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重难点09 电场
（电场的性质、电场中的图像问题、电场中的功能关系、带电粒子在电场中的运动）
考点分析 三年考情分析 2025命题热点
电场的性质 2024：广东卷、广西卷、江西卷、湖北卷、全国甲卷 2023：湖北卷、辽宁卷、山东卷、湖南卷、北京卷 2022：湖北卷、河北卷、湖南卷 电场的力的性质和能的性质 带电粒子在电场中的运动
电场中的图像问题 2024：湖南卷、黑吉辽卷
带电粒子在电场中的运动 2024：黑吉辽卷、山东卷、甘肃卷 2023：广东卷、全国甲卷、福建卷 2022：广东卷、浙江6月选考卷
【课标要求】
1.理解电场的性质，会比较场强大小，电势高低，电势能大小，会分析和计算静电力做功。
2.会通过电场中的图像来分析问题。
3.会用动力学观点和能量观点分析处理带电粒子在电场中的运动问题。
【考查方向】
本专题属于重点、热点、难点内容。电势高低与电势能大小的判断，带电粒子在电场中的加速和偏转，带电粒子(带电体)在电场中的综合问题是高考命题的热点。
【备考建议】
在复习备考时需注意以下几点：
(1)建构知识体系，透析电场规律。以电场强度、电势、电势能、电势差、电场力做功等基本概念人手，夯实电场基础，掌握基本模型。
(2)前后联系，归纳方法。善于利用类比法把复杂、抽象的电场问题转化为较熟悉的力学问题,掌握对称法、等效法、微元法等解题方法，学会解决静电场综合问题。
【情境解读】
基础概念考查情境
电荷间相互作用与电场叠加：如2023年高考海南卷中考查正三角形三个顶点固定三个等量电荷，判断场强、电势等。常通过给出多个点电荷的分布，让考生计算某点的电场强度或电势，考查库仑定律和电场叠加原理的应用。
电场线与等势面：给出电场线或等势面的分布图像，要求考生判断电场强度大小和方向、电势高低、电场力做功情况等。例如，根据电场线的疏密判断场强强弱，依据电场线与等势面的垂直关系及电势沿电场线方向的变化规律来解决问题。
电场力与电场能性质考查情境
电场力做功与电势能变化：通常会给出带电粒子在电场中的运动过程，让考生判断电场力做功的正负，进而确定电势能的增减。如已知电场分布和粒子的运动轨迹，分析粒子在不同位置的电势能大小关系。
电势差与电场强度关系：通过设置匀强电场或非匀强电场的情境，结合电场力做功公式，考查电势差与电场强度的关系。例如，在平行板电容器中，改变极板间距离或电压，分析电场强度和电势差的变化。
带电粒子在电场中运动的考查情境
加速与偏转问题：常见于带电粒子在匀强电场中的加速和偏转运动，如电子枪发射电子经电场加速后进入偏转电场的问题，可结合运动学公式和牛顿第二定律求解粒子的速度、位移等物理量。
复杂曲线运动：带电粒子在非匀强电场或复合场中的复杂曲线运动，如在两个等量同种或异种电荷形成的电场中运动，需要运用运动的合成与分解思想来分析粒子的运动轨迹和受力情况。
实际应用情境：以生产生活中的实际问题为背景，如静电除尘、静电喷涂、电子显微镜等，要求考生从实际情境中抽象出物理模型，运用静电场知识解决问题。例如，分析静电除尘装置中电场的分布及带电粒子的运动轨迹。
【高分技巧】
一、电场中的功能关系
1.求电场力做功的方法：
(1)定义式:WAB=Flcosα=qElcosα(适用于匀强电场)。
(2)电势的变化:WAB=qUAB=q(φA-φB)。
(3)动能定理:W电+W其他=ΔEk。
(4)电势能的变化:WAB= -ΔEp=EpA-EpB。
2.电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功,则电势能与动能之和保持不变.
(2)若只有电场力和重力做功,则电势能、重力势能、动能之和保持不变.
(3)除重力、弹力外,其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量.
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化.
二、几种常见的图像及性质特点
1、v t图象
根据v t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ-x图像
（1）电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零。
（2）在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
（3）在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后作出判断。
3、Ep-x图像
（1）根据电势能的变化可以判断电场力做功的正负,电势能减少,电场力做正功:电势能增加,电场力做负功。
（2）根据ΔEp=-W=-Fx,图像Ep-x斜率的绝对值表示电场力的大小。
E-x图像
（1）E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律,E>0表示电场强度沿x轴正方向;E<0表示电场强度沿x轴负方向。
（2）在给定了电场的E-x图像后,可以由图线确定电场强度的变化情况,电势的变化情况,E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差,两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中,可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
（3）在这类题目中,还可以由E-x图像画出对应的电场,利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题。
三、带电粒子在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动。
(2)匀强电场中，粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直线运动。
