 1，则( )
14+ 8
A. 的取值范围为( 14,8) B. 若 的焦点在 轴上，则 > 2
3 √ 10
C. 若 = ，则 的焦距为6 D. 若 = 2，则 的离心率为
2 4
10.已知任何大于1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次序，则这种分解
式是唯一的．例如24 = 3 × 23，其中素数2和3称为24的素因数，且24的不同正因数个数为(1 + 1) × (3 +
1) = 8.完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和
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恰好等于它本身，例如6 = 2 × 3 = 1 × 6，可知6的所有真因子为1，2，3，且1 + 2 + 3 = 6，则6为完全数，
则( )
A. 97200的素因数为2，3，5
B. 97200不同的正因数有96个
C. 在小于30的非负偶数中有3个完全数
9
D. 在小于30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为
35
11.已知在平面直角坐标系中， 为坐标原点， (0, )， > 0，且| | = ，| | = 2 ， = .记 ,
的轨迹分别为 1， 2，且 1与 2所封闭的面积分别为 1, 2，则( )
1+ln2
A. 2为圆 B. | |最大值的最小值为 2
4 27 2
C. 1 ≥ D. 的最大值为 1 2 1 2 2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( , 3)， = (2 , + 5)，且 ⊥ ( + )，则正数 = ．

13.记 为正项数列{ }的前 项和， = 2 ，{

3 2 }为等比数列，则
4 = ．
1
14.已知事件 ， 满足0 < ( ) < 1，0 < ( ) < 1， ( ) ( ) = 2 ( )，则 ( | ) ( | )的取值
范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，且 2 + 2 2 = 2 sin ．
(1)求 ；
(2)若 = 2，求 面积的最大值．
16.(本小题15分)
氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的化合物，有多种不同的形式．下图为我
国2014年至2022年氮氧化物排放量(单位：万吨)的折线图，其中，年份代码1～9分别对应年份2014～2022．
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计算得∑9 = 12200， ∑ 9 = 1 ( )2 =1 √ = 1125，∑
9
=1 = 52640．
(1)是否可用线性回归模型拟合 与 的关系？请用折线图和相关系数加以说明；
(2)是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量？请说明理由．
∑ =1( )(

)
附：相关系数 = 2 ，√ 15 ≈ 3.87． 2
∑ =1( ) ∑ =1( )

17.(本小题15分)
如图，四棱锥 中， 是正三角形，底面 是矩形，平面 ⊥底面 ， ， 分别为
棱 ， 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若二面角 为120 ，求直线 与底面 所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
2 2
(1)证明：双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)上任意一点 ( 0,
0 0
0)处的切线方程为 2 2 = 1；
(2)已知直线 1: = ， 2: = ，直线 3分别交 1和 2于点 和 ，点 和 在 轴同侧，且 的面积为1(
为坐标原点)， 恒与一焦点在 轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程；
(3)在(2)的条件下，记(2)中的等轴双曲线为 ， 与 相切于点 且 不在坐标轴上，过点 作直线 的垂
线分别交 轴和 轴于点 和 ，证明： ， ， ， 四点共圆，且该圆过定点．
19.(本小题17分)
对于各项均为正整数的数列{ }，如果 1， 2给定，且对于任意 ≥ 3都有 = 1 + 2，我们就称{ }
为一个 数列．
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(1)若数列{ }是 数列，且 1 = 1， 2 = 3，直接写出 3， 4， 5的值；
(2)若数列{ }为 数列，且 1 = 1， 2 = 2，则 ∈
，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正
整数 1， 2, ， ，使得 = + + + ，证明： ∈
， 的表示具有唯一性；
1 2
(3)能否将正整数集 拆成若干个集合 1， 2， ， (可以是无穷个集合)，使得 1 ≤ < ，都有 ∩ = ，
这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是 数列？
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】20
3
14.【答案】(0, ]
4
15.【答案】(1)解：因为 2 + 2 2 = 2 sin ，
2
+ 2 2 2 sin sin
由余弦定理可得cos = = = ，
2 2
sin
由正弦定理可得 = ，所以sin = = cos ，
sin sin

