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重难点08 三大力学观点（动力学、能量、动量）的综合应用
【高分技巧】
三大力学观点（动力学、能量、动量）的综合应用
力学三大观点 对应规律 表达式 适用范围
动力学观点 牛顿第二定律 F合＝ma 恒力作用下的匀变速运动(包括匀变速曲线运动)，涉及时间与运动细节时，一般选用动力学方法解题
匀变速直线运动规律 v＝v0＋at，x＝v0t＋at2 v2－v＝2ax等
能量观点 动能定理 W合＝ΔEk 求解功、能和位移时，一般选用动能定理、机械能守恒定律、功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移(摩擦生热)时，优先选用能量守恒定律
机械能守恒定律 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
功能关系 WG＝－ΔEp等
能量守恒定律 E1＝E2
动量观点 动量定理 I合＝p′－p 不涉及物体运动过程中的加速度而涉及物体运动时间的问题，特别是对于打击类问题、流体连续作用问题，用动量定理求解
动量守恒定律 p1＋p2＝p1′＋p2′ 对碰撞、爆炸、反冲、地面光滑的板—块问题，若只涉及初末速度而不涉及力、时间，用动量守恒定律求解
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图甲所示，大型物流货场广泛地应用传送带搬运货物。与水平面夹角为θ的倾斜传送带以恒定速率运动，皮带始终是绷紧的。将质量为 的货物 （可视为质点） 轻放在传送带的A端，经过1.2s到达传送带的B端。用速度传感器测得货物与传送带的速度ν随时间t变化的图像如图乙所示。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，下列说法正确的是 （　　）
A．货物从 A 端到 B 端的过程中受到的摩擦力始终不变
B．货物与传送带之间的动摩擦因数为0.4
C．货物从A端到 B 端的过程中，货物与传送带之间因摩擦产生的热量为9.6J
D．货物从A 端到 B 端的过程中，货物与传送带之间因摩擦产生的热量为22.4J
2．（2025·广东·模拟预测）如图所示，底端带有挡板的光滑斜面固定在水平面上，一轻弹簧一端与挡板连接，轴线与斜面平行，质量为M的物块（可视为质点，与弹簧不连接）紧靠弹簧静止在斜面上。现施加沿斜面向下的力进一步压缩弹簧，然后由静止释放物块，物块沿斜面开始运动，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。以释放点为坐标原点O，沿斜面向上为x轴正方向建立坐标系，从物块释放到第一次回到坐标原点的过程中，物块的加速度a随路程s变化的图像或位移x随时间t变化的图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北·模拟预测）高频考点弹簧连接体如图所示，质量为M的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为的轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内。图中AO水平，BO间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，在O点正下方，C是段的中点，杆与竖直方向的夹角。现让小球从A处由静止释放，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为。查阅资料知，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　）
A．下滑过程中小球的机械能先减小后增大
B．小球位于A点时的加速度大小为
C．小球下滑到B点时的动能为
D．小球下滑到C点时的动能为
4．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，光滑水平面上有一光滑的斜面，斜面上有一可视为质点的物块从顶端由静止开始下滑，一直运动到底端。忽略空气阻力的影响，在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块受到的支持力对物块不做功
B．物块受到的支持力对物块做负功
C．物块对斜面的压力对斜面不做功
D．物块受到的支持力与斜面不垂直
5．（2024·安徽·一模）如图所示，两根平行的光滑金属导轨MN、PQ，距离为L，与左侧M，P间连接阻值为R的电阻构成一个固定的水平U型导体框架，导轨电阻不计且足够长。框架置于一个方向竖直向下，范围足够大的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，磁场左侧边界是。质量为m、电阻为R、长度为L的导体棒垂直放置在两导轨上，并与导轨接触良好，现导体棒以一个水平向右的初速度进入磁场区域，当导体棒在磁场中运动距离为x的过程，则（ ）

A．通过导体棒的电量为
B．导体棒的运动为匀变速运动
C．导体棒所受安培力在不断增大
D．若将磁感应强度的方向调整为竖直向上，则导体棒所受安培力方向将发生变化