2．用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v02＝2ad(匀强电场)。
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv02。
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
四、带电粒子在电场中的偏转运动
1.求解电偏转问题的两种思路
以示波管模型为例,带电粒子经加速电场U1加速,再经偏转电场U2偏转后,需再经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P,如图所示。
(1)确定最终偏移距离OP的两种方法
方法1:
方法2:
(2)确定粒子经偏转电场后的动能(或速度)的两种方法
2.带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)．
(2)沿静电力方向做匀加速直线运动
①加速度：a＝＝＝
②离开电场时的偏移量：y＝at2＝
③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝
3．两个重要结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：
在加速电场中有qU0＝mv02，
在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2
偏转角θ，tan θ＝＝，
得：y＝，tan θ＝
y、θ均与m、q无关．
(2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半．
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）如图所示，在倾角为的光滑斜面上点和点固定有两个带电小球，两小球所带电荷量绝对值均为Q，M、两点间距为L，O点为的中点，点为中点，点为中点。将一个质量为的带正电小球轻放在点时恰好可以静止。小球大小均不计，静电力常量为，重力加速度为。关于两小球形成的电场，下列判断正确的是（ ）
A．、两点处的小球带同种电荷
B．点处小球所带的电荷量为
C．点处不放置带电小球时，、、三点处的电势关系为
D．点处不放置带电小球时，、、三点处的电场强度大小之比为
【答案】B
【知识点】正交分解法解共点力平衡、电场强度的叠加法则、等量异种电荷周围电势的分布
【详解】A．带正电小球轻放在点时恰好可以静止，根据受力平衡可得，点处合电场强度应沿斜面向上，故点处小球应该带正电，点处小球应该带负电，A错误；
B．设点处小球所带电荷量为，由受力平衡有
得
B正确；
C．点处不放置带电小球时，在等量异种点电荷产生的电场中，根据沿电场线方向电势降低可得A、B、三点处的电势关系为，C错误；
D．点处的合电场强度大小
A、B点处的合电场强度大小
所以
D错误。
故选B。
2．（2024·河南·模拟预测）如图所示，A、B两个等量同种点电荷固定在同一水平线上，将一个质量为m、电荷量为q的带电小球C放在A、B连线的竖直平分线上某处时，小球恰好处于静止状态，此时A、C连线与水平方向的夹角为θ，已知重力加速度为g，小球可视为质点，则下列判断正确的是（　　）
A．点电荷B和小球C可能带异种电荷
B．点电荷A在小球C处产生的场强大小为
C．将小球C沿竖直方向下移一些再由静止释放，小球一定向下运动
D．将小球C沿竖直方向下移（不到A、B连线）的过程中，小球的电势能一定增大
【答案】D
【知识点】带电小球的平衡问题、等量同种电荷连线中垂线和连线上的电场强度分布图像、利用功能关系计算电场力做的功及电势能的变化
【详解】A．由题意可知，小球C受到B和C的斥力作用，可知点电荷B和小球C带同种电荷，选项A错误；
B．对小球C受力分析可知
可得点电荷A在小球C处产生的场强大小为
选项B错误；
C．在AB连线的中垂线上，在水平线上方存在一个场强最大的位置，若开始时小球C在该位置上方平衡，则将小球C沿竖直方向下移一些则受电场力变大，再由静止释放，小球将向上运动；若开始时小球C在该位置下方平衡，则将小球C沿竖直方向下移一些则受电场力变小，再由静止释放，小球将向下运动，选项C错误；
D．将小球C沿竖直方向下移（不到A、B连线）的过程中，电场力对小球做负功，则小球的电势能一定增大，选项D正确。
故选D。
3．（2024·贵州六盘水·模拟预测）真空中，距孤立点电荷r处的电势（取无穷远处电势为零，Q为点电荷的带电荷量，k为静电力常量）。如图所示，在直径为5d的圆O直径两端点A、B分别固定、的点电荷，M是圆周上的点，，则M点的电势为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点电荷周围电势的表达式与多个电荷的叠加
【详解】根据几何关系可知
根据点电荷的电势表达式可知，M点的电势为
故选A。
4．（2024·湖北·模拟预测）图甲为平行放置的带等量异种电荷的绝缘环，一不计重力的带正电粒子以初速度从远离两环的地方（可看成无穷远）沿两环轴线飞向圆环，恰好可以穿越两环。已知两环轴线上的电势分布如图乙所示，若仅将带电粒子的初速度改为，其他条件不变，则带电粒子飞过两环过程中的最小速度与最大速度之比为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】根据带电粒子的运动轨迹判断其运动、受力、电势高低和能量转化情况
【详解】设+Q和-Q圆环的圆心分别为O1和O2，带正电的粒子从右侧沿水平轴线飞来的过程中，在O1点的右侧受到的电场力的方向向右，电场力做负功，从O1点的左侧到O2点的右侧受到的电场力的方向向左，电场力做正功，在O2点左侧电场力做负功，则带电粒子在穿过两个圆环飞向另一侧的过程中，速度先减小，后增加，再减小，在O1点电势最高设为φm，在O2点电势最低设为-φm，由能量关系可知，在O1点处电势能最大，动能最小，在O2点电势能最小，动能最大，在无穷远处电势为零，根据题意得
当速度为2v0时，有
联立解得
，
则可得
故选D。