又因为 ∈ (0, )，所以 = ．
4

(2)解：因为 = 2且 = ，由余弦定理得 2 + 2 2 = 2 cos ，即 2 + 2 4 = √ 2
4
又因为 2 + 2 4 = √ 2 ≥ 2 4，当且仅当 = 时，等号成立，
即2 4 ≤ √ 2 ，解得 ≤ 4 + 2√ 2，
1 √ 2
所以 的面积 = sin = ≤ 1 + √ 2，
2 4
即 面积的最大值为1 + √ 2．
16.【答案】(1)从折线图看，各点近似落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合 与 的关系．
因为∑9 =1(
2 9
) = ∑ =1( 5)
2 = 60，所以该组数据的相关系数
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∑ 9 =1( )( ) ∑
9 =1 9
52640 5×12200 = = = ≈ 0.96．
2 2 2√ 15×√ ∑ 9
2
=1( ) 2√ 15×1125
√ ∑ 9 =1( ) ∑ 9 =1( )

| | > 0.95，因而可以用线性回归模型拟合 与 的关系．
(2)可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，但不可以预测2033年的氮氧化物排放量，理由如下：
①2023年与题设数据的年份较接近，因而可以认为，短期内氮氧化物的排放量将延续(1)中的线性趋势，故
可以用(1)中的回归模型进行预测；
②2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持，
但从长期角度看很有可能会变化，因而用(1)中的回归模型预测是不准确的．
17.【答案】(1)取 的中点 ，连接 , ，又 ， 分别为棱 ， 的中点，
1
所以 // 且 = ，
2
1 1
又底面 是矩形，即 = = 且 // ，
2 2
所以 // 且 = ，即 为平行四边形，故 // ，
由 平面 ， 平面 ，故 //平面 ；
(2)记 为 的中点，作 // ，因为 是正三角形，所以 ⊥ ，
面 ⊥面 ，面 ∩面 = ， 面 ，
所以 ⊥面 ，则∠ 为直线 与底面 所成角，
易知 ⊥面 ， 面 ，则 ⊥ ，
所以可构建如图示的空间直角坐标系 ，设 = 2， = > 0，
1 √ 3
则 (0,0,√ 3)， ( 1,0,0)， (1, , 0)， ( , , )， ( 1, , 0)，
2 2 2 2
3 √ 3 所以 = (2, , 0)， = ( , 0, )， = (2, , 0)，
2 2 2 2
若 = ( , , ), = ( , , )分别为面 、面 的一个法向量，则
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= 2 + = 0
2 4
{ ，取 = 1，则 = (1, , √ 3)，
3 √ 3
= = 0
2 2

= 2 = 0
2 4
{ ，取 = 1，则 = (1, , √ 3)，
3 √ 3 = = 0
2 2
16
4
2 1 2
由二面角 为120 ，则|cos , |=| |=| 16| = ，所以 = 2√ 3或 = ， | || | 4+ 2 √ 32

2 1 2
当 = 时， = = = = ，
√ 3 2 √ 3
13
所以 为等边三角形，且 = = √ ， = = √ 3，
3
所以 2 + 2 = 2 = 2 = 2 + 2，即 ⊥ ， ⊥ ，
2
所以二面角 为60 ，故 = 不合题设，即 = 2√ 3(经验证满足题设)，
√ 3
√ 3 √ 3
故sin∠ = = = ．
2 4√ 4+
2 2
18【. 答案】(1)若切线的斜率存在，即切点不为双曲线的顶点，令方程为 0 = ( 0)，联立 2 2 = 1，
所以 2 2 2[ ( ) + ]2 = 2 2，则( 2 2 2) 2 2 2 ( ) 2 2 2 20 0 0 0 0 + 2 0 0
2 20
2 2 = 0，
所以 = 4 4 2( )2 20 0 + 4(
2 2)( 2 2 20 2
2 0 +
2 2 + 2 20 0 ) = 0，
整理得 2( 2 20 )
2 2 2 0 0 +
2 2 40 + = 0，
因为点 ( 0, 0)在双曲线上，所以
2 20
2 2 = 20
2，
所以 = 4 4 2 2 4 2( 2 2)( 2 2

1 0 0 0 0 +
4) = 4 4( 2 2 2 2 2 20 0 + ) = 0，则 =
0 0
2 ， 20

所以 0 =
0 0
2 ( )，则(
2 2)( ) = ( )，
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2
由 2 2 = 00 2 ，则
2 0( 0) =
2 ( )，即 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 = 0 0 = ，


所以 0 0

2 2 = 1，显然切线的斜率不存在时，即切线过双曲线顶点也满足，得证；
(2)由题意，设 2 2 = ( > 0)，其焦点坐标为(±√ 2 , 0)，
设 与双曲线的切点为 ( 0, 0)，则切线方程为 0 0 = ，
0 0 =
联立{ = ，可得 = = ，即 ( , )，同理 ( , )， 0 0 0 0 0 0 0+ 0 0+ 0
2
所以| | = √ 2 | |，| | = √ 2 | |，则 = | | = | + 2 2 | = 1， 0 0 0 0 0 0 0+ 0 0 0
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而 20
2
0 = ，故 = 1，即所求等轴双曲线的方程
2 2 = 1；
(3)由(2)双曲线为 2 2 = 1，若 ( 0, 0)，则 : 0 0 = 1，