6．（2024·福建·二模）如图，倾角为37°的传送带沿逆时针方向以4m/s的速度匀速转动，将质量为1kg的小物块轻放在传送带的顶端A处，经过2s小物块到达传送带的底端B处。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数为0.25，重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（　　）
A．小物块一直做匀变速运动
B．A、B间的长度为11.5m
C．小物块到达B处时的速度大小为16m/s
D．全过程中小物块机械能减少23J
二、多选题
7．（2024·河北·模拟预测）如图所示，质量为的木板B与直立轻弹簧的上端拴接，弹簧下端固定在地面上。平衡时弹簧的压缩量为，一质量为的物块A从木板B正上方距离为的高处自由落下，打在木板上与木板粘连在一起向下运动。从A、B碰撞到两者到达最低点后又向上运动到最高点经历的总时间为，已知弹簧的弹性势能，为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为，空气阻力忽略不计。则在时间内，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大弹性势能为
B．A和B一起运动的最大加速度大小为
C．A和B一起运动的最大速度大小为
D．从A、B碰撞到两者到达最低点经历的时间为
8．（2024·四川成都·模拟预测）如图甲所示，“L”形木板Q（竖直挡板厚度不计）静止于粗糙水平地面上，质量为的滑块P（视为质点）以的初速度滑上木板，时滑块与木板相撞并粘在一起。两者运动的图像如图乙所示。重力加速度大小，则下列说法正确的是（　　）
A．“L”形木板的长度为
B．Q的质量为
C．地面与木板之间的动摩擦因数为0.1
D．由于碰撞系统损失的机械能与碰撞后木板Q与地面摩擦产生的内能之比为
9．（2024·福建宁德·三模）如图甲所示，光滑水平面上两物块A、B用轻质橡皮绳水平连接，橡皮绳恰好处于原长。t = 0时，A以水平向左的初速度v0开始运动，B的初速度为0，A、B运动的v t图像如图乙所示。已知A的质量为m，0 ~ t0时间内B的位移为x0，t = 3t0时二者发生碰撞并粘在一起，则（　　）
A．B的质量为2m B．橡皮绳的最大弹性势能为
C．橡皮绳的原长为 D．橡皮绳的原长为v0t0
10．（2024·四川成都·模拟预测）如图甲，同一竖直平面内，四点距点的距离均为，点为水平连线的中点，在连线的中垂线上。两点分别固定有一点电荷，电荷量均为（）。以为原点，竖直向下为正方向建立轴。若取无穷远处为电势零点，则上的电势随位置的变化关系如图乙所示。一电荷量为的小球S以一定初动能从点竖直下落，一段时间后经过点，且在点的加速度大小为，为重力加速度大小，为静电力常量。则下列说法正确的是（　　）
A．小球S在点受到的电场力大小为
B．从点到点的过程，小球S受到的电场力先减小后增大
C．从点到点，小球S动能变化为
D．在连线的中垂线上电场强度最大的点到点的距离为
11．（2024·河北·模拟预测）如图所示，间距均为的粗糙平行倾斜导轨与足够长光滑平行水平导轨在、处平滑连接，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场。、是两根完全相同且粗细均匀的金属棒，质量为，电阻为棒垂直放置在倾斜导轨距水平导轨高处；棒与水平导轨垂直并处于静止状态，到的距离。现给棒一个水平向右的初速度，运动过程中棒始终垂直于导轨，棒始终静止。不计导轨电阻，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．初始时通过闭合回路的磁通量为
B．棒获得初速度瞬间，通过棒的电流大小为
C．棒获得初速度后向右做减速运动过程中，棒受到的支持力和摩擦力均变大
D．棒获得初速度后向右运动的最大位移为
12．（2024·湖北·模拟预测）如图所示，平行光滑金属导轨间距为，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，两个相同的金属棒垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，每个金属棒质量为，接入电路的电阻均为。开始时棒锁定在轨道上，对棒施加水平向右的恒定拉力，经时间棒的速度达到最大值，此时撤去拉力，同时解除对棒的锁定，导轨足够长且电阻不计。则（　　）
A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．撤去拉力前棒前进的距离为
C．撤去拉力前棒前进的距离为 D．全过程中回路产生的焦耳热为
三、解答题
13．（2025·山东·模拟预测）如图所示，一质量，长度的长木板C（右端带挡板）静止在光滑水平面上，小物块A放置在长木板最左端，小物块B放置在长木板上距右端为x处，A、B均可视为质点，质量均为。某时刻，给A一个水平向右、大小为的初速度，A、B、C之间的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。A、C和B、C之间的动摩擦因数均为，A、B始终未脱离C，取。
(1)求从A开始运动到A、B、C达到稳定状态的过程，整个系统因摩擦产生的热量；
(2)求B与挡板碰后瞬间B和C各自的速度大小；
(3)若A、B不发生第二次碰撞，求B与长木板右端的距离x的最小值。