5．（2024·山东青岛·三模）如图，绝缘竖直圆环上均匀分布着正电荷，轴为圆环轴线，光滑细杆位于圆环轴线上，杆上套有带正电小球。时将小球从圆环右侧点由静止释放，则小球运动的速度随时间变化关系图像及轴上电势与坐标的关系图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】ψ-x图像的物理意义、带电粒子在其他非匀强电场中的运动
【详解】AB．因沿着Ox方向场强先增加后减小，可知小球受电场力先增加后减小，加速度先增加后减小，v-t图像的斜率先增加后减小，则图像A正确，B错误；
CD．沿Ox正向电势逐渐降低，因小球向右移动相同距离时电场力做功越来越小，可知相同距离的电势差不相等，则图像不是按线性减小，选项CD错误。
故选A。
6．（2024·河南商丘·三模）以О为坐标原点，沿绝缘水平面建立x轴，水平向右为正方向，两个电荷量相等的小球（可视为点电荷）分别固定在x轴上的M、N处，M、N的坐标分别为x=-4L和x=4L，如图（a）所示。M、N连线上各点的电势与位置坐标x的关系如图（b）所示，x=-2L处的电势为，x=L处的电势为。在x=-2L处由静止释放一个质量为m的带电滑块（可视为质点），滑块向右运动到x=L处时速度恰好为零。已知滑块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．两小球带同种电荷
B．滑块在x=-2L处受到的电场力小于在x=L处受到的电场力
C．滑块运动到О点时的加速度为
D．滑块所带的电荷量大小为
【答案】D
【知识点】ψ-x图像的物理意义
【详解】A．由图像可知，在M、N之间电势从左向右逐渐降低，电场方向从左向右，即电场线起源与M位置点电荷，终止于N点电荷，可知M处小球带正电，N处的小球带负电，故A错误；
B．图像在某点切线斜率的绝对值等于该点的电场强度大小﹐由图像可知，在x=-2L处图像斜率的绝对值大于x=L处图像斜率的绝对值，即在x=-2L处的电场强度大于x=L处的电场强度，即滑块在x=-2L处受到的电场力大于在x=L处受到的电场力，故B错误；
C．根据图像，在原点的斜率的绝对值不为0，即原点的电场强度不为0，滑块运动到О点时受到的电场力不为零，因此合外力为电场力与摩擦力的合力，加速度不为，故C错误；
D．滑块从x=-2L处运动到x=L处，根据能量守恒定律有
解得
故D正确。
故选D。
二、多选题
7．（2024·河北·模拟预测）如图所示，一根轻质绝缘杆长为L，一端固定在O点且可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定有一个质量为m、带电荷量为的小球甲，小球甲此时处于最低点。在该竖直圆面上最高点A处固定一质量为m、带电荷量为的小球乙时，杆对甲的弹力恰好为零。B为OA的中点，C在以杆为半径的圆上与O点等高处。现将甲、乙两球位置互换，其他均不变，取无穷远处电势为零，小球视为点电荷，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两球位置互换前后，O点电场强度不变
B．甲、乙两球位置互换前，C点电场强度大小为
C．甲、乙两球位置互换后，将一带电荷量为+q的试探电荷从B点移至C点，该试探电荷的电势能变大
D．甲、乙两球位置互换后，B点电势升高
【答案】BD
【知识点】带电粒子在电场中的电势能、带电小球的平衡问题、电场强度的叠加法则、带电体周围的电势分布
【详解】A．甲、乙位置互换前后，O点电场强度大小不变，方向相反，A错误；
B．甲、乙位置互换前，对甲球受力分析有
由电场强度的叠加原理可知，C点电场强度大小为
解得
B正确；
C．甲、乙位置互换后，等量异种电荷连线的中垂线是一条等势线，则
A、B两点连线的电场方向竖直向下，则
所以
正电荷在电势高的地方电势能大，将带电荷量为切的试探电荷从B点移至C点，该试探电荷的电势能变小，C错误；
D．甲、乙位置互换前两点连线的电场方向竖直向上，所以
则有
D正确。
故选BD。
8．（2024·全国·模拟预测）如图所示，竖直方向上、两点处固定两正点电荷，电荷量均为，为的中点，半径为的绝缘圆形线圈水平固定于、之间，圆心与重合。将质量为、电荷量为的细小圆环套在圆形线圈上，圆环与线圈之间的动摩擦因数为，圆环和点电荷的连线与之间的夹角。若在空间区域加一竖直方向的匀强电场（图中未画出），同时使圆环获得一沿线圈切线方向的初速度，圆环恰好做匀速圆周运动。已知静电力常量为，重力加速度为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．圆环一定带负电
B．圆环获得的初速度大小为
C．匀强电场的电场强度大小为，方向竖直向上
D．若减小线圈的半径，且圆环仍做匀速圆周运动，则圆环的向心加速度大小可能不变
【答案】AD
【知识点】带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动、等量同种电荷连线中垂线和连线上的电场强度分布图像
【详解】A．圆环恰好做匀速圆周运动，说明圆环没有受到摩擦力作用，分析可知圆环的重力与匀强电场产生的静电力平衡，即
两正点电荷对圆环的库仑力的合力提供圆环做匀速圆周运动的向心力，故圆环一定带负电，故A正确；
B．圆环所受合外力提供向心力，有
解得
故B错误；
C．圆环带负电，电场力等于重力，匀强电场的电场强度大小
方向竖直向下，故C错误；
D．等量同种点电荷的电场中，连线的中点与连线的中垂线上的无穷远处电场强度均为0，在连线的中垂线上由垂足向无穷远处电场强度先增大后减小，即中垂线上由垂足向无穷远处除最大场强处有两个位置的电场强度相同，根据
可知，若减小线圈的半径，且圆环仍做匀速圆周运动，则圆环的向心加速度大小可能不变，故D正确。
故选AD。
9．（2024·广西·模拟预测）A、B为真空中两个电荷量都是Q的点电荷，相距2d，AB连线中点为O，C是中垂线的一点，距O为x（图甲），其电场强度大小为E1。若A的电荷量变为，其他条件都不变（图乙），此时C点的电场强度大小为E2。已知静电力常量为k，则（　　）
A．E1的大小为，方向沿OC向上
B．在甲图中的C点静止释放一个负点电荷，其在向O点的运动过程中，加速度大小一定变小