所以过点 作直线 的垂线为 0 =
0 ( 0)，即 0 + 0 = 2 0 0， 0
令 = 0，则 = 2 0，即 (2 0, 0)，令 = 0，则 = 2 0，即 (0,2 0)，
0 0 = 1 1 1 1 1联立{ ，可得 ( , )，同理 ( , )，
= 0 0 0 0 0+ 0 0+ 0
综上， 、 的中点坐标均为( 0, 0)，即是 点，所以 , , , 四点共圆，
易知圆的方程为( 0)
2 + ( )20 =
2
0 +
2
0，显然原点(0,0)恒在圆上，得证．
19.【答案】(1) 3 = 2 + 1 = 3 + 1 = 4， 4 = 3 + 2 = 4 + 3 = 7, 5 = 4 + 3 = 7 + 4 = 11．
(2)采用数学归纳法证明，
当 = 1时， = 1，显然存在，
假设当 ≤ ( ∈ )时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数 1, 2, , ，使得 = + 1 +2
+ ，
当 = + 1时，设 是满足 ≤ + 1的最大正整数，则 + 1 = + ( + 1 )，
因为 + 1 < (若 + 1 ≥ ，则与 是满足 ≤ + 1的最大正整数矛盾)，
且由归纳假设 + 1 可以表示成的 + + + 形式， 1 2
其中 1, 2, , 互不相邻且与 也不相邻(因为 , , , < )， 1 2
所以 + 1也可以表示成若干个互不相邻互不相同的 的和；
再证明唯一性：假设 = + + + = + + + ， 1 2 1 2
不妨设 < < < , < < < ， 1 2 1 2
设 = max{ 1, 2, . . . , , 1, 2, . . . , }，
根据 数列的增长性质，得 单调递增且增长速度由递推关系决定，
从最大项开始分析，若 ≠ ，不妨设 > ，则 > ∑

= 1 ，
因为 的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以 = ，
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去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得 = 且 1 = 1, 2 = 2, , = ；
(3)首先构造集合 1，设 1是以1，2为首项的 数列构成的集合，
根据 数列的递推公式 = 1 + 2( ≥ 3)，
则 1 = 1, 2 = 2， 3 = 2 + 1 = 2 + 1 = 3， 4 = 3 + 2 = 3 + 2 = 5，
5 = 4 + 3 = 5 + 3 = 8， 6 = 5 + 4 = 8 + 5 = 13, 7 = 6 + 5 = 13 + 8 = 21，
以此类推可得 1 = {1,2,3,5,8,13,21, }，
然后构造集合 2，为了保证 1 ∩ 2 = ，从正整数集中去掉 1的元素后，取最小的正整数4作为 2的首项，
再取一个不同于 1中元素的数作为第二项，不妨取6，则 1 = 4, 2 = 6, 3 = 2 + 1 = 6 + 4 = 10， 4 = 3 +
2 = 10 + 6 = 16， 5 = 4 + 3 = 16 + 10 = 26， 6 = 5 + 4 = 26 + 16 = 42，依此类推，
则 2是以4为首项的 数列构成的集合，即 2 = {4,6,10,16,26,42, }，
再构造集合 3，在正整数集中去掉 1 ∪ 2的元素，此时最小的正整数为7，取7作为 3的首项，再取一个合
适的数如9作为第二项，则 1 = 7, 2 = 9， 3 = 2 + 1 = 9 + 7 = 16， 4 = 3 + 2 = 16 + 9 = 25， 5 = 4 +
3 = 25 + 16 = 41， 5 + 4 = 41 + 25 = 66，
那么 3是以7为首项的 数列构成的集合，即 3 = {7,9,16,25,41,66, }，
按照上述方法，不断地在正整数集中去掉前面以构造集合的元素，然后取剩余最小正整数作新集合的首项，
再选取一个合适的数作为第二项，依据 数列的递推公式生成新的集合，由于每次构造新集合时，都是从
前面集合未包含的正整数中选取元素，所以对于任意1 ≤ < 都有 ∩ = ，
因为是按照正整数从小到大的顺序，依次将正整数分配到不同的集合中，所以∪ ∞ = 1 =
，在构造每
个集合时，都是根据 数列的递推公式 = 1 + 2( ≥ 3)来生成集合内的元素，所以每个集合的数
从小到大排列之后都是 数列，
综上，能将正整数集 拆成若干个集合 1, 2, , (可以是无穷个集合)，使得对于任意1 ≤ < ，都有 ∩
= ，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是 数列．
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