14．（2024·河北·模拟预测）如图所示，斜面点处固定有一轻质弹簧，弹簧处于原长时其末端在点处，斜面段光滑，段粗糙且足够长。两个可视为质点、质量均为的物块、静置于弹簧上。若将物块取走，物块运动的最大速度为。已知物块与段之间的动摩擦因数，斜面倾角为，重力加速度取。
(1)求弹簧的劲度系数；
(2)若物块的质量为，取走物块，求物块在离开弹簧时的速度；
(3)在（2）的条件下，求物块在点上方运动的总时间。
15．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，质量为3m、半径为R的四分之一光滑圆弧体b静止在光滑的水平面上，圆弧面的最低点与水平面上的A点对齐，且与水平面相切，轻质弹簧的右端与静止的质量为3m的物块c相连，左端与水平面上的B点对齐，AB部分长为R，弹簧处于原长，水平面仅A、B部分粗糙。现将质量为m、可视为质点的物块a从圆弧面的最高点由静止释放，物块a与弹簧作用，第二次滑过AB段后，恰好不再能滑上圆弧面。已知弹簧的形变在弹性限度内，重力加速度大小为g，不计空气阻力，求：
(1)物块a从释放运动到圆弧面最低点时，圆弧体运动的距离为多少；
(2)物块a第一次运动到A点时速度多大；
(3)物块a与水平面AB部分间的动摩擦因数。
16．（2025·山东·模拟预测）如图所示，光滑曲面末端水平，固定于水平面上。曲面右侧紧靠一足够长的木板C，木板上表面粗糙，与曲面末端等高，下表面光滑，木板右侧有一竖直墙壁P。物块A置于曲面距末端高h = 0.2 m处，物块B置于木板左端。已知物块A、B均可视为质点，质量均为6 kg，长木板C的质量为2 kg，B、C间的动摩擦因数μ = 0.1，取g = 10 m/s2。物块A由静止释放，与B发生弹性碰撞（不考虑物块A的后续运动），之后C与B第一次共速时恰好与墙壁P发生碰撞，碰后C被原速率弹回，所有碰撞时间均极短。求：
(1)物块A、B碰后瞬间，B的速度大小；
(2)木板C初始位置右端与墙壁P的距离；
(3)木板C从与墙壁P第4次碰撞前瞬间到木板C与物块B第5次共速瞬间的时间间隔；
(4)从木板C开始运动到停止运动的总路程。
17．（2025·陕西宝鸡·一模）如图所示，长为l的轻绳一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，O点下方固定有一个滑槽装置，由水平直轨道和竖直圆弧轨道组成。其中BC段为粗糙水平轨道，长度为d，CDE部分为光滑圆弧轨道，半径为R，B点在O点正下方，D点为圆弧最高点，E点和圆心O等高。现将球拉至最高点A，以的速度向左水平抛出。当小球运动至最低点时，与静止在B点的一质量为m的滑块P发生弹性正碰。碰撞后滑块P沿BC滑向圆弧轨道CDE。滑块和小球均视为质点，重力加速度为g，求：
(1)小球抛出后，经过多长时间绳子被拉直？
(2)设绳子被拉直瞬间，小球沿绳子方向的分速度突变为零，则小球第一次运动到B点的速度vB大小为多少？
(3)要使滑块始终不脱离圆弧轨道，则水平轨道BC段的摩擦因数μ取值范围是多少？
18．（2025·云南·模拟预测）如图，将一质量为4kg、高度为4m的光滑圆弧槽放置在足够大的光滑水平面上，在其左侧放置一质量未知的滑块。某时刻，将一质量为1kg的小球（可视为质点）从光滑圆弧槽的顶点处由静止释放，三个物体均在同一直线上运动，重力加速度g大小取。求：
(1)若圆弧槽固定，小球滑到水平面上时，小球的速度大小；
(2)若圆弧槽不固定，小球滑到水平面上时，圆弧槽和小球的速度大小；
(3)接（2）问，若小球与滑块发生弹性碰撞后恰好不能追上圆弧槽，滑块的质量大小（结果保留2位有效数字）。
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【高分技巧】
三大力学观点（动力学、能量、动量）的综合应用
力学三大观点 对应规律 表达式 适用范围
动力学观点 牛顿第二定律 F合＝ma 恒力作用下的匀变速运动(包括匀变速曲线运动)，涉及时间与运动细节时，一般选用动力学方法解题
匀变速直线运动规律 v＝v0＋at，x＝v0t＋at2 v2－v＝2ax等
能量观点 动能定理 W合＝ΔEk 求解功、能和位移时，一般选用动能定理、机械能守恒定律、功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移(摩擦生热)时，优先选用能量守恒定律
机械能守恒定律 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
功能关系 WG＝－ΔEp等
能量守恒定律 E1＝E2
动量观点 动量定理 I合＝p′－p 不涉及物体运动过程中的加速度而涉及物体运动时间的问题，特别是对于打击类问题、流体连续作用问题，用动量定理求解
动量守恒定律 p1＋p2＝p1′＋p2′ 对碰撞、爆炸、反冲、地面光滑的板—块问题，若只涉及初末速度而不涉及力、时间，用动量守恒定律求解
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图甲所示，大型物流货场广泛地应用传送带搬运货物。与水平面夹角为θ的倾斜传送带以恒定速率运动，皮带始终是绷紧的。将质量为 的货物 （可视为质点） 轻放在传送带的A端，经过1.2s到达传送带的B端。用速度传感器测得货物与传送带的速度ν随时间t变化的图像如图乙所示。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，下列说法正确的是 （　　）