C．将一个正点电荷分别放在甲、乙图中的C点，其在这两点所受的电场力大小不相同
D．将一个负点电荷分别放在甲、乙图中的C点，其在甲图中C点具有的电势能小于在乙图中C点具有的电势能
【答案】AD
【知识点】电势能的概念及其相对性、电场强度的叠加法则
【详解】A．根据两个点电荷电场的叠加原理，E1的大小为
方向沿OC向上，A正确；
B．由于x与d的大小未知，中垂线上电场强度最大的点可能在C点的上方也可能在下方，所以在向O点的运动过程中，加速度大小不一定变小，B错误；
C．根据上述分析可知，当x=d，电场力大小相等，C错误；
D．甲图中C点的电势大于零，乙图中C点的电势为零，由电势能公式
可知D正确。
故选AD。
10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，光滑绝缘水平面上相距6a的M、N两点处各固定一个点电荷，现让一可视为质点的带正电小球从距M点为2a的P点处由静止释放，则带电小球将沿M、N两点的连线做往复运动（不与点电荷接触），且当带电小球运动到距M点为4a的Q点时速度最大，规定无穷远处电势为零，则下列判断中正确的是（　　）
A．在带电小球从左向右运动的过程中，其电势能一定先减小后增大
B．M、N两点固定的点电荷一定都带负电
C．Q点的电场强度和电势一定都等于零
D．M、N两点固定的点电荷的电荷量之比为4∶1
【答案】AD
【知识点】利用功能关系计算电场力做的功及电势能的变化、等量同种电荷连线中垂线和连线上的电势分布图像、带电小球的平衡问题
【详解】AB．由题意可知，带电小球在M、N两点间做往复运动，故带电小球在从左向右运动的过程中，一定先做加速运动后做减速运动，故电场力对带电小球先做正功后做负功，所以带电小球的电势能一定先减小后增大，M、N两点固定的点电荷一定都带正电。故A正确；B错误；
C．带电小球在Q点时的速度达到最大，说明带电小球在Q点受到的电场力为零，故Q点的场强为零，由于无穷远处的电势为零，故Q点的电势大于零。故C错误；
D．当带电小球在Q点时，有
解得
故D正确。
故选AD。
11．（2024·河北·模拟预测）安培在创立电动力学的过程中，面对静电感应问题遇到了困难。后来著名天才物理学家开尔文施以援手，提出了绝妙的电象法，我们从一个简单例子中感受人类的顶级智慧。点电荷、和αb两点在同一条水平线上，其距离关系如图所示。其中带正电，带负电，且。以无穷远处为零势面，在距点电荷r处的电势可表示为。将另一带正电的点电荷q从a点沿圆周轨迹经c移到b点过程中（　　）
A．静电力对q先做正功后做负功 B．静电力对q先做负功后做正功
C．圆周最高点c处电势为零 D．静电力对q始终不做功
【答案】CD
【知识点】点电荷周围的等势面、利用功能关系计算电场力做的功及电势能的变化
【详解】在圆上任取一点p，设p到q1、q2的距离为，如图所示
则圆上任取一点p的电势为
，
令，则由余弦定理可得
则
则p点电势为零，可知圆周恰为这个电场的零势面。所以沿圆周移动电荷电场力始终不做功。
故选CD。
12．（2024·山西大同·模拟预测）如图所示，虚线a、b、c、d是空间静电场中的四条等势线，相邻等势线间的电势差恒定，一个电荷量为q的带正电小球套在以O点为圆心的光滑绝缘水平圆环上，小球在P点时，给小球一个初速度使小球沿圆环做圆周运动，圆环与等势线在同一水平面内，与等势线的交点分别为A、B、C、D，小球运动到D点时对圆环的作用力恰好为零，小球在B点的动能为，在C点的动能为，小球的半径为R，则下列判断正确的是（　　）
A．C点电势比A点电势高
B．小球在C点的速度比在A点速度大
C．A、B两点的电势差的绝对值为
D．小球在D点受到的电场力大小为
【答案】AC
【知识点】带电粒子在其他非匀强电场中的运动
【详解】A．由于小球在D点对圆环作用力为零，表明电场力提供向心力，根据电场力的方向确定D点电场强度方向由D点指向O点，由此判断，A、B、C、D四点中，A点电势最低，选项A正确；
B．小球从P点向D点运动， 电场力做负功，动能减小，选项B错误；
C．相邻等势线间的电势差恒定，A、B两点电势差的绝对值
选项C正确；
D．球在D点受到的电场力
根据能量守恒可知
得到
选项D错误。
故选AC。
13．（2024·四川德阳·模拟预测）如图所示的竖直平面内，螺线管与电容器两极板相连，两极板间距离足够大，两板之间有一水平固定绝缘平台上放置有带正电小球，时对螺线管区域施加竖直向下的匀强磁场，其磁感应强度随时间的变化率，不计一切电阻，以下关于小球的速度v，加速度a、流过螺线管线圈某截面的电流i随时间t的变化v-t、a-t、i-t图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【知识点】带电粒子在匀强电场中的直线运动、已知磁感应强度随时间的变化的关系式求电动势、电容器的充放电过程及其特点
【详解】CD．根据电磁感应可知通电螺线管产生的感应电动势为
由楞次定律可得电容器下极板为正极。在充电过程中极板间电势差也与时间成正比，感应电动势与极板间电压之差保持稳定值，根据可知电荷量随时间均匀增加，由可知电流恒定不变。故C错误，D正确；
AB．电容器两端的电压随时间均匀增大，则根据可知极板间的场强均匀增大，场强较小时，电场力小于重力，小球在平面能保持静止，加速度为0，速度也为0，当场强逐渐增大，电场力大于重力，则
场强均匀增大，则加速度均匀增大，在图像中斜率逐渐增大。故A错误，B正确。
故选BD。
14．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，水平放置的平行板电容器间存在着竖直向上的匀强电场，电容器外无电场，上极板中心有一小孔。现将一长度为L的均匀带电绝缘细杆的下端对齐小孔，然后由静止释放，细杆下落的最大距离为（未到达下极板）。已知绝缘细杆的质量为m、总带电量为q，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．细杆带正电
B．细杆下降过程中的加速度先增大后减小
C．从静止释放到下落至最低点的过程中，细杆的电势能增加了
D．平行板电容器间的电场强度大小为
【答案】ACD
