资源简介

1．[2024春·菏泽期末]下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的
是( )
A．－x2－1 B．－x2＋1
C．x2＋x D．x2＋2x＋1
2．[2023春·泰安期中]下列多项式不能进行因式分解的是( )
A．－x2＋y2 B．－y2－2xy－x2
C．x2－2xy＋y2 D．－x2－y2
3．[2024春·温州期中]若是方程组的解，则a2－b2的值
为( )
A．－ B. C．－16 D．16
4．[2024春·青岛期末]下列因式分解正确的是( )
A．－a2b＋ab2＝－ab(a－b)
B．x2－6x＋9＝(x＋3)2
C．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
D．a2(a－b)2－b2(b－a)2＝(a－b)2(a2＋b2)
5．[2024·广西]如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为( )
A．0 B．1 C．4 D．9
6．[2024春·石景山区期末]把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
7．将下列多项式分解因式，结果中不含因式(x－1)的是( )
A．x2－1 B．x2－2x＋2
C．2x－2 D．x2－x
8．(多选)[2023春·肥城期中]下列分解因式正确的是( )
A．a3－a＝a(a2－1)
B．x2＋＋2＝(x＋)2
C．－x2＋4xy－4y2＝－(x－2y)2
D．x3＋4x2y＋4xy2＝x(x＋2y)2
9．在多项式①－m2＋9 ②－m2－9 ③2ab－a2－b2 ④a2－b2＋2ab ⑤(a＋b)2－10(a＋b)＋25中，能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 ．(填序号)
10．[2024·威海]因式分解：(x＋2)(x＋4)＋1＝ ．
11．[2024·北京]分解因式：x3－25x＝ ．
12．[2024春·威海期中]已知4x2－9y2＝10，4x＋6y＝4，则2x－3y的值为 ．
13．[2024·沂源县一模]分解因式：－a2＋2a＋8＝ ．
14．[2024·烟台一模]因式分解：9x2－y2－4y－4＝ ．
15．[2024春·聊城期末]把下列各式进行因式分解：
(1)－3a2＋6ab－3b2；
(2)x2(x－3)＋4(3－x)；
(3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2；
(4)(3x－2)2－(2x＋7)2；
(5)4x2(a－b)＋9(b－a)；
(6)(3a－b)2－4(3a－b)＋4.
16．[2024·宁波模拟]用两种不同的方法计算(a＋2)2－a(a＋2)．
(方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都要做)
17．[2024春·沧州期末]阅读材料，并解决问题：分解因式：(a＋b)2＋2(a＋b)＋1.
解：设a＋b＝t，则原式＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＝(a＋b＋1)2；这样的解题方法叫作“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用其他字母将其替换，从而简化这个多项式．
换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
下面是李想同学应用换元法对多项式(a2－4a)(a2－4a＋8)＋16进行因式分解的过程：
解：设a2－4a＝b，
(a2－4a)(a2－4a＋8)＋16
＝b(b＋8)＋16(第一步)
＝b2＋8b＋16(第二步)
＝(b＋4)2(第三步)
＝(a2－4a＋4)2.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了 ；
A．提公因式法 B．平方差公式
C．完全平方公式
(2)张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第 步，正确的结果： ；
(3)请你尝试对多项式(x2－2x－1)(x2－2x＋3)＋4进行因式分解．
18．[2024春·烟台期中]阅读材料：
把代数式x2－6x－7因式分解，可以按如下分解：
x2－6x－7
＝x2－6x＋9－9－7
＝(x－3)2－16
＝(x－3＋4)(x－3－4)
＝(x＋1)(x－7)．
(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2－8x＋7因式分解；
(2)拓展：求当等于多少时，代数式x2＋4xy－5y2＝0.1．[2024春·菏泽期末]下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的
是( B )
A．－x2－1 B．－x2＋1
C．x2＋x D．x2＋2x＋1
2．[2023春·泰安期中]下列多项式不能进行因式分解的是( D )
A．－x2＋y2 B．－y2－2xy－x2
C．x2－2xy＋y2 D．－x2－y2
3．[2024春·温州期中]若是方程组的解，则a2－b2的值
为( D )
A．－ B. C．－16 D．16
4．[2024春·青岛期末]下列因式分解正确的是( A )
A．－a2b＋ab2＝－ab(a－b)
B．x2－6x＋9＝(x＋3)2
C．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
D．a2(a－b)2－b2(b－a)2＝(a－b)2(a2＋b2)
5．[2024·广西]如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为( D )
A．0 B．1 C．4 D．9
6．[2024春·石景山区期末]把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( C )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
7．将下列多项式分解因式，结果中不含因式(x－1)的是( B )
A．x2－1 B．x2－2x＋2
C．2x－2 D．x2－x
8．(多选)[2023春·肥城期中]下列分解因式正确的是( CD )
A．a3－a＝a(a2－1)
B．x2＋＋2＝(x＋)2
C．－x2＋4xy－4y2＝－(x－2y)2
D．x3＋4x2y＋4xy2＝x(x＋2y)2
9．在多项式①－m2＋9 ②－m2－9 ③2ab－a2－b2 ④a2－b2＋2ab ⑤(a＋b)2－10(a＋b)＋25中，能用平方差公式因式分解的有①；能用完全平方公式因式分解的有③⑤．(填序号)
10．[2024·威海]因式分解：(x＋2)(x＋4)＋1＝(x＋3)2．
11．[2024·北京]分解因式：x3－25x＝x(x＋5)(x－5)．
12．[2024春·威海期中]已知4x2－9y2＝10，4x＋6y＝4，则2x－3y的值为5．
13．[2024·沂源县一模]分解因式：－a2＋2a＋8＝－(a＋2)(a－4)．
14．[2024·烟台一模]因式分解：9x2－y2－4y－4＝(3x＋y＋2)(3x－y－2)．
15．[2024春·聊城期末]把下列各式进行因式分解：
(1)－3a2＋6ab－3b2；
(2)x2(x－3)＋4(3－x)；
(3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2；
(4)(3x－2)2－(2x＋7)2；
(5)4x2(a－b)＋9(b－a)；
(6)(3a－b)2－4(3a－b)＋4.