A．货物从 A 端到 B 端的过程中受到的摩擦力始终不变
B．货物与传送带之间的动摩擦因数为0.4
C．货物从A端到 B 端的过程中，货物与传送带之间因摩擦产生的热量为9.6J
D．货物从A 端到 B 端的过程中，货物与传送带之间因摩擦产生的热量为22.4J
【答案】C
【知识点】物块在倾斜的传送带上运动分析、能量守恒定律与传送带结合
【详解】A．由题意可知，货物先以a1加速度做匀加速直线运动，再以a2加速度做匀加速直线运动，则时间内，货物受到的摩擦力沿传送带向下，时间内，货物受到的摩擦力沿传送带向上，A错误；
B．由图像可知，货物的加速度大小为
根据牛顿第二定律则有
解得
同理可得内有
联立解得
B错误；
CD．由图可知，整个过程货物的位移
传送带的位移
二者的相对位移
根据上述结论可知
故整个过程产生的热量
C正确，D错误。
故选C。
2．（2025·广东·模拟预测）如图所示，底端带有挡板的光滑斜面固定在水平面上，一轻弹簧一端与挡板连接，轴线与斜面平行，质量为M的物块（可视为质点，与弹簧不连接）紧靠弹簧静止在斜面上。现施加沿斜面向下的力进一步压缩弹簧，然后由静止释放物块，物块沿斜面开始运动，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。以释放点为坐标原点O，沿斜面向上为x轴正方向建立坐标系，从物块释放到第一次回到坐标原点的过程中，物块的加速度a随路程s变化的图像或位移x随时间t变化的图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】细绳或弹簧相连的连接体问题
【详解】AB．设弹簧的初始压缩量为，物块释放前，根据平衡条件有
释放后弹簧未恢复原长前，根据牛顿第二定律可得
联立解得
若弹簧能够恢复原长（即），则弹簧恢复原长后
物块到达最高点后，开始沿斜面向下做匀加速运动，加速度仍为
再次接触弹簧后，物块先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，回到坐标原点时速度恰好减为零，物块做往复运动，根据对称性结合上述分析可知，故A错误，B正确；
CD．若，物块释放后不能脱离弹簧，位移x随时间t按正弦规律变化；若，物块释放后能脱离弹簧，脱离弹簧后位移x随时间t按二次函数规律变化，故CD错误。
故选B。
3．（2024·河北·模拟预测）高频考点弹簧连接体如图所示，质量为M的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为的轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内。图中AO水平，BO间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，在O点正下方，C是段的中点，杆与竖直方向的夹角。现让小球从A处由静止释放，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为。查阅资料知，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　）
A．下滑过程中小球的机械能先减小后增大
B．小球位于A点时的加速度大小为
C．小球下滑到B点时的动能为
D．小球下滑到C点时的动能为
【答案】D
【知识点】弹簧类问题机械能转化的问题、常见力做功与相应的能量转化
【详解】A．下滑过程中小球的机械能会与弹簧的弹性势能相互转化，由题意知在B处时弹簧的弹性势能为零，则弹簧的弹性势能先减小后增加，小球的机械能先增大后减小，A错误；
B．由几何关系得
，，，，，
根据几何关系可得
，
小球位于A点时的加速度
B错误；A、B两点间的高度差为
由机械能守恒定律得
解得
C错误；
A、C两点间的高度差
小球在两位置弹簧的弹性势能相等，小球重力做的功全部转化为小球的动能，所以得
D正确。
故选D。
4．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，光滑水平面上有一光滑的斜面，斜面上有一可视为质点的物块从顶端由静止开始下滑，一直运动到底端。忽略空气阻力的影响，在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块受到的支持力对物块不做功
B．物块受到的支持力对物块做负功
C．物块对斜面的压力对斜面不做功
D．物块受到的支持力与斜面不垂直
【答案】B
【知识点】判断某个力是否做功，做何种功、判断系统机械能是否守恒
【详解】ABC．由于水平面是光滑的，在物块下滑的过程中，物块和斜面组成的系统机械能守恒，随着斜面动能的增加，物块的机械能减小，所以物块受到的支持力对物块做负功，物块对斜面的压力对斜面做正功，AC项错误、B项正确；
D．在物块运动过程中，物块受到的支持力方向与斜面始终垂直，D项错误。
故选B。