【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的直线运动
【详解】A．若细杆带负电，则细杆将受到竖直向下的电场力，所以细杆会一直加速，根据题意细杆应先向下加速后向下减速，故细杆带正电，故A正确；
B．设进入电场的细杆长度为x，则
所以随着细杆下落，进入电场的长度x不断增大，但加速度应先向下减小后向上增大，故B错误；
C．从静止释放到下落至最低点的过程中，细杆增加的电势能等于减小的重力势能，故C正确；
D．由动能定理得
由于细杆所受电场力为
即细杆进入电场所受电场力与进入电场的细杆的长度正正比，所以
解得
故D正确。
故选ACD。
三、解答题
15．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，粗糙绝缘水平面上方，竖直线右侧空间存在水平向右的匀强电场，完全相同的多个不带电绝缘滑块沿电场方向依次排列在一条直线上，编号依次为2、3、4……它们的间距均为，2号滑块与边界距离也为。另一个编号为1的带正电滑块以初速度从左边界进入电场，所有滑块的质量都为，与水平面间的动摩擦因数为，滑块1所受电场力恒为，所有滑块均在一条直线上且可视做质点，滑块碰后均会粘在一起。已知重力加速度为。可能用到的数学公式有：，求：
(1)滑块1刚进入电场时的加速度大小；
(2)滑块1、2碰撞过程中损失的机械能；
(3)能发生碰撞的滑块的最大编号。
【答案】(1)
(2)
(3)最多能与编号为6的物块碰撞
【知识点】多物体多次碰撞问题、带电物体（计重力）在匀强电场中的直线运动
【详解】（1）对滑块1，根据牛顿第二定律可得
解得
（2）根据运动学公式可得
由动量守恒得
损失的机械能为
联立解得
（3）第次碰前、碰后，系统的动能关系
碰撞后动能记为，则
将记作第次碰后系统总动能，则有
……
数学处理后，有
将，代入，得到
由
得编号为6的物块碰撞结束，继续向前运动，未与7碰撞，已减速到0，所以，最多能与编号为6的物块碰撞。
16．（2024·全国·模拟预测）如果一矩形ABCD以MN为边界对称分成左右两个边长均为的正方形，MN的中点为O，两正方形内均存在匀强电场，左侧正方形内电场方向水平向左，右侧正方形内电场方向水平向右，两匀强电场的电场强度大小相等。MN为一条等势线，其电势为，AD和BC的电势均为零。一质量为、电荷量为的带电粒子从AM的中点垂直电场以某一速度射入左侧电场，恰好从N点离开，不计粒子重力。
(1)求粒子在电场中的加速度大小；
(2)求该带电粒子垂直电场射入左侧电场的速度大小；
(3)若将该粒子置于O点，给粒子另一速度使之沿水平方向做往复运动，且运动过程中动能和电势能之和恒为，求该粒子运动过程中距离O点的最远距离和粒子在水平方向做往复运动的周期。
【答案】(1)
(2)（，，）
(3)，
【知识点】利用功能关系计算电场力做的功及电势能的变化、带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、匀强电场中电势差与电场强度的关系
【详解】（1）由题意分析可知电场强度大小
粒子在电场中的加速度大小
解得
（2）由于带电粒子垂直电场射入左侧电场后恰好从点离开，将等分，每份用时为，可能会有两种情况，根据对称性，在水平方向均有
第一种情况：从点离开时速度偏向右下方，有
（，，）
解得
（，，）
第二种情况：从点离开时速度偏向左下方，有
（，，）
解得
（，，）
综合以上两种情况可得带电粒子垂直电场射入左侧电场的速度大小
（，，）
（3）该粒子运动过程中距离点最远时速度为零，粒子在距离点处的电势能
解得
根据匀强电场电场强度与电势差的关系可得
解得
由于动能和电势能之和恒为，设粒子在点的速度为，则有
解得粒子在点的速度
又有
解得
17．（2024·江苏南京·模拟预测）如图所示，位于x轴下方的离子源C发射比荷为的一束正离子，其初速度大小范围为，这束离子经加速后的最大速度为2v，从小孔O（坐标原点）沿与x轴正方向夹角为射入x轴上方区域。在x轴的上方存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，x轴下方距离d处放置一平行于x轴的足够长的探测板，探测板左边缘与O对齐，在x轴下方与探测板之间的区域存在大小为、方向垂直x轴向上的匀强电场。假设离子首次到达x轴上时均匀分布，忽略离子间的相互作用且不计重力。求：
(1)加速电压U；
(2)离子首次到达x轴的坐标范围；
(3)到达探测板的离子数占发射的总离子数的比例。
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、带电粒子在匀强电场中的直线运动、粒子由磁场进入电场
【详解】（1）由离子经加速后的最大速度为2v，初速度范围，显然初速度最大离子加速后速度最大，由动能定理有
解得
（2）由于粒子带正电，磁场垂直于纸面向外；可以做出离子在磁场中的轨迹。最小速度的轨迹圆最小，将出射点标记为A。最大速度的轨迹圆最大，将出射点标记为B。离子首次到达x轴的范围在A、B之间。过入射点O做入射速度方向的垂线，过出射点A做出射速度方向的垂线，交汇于C点，该点为最小轨迹圆的圆心，OC、AC为半径。如图所示
由于入射速度与x轴正方向的夹角为，所以
由于OC、AC为轨迹圆半径，故
，
所以AC的长度等于最小轨迹圆半径，入射速度为v，由于向心力等于离子所受的洛伦兹力
解得
所以A的坐标，同理，由于最大轨迹圆的入射速度方向不变，大小为2v。所以该轨迹圆的圆心角不变，半径大小为原来的2倍。B的坐标为，综上离子首次到达x轴的坐标范围为
（3）由于探测板足够长，所以不用考虑粒子从水平方向离开探测板范围的可能性。仅需要考虑竖直方向的运动。电场强度方向向上，对正离子的作用力和加速度向上，大小为
，
设出射速度为的离子恰好达到探测板，该速度的离子竖直方向速度刚好在到达探测板时减为0。当离子进入电场的速度大于等于该临界速度时能达到探测板，小于临界速度时不能达到。由于为所以出射速度与x轴方向的夹角为，所以进入电场前竖直方向的速度为
根据离子竖直方向速度刚好在到达探测板时减为0，列写运动学方程
所以当离子速度，不能到达探测板。当离子速度，能到达探测板。粒子首次到达x轴上时分布均匀，所以