解：(1)－3a2＋6ab－3b2
＝－3(a2－2ab＋b2)
＝－3(a－b)2；
(2)x2(x－3)＋4(3－x)
＝(x－3)(x2－4)
＝(x－3)(x＋2)(x－2)；
(3)4＋12(x－y)＋9(x－y)2
＝2
＝(3x－3y＋2)2；
(4)(3x－2)2－(2x＋7)2
＝(3x－2＋2x＋7)(3x－2－2x－7)
＝(5x＋5)(x－9)
＝5(x＋1)(x－9)；
(5)4x2(a－b)＋9(b－a)
＝4x2(a－b)－9(a－b)
＝(4x2－9)(a－b)
＝(2x＋3)(2x－3)(a－b)；
(6)(3a－b)2－4(3a－b)＋4
＝[(3a－b)－2]2
＝(3a－b－2)2.
16．[2024·宁波模拟]用两种不同的方法计算(a＋2)2－a(a＋2)．
(方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都要做)
解：方法一：
(a＋2)2－a(a＋2)
＝a2＋4a＋4－a2－2a
＝2a＋4；
方法二：
(a＋2)2－a(a＋2)
＝(a＋2)(a＋2－a)
＝2a＋4.
17．[2024春·沧州期末]阅读材料，并解决问题：分解因式：(a＋b)2＋2(a＋b)＋1.
解：设a＋b＝t，则原式＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＝(a＋b＋1)2；这样的解题方法叫作“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用其他字母将其替换，从而简化这个多项式．
换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
下面是李想同学应用换元法对多项式(a2－4a)(a2－4a＋8)＋16进行因式分解的过程：
解：设a2－4a＝b，
(a2－4a)(a2－4a＋8)＋16
＝b(b＋8)＋16(第一步)
＝b2＋8b＋16(第二步)
＝(b＋4)2(第三步)
＝(a2－4a＋4)2.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了 ；
A．提公因式法 B．平方差公式
C．完全平方公式
(2)张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第 步，正确的结果： ；
(3)请你尝试对多项式(x2－2x－1)(x2－2x＋3)＋4进行因式分解．
解：(1)C；
(2)错误的是第四步，正确的结果：
(a2－4a＋4)2＝2＝(a－2)4.
故答案为：四；(a－2)4；
(3)设x2－2x＝y，
所以(x2－2x－1)(x2－2x＋3)＋4
＝(y－1)(y＋3)＋4
＝y2＋2y－3＋4
＝y2＋2y＋1
＝(y＋1)2
＝(x2－2x＋1)2
＝(x－1)4.
18．[2024春·烟台期中]阅读材料：
把代数式x2－6x－7因式分解，可以按如下分解：
x2－6x－7
＝x2－6x＋9－9－7
＝(x－3)2－16
＝(x－3＋4)(x－3－4)
＝(x＋1)(x－7)．
(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2－8x＋7因式分解；
(2)拓展：求当等于多少时，代数式x2＋4xy－5y2＝0.
解：(1)x2－8x＋7
＝x2－8x＋16－16＋7
＝(x－4)2－9
＝(x－4＋3)(x－4－3)
＝(x－1)(x－7)；
(2)x2＋4xy－5y2
＝x2＋4xy＋4y2－4y2－5y2
＝(x＋2y)2－9y2
＝(x＋2y＋3y)(x＋2y－3y)
＝(x＋5y)(x－y)．
因为x2＋4xy－5y2＝(x＋5y)(x－y)．
所以当x＋5y＝0或x－y＝0时，x2＋4xy－5y2＝0，
所以x＝－5y或x＝y时，x2＋4xy－5y2＝0，
所以＝－5或＝1时，x2＋4xy－5y2＝0.

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