5．（2024·安徽·一模）如图所示，两根平行的光滑金属导轨MN、PQ，距离为L，与左侧M，P间连接阻值为R的电阻构成一个固定的水平U型导体框架，导轨电阻不计且足够长。框架置于一个方向竖直向下，范围足够大的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，磁场左侧边界是。质量为m、电阻为R、长度为L的导体棒垂直放置在两导轨上，并与导轨接触良好，现导体棒以一个水平向右的初速度进入磁场区域，当导体棒在磁场中运动距离为x的过程，则（ ）

A．通过导体棒的电量为
B．导体棒的运动为匀变速运动
C．导体棒所受安培力在不断增大
D．若将磁感应强度的方向调整为竖直向上，则导体棒所受安培力方向将发生变化
【答案】A
【知识点】左手定则的内容及简单应用、求导体棒运动过程中通过其截面的电量、作用的导体棒在导轨上运动的电动势、安培力、电流、路端电压
【详解】A．由法拉第电磁感应定律
由闭合电路欧姆定律
则该过程中通过导体棒的电量为
联立可得
故A正确；
BC．规定向右为正方向，由动量定理
其中
联立可得
导体棒所受安培力为
所以安培力在不断变小，加速度不断变小，故BC错误；
D．若将磁感应强度的方向调整为竖直向上，根据右手定则可知回路中的感应电流顺时针，根据左手定则可知导体棒所受的安培力方向仍向左，故D错误。
故选A。
6．（2024·福建·二模）如图，倾角为37°的传送带沿逆时针方向以4m/s的速度匀速转动，将质量为1kg的小物块轻放在传送带的顶端A处，经过2s小物块到达传送带的底端B处。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数为0.25，重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（　　）
A．小物块一直做匀变速运动
B．A、B间的长度为11.5m
C．小物块到达B处时的速度大小为16m/s
D．全过程中小物块机械能减少23J
【答案】B
【知识点】物块在倾斜的传送带上运动分析、能量守恒定律与传送带结合
【详解】A．当小物块的速度小于传送带的速度时，由牛顿第二定律可知
解得
当小物块的速度等于传送带的速度时，由于
小物块会继续以a2加速运动至B点，由牛顿第二定律可知
解得
故全程做变加速运动，故A错误；
C．设小物块从A点运动到与传送带共速时经过的时间为t1，则
由题可知，全程运动时间为
到达B点时的速度为
解得
故C错误；
B．AB间长度为
解得
故B正确；
D．全过程中小物块机械能减小量为
解得
故D错误。
故选B。
二、多选题
7．（2024·河北·模拟预测）如图所示，质量为的木板B与直立轻弹簧的上端拴接，弹簧下端固定在地面上。平衡时弹簧的压缩量为，一质量为的物块A从木板B正上方距离为的高处自由落下，打在木板上与木板粘连在一起向下运动。从A、B碰撞到两者到达最低点后又向上运动到最高点经历的总时间为，已知弹簧的弹性势能，为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为，空气阻力忽略不计。则在时间内，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的最大弹性势能为
B．A和B一起运动的最大加速度大小为
C．A和B一起运动的最大速度大小为
D．从A、B碰撞到两者到达最低点经历的时间为
【答案】AD
【知识点】弹簧振子在一个周期内运动的定性规律、利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题、细绳或弹簧相连的连接体问题、弹簧类问题机械能转化的问题
【详解】A．物块A做自由落体运动，设其与木板B碰撞前瞬间的速度大小为，由动能定理可得
解得
物块A与木板B碰撞瞬间满足动量守恒，由动量守恒定律可得
解得
从A、B碰撞到达最低点，设最低点位置弹簧压缩量为，由能量守恒定律可得
其中
解得
可得弹簧的最大弹性势能为
故A正确；
B．A、B一起运动到最低点时，弹簧的形变量最大，弹簧对A、B整体的弹力最大，加速度最大，由牛顿第二定律有
解得A、B一起运动的最大加速度大小为
故B错误；
C．当弹簧弹力与A、B的重力相等时，A和B一起运动的速度最大，设此时弹簧压缩量为，由受力平衡可得
解得
根据能量守恒定律有
解得
故C错误；
D．A、B在一起做简谐运动，设振动方程为
在点A、B碰撞，从有
解得
由题意知从时间为，则有
可得简谐运动的周期为
从A、B碰撞到两者到达最低点，即从的时间为
故D正确。
故选AD。
8．（2024·四川成都·模拟预测）如图甲所示，“L”形木板Q（竖直挡板厚度不计）静止于粗糙水平地面上，质量为的滑块P（视为质点）以的初速度滑上木板，时滑块与木板相撞并粘在一起。两者运动的图像如图乙所示。重力加速度大小，则下列说法正确的是（　　）
A．“L”形木板的长度为
B．Q的质量为
C．地面与木板之间的动摩擦因数为0.1
D．由于碰撞系统损失的机械能与碰撞后木板Q与地面摩擦产生的内能之比为
【答案】BD
【知识点】碰撞后直接粘连问题、板块/子弹打木块模型
【详解】A．“L”形木板的长度
A错误；
B．滑块P滑上木板后，滑块P做匀减速运动，木板Q做匀加速运动，由两者运动的图像可知，两者在碰撞前滑块P的速度为
木板Q的速度
两者碰撞后共同速度为
碰撞过程系统的动量守恒，设滑块P的质量为m，木板Q的质量为M，取滑块P的速度方向为正方向，由动量守恒定律可得
代入数据解得
B正确；
C．设滑块P与木板Q间的滑动摩擦因数为，地面与木板之间的滑动摩擦因数为，由运动的图像可知，在0~2s时间内，滑块P的加速度为