18．（2024·江西上饶·模拟预测）如图甲所示，长为a的平行板M、N分别位于第一、第二象限内，与坐标平面垂直并与y轴平行，两板到y轴的距离相等，两板的下端均在x轴上，两板上所加的电压随时间变化的规律如图乙所示（图乙中均已知），在第三、四象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场。在y轴上的P点沿y轴负方向均匀地射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，每个粒子均能进入磁场且从P点射出到进入磁场所用的时间均为，从时刻射出的粒子刚好从N板下边缘进入磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，磁场的磁感应强度大小为，求：
（1）M、N板间的距离为多少；
（2）能再次进入两板间的粒子数占总粒子数的比例为多少；
（3）若将M、N极板上段截去一部分，使所有粒子从P点射出后经电场、磁场偏转后均不能再进入电场，则截去部分的长度至少为多少。
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】带电粒子在周期性变化的电场运动（初速度垂直电场）、粒子由电场进入磁场
【详解】（1）设两板间的距离为，从时刻射出的粒子刚好从板的边缘飞出，则
解得
（2）由于所有粒子穿过电场的时间均为，所以所有粒子在电场中运动时沿平行轴方向的速度变化量为零，即所有粒子进磁场时，速度大小均为
方向垂直于轴向下；粒子在磁场中运动时，根据牛顿第二定律
解得
所有粒子在磁场中均做半径为的半圆周运动，则
在第一个周期内，设在时刻射入的粒子在离板处进入磁场并恰好从板处进入磁场。则
解得
根据对称性得，能再次进入两板间的粒子数占总粒子数的比例为
（3）截去一段后，设粒子进磁场时的速度为，速度与轴负方向的夹角为，则
粒子在磁场中做圆周运动的半径
粒子进磁场和出磁场位置间的距离
截去一段后，若从时刻进入电场的粒子发生的侧移为，则所有粒子均不能再进入电场。则
解得
则截去的板长
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点09 电场
（电场的性质、电场中的图像问题、电场中的功能关系、带电粒子在电场中的运动）
考点分析 三年考情分析 2025命题热点
电场的性质 2024：广东卷、广西卷、江西卷、湖北卷、全国甲卷 2023：湖北卷、辽宁卷、山东卷、湖南卷、北京卷 2022：湖北卷、河北卷、湖南卷 电场的力的性质和能的性质 带电粒子在电场中的运动
电场中的图像问题 2024：湖南卷、黑吉辽卷
带电粒子在电场中的运动 2024：黑吉辽卷、山东卷、甘肃卷 2023：广东卷、全国甲卷、福建卷 2022：广东卷、浙江6月选考卷
【课标要求】
1.理解电场的性质，会比较场强大小，电势高低，电势能大小，会分析和计算静电力做功。
2.会通过电场中的图像来分析问题。
3.会用动力学观点和能量观点分析处理带电粒子在电场中的运动问题。
【考查方向】
本专题属于重点、热点、难点内容。电势高低与电势能大小的判断，带电粒子在电场中的加速和偏转，带电粒子(带电体)在电场中的综合问题是高考命题的热点。
【备考建议】
在复习备考时需注意以下几点：
(1)建构知识体系，透析电场规律。以电场强度、电势、电势能、电势差、电场力做功等基本概念人手，夯实电场基础，掌握基本模型。
(2)前后联系，归纳方法。善于利用类比法把复杂、抽象的电场问题转化为较熟悉的力学问题,掌握对称法、等效法、微元法等解题方法，学会解决静电场综合问题。
【情境解读】
基础概念考查情境
电荷间相互作用与电场叠加：如2023年高考海南卷中考查正三角形三个顶点固定三个等量电荷，判断场强、电势等。常通过给出多个点电荷的分布，让考生计算某点的电场强度或电势，考查库仑定律和电场叠加原理的应用。
电场线与等势面：给出电场线或等势面的分布图像，要求考生判断电场强度大小和方向、电势高低、电场力做功情况等。例如，根据电场线的疏密判断场强强弱，依据电场线与等势面的垂直关系及电势沿电场线方向的变化规律来解决问题。
电场力与电场能性质考查情境
电场力做功与电势能变化：通常会给出带电粒子在电场中的运动过程，让考生判断电场力做功的正负，进而确定电势能的增减。如已知电场分布和粒子的运动轨迹，分析粒子在不同位置的电势能大小关系。
电势差与电场强度关系：通过设置匀强电场或非匀强电场的情境，结合电场力做功公式，考查电势差与电场强度的关系。例如，在平行板电容器中，改变极板间距离或电压，分析电场强度和电势差的变化。
带电粒子在电场中运动的考查情境
加速与偏转问题：常见于带电粒子在匀强电场中的加速和偏转运动，如电子枪发射电子经电场加速后进入偏转电场的问题，可结合运动学公式和牛顿第二定律求解粒子的速度、位移等物理量。
复杂曲线运动：带电粒子在非匀强电场或复合场中的复杂曲线运动，如在两个等量同种或异种电荷形成的电场中运动，需要运用运动的合成与分解思想来分析粒子的运动轨迹和受力情况。
实际应用情境：以生产生活中的实际问题为背景，如静电除尘、静电喷涂、电子显微镜等，要求考生从实际情境中抽象出物理模型，运用静电场知识解决问题。例如，分析静电除尘装置中电场的分布及带电粒子的运动轨迹。
【高分技巧】
一、电场中的功能关系
1.求电场力做功的方法：
(1)定义式:WAB=Flcosα=qElcosα(适用于匀强电场)。
(2)电势的变化:WAB=qUAB=q(φA-φB)。
(3)动能定理:W电+W其他=ΔEk。
(4)电势能的变化:WAB= -ΔEp=EpA-EpB。
2.电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功,则电势能与动能之和保持不变.
(2)若只有电场力和重力做功,则电势能、重力势能、动能之和保持不变.
(3)除重力、弹力外,其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量.
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化.
二、几种常见的图像及性质特点
1、v t图象
根据v t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ-x图像
（1）电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零。
（2）在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
（3）在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后作出判断。
3、Ep-x图像
（1）根据电势能的变化可以判断电场力做功的正负,电势能减少,电场力做正功:电势能增加,电场力做负功。
（2）根据ΔEp=-W=-Fx,图像Ep-x斜率的绝对值表示电场力的大小。
E-x图像
（1）E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律,E>0表示电场强度沿x轴正方向;E<0表示电场强度沿x轴负方向。
（2）在给定了电场的E-x图像后,可以由图线确定电场强度的变化情况,电势的变化情况,E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差,两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中,可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
（3）在这类题目中,还可以由E-x图像画出对应的电场,利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题。
三、带电粒子在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动。
(2)匀强电场中，粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直线运动。
2．用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v02＝2ad(匀强电场)。
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv02。
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
四、带电粒子在电场中的偏转运动
1.求解电偏转问题的两种思路
以示波管模型为例,带电粒子经加速电场U1加速,再经偏转电场U2偏转后,需再经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P,如图所示。
(1)确定最终偏移距离OP的两种方法
方法1:
方法2:
(2)确定粒子经偏转电场后的动能(或速度)的两种方法
2.带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)．
(2)沿静电力方向做匀加速直线运动
①加速度：a＝＝＝
②离开电场时的偏移量：y＝at2＝
③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝
3．两个重要结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：
在加速电场中有qU0＝mv02，
在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2
偏转角θ，tan θ＝＝，
得：y＝，tan θ＝
y、θ均与m、q无关．
(2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半．
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）如图所示，在倾角为的光滑斜面上点和点固定有两个带电小球，两小球所带电荷量绝对值均为Q，M、两点间距为L，O点为的中点，点为中点，点为中点。将一个质量为的带正电小球轻放在点时恰好可以静止。小球大小均不计，静电力常量为，重力加速度为。关于两小球形成的电场，下列判断正确的是（ ）
A．、两点处的小球带同种电荷
B．点处小球所带的电荷量为
C．点处不放置带电小球时，、、三点处的电势关系为
D．点处不放置带电小球时，、、三点处的电场强度大小之比为
2．（2024·河南·模拟预测）如图所示，A、B两个等量同种点电荷固定在同一水平线上，将一个质量为m、电荷量为q的带电小球C放在A、B连线的竖直平分线上某处时，小球恰好处于静止状态，此时A、C连线与水平方向的夹角为θ，已知重力加速度为g，小球可视为质点，则下列判断正确的是（　　）
A．点电荷B和小球C可能带异种电荷
B．点电荷A在小球C处产生的场强大小为
C．将小球C沿竖直方向下移一些再由静止释放，小球一定向下运动
D．将小球C沿竖直方向下移（不到A、B连线）的过程中，小球的电势能一定增大
3．（2024·贵州六盘水·模拟预测）真空中，距孤立点电荷r处的电势（取无穷远处电势为零，Q为点电荷的带电荷量，k为静电力常量）。如图所示，在直径为5d的圆O直径两端点A、B分别固定、的点电荷，M是圆周上的点，，则M点的电势为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北·模拟预测）图甲为平行放置的带等量异种电荷的绝缘环，一不计重力的带正电粒子以初速度从远离两环的地方（可看成无穷远）沿两环轴线飞向圆环，恰好可以穿越两环。已知两环轴线上的电势分布如图乙所示，若仅将带电粒子的初速度改为，其他条件不变，则带电粒子飞过两环过程中的最小速度与最大速度之比为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2024·山东青岛·三模）如图，绝缘竖直圆环上均匀分布着正电荷，轴为圆环轴线，光滑细杆位于圆环轴线上，杆上套有带正电小球。时将小球从圆环右侧点由静止释放，则小球运动的速度随时间变化关系图像及轴上电势与坐标的关系图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024·河南商丘·三模）以О为坐标原点，沿绝缘水平面建立x轴，水平向右为正方向，两个电荷量相等的小球（可视为点电荷）分别固定在x轴上的M、N处，M、N的坐标分别为x=-4L和x=4L，如图（a）所示。M、N连线上各点的电势与位置坐标x的关系如图（b）所示，x=-2L处的电势为，x=L处的电势为。在x=-2L处由静止释放一个质量为m的带电滑块（可视为质点），滑块向右运动到x=L处时速度恰好为零。已知滑块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．两小球带同种电荷
B．滑块在x=-2L处受到的电场力小于在x=L处受到的电场力
C．滑块运动到О点时的加速度为
D．滑块所带的电荷量大小为
二、多选题
7．（2024·河北·模拟预测）如图所示，一根轻质绝缘杆长为L，一端固定在O点且可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定有一个质量为m、带电荷量为的小球甲，小球甲此时处于最低点。在该竖直圆面上最高点A处固定一质量为m、带电荷量为的小球乙时，杆对甲的弹力恰好为零。B为OA的中点，C在以杆为半径的圆上与O点等高处。现将甲、乙两球位置互换，其他均不变，取无穷远处电势为零，小球视为点电荷，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两球位置互换前后，O点电场强度不变
B．甲、乙两球位置互换前，C点电场强度大小为
C．甲、乙两球位置互换后，将一带电荷量为+q的试探电荷从B点移至C点，该试探电荷的电势能变大