木板Q的加速度为
对两者由牛顿第二定律可得
代入数据联立解得
C错误；
D．由于碰撞系统损失的机械能为
代入数据解得
碰撞后木板Q与地面摩擦产生的内能
课中由于碰撞系统损失的机械能与碰撞后木板Q与地面摩擦产生的内能之比为，D正确。
故选BD。
9．（2024·福建宁德·三模）如图甲所示，光滑水平面上两物块A、B用轻质橡皮绳水平连接，橡皮绳恰好处于原长。t = 0时，A以水平向左的初速度v0开始运动，B的初速度为0，A、B运动的v t图像如图乙所示。已知A的质量为m，0 ~ t0时间内B的位移为x0，t = 3t0时二者发生碰撞并粘在一起，则（　　）
A．B的质量为2m B．橡皮绳的最大弹性势能为
C．橡皮绳的原长为 D．橡皮绳的原长为v0t0
【答案】AD
【知识点】滑块弹簧模型、利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题
【详解】A．由图乙及动量守恒定律得
解得
故A正确；
CD．由图乙知，2t0时刻橡皮绳处于原长，设此时A、B的速度分别为vA、vB，由动量守恒定律及能量守恒定律得
解得
，
橡皮绳的原长
故C错误，D正确；
B．由能量守恒定律，橡皮绳的最大弹性势能
故B错误。
故选AD。
10．（2024·四川成都·模拟预测）如图甲，同一竖直平面内，四点距点的距离均为，点为水平连线的中点，在连线的中垂线上。两点分别固定有一点电荷，电荷量均为（）。以为原点，竖直向下为正方向建立轴。若取无穷远处为电势零点，则上的电势随位置的变化关系如图乙所示。一电荷量为的小球S以一定初动能从点竖直下落，一段时间后经过点，且在点的加速度大小为，为重力加速度大小，为静电力常量。则下列说法正确的是（　　）
A．小球S在点受到的电场力大小为
B．从点到点的过程，小球S受到的电场力先减小后增大
C．从点到点，小球S动能变化为
D．在连线的中垂线上电场强度最大的点到点的距离为
【答案】ACD
【知识点】库仑定律表达式和简单计算、用动能定理求解外力做功和初末速度、等量同种电荷连线中垂线和连线上的电场强度分布图像
【详解】AB．设A到小球的距离为R，A点的电荷对小球S的库仑力大小为FA，小球S和A点连线与中垂线的夹角设为θ，由库仑定律有
设小球S所受电场力大小为F，由力的合成有
则根据数学知识可知，从点到点的过程，小球S受到的电场力先增大后减小，再增大再减小；
小球S在点受到的电场力大小为
故A正确，B错误；
C．在N点的加速度大小为2g，根据牛顿第二定律有
小球S从O点到N点由动能定理有
根据图线可解得
故从O点到N点小球S的动能增加了，故C正确；
D．根据选项AB分析可得，小球S在连线的中垂线上受到的电场力为
设，则有
求导可得
可知F在单调递增，在单调递减，则即时，小球S受到的电场力最大，此位置的电场强度也最大，此时，则在连线的中垂线上电场强度最大的点到点的距离为
故D正确。
故选ACD。
11．（2024·河北·模拟预测）如图所示，间距均为的粗糙平行倾斜导轨与足够长光滑平行水平导轨在、处平滑连接，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场。、是两根完全相同且粗细均匀的金属棒，质量为，电阻为棒垂直放置在倾斜导轨距水平导轨高处；棒与水平导轨垂直并处于静止状态，到的距离。现给棒一个水平向右的初速度，运动过程中棒始终垂直于导轨，棒始终静止。不计导轨电阻，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．初始时通过闭合回路的磁通量为
B．棒获得初速度瞬间，通过棒的电流大小为
C．棒获得初速度后向右做减速运动过程中，棒受到的支持力和摩擦力均变大
D．棒获得初速度后向右运动的最大位移为
【答案】BD
【知识点】双杆在等宽导轨上运动问题、计算磁通量的大小、作用的导体棒在导轨上运动的电动势、安培力、电流、路端电压
【详解】A．初始时穿过闭合回路的磁通量
A错误；
B．棒获得初速度瞬间，产生的感应电动势
B正确；
C．由右手定则和左手定则可知棒所受安培力水平向左，棒获得初速度后向右做减速运动，棒受到安培力水平向右，随着棒速度的减小，感应电动势减小，感应电流减小，两棒所受安培力也逐渐变小，根据受力平衡可得，棒受到的支持力变大，摩擦力变小，C错误；
D．棒获得初速度后向右做减速运动过程中，由动量定理有
解得
D正确。
故选BD。
12．（2024·湖北·模拟预测）如图所示，平行光滑金属导轨间距为，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，两个相同的金属棒垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，每个金属棒质量为，接入电路的电阻均为。开始时棒锁定在轨道上，对棒施加水平向右的恒定拉力，经时间棒的速度达到最大值，此时撤去拉力，同时解除对棒的锁定，导轨足够长且电阻不计。则（　　）
A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．撤去拉力前棒前进的距离为
C．撤去拉力前棒前进的距离为 D．全过程中回路产生的焦耳热为
【答案】AC
【知识点】双杆在等宽导轨上运动问题
【详解】A．ab棒匀速时受力平衡，有
解得
故A正确；