D．甲、乙两球位置互换后，B点电势升高
8．（2024·全国·模拟预测）如图所示，竖直方向上、两点处固定两正点电荷，电荷量均为，为的中点，半径为的绝缘圆形线圈水平固定于、之间，圆心与重合。将质量为、电荷量为的细小圆环套在圆形线圈上，圆环与线圈之间的动摩擦因数为，圆环和点电荷的连线与之间的夹角。若在空间区域加一竖直方向的匀强电场（图中未画出），同时使圆环获得一沿线圈切线方向的初速度，圆环恰好做匀速圆周运动。已知静电力常量为，重力加速度为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．圆环一定带负电
B．圆环获得的初速度大小为
C．匀强电场的电场强度大小为，方向竖直向上
D．若减小线圈的半径，且圆环仍做匀速圆周运动，则圆环的向心加速度大小可能不变
9．（2024·广西·模拟预测）A、B为真空中两个电荷量都是Q的点电荷，相距2d，AB连线中点为O，C是中垂线的一点，距O为x（图甲），其电场强度大小为E1。若A的电荷量变为，其他条件都不变（图乙），此时C点的电场强度大小为E2。已知静电力常量为k，则（　　）
A．E1的大小为，方向沿OC向上
B．在甲图中的C点静止释放一个负点电荷，其在向O点的运动过程中，加速度大小一定变小
C．将一个正点电荷分别放在甲、乙图中的C点，其在这两点所受的电场力大小不相同
D．将一个负点电荷分别放在甲、乙图中的C点，其在甲图中C点具有的电势能小于在乙图中C点具有的电势能
10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，光滑绝缘水平面上相距6a的M、N两点处各固定一个点电荷，现让一可视为质点的带正电小球从距M点为2a的P点处由静止释放，则带电小球将沿M、N两点的连线做往复运动（不与点电荷接触），且当带电小球运动到距M点为4a的Q点时速度最大，规定无穷远处电势为零，则下列判断中正确的是（　　）
A．在带电小球从左向右运动的过程中，其电势能一定先减小后增大
B．M、N两点固定的点电荷一定都带负电
C．Q点的电场强度和电势一定都等于零
D．M、N两点固定的点电荷的电荷量之比为4∶1
11．（2024·河北·模拟预测）安培在创立电动力学的过程中，面对静电感应问题遇到了困难。后来著名天才物理学家开尔文施以援手，提出了绝妙的电象法，我们从一个简单例子中感受人类的顶级智慧。点电荷、和αb两点在同一条水平线上，其距离关系如图所示。其中带正电，带负电，且。以无穷远处为零势面，在距点电荷r处的电势可表示为。将另一带正电的点电荷q从a点沿圆周轨迹经c移到b点过程中（　　）
A．静电力对q先做正功后做负功 B．静电力对q先做负功后做正功
C．圆周最高点c处电势为零 D．静电力对q始终不做功
12．（2024·山西大同·模拟预测）如图所示，虚线a、b、c、d是空间静电场中的四条等势线，相邻等势线间的电势差恒定，一个电荷量为q的带正电小球套在以O点为圆心的光滑绝缘水平圆环上，小球在P点时，给小球一个初速度使小球沿圆环做圆周运动，圆环与等势线在同一水平面内，与等势线的交点分别为A、B、C、D，小球运动到D点时对圆环的作用力恰好为零，小球在B点的动能为，在C点的动能为，小球的半径为R，则下列判断正确的是（　　）
A．C点电势比A点电势高
B．小球在C点的速度比在A点速度大
C．A、B两点的电势差的绝对值为
D．小球在D点受到的电场力大小为
13．（2024·四川德阳·模拟预测）如图所示的竖直平面内，螺线管与电容器两极板相连，两极板间距离足够大，两板之间有一水平固定绝缘平台上放置有带正电小球，时对螺线管区域施加竖直向下的匀强磁场，其磁感应强度随时间的变化率，不计一切电阻，以下关于小球的速度v，加速度a、流过螺线管线圈某截面的电流i随时间t的变化v-t、a-t、i-t图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，水平放置的平行板电容器间存在着竖直向上的匀强电场，电容器外无电场，上极板中心有一小孔。现将一长度为L的均匀带电绝缘细杆的下端对齐小孔，然后由静止释放，细杆下落的最大距离为（未到达下极板）。已知绝缘细杆的质量为m、总带电量为q，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．细杆带正电
B．细杆下降过程中的加速度先增大后减小
C．从静止释放到下落至最低点的过程中，细杆的电势能增加了
D．平行板电容器间的电场强度大小为
三、解答题
15．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，粗糙绝缘水平面上方，竖直线右侧空间存在水平向右的匀强电场，完全相同的多个不带电绝缘滑块沿电场方向依次排列在一条直线上，编号依次为2、3、4……它们的间距均为，2号滑块与边界距离也为。另一个编号为1的带正电滑块以初速度从左边界进入电场，所有滑块的质量都为，与水平面间的动摩擦因数为，滑块1所受电场力恒为，所有滑块均在一条直线上且可视做质点，滑块碰后均会粘在一起。已知重力加速度为。可能用到的数学公式有：，求：
(1)滑块1刚进入电场时的加速度大小；
(2)滑块1、2碰撞过程中损失的机械能；
(3)能发生碰撞的滑块的最大编号。
16．（2024·全国·模拟预测）如果一矩形ABCD以MN为边界对称分成左右两个边长均为的正方形，MN的中点为O，两正方形内均存在匀强电场，左侧正方形内电场方向水平向左，右侧正方形内电场方向水平向右，两匀强电场的电场强度大小相等。MN为一条等势线，其电势为，AD和BC的电势均为零。一质量为、电荷量为的带电粒子从AM的中点垂直电场以某一速度射入左侧电场，恰好从N点离开，不计粒子重力。
(1)求粒子在电场中的加速度大小；
(2)求该带电粒子垂直电场射入左侧电场的速度大小；
(3)若将该粒子置于O点，给粒子另一速度使之沿水平方向做往复运动，且运动过程中动能和电势能之和恒为，求该粒子运动过程中距离O点的最远距离和粒子在水平方向做往复运动的周期。
17．（2024·江苏南京·模拟预测）如图所示，位于x轴下方的离子源C发射比荷为的一束正离子，其初速度大小范围为，这束离子经加速后的最大速度为2v，从小孔O（坐标原点）沿与x轴正方向夹角为射入x轴上方区域。在x轴的上方存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，x轴下方距离d处放置一平行于x轴的足够长的探测板，探测板左边缘与O对齐，在x轴下方与探测板之间的区域存在大小为、方向垂直x轴向上的匀强电场。假设离子首次到达x轴上时均匀分布，忽略离子间的相互作用且不计重力。求：
(1)加速电压U；
(2)离子首次到达x轴的坐标范围；
(3)到达探测板的离子数占发射的总离子数的比例。
18．（2024·江西上饶·模拟预测）如图甲所示，长为a的平行板M、N分别位于第一、第二象限内，与坐标平面垂直并与y轴平行，两板到y轴的距离相等，两板的下端均在x轴上，两板上所加的电压随时间变化的规律如图乙所示（图乙中均已知），在第三、四象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场。在y轴上的P点沿y轴负方向均匀地射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，每个粒子均能进入磁场且从P点射出到进入磁场所用的时间均为，从时刻射出的粒子刚好从N板下边缘进入磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，磁场的磁感应强度大小为，求：
（1）M、N板间的距离为多少；
（2）能再次进入两板间的粒子数占总粒子数的比例为多少；
（3）若将M、N极板上段截去一部分，使所有粒子从P点射出后经电场、磁场偏转后均不能再进入电场，则截去部分的长度至少为多少。
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