BC．ab棒从开始运动到匀速，列动量定理
解的
故B错误，C正确。
D．解除锁定后两棒相互作用过程中动量守恒，最后共同运动速度为，
对全过程由能量守恒定律
得
故D错误。
故选AC。
三、解答题
13．（2025·山东·模拟预测）如图所示，一质量，长度的长木板C（右端带挡板）静止在光滑水平面上，小物块A放置在长木板最左端，小物块B放置在长木板上距右端为x处，A、B均可视为质点，质量均为。某时刻，给A一个水平向右、大小为的初速度，A、B、C之间的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。A、C和B、C之间的动摩擦因数均为，A、B始终未脱离C，取。
(1)求从A开始运动到A、B、C达到稳定状态的过程，整个系统因摩擦产生的热量；
(2)求B与挡板碰后瞬间B和C各自的速度大小；
(3)若A、B不发生第二次碰撞，求B与长木板右端的距离x的最小值。
【答案】(1)24J
(2)；
(3)
【知识点】利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题、没有其他外力的板块问题
【详解】（1）对A、B、C由动量守恒定律有
减少的动能因摩擦转化为内能，则
解得
则系统因摩擦产生的热量
（2）因为A、B的质量相同，所以A与B碰后速度交换，可视为A直接滑到右端，从开始到B与挡板碰撞前瞬间由动量守恒定律得
由能量守恒定律得
B与C碰撞过程，由动量守恒定律有
由机械能守恒定律有
联立解得
，
（3）B与挡板碰后瞬间A的速度大小为，对A、B、C由牛顿第二定律可得
A、B的加速度大小
C的加速度大小
设A、C先达到共速的时间为t，则
解得
这段时间内A的位移大小
B的位移大小
A、C共速瞬间
，
之后B与A、C整体作用，最后A、B、C共速，速度大小为
由能量守恒定律有
解得
若A、B不发生第二次碰撞，则x至少为
14．（2024·河北·模拟预测）如图所示，斜面点处固定有一轻质弹簧，弹簧处于原长时其末端在点处，斜面段光滑，段粗糙且足够长。两个可视为质点、质量均为的物块、静置于弹簧上。若将物块取走，物块运动的最大速度为。已知物块与段之间的动摩擦因数，斜面倾角为，重力加速度取。
(1)求弹簧的劲度系数；
(2)若物块的质量为，取走物块，求物块在离开弹簧时的速度；
(3)在（2）的条件下，求物块在点上方运动的总时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】细绳或弹簧相连的连接体问题、应用动能定理解多段过程问题
【详解】（1）初始时两物块静止，设此时弹簧压缩量为，对物块、，由平衡条件得
取走物块后，物块速度最大时所受合力为零，设此时弹簧压缩量为，对有
联立解得
即物块有最大速度时沿斜面向上的位移为，对物块，由动能定理得
联立解得
（2）若物块的质量，静止时，设此时弹簧压缩量为，由平衡条件得
取走物块后，物块在弹簧原长处离开弹簧，此时弹簧弹力为0，对物块，由动能定理得
联立解得
（3）物块在段运动时受摩擦力作用，设向上滑行和向下滑行的加速度大小分别为、，由牛顿第二定律得
解得
设物块向下滑行经过点时的速度为，由运动学公式得
解得
由（2）可知
故
设物块每次经过点的速度大小依次为、、、、、、，其中、、、表示向上经过点的速度大小，、、、…表示向下经过点的速度大小，由运动过程知，每次向上经过点时的速度大小之比为
同理，每次向下经过点的速度大小之比为
设物块每次从点向上运动到最高点的时间依次为、、、，从最高点向下运动到点的时间依次为、、、，有
、、、
、、、
15．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，质量为3m、半径为R的四分之一光滑圆弧体b静止在光滑的水平面上，圆弧面的最低点与水平面上的A点对齐，且与水平面相切，轻质弹簧的右端与静止的质量为3m的物块c相连，左端与水平面上的B点对齐，AB部分长为R，弹簧处于原长，水平面仅A、B部分粗糙。现将质量为m、可视为质点的物块a从圆弧面的最高点由静止释放，物块a与弹簧作用，第二次滑过AB段后，恰好不再能滑上圆弧面。已知弹簧的形变在弹性限度内，重力加速度大小为g，不计空气阻力，求：
(1)物块a从释放运动到圆弧面最低点时，圆弧体运动的距离为多少；
(2)物块a第一次运动到A点时速度多大；
(3)物块a与水平面AB部分间的动摩擦因数。
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】含有动量守恒的多过程问题、机械能与曲线运动结合问题
【详解】（1）物块a在圆弧面上运动时，物块a和b组成的系统水平方向动量守恒，则
即
又因为
解得
（2）设物块a第一次运动到A点时速度为v1，圆弧体的速度为v2，根据水平方向动量守恒有
根据机械能守恒有
解得
，
（3）设物块a与弹簧作用前的速度为v3，根据动能定理
设a与弹簧作用后一瞬间速度为v4，物块c的速度为v5，a与弹簧作用过程，根据动量守恒定律
根据机械能守恒
解得
，
由于物块a刚好不再能滑上圆弧面，故物块a第二次滑过AB段后的速度大小等于v2，根据动能定理
解得
16．（2025·山东·模拟预测）如图所示，光滑曲面末端水平，固定于水平面上。曲面右侧紧靠一足够长的木板C，木板上表面粗糙，与曲面末端等高，下表面光滑，木板右侧有一竖直墙壁P。物块A置于曲面距末端高h = 0.2 m处，物块B置于木板左端。已知物块A、B均可视为质点，质量均为6 kg，长木板C的质量为2 kg，B、C间的动摩擦因数μ = 0.1，取g = 10 m/s2。物块A由静止释放，与B发生弹性碰撞（不考虑物块A的后续运动），之后C与B第一次共速时恰好与墙壁P发生碰撞，碰后C被原速率弹回，所有碰撞时间均极短。求：
(1)物块A、B碰后瞬间，B的速度大小；
(2)木板C初始位置右端与墙壁P的距离；
(3)木板C从与墙壁P第4次碰撞前瞬间到木板C与物块B第5次共速瞬间的时间间隔；
(4)从木板C开始运动到停止运动的总路程。
【答案】(1)2 m/s
(2)
(3)
(4)
【知识点】利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题
【详解】（1）对于A沿曲面下滑，由动能定理得
A、B发生弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
联立解得
（2）B、C相互作用至第1次共速过程中由动量守恒定律得
解得
对于C由牛顿第二定律有
解得
C做匀加速直线运动，由运动学公式有
联立解得
（3）C与挡板第n次（n > 1）碰撞前瞬间的速度大小和C与B第n次共速时的速度大小相同
从C与B第1次共速至第2次共速时过程由动量守恒有
解得
从C与B第2次共速至第3次共速的过程由动量守恒有
解得
同理可知，C与B第4次共速时的速度大小
C与B第5次共速时的速度大小
从C与挡板第4次碰撞前瞬间到C与B第5次共速瞬间的过程由动量定理有
解得
（4）木板C从开始运动到第2次与挡板碰撞前的路程为
由（3）中分析可知第2次及以后的共速的速度大小
第2次碰撞到第3次碰撞期间木板C的路程
第3次碰撞到第4次碰撞期间木板C的路程
……
17．（2025·陕西宝鸡·一模）如图所示，长为l的轻绳一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，O点下方固定有一个滑槽装置，由水平直轨道和竖直圆弧轨道组成。其中BC段为粗糙水平轨道，长度为d，CDE部分为光滑圆弧轨道，半径为R，B点在O点正下方，D点为圆弧最高点，E点和圆心O等高。现将球拉至最高点A，以的速度向左水平抛出。当小球运动至最低点时，与静止在B点的一质量为m的滑块P发生弹性正碰。碰撞后滑块P沿BC滑向圆弧轨道CDE。滑块和小球均视为质点，重力加速度为g，求：
(1)小球抛出后，经过多长时间绳子被拉直？
(2)设绳子被拉直瞬间，小球沿绳子方向的分速度突变为零，则小球第一次运动到B点的速度vB大小为多少？
(3)要使滑块始终不脱离圆弧轨道，则水平轨道BC段的摩擦因数μ取值范围是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)或者
【知识点】机械能与曲线运动结合问题、利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题
【详解】（1）由于
故小球抛出后做平抛运动。设绳子恰好拉直时绳子与水平方向的夹角为θ，平抛运动的时间为t，则有
水平位移
x = lcosθ = v0t
水平位移
可求得
θ = 0°
即当小球运动到绳子刚好处于水平位置时被拉直。
由以上式解得
（2）在绳子拉直瞬间，小球沿绳子方向的速度立即消失，只余竖直方向的速度
此后小球做圆周运动，从拉直瞬间到运动到最低点B，由动能定理可得
解得
（3）当小球与滑块发生弹性碰撞过程中，由小球和滑块组成的系统动量守恒、机械能守恒。设碰后小球速度为v1，滑块速度为v2，有
解得
要使滑块不脱离轨道CDE，有两种情况：
①滑块能在圆弧轨道CDE做完整的圆周运动，则滑块从B点运动到圆轨道最高点D的过程中，由动能定理可得
在D点时
解得
②滑块最高运动到与圆心O′等高处速度恰好为零，沿轨道返回，设滑块上升的最大高度为h，则有
h ≤ R
解得
即当水平轨道BC段的摩擦因数μ满足或者时，滑块始终不脱离圆轨道。
18．（2025·云南·模拟预测）如图，将一质量为4kg、高度为4m的光滑圆弧槽放置在足够大的光滑水平面上，在其左侧放置一质量未知的滑块。某时刻，将一质量为1kg的小球（可视为质点）从光滑圆弧槽的顶点处由静止释放，三个物体均在同一直线上运动，重力加速度g大小取。求：
(1)若圆弧槽固定，小球滑到水平面上时，小球的速度大小；
(2)若圆弧槽不固定，小球滑到水平面上时，圆弧槽和小球的速度大小；
(3)接（2）问，若小球与滑块发生弹性碰撞后恰好不能追上圆弧槽，滑块的质量大小（结果保留2位有效数字）。
【答案】(1)
(2)，
(3)
【知识点】利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题、用动能定理求解外力做功和初末速度
【详解】（1）若圆弧槽固定，小球滑到水平面上时，设小球的速度大小为v，由动能定理得
求得
（2）若圆弧槽不固定，小球滑到水平面上时，设小球和圆弧槽的速度大小分别为和，由水平方向动量守恒和机械能守恒得
联立求得
（3）设滑块的质量为，小球与滑块发生弹性碰撞后恰好不能追上圆弧槽，即碰后小球速度与圆弧槽相同，设碰后滑块的速度大小为，根据动量守恒和机械能守恒得
联立求